高数重修1习题详解

第1章 函数与极限

1.用区间表达函数)4arcsin()

3ln(-+-=

x x x

y 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.

解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x x

x

e e

e f ,求)(x f 的表达式.

解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x x

x

e e e e

e f ，所以1)(2+-=x x x f .

解法2：令1+=x

e u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x x

x

e e e

f ，得

11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0

.

6.=+

→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为 不存在 .

解：在极限x

x x +→0lim 中，+

→0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++

→→→x x x x x x x ， 在极限x x x -→0lim 中，-

→0x ，此时0

→→→x x x x

x x x ， 因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，x

x

x f =)(在0=x 处的极限x x x 0lim →不存在.

1.若)(lim 0

x f x x →存在,则)(x f B .

A.有界;

B.在),(0o

δx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.

解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在0x x →定点的情形，则是

保证函数在0x 的去心邻域),(0o

δx U 内有界；

B 选项正确：即函数极限的局部有界性；

C 选项不正确：应该是在某．一去心．．

邻域内有界. 2.设x e x f x

1arctan

)1()(1

+=,当-

→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.2

π; C.2π-; D.∞. 解：)(lim )0(0x f f x -→-=，当-

→0x 时，-∞→x 1，从而01

→x e ，2

1arctan π-→x ，故

2

)2()01()(lim )0(0π

π-=-⋅+==-→-x f f x .

1.以下判断正确的是 D .

A.x

e 是无穷大量; B.

x

1

是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量;

D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.

解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞

→x

x e lim ，因而x

e 是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0

=→x

x e ，因而当0→x 时

x e 不是无穷大量. 对于B 选项，例如，01lim

=∞→x x ，因而x 1是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→x x 1lim 0，因而当0→x 时x

1不是无穷小量，而是无穷大量.

C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式

)

(1

x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.

2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.

解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(. 例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.

再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,使得对于一切大于X 的x ,都有

M x f >)(.例如),2,1,0( 0)2

2cos()22()22( ==++=+k k k k f π

πππππ,对于任意大的X ,当k 充分大时,总有

X k x >+=22π

π,但M x f <=0)(.

1.01sin lim 0=→x x x 的理由是 有界函数x

1

sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)

2(2lim x x x x x ∞. 解：因为02

2220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232

2

2

2322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→50

30

20

)15()23()32(lim x x x x 50

30

20

5

32⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值

应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是50

5,所以所求极限值是50

30

20532⋅. 4.已知51lim

21=-++→x

c

bx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,分子)(2

c bx x ++的极限必存在,又已知51lim

21=-++→x c

bx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)

1()1(lim 11lim 1lim

21212152)1(lim 1=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c . 1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .

A.}{n n y x ±一定发散;

B.}{n n y x ⋅一定发散;

C.}{n

n y x

一定发散; D.以上结论都不对.

解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1

)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如n

n n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、1=⋅n n y x 及

1=n

n

y x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A .

A.}{n n y x ±一定发散;

B.}{n n y x ⋅一定发散;

C.}{

n

n

y x 一定发散; D.以上结论都不对. 解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：

设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，

有n n n n n n n n n x z x z y ∞

→∞

→∞

→∞

→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故n n n y x z ±=一定发散. 证毕.

B 、

C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，n

n y )1(-=发散，成立0==

⋅n

n

n n y x y x 收敛. 5.)13

11(lim 31x x x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 212132131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.x x x x +---→131lim 21; 解：=++-+--++--=+---→→)

13)(13()

13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x