高数重修1习题详解

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1011高数A一补考试题及解答

f x dx f x .
知识点：不定积分和导数的关系，分析微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx

F ( x )dx F ( x ) C
key : A
分析利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数的单调性和凹凸性.
key : D
5.
下列等式正确的是
( A)
A .
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D)
df x f x C ;
b a
(C ) d f x dx f x dx;
2 2
5 2 3 x 4. ( x 1) dx 3 x xC 1 5
5.

0
1 x
1 dx _______ . 2 2
二、选择题（每小题2分，共10分）
1. “数列有界{xn }? 是“数列极限 lim xn 存在”的 C . n
( A) 充分必要条件;
2e x sin x .
四、计算题（每小题8分，共16分）
1. 设y e cos x, 求y.
x
x x 解： y e cos x e sin x
x x x x y e cos x e sin x e sin x e cos x.
2e x sin x .
证明：设 f ( x ) x 3 x 1， f (0) 1，f (1) 1，
由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即方程至少有一个小于1的正实根.

高数重修试题

⾼数重修试题⼀（1）设k j i b k j i a 42,253++=-+=，问λ和µ有什么的关系，能使得b aµλ+与z 轴垂直？（2）已知k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ?的⾯积。

（3）已知23,3,2,1,,3A a bB a b a b a b π=+=-===求,BA B prj A ?（4）设向经,522k j i M O ++=从点)1,2,1(P 出发，向M O 作垂线PQ ,求向量Q P和长度。

（5）分别画出223yx z +-=,2211y x z ---=⽅程所表⽰的曲⾯。

（6）求上半球2220yx a z --≤≤与圆柱体)0(22>≤+a axy x 的公共部分在xoy 坐标⾯上的投影。

（7）求两平⾯012=+-+z y x 和012=-++-z y x ⾓平分⾯的⽅程。

42012=--+=--+z y x z y x 的直（8）求过点)1,2,1(-，并且平⾏直线线⽅程。

（9）求直线211232-+=-=+z y x 与平⾯08332=-++z y x 的交点和夹⾓。

（10）求点)0,2,1(-在平⾯012=+-+z y x 上的投影。

（11）求点)1,3,2(在直线322217+=+=+z y x 上的投影。

4201=-+-=+-+z y x z y x 的距离。

（12）求点)2,1,3(-P 到直线（13）求直线22x y z=??=?绕z 轴旋转⼀周的曲⾯⽅程并画出它的⼤致图形。

（14）求过直线026x y x y z +=??-+=?且切于球⾯2229x y z ++=的平⾯⽅程。

（15）设122112:,:112211x y z x y z L L -++-====--（1）判断12,L L 是否相交，若相交求出交点P 和相交平⾯π；（2）在平⾯π上求⼀过P 点直线L ，且L 与1L 和2L 的夹⾓相同。

⼆：（1）求1)sin(1lim)0,0(),(--→xy xy y x 。

大一高数习题1答案解析

大一高数习题1答案解析大一高数习题1答案解析高等数学作为大一学生必修的一门课程，对于很多学生来说是一门相对较难的学科。

在学习过程中，习题的解答是非常重要的一环。

本文将对大一高数习题1的答案进行解析，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

1. 题目：计算函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值。

解析：将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=3(2)^2-2(2)+1=12-4+1=9。

所以函数f(x)=3x^2-2x+1在x=2处的函数值为9。

2. 题目：已知函数f(x)=x^3-2x+1，求f'(x)。

解析：对函数f(x)进行求导，首先对x^3-2x+1分别求导，得到3x^2-2。

所以函数f'(x)=3x^2-2。

3. 题目：已知函数f(x)=x^2+2x+1，求f(-1)。

解析：将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1)=(-1)^2+2(-1)+1=1-2+1=0。

所以函数f(x)=x^2+2x+1在x=-1处的函数值为0。

4. 题目：已知函数f(x)=2x^3+3x^2-4x+1，求f''(x)。

解析：对函数f'(x)=6x^2+6x-4进行求导，得到f''(x)=12x+6。

5. 题目：已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=0的解。

解析：将f'(x)=3x^2-3=0，化简得到x^2-1=0，进一步化简得到(x-1)(x+1)=0。

所以f'(x)=0的解为x=1和x=-1。

通过以上习题的解析，我们可以看出大一高数习题1主要涉及函数的计算和求导。

在解答这些习题时，我们需要掌握函数的基本运算规则和求导的方法。

同时，我们还需要注意一些常见的计算错误，比如在计算过程中漏写符号、计算错误等。

在学习高等数学的过程中，习题的解答是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，提高解题能力。

因此，我们要充分利用课后习题，多做练习，加深对知识点的理解和掌握。

高等数学重修A(II)19春

16．求点 (3,1, −1) 到平面 x + y + z − 20 = 0 的投影坐标。
19．求点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离。
1
多元函数微分法及其应用
2．求极限 lim x→0 y→0
3．求偏导数
xy +1 −1 xy
（1） z = x3 y + exy − sin(x2 − y2 ) ，求 ∂z 及 ∂z ∂x ∂y
11．求过点
(−1,
2,1)
且平行于直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ +
y 2
−2 y−
z z
−1 +1
= =
0 0
的直线方程。
12．求过点
(2,1,1)
且垂直于直线
⎧x + 2 ⎨⎩2x +
y y
− −
z z
+1= =0
0
的平面方程。
13．将直线一般式
⎧x − y ⎨⎩2x +
+z y+
=1 z=
4
化为对称式方程和参数式方程。
∫ 6.利用格林公式计算 − x 2 ydx + xy 2dy ，其中 L 为沿圆周 x2 + y2 = a2 正向一圈的 L
路径。
∫ 7. 用两种不同的方法计算曲线积分 (x 2 + y 2 )dx + (x + 2)dy ，其中 L 是以 L
O (0, 0) ， A(1, 0) , B (0,1) 为顶点的三角形的正向边界曲线。
（2） z = ln(x + y ) ，求 ∂z 及 ∂z

高等数学重修复习题(完整版)

x
xx
x2 x 1
3.
lim
x 1
(x 1)2
4． lim 1 ( 1 1 ) x0 x sin x tan x
5．
lim
n
3n
arcsin
4 5n
1
6． lim(x e x ) x x0
7. lim x0
1 2 tan2 x 1 x2 x(e x 1)
8. lim 1 3x 1 x
3. d ( e x2 sin 2x) =
dx ．
4．设函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 2014) ，则 f (2014) =
．
5. y esin2 x ，则 dy ______________．
二、选择题
1．设
f
(x0
)
1
，则
lim
h0
f (x0
3h) 1 h
f (x0 1
二、选择题
1．若数列
xn
满足
lim
n
xn
a ，则数列 xn 在 a 的任一
邻域之外（其中
0 ）数列中
的点（）
（A）必不存在；
（B）至多只有有限多个；
（C）必定有无穷多个；
（D）可以有有限多个，也可以有无穷多个。
2．下列结论错误的是（）．
（A）函数 f (x) sin 1 是有界函数；（B）当 x 0 时，函数 f (x) sin 1 的极限存在；
五、求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dy 和二阶导数 d 2 y ：
dx
dx 2
1）
x y
cos sin
3 3
t t
；
六、设 f (x) 为可导函数，求 dy ： dx

高数重修1习题详解Word版

第1章函数与极限1.用区间表达函数)4arcsin()3ln(-+-=x x xy 的自然定义域]5,4()4,3(⋃.解：应14,03,0)3ln(≤->-≠-x x x ，得141,3,13≤-≤->≠-x x x ，得]5,4()4,3(⋃. 3.已知1)1(2++=+x xxe ee f ,求)(x f 的表达式.解法1：因为1)1()1(1)1(22++-+=++=+x x x xxe e e ee f ，所以1)(2+-=x x x f .解法2：令1+=xe u ，则)1ln(-=u x ，代入式1)1(2++=+x xxe e ef ，得11)1()1(1)(22)1ln()1ln(2+-=+-+-=++=--u u u u e e u f u u ，即得1)(2+-=x x x f . 5.A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0.6.=+→x x x 0lim 1 ,=-→x x x 0lim ―1 ,处的极限情况为不存在 .解：在极限xx x +→0lim 中，+→0x ，此时0>x ，所以11lim lim lim 000===+++→→→x x x x x x x ，在极限x x x -→0lim 中，-→0x ，此时0<x ，所以1)1(lim lim lim 000-=-=-=+--→→→x x x xx x x ，因为A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00，所以，xxx f =)(在0=x 处的极限xxx 0lim →不存在.1.若)(lim 0x f x x →存在,则)(x f B .A.有界;B.在),(0oδx U 内有界; C.在任一),(0δx U 内有界; D.以上结论都不对.解：A 选项不正确：因为函数极限存在时具有局部有界性，即保证函数在取极限的附近有界，在0x x →定点的情形，则是保证函数在0x 的去心邻域),(0oδx U 内有界； B 选项正确：即函数极限的局部有界性；C 选项不正确：应该是在某．一去心．．邻域内有界.2.设xe xf x1arctan )1()(1+=,当-→0x 时,观察)(x f 的变化趋势,可得=-)0(f C . A.0; B.2π; C.2π-; D.∞.解：)(lim )0(0x f f x -→-=，当-→0x 时，-∞→x 1，从而01→x e ，21arctan π-→x ，故2)2()01()(lim )0(0ππ-=-⋅+==-→-x f f x . 1.以下判断正确的是 D .A.xe 是无穷大量; B.x1是无穷小量; C.若当0x x →时,)(x f 是无穷小量,则)(1x f 是无穷大量; D.若A x f x x =→)(lim 0,则当0x x →时,A x f -)(是无穷小量.解：A 、B 选项都不正确：因为无穷大量及无穷小量都是针对自变量的一个变化过程而言的，但是A 、B 选项都没有给出自变量的变化过程.对于A 选项，例如，+∞=+∞→x x e lim ，因而xe是当+∞→x 时的无穷大量；又有1lim 0=→xx e ，因而当0→x 时xe 不是无穷大量. 对于B选项，例如，01lim =∞→x x ，因而x 1是当∞→x 时的无穷小量；又有∞=→xx 1lim 0，因而当0→x 时x1不是无穷小量，而是无穷大量. C 选项不正确：这是因为，如果0)(≡x f ，那么)(x f 对于自变量的任何变化过程而言都是无穷小量(当0x x →时亦然)，但是式)(1x f 无意义. D 选项正确：根据无穷小与函数极限的关系定理：在自变量的同一变化过程0x x →(∞→x )中,函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(,其中α是无穷小.2.试说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界,并说明)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量.解：先说明函数x x x f cos )(=在),(+∞-∞上无界：因为对0>∀M ,在),(+∞-∞上总能找到这样的x ,使得M x f >)(.例如),2,1,0( 2)2cos(2)2( ±±===k k k k k f ππππ,当k 充分大时,就有M k f >)2(π.再说明函数)(x f 不是+∞→x 时的无穷大量：因为对0>∀M ,找不到这样的时刻X ,使得对于一切大于X 的x ,都有M x f >)(.例如),2,1,0( 0)22cos()22()22( ==++=+k k k k f ππππππ,对于任意大的X ,当k 充分大时,总有X k x >+=22ππ,但M x f <=0)(.1.01sin lim 0=→x x x 的理由是有界函数x 1sin 与无穷小x 的乘积是无穷小 . 2.=-++→2232)2(2lim x x x x x ∞. 解：因为022220)2(lim )2(lim 2)2(lim 23232222322=+⋅+=++-=++-→→→x x x x x x x x x x x ，所以所求极限∞=-++→2232)2(2lim x x x x x . 3.=++-∞→503020)15()23()32(lim x x x x 503020532⋅. 解：所求极限是有理分式函数当∞→x 时的极限，并且分子、分母多项式的次数(x 的最高次)相同(均为50次)，则知极限值应为分子、分母x 的最高次的系数之比.因分子x 的最高次的系数是302032⋅,分母x 的最高次的系数是505,所以所求极限值是503020532⋅. 4.已知51lim21=-++→xcbx x x ,则=b ―7 ,=c 6 . 解：因为当1→x 时,分母)1(x -的极限为0,而分子)(2c bx x ++是多项式, 故当1→x 时,分子)(2c bx x ++的极限必存在,又已知51lim21=-++→xc bx x x 是有限值,所以分子)(2c bx x ++的极限应为0,即01)(lim 21=++=++→c b c bx x x ,得1--=b c .此时=--+-=---+=-++→→→x x b x x b bx x x c bx x x x x 1)1()1(lim 11lim 1lim 21212152)1(lim 1=--=---→b b x x ,得7-=b ,6=c .1.若}{n x 、}{n y 均发散,则下列判断正确的是 D .A.}{n n y x ±一定发散;B.}{n n y x ⋅一定发散;C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对.解：A 、B 、C 选项都不正确，则D 选项正确：举例如1)1(,)1(+-=-=n n n n y x ，}{n x 及}{n y 均发散，但0=+n n y x 收敛.又例如n n n y x )1(-==，}{n x 及}{n y 均发散，但0=-n n y x 、1=⋅n n y x 及1=nny x 均收敛. 2.若}{n x 收敛,}{n y 发散,则下列判断正确的是 A . A.}{n n y x ±一定发散; B.}{n n y x ⋅一定发散; C.}{nny x 一定发散; D.以上结论都不对.解：A 选项正确(则D 选项不正确)，证明如下：设n n n y x z ±=，则n n n x z y ±=，用反证法，如果}{n z 收敛，则根据两函数和差的极限运算法则，有n n n n n n n n n x z x z y ∞→∞→∞→∞→±=±=lim lim )(lim lim ，即n y 收敛，此与}{n y 发散矛盾，故n n n y x z ±=一定发散. 证毕.B 、C 选项都不正确：举例如0=n x 收敛，nn y )1(-=发散，成立0==⋅nnn n y x y x 收敛. 5.)1311(lim 31xx x ---→; 解：11)2(lim )1)(1()2)(1(lim 13)1(lim )1311(lim 212132131-=+++-=++-+-=--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x . 6.xx x x +---→131lim 21;解：=++-+--++--=+---→→)13)(13()13)(1(lim 131lim 2121x x x x x x x x x x x x222)13)(1(lim )1(2)13)(1(lim 121-=++-+-=-++--=→→x x x x x x x x x . 7.)2141211(lim n n ++++∞→ ; 解：2211211lim)2141211(lim =--=++++∞→∞→nn n n . 8.)35(12721lim 2-++++-+∞→n n n n . 解：=--+=--+=-++++-+∑∑∑==∞→=∞→∞→n i n i n n i n n i n n i n n n n n 112122351lim )35(1lim )35(12721lim 5232)1(51lim 2=-+⋅-+∞→nn n n n n . 1.=→x xx ωsin lim 0ω. 解：ωωωωω=⋅=→→xx x x x x sin lim sin lim 00. 2.=-→x xx ππsin lim 1 . 解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ 3.=∞→n n n x 2sin 2lim x . 解：x x x x x nnn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 4.=+∞→nn n n 2)1(lim 2-e . 解：=+-+-=+---∞→∞→212)]111()111[(lim )1(lim nn n n n n n n 2221221)111(lim ])111[(lim )111(])111[(lim --∞→---∞→----∞→=+-⋅+-=+-+-=e nn n n n n n n n .或2221)11()11(1lim )/)1(/(lim )1(lim enn n n n n n n n n n n n n n =++=+=+∞→∞→∞→.5.若6)311(lim e x kxx =+-∞→,则=k ―6 .解：=+-+-=+-=+----∞→∞→∞→kx x k x x kx x x x x x ])311()311[(lim ])311[(lim )311(lim 336331])311(lim ])311[(lim e e x x k kx k x x =⋅=+-⋅+-=--∞→---∞→，得6-=k . 6.要使函数2tan )(x xx f =是无穷大,则要求x 趋于值),2,1(2 ±±=k k π.解：函数2tan )(x xx f =的定义域为}),,2,1,0({R x k k x x D ∈±±=≠= π.因为对任意点D x ∈0，根据两函数商的极限运算法则，必有)(2tan2tan lim)(lim 000x f x x x x x f x x x x ===→→是有限值，所以，使函数2tan )(x x x f =是无穷大的点只可能是不属于其定义域的点，即),2,1,0( ±±==k k x π.将这样的点分为3类，来求函数在该点处的极限：)()12(;0);,0(2Z k k x x Z k k k x ∈+==∈≠=ππ，求得)0(,02tanlim )(1lim 22≠==→→k xx x f k x k x ππ，所以)0(,)(lim 2≠∞=→k x f k x π；而22tan 2lim 22tan lim )(lim 000===→→→xxx xx f x x x ；02tan lim)(lim )12()12(==+→+→x x x f k x k x ππ)02sin 2coslim2tan 1lim()12()12(==+→+→x xx k x k x ππ；所以),2,1(2 ±±=k k π为所求.2.=-→x x x cos 1lim0 C . A.0; B.1; C.不存在; D.22.解：因为222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200===-+++→→→x x x x x x x x x ， 222sin2lim 2sin 2lim cos 1lim 0200-=-==-+--→→→x x x x x x x x x ，左、右极限存在但不相等，所以该极限不存在，C 选项正确.1.]ln )1[ln(lim n n n n --∞→;解：1])11ln[(lim )11ln(lim 1lnlim ]ln )1[ln(lim 1-=-+=-=-=----∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn n n n n n n . 2.)1cos arctan 1(lim 0x x x x x ⋅-→; 解：1011cos lim arctan lim )1cos arctan 1(lim 000=-=⋅-=⋅-→→→xx x x x x x x x x x . 3.xx x x 3)1212(lim -+∞→; 解：=-+=-+=-+∞→∞→∞→333])21211[(lim )1221(lim )1212(lim x x x x x x x x x x 2332122312)]21211(lim ])21211[(lim )]21211()21211[(lim -+⋅-+=-+⋅-+=∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x 331e e =⋅=.4.x x x 4tan )21ln(lim 0+→; 解：212111214tan 42)21ln(lim 4tan )21ln(lim 00=⋅⋅=⋅⋅+=+→→x x x x x x x x . 四利用极限存在准则证明：1.1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n .证明因为)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππ+=++++++≤22222)111(n n n n n n , 又)1211(222πππn n n n n ++++++ ππππn n n n n n n n n n +=++++++≥22222)111( , 而1lim 22=+∞→πn n n ,1lim 22=+∞→πn n n n ,由夹逼准则,得1)1211(lim 222=++++++∞→πππn n n n n n . 证毕. 1.当0→x 时,与x 等价的无穷小有aa x e x x x x x xln 1),1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin -+-.解：根据等价无穷小的定义，只需逐一验证，1sin lim0=→x x x ，1tan lim 0=→x x x ，1arcsin lim 0=→xxx ，1arctan lim 0=→x x x ，11lim 0=-→x e x x ，1)1ln(lim 0=+→xx x ，1ln 1lim 0=-→x a a x x .2.设0→x ,则~cos 1x -22x ,~11-+n x nx.解：根据等价无穷小的定义，只需验证，12cos 1lim 20=-→xx x ，111lim 0=-+→n x x nx ：成立1)2(2sin lim 22sin 2lim 2cos 1lim 22022020===-→→→x xx x x x x x x . 成立=++++++-+=-+---→→])1()1()1([1)1(lim 11lim2100n nn n n n n n n x nx x x x nx x n x x (用到因式分解公式))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b abb a b a a b a b a ) 11)1()1(lim 210==+++++=--→nnx x n n n nn x . (其中极限)1,,2,1(1)1(lim 0--==+→n n m x n mx 用到了习题1-6中题4(4)的结果11lim 0=+→n x x 及第五节中定理3的推论2)3.当0→x 时,22x x -与32x x -相比,哪一个是高阶无穷小?32x x -.解：根据高阶无穷小的定义，因为02)1(lim 2lim 02320=--=--→→xx x x x x x x x ，所以，分子32x x -是比分母22x x -高阶的无穷小.4.当1→x 时,无穷小x -1和31x -是否同阶? 同阶 ,是否等价? 不等价 .解：因为13111lim 11lim 2131≠=++=--→→x x x x x x ，所以无穷小x -1和31x -是同阶无穷小，但不是等价无穷小.1.当+→0x 时,下列哪一个无穷小是关于x 的三阶无穷小 B .A.x x -32; B.a x a -+3 (a 为正常数); C.230001.0x x +;D.3tan x .解：根据k阶无穷小的定义，A选项不正确：因为∞=+-+-=-+++→→→)(1lim )(lim lim 2132231021323340332x x x x x x x x x xxx x x x .B选项正确：因为=++=-+++→→)(lim lim 3330330a x a x x x a x a x x 0211lim 3≠=+++→aax a x .C 选项不正确：因为∞=+=+++→→)0001.01(lim 0001.0lim 03230xx x x x x . C 选项不正确：因为∞=⋅=++→→383303301tan lim tan lim x xx x x x x . 三利用等价无穷小的性质求下列极限：1.mn x x x )(sin )sin(lim 0→ (m n ,为正整数);解：m nx x x )(sin )sin(lim 0→⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→.,,,1,,0lim 0m n m n m n x x mnx (m n ,为正整数).2.xx x x 30sin sin tan lim-→; 解：3030sin tan lim sin sin tan lim x x x x x x x x -=-→→21cos 2lim cos )cos 1(sin lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x x x . 3.1)31ln(lim 2320--+→x x e x x ; 解：33lim 1)31ln(lim 23203202=-=--+→→x x x e x x x x x . 4.)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x .解：)1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x 3tan sin lim 62sin 3tan sin lim 3020-=-=⋅-=→→x x x x x x x x x (利用2题结果或方法).1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=,0,11sin ,0,sin 1)(x x x x x xx f 则0=x 是)(x f 的 A .A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点. 解：根据间断点的分类，考察：1sin 1lim )(lim )0(0===--→→-x xx f f x x ，1)11sin(lim )(lim )0(0=+==++→→+xx x f f x x ，由于)0()0(+-=f f 即左右极限存在且相等，所以极限1)(lim 0=→x f x 存在，因而0=x 是)(x f 的可去间断点.故A 选项正确，B 、C 、D 选项不正确. 2.设11cotarc )(2-+=x x x f ,则1=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：根据间断点的分类，考察：π+=-+==--→→-1)11cot arc (lim )(lim )1(2110x x x f f x x ， 001)11cot arc (lim )(lim )1(2110=+=-+==++→→+x x x f f x x ，由于左右极限存在但不相等，所以1=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确. 3.设xee xf xx1arctan121)(11+-=,则0=x 是)(x f 的 B . A.可去间断点; B.跳跃间断点; C.无穷间断点; D.振荡间断点.解：注意到∞==+-→→xx xx e e 1010lim ,0lim ，21arctan lim ,21arctanlim 00ππ=-=+-→→x x x x . 根据间断点的分类，考察：2)2(11arctan121lim )(lim )0(11ππ-=-⋅=+-==--→→-x ee xf f x xx x , ππ-=⋅-=+-==++→→+221arctan121lim )(lim )0(110x ee xf f xxx x ，由于左右极限存在但不相等，所以0=x 是)(x f 的跳跃间断点.故B 选项正确，A 、C 、D 选项不正确.1.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)2,1,23122==+--=x x x x x y ; 解：1 2231lim 221=∴-=+--→x x x x x 为第一类(可去)间断点.补充定义,2)1(-=y 则函数y 在1=x 处连续.2 231lim 222=∴∞=+--→x x x x x 为第二类(无穷)间断点. (2) 2,,tan πππ+===k x k x x x y ( ,2,1,0±±=k );解： 0 1tan lim 0=∴=→x xxx 为可去间断点.补充定义,1)0(=y 则函数y 在0=x 处连续.2 0tan lim 2ππππ+=∴=+→k x xx k x 为可去间断点.补充定义,0)2(=+ππk y 则函数y在2ππ+=k x 处连续.)0( )0(tan lim≠=∴≠∞=→k k x k x xk x ππ 为第二类(无穷)间断点.(3)0,1cos 2==x x y . 解：因为x x 1cos lim 20-→(或xx 1cos lim 20+→)不存在，所以0=x 为第二类间断点(且为振荡间断点).1.函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间为),2(),2,3(),3,(+∞---∞,极限=→)(lim 0x f x 21,=-→)(lim 3x f x 58-,=→)(lim 2x f x ∞.解：在此633)(223-+--+=x x x x x x f 是有理分式函数，根据有理分式函数在其定义区域内的每一点都是连续的，又此函数定义区域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞，可知)(x f 的连续区间即)(x f 的定义域为),2(),2,3(),3,(+∞---∞.又根据函数间断点的概念，可知函数)(x f 没有定义的点2,3=-x x 是其间断点.因为0=x 是连续点，所以极限21)0()(lim 0==→f x f x ；而在间断点2,3=-x x 处，极限5821lim )3)(2()3)(1(lim 633lim )(lim 232322333-=--=+-+-=-+--+=-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x f x x x x ；极限∞=-+--+=→→633lim )(lim 22322x x x x x x f x x . 4.设函数⎩⎨⎧≥+<=,0,,0,)(x x a x e x f x 若要使)(x f 成为在),(+∞-∞上连续的函数,应当选择=a1 .解：若要使)(x f 在),(+∞-∞上连续，那么)(x f 必在其分段点0=x 处连续，即成立)0()(lim 0f x f x =→，则必有)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=.而1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 00，故1=a ，此时)0(1)(lim 0f a x f x ===→.二求下列极限：3.145lim 1---→x x x x ; 解：2)45)(1()1(4lim 145lim 11=+---=---→→x x x x x x x x x .4.ax ax a x --→sin sin lim; 解：a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x cos 2cos 22sinlim 2sin 2cos 2lim sin sin lim =+⋅--=--+=--→→→. 5.)(lim 22x x x x x --++∞→. 解：111112lim2lim)(lim 2222=-++=-++=--++∞→+∞→+∞→xx xx x x x x x x x x x x .三求下列极限：1.xx e 1lim ∞→; 解：1lim 1=∞→x x e .2.x xx sin lnlim 0→; 解：0sin lnlim 0=→xx x . 3.)arcsin(lim 2x x x x -++∞→. 解：621arcsinarcsinlim )arcsin(lim 22π==++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x . 一证明题1.证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证明设13)(5--=x x x f ，对)(x f 在闭区间[1,2]上用零点定理：因为13)(5--=x x x f 在闭区间[1,2]上连续，并且0)72()3()2()1(5<-⋅-=⋅f f ，所以由零点定理可得，至少存在一点)2,1(∈ξ使0)(=ξf ，即0135=--ξξ，亦即方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间. 证毕.2.证明方程b x a x +=sin ,其中0,0>>b a ,至少有一个正根,并且它不超过b a +. 证明思路如下：先构造辅助函数)sin ()(b x a x x F +-=，则方程b x a x +=sin 的根的问题即转化为函数)(x F 的零点的问题；然后判断)(x F 在某闭区间上连续且在端点处的函数值异号，于是根据闭区间上连续函数的零点定理即可断定)(x F 的零点亦即方程根的存在性；本题欲证方程的根为正根，并且它不超过b a +，故在闭区间],0[b a +上进行考察.令)sin ()(b x a x x F +-=，则0)0(<-=b F ,=+)(b a F 0)]sin(1[≥+-b a a ，以下分两种情况讨论：①当1)sin(=+b a ，0)(=+b a F ，则b a +就是函数)(x F 的零点，也就是方程b x a x +=sin 的一个根，此根],0(b a b a +∈+，取到区间],0(b a +的右端点；②当1)sin(<+b a ，0)(>+b a F ，因为)(x F 在(∞∞-,)上连续, 从而在],0[b a +上连续，并且0)()0(<+⋅b a F F ，于是根据闭区间上连续函数的零点定理可得，在开区间),0(b a +内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即ξ是方程b x a x +=sin 的一个根，此根),0(b a +∈ξ.由①②即得，方程b x a x +=sin 在],0(b a +内至少有一个根. 证毕. 4.若在0x 的某个邻域内)()(x x f ϕ>,且A x f x x =→)(lim 0,B x x x =→)(lim 0ϕ,则A 与B 的关系是B A ≥.解：根据函数极限的性质定理：如果)()(x x ψϕ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ψϕ，那么b a ≥.(第五节定理5)5.设)(x f 处处连续,且5)2(=f ,则=-→)1(3tan lim20xe f x x x x 15 . 解：注意到)(x f 处处连续，则15)2(3)212(33tan 3lim )1(3tan lim 2020=⋅=-⋅⋅=-→→f xe f x x x e f x x x x x x . 2.设232)(-+=xx x f ,则当0→x 时,以下四个结论中正确的结论是 B .A.)(x f 与x 是等价无穷小;B.)(x f 与x 同阶但非等价无穷小;C.)(x f 是比x 高阶的无穷小;D.)(x f 是比x 低阶的无穷小.解：根据无穷小比较的定义，因为6ln 3ln 2ln )13()12(lim 232lim )(lim 000=+=-+-=-+=→→→xx x x f x x x x x x x ，由16ln ≠知A 选项不正确，由06ln ≠知B 选项正确且C 选项不正确，由6ln 非∞知D选项不正确.三求下列极限：1.])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n .解：])12)(12(1751531311[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n )]121121()7151()5131()3111[(21lim +--++-+-+-=∞→n n n 21)1211(lim 21=+-=∞→n n .2.)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ . 解：)11()311)(211(lim 222nn ---∞→ ))1)(1(111(2222n n n n n n --=-=- 2222)1)(1(453342231lim n n n n --⋅⋅⋅⋅⋅=∞→ 2121lim =+=∞→n n n . 3.)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→. 解：)tan 1sin 1(1lim 0x x x x -→2121lim sin cos 11lim 2200==-⋅=→→x x x x x x x .4.x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→. 解：x x x x x 1sin ln 1cos ln lim 0+++→11sinln 111cosln 11lim 0=++=+→xx x x x . 5.ππ-∞→3232sinlimx x x x x . 解：ππ-∞→3232sinlimx x x x x πππππ=-=-⋅=∞→∞→333232limlimx x x x x x x x . 6.)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x . 解：)111)(110()110()12()1(lim222--++++++∞→x x x x x x 271110102122=⋅+++= . 7.)0,0,0.()3(lim 10>>>++→c b a c b a xx x x x . 解：xx x x x c b a 10)3(lim ++→xx x x x c b a 10)331(lim -+++=→313330)331(lim ⋅-++⋅-++→-+++=x c b a c b a xxxx x x x x x x c b a ， )111(lim 3lim 00xc x b x a x c b a x x x x x x x x -+-+-=-++→→ abc c b a ln ln ln ln =++=，所以原式abc e ln 31=3abc =.8.x x x cot 0)]4[tan(lim -→π. 解：x x x cot 0)]4[tan(lim -→π2tan 11tan 10)tan 1(])tan 1[(lim---→=+-=e x x xx x .9.xx x tan 2)(sin lim π→.解：xx x tan 2)(sin lim π→xx x x cos sin 2)]1(sin 1[lim -+=→πxxx x x x sin cos 1sin 1sin 12)]1(sin 1[lim ⋅-⋅-→-+=π，x x x x x x x cos 1sin lim sin cos 1sin lim 22-=⋅-→→ππ 02sin 2cos 2cos 2sin lim 2sin 2cos )2cos 2(sin lim22222=+-=---=→→x x x x x x x x x x ππ，所以原式10==e .10.1111lim 30-+-+→x x x . 解：1111lim 30-+-+→x x x )11)(11)1()(11()11)1()(11)(11(lim33233320++++++-+++++++-+=→x x x x x x x x x 23)11()11)1((lim 3320=++++++=→x x x x x x . 11.xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→.解：xx x x x x sin 114lim22+++-+-∞→xx x x x x x x -+-++-+=-∞→sin 114lim221sin 111114lim2=+---+=-∞→xx x x x x .12.)0( .1lim>+∞→a a an nn 解：)0( .1,1,1,21,100,1lim >⎪⎩⎪⎨⎧>=<<=+∞→a a a a a a n nn 2.设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->++=,0,cos ,0,)1ln(1cos sin )(2x x be x x x x x x f x应当怎样选择数b ,使得)(x f 在0=x 处连续. 解：应有)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→,而1)0()(lim ,1)(lim 00-===-+→→b f x f x f x x ,所以2=b .3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 求的间断点,并说明间断点所属类型. 解：因为函数在1=x 处无定义(在)1(0U 有定义),所以1=x 是)(x f 的一个间断点.)11lim ( 0lim )(lim 11111-∞=-==---→-→→x ex f x x x x ,)11lim ( lim )(lim 11111+∞=-∞==+++→-→→x ex f x x x x , 1=∴x 是第二类间断点.在分段点0=x 处,eex f x x f x x x x x 1lim )(lim ,0)1ln(lim )(lim 110===+=-→→→→++-- , 0=∴x 也是)(x f 的间断点,且是第一类间断点. 五证明题2.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,且b b f a a f ><)(,)(,证明:在),(b a 内至少存在一点ξ,使ξξ=)(f .证明设x x f x g -=)()(,对)(x g 在闭区间],[b a 上用零点定理:由)(x f 在闭区间],[b a 上连续,可得x x f x g -=)()(在闭区间],[b a 上连续,并且0)()(<-=a a f a g ,0)()(>-=b b f b g ,故由零点定理得,在),(b a 内至少存在一点ξ,使0)()(=-=ξξξf g ,即ξξ=)(f . 证毕.3.设函数)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,且0)(0>=A x f .证明:存在0x 的邻域),(),(0b a x U ⊂δ,使当x 属于该邻域时,A x f 21)(>.证明设2)()(A x f x g -=,则022)(]2)([lim )(lim 000>=-=-=→→AA x f A x f x g x x x x ,由极限的局部保号性知,存在00>δ,使当000δ<-<x x 时,有0)(>x g .取},,m in{000x b a x --=δδ,则当),(),(0b a x U x ⊂∈δ时,有0)(>x g ,即A x f 21)(>. 毕.友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

本科高数重修试题及答案

本科高数重修试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是（）。

A. e^x-1C. e^x-xD. e^x+x4. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是（）。

A. x=-1B. x=-2C. x=-3D. x=15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。

A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是（）。

A. x=1C. x=3D. x=07. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 88. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调递增区间是（）。

A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)9. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标是（）。

A. (1, 4)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的不定积分是（）。

A. (1/4)x^4-x^3+x^2+CB. (1/3)x^3-x^2+2x+CC. (1/4)x^4-x^3+2x^2+CD. (1/3)x^3-x^2+x+C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。

12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。

13. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是_________。

14. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是_________。

15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是_________。

高等数学课后习题及参考答案(第一章)

高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1||e 1|| )]([101)(x e x x e e xfg x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin h DC AB ==, 又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-= 40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.0911000 90x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x .证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0, ∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ;∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x . (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00.(2)xx x 3tan lim 0→;解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x .(3)xx x 5sin 2sin lim 0→;解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x .(5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→;解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xx x nn n n nn =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 1)1(lim -→; 解 11)(1)1()(101})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解 2221221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数).解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim .3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε 同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明. 因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0,所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ), 所以 A -ε<f (x )<A +ε, 即 |f (x )-A |<ε, 因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为n n 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn .(2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ;证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n .(3)数列2,22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221, 而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有 11lim 0=+→n x x .(5)1]1[lim 0=+→xx x .证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-xx x .又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim limlim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ. 习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=QQx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→;(5)145lim 1---→x x x x ;(6)a x a x a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim 1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x .。

《高等工程数学》习题一参考答案

也是一组标准正交基。 19. 解：系数矩阵 A
2 1 1 1 3 1 0 0 1 4 ，可得基础解系为 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5
f1 (0,1,1,0,0) , f 2 (1,1,0,1,0) ， f 3 (4,5,0,0,1) ，Schmidt 正交化得，
1
13.按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证， 1）不满足第（2 ）条，（4）条，故不是欧氏空间; 不满足第（4）条，故不是欧氏空间；3）都满足，故是欧氏空间。 14. 按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证，都满足，故是欧氏空间。 15. 设向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 与三个向量正交，则有
所以对两组基有相同坐标的非零向量可取为 (c, c, c,c)(c 0). 5. 由第 7 页子空间定义可得，1）向量满足加法和数乘封闭，是子空间；2）向量不满足加法或数乘封闭，故而不是子空间。注：从几何上看，子空间过原点，而不过原点的都不是。 6. 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价，即可以互相线性表示。解：因对应分量不成比例，故 α1 (1,1,0,0), α2 (1,0,1,1) ， β1 (1,1,0,0), β2 (1,0,1,1) 线性
2
T1T2 ( x1 , x2 ) T1[T2 ( x1 , x2 )] T1 ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) T2T1 ( x1 , x2 ) T2 [T1 ( x1 , x2 )] T2 ( x2 , x1 ) ( x2 , x1 )
11.略。 12. 解：1）因为 T ( x1 , x2 , x3 ) ( 2 x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，按照 P18 (1.21)，可知

高等数学(本科)第一章课后习题解答

习题1.11. 求下列函数的定义域. （1） 234y x x=- （2）2ln3x y x-=-（3） y = （4）1arcsin3x y -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠.定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞ （2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x --≤≤即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？（1）(),()1x f x g x x==；（2）()()f x g x ==.解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ≠∈ ，而()g x 的定义域为全体实数.（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域.（1）(0)y x =≥ （2）31xy =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数的反函数为y =x ≥（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x x f x x x -=（2）())f x x =（3）1()ln 1x f x x-=+ （4）()2xxa af x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数.（3）11()lnln()11x x f x f x xx+--==-=--+，所以()f x 为奇函数.（4）()()2xxaa f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数.5.下列函数在指定区间内是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x=-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界.（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界.6. 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+，由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1x g x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =，当0x >时，()1x g x e =>，故 [()]1f g x =-.当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =，当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=.综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增.下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-∞+∞并不是单调增的，而()()x f x g x e ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，2()()xf xg x e= 仍在(,)-∞+∞上单调增.10. 设()f x 是周期为π的奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈ 时，求()f x 的表达式.解：由于()f x 是周期为π的函数，所以()(0)f f π=，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=--- 综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11. 设1()2y f t x x=-，且21|52x ty t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x ty f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+12. 设(sin)1cos 2x f x =+，求(cos)2x f 解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-.2(sin)1cos 22sin22x x f x =+=-，令sin2x t =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos1cos 22x x f x =-=-.习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x x xx x x x →→∞→-∞→+∞（2）13lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +→→+∞→→（3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略.（1）0lim 21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也是不存在）（2）1lim ln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3lim ln ln 3x x →=（3）0lim cos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1lim arctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，lim arctan x x →∞不存在.2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x →时的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0||lim ()limlim 1x x x x x f x x x---→→→-===-，右极限0||lim ()lim lim 1x x x x x f x xx+++→→→===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim (1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x →不存在.当3x →时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim (1)2x x f x x →→=-=.5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 的值.解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =，故=-++∞→xbx x ax x 32lim 3232lim-+=-++∞→b a xbx x ax x ，从而2.32arctan 32limπ-+=-++∞→b a x xbx x ax x ，所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a xbx x ax x ，从而⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32limπb a x xbx x ax x ，所以由①式，可知213a b -=+.综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩.（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →.解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x xx x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→=（5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但是不相等）.习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？（1）242x y x -=-；（2）311y x =+；（3）21xy =-；（4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义.由22lim lim (2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim (2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量.（2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量.（3）由0lim lim (21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量.（4）1x y e =在0x =处无定义.由1lim lim 0x x x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim x x x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明.答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，221lim0(2)4x xx →=≠，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，2lim lim 0x x xx x→→==，是无穷小量.3. 求下列极限. （1）sin limx x x→∞；（2）2arctan limx x x→∞；（3）3113lim ()11x x x →---；（4）2211lim23x x x x →-+-（5）322lim ()2121x xxx x →∞-+-；（6）321lim34x x x x →∞--+；（7）342lim1x x x x →∞+-+；（8）33221lim423x x x x →∞++-；（9）11lim()1nx x n x +→-∈-Z ；（10）0()lim()nnx a x an x+→+-∈Z解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim (sin )0x x x x xx→∞→∞== （2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x→，为无穷小量，故22arctan 1limlim (arctan )0x x x x xx→∞→∞==（3）2332111131323lim ()lim ()lim ()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元）（4）22111121limlim23342x x x x x x x →→-+===+-+（5）3232222(21)(21)lim ()lim2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim4221x x xx x x →∞--=-+-23111lim1114422x xxxx→∞--==--+-（6）322211limlim1134134x x x x xx x xx →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122limlim 0111x x x x xxxx x→∞→∞+-+-==++（8）33323122121limlim1142342423x x x xx x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上）（9）12121111(1)(1)limlimlim (1)11nn n n n x x x x x xxxxn x x ----→→→--+++==+++=--（10） 12220()lim limn n n n nn nn x x a nax C ax x aa x axx--→→++++-+-=12221lim (())n n n n n x naC ax x na----→=++=4. 设21lim31x x ax b x→++=-，求,a b 的值.解：由于1lim (1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a cbc =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 的值.解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==.由1lim ()0x f x →=，可知21lim ()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211limlim22x x x cx d x e x x x →→+++=+-+1012e +==+可知1e =-.故2,1c d =-=.6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩求0lim ()x f x →.解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=.7. 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时的极限.21111lim ()lim (23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-.习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim ()(1)()n nn n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞（3）22212lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）limn →∞解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()n n n a n n n n n n n n nnnn++=+++<<+++=++++ ，而2211limlim0()n n n n n n n→∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim ()0(1)()n nn n n →∞+++=++ .（2）当1n >时，11nn >，令11n n n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有2(1)(1)12nnn n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a <<而lim0n →∞=，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1n n n →∞=.（3）设222122n n a n n n n πππ=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1limlim2()2()2n n n n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim ()22n nn n n n πππ→∞+++=+++ .（4<<limlim3n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim 3n →∞=.2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限（1；（2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nb x a x x a b x +==+>.解：（1）显然数列为单调增的，设12a=<，22a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a.对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）.故数列极限为2.（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32.（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）.而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a.对1nx+=a=32a=或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32.综合（i）（ii）可知数列极限为32.（3）（i）当1x a==2111()2bx xx=+=nx=（ii）当1x≠时，利用几何算术平均值不等式可知2111()2bx xx=+>=，依次可得nx>1n>）.而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A.对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=..综合（i）（ii）可知数列极限为3. 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=.证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<.从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=.（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →∙=，则lim |()|||x f x A →∙=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x →∙=，则lim ()0x f x →∙=”，对数列也成立.）4. 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=.证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a →∞=.第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<.由2lim k k x a →∞=，可知对上述的0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<.令12m ax{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<.由定义可知lim n n x a →∞=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim(0)sin x ax b bx→≠ （3）3tan sin limx x xx→- （4）1lim sinx x x→∞（5）lim (1)m xx k x →∞-（6）22lim ()1xx x x →∞++ (7) cot 0lim (13tan )xx x →- (8) 111lim (32)xx x -→-（9）2sin 0lim (1)x x x →+ （10）lim tan n x n n→∞（11）11lim (sin cos)x x xx→∞+ （12）2sec 2lim (1cos )xx x π→-解：（1）0sin 5sin 5limlim (5)55x x x x xx→→==（2）0sin sin limlim ()sin sin x x ax ax bx ax a bxax bx bx b→→== （3）23200022sintan sin sin 1cos sin 112lim lim ()lim ()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x →→→--=== （4）1sin 1lim sinlim11x x x x xx→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→）（5）令x t k=-，则m x m kt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim (1)lim (1)lim[(1)]m xm kt t m k m kx t t k ex t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim ()lim (1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim ()lim (1)lim[(1)](1)1xt t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →.所以31cot 3300lim (13tan )lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e---→→→-=+=+=（8）111111lim (32)lim[13(1)]x x x x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以1313311lim (32)lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim (1)lim[(1)]xx x x x x x x e →→+=+=（10）因为0tan sin 1limlim1cos x x x x xxx→→== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan1limlim tan 11n n n n n n→∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan limn n x x n n x x x n n→∞→∞==当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=.综合可知lim tan n xn x n →∞=.（11）1111lim (sin cos )lim [1(sin cos 1)]x xx x x x x x →∞→∞+=++-11(sincos1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x x x xx x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos1t xx=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos1)lim sinlim (cos1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-=+-2111sin cos12()2limlim1lim1111x x x x x x xxx→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim (sincos)xx e xx→∞+=.（12）令cos t x =-，则22sec x t=-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 222lim (1cos )lim (1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=.2. 求下列各极限. （1）0limx x→ （2）lim x →+∞（3）0limx →（4）0lim(,0)x m n →> （5）01lim []x x x +→ （6）limx →+∞（7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）000limlimlim1x x x x→→→===（2）lim limlim0x x x →+∞→+∞→+∞===（3）0sin 41)limlimlimx x x x x→→→==s i n 4l i m11)84x x x→=+= （4）22limlim2x x n n mm→→===（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +→时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x-<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=.（622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=.从而可得0lim1x e →+∞==（7）111lim (ln(1)ln )lim lnlim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e xxx→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）11limlim (coslim [1(cos1)]xx x x x +++→→→==+1l i m {[1(s }x +→=+-，而222sin2sin cos112lim lim lim 22x x x xx +++→→→--===-，故12limx e+-→=.习题1.61. 比较下列无穷小的阶.（1）当0x →时，323x x +与sin x （2）当1x →-时，1x +与31x +（3）当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x +（4）当0x →1与1-解：（1）由于32322033lim limlim (3)0sin x x x x x x xx x xx→→→++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111limlim113x x x xx x →-→-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小.（3）由于33tan tan limlimlim0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx x xx x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +是(1cos )x x +的高阶无穷小.（4）由于21(1lim lim1x x x →→+==1与1-是等价无穷小.2. 证明：当0x →时，（1）x x 21~1+；（2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于01lim 1)lim02x x x →→-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.0limlim111)22x x xxx →→==，由定义即知x x 21~1+.（2）由于32lim (2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可.32322022limlimlim (2)0tan x x x x x x xx x xx→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=.3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21limcos 1xx ex →-- （2）21limsin1x xx x→∞+ （3）0limtan x x→（4）sin 01limln(13)xx ex →-+ （5）21limx x→-（6）0lim1x e →-（7）1limx → （8）213sin coslim(1cos )tan x x x x x x→++ （9）0limx +→（10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x xx →∞+-+.解：（1）2221limlim21cos 12xx x ex x x→→-==--- （2）222211limsinlimlim111x x x xxxx xx xx x→∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x→，所以11sinxx）（3）0limlimlimlimtan tan tan tan x x x x xxxx→→→→==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim236x x x x xx→→-=-=+=（4）sin 01sin 1limlimln(13)33xx x ex x x→→-==+（5）22201()1limlimlim 4x x x kx kx→→→-===（6）0limlim1xx x e →→=-lim1x →==，其中第一步用到了有理化.（7）111limlimlimx x x →→→===（8）222001113sin cos3sin cos cos3sin limlimlimlim(1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx x→→→→++==+++++1cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x →= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小）（9）01limlim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln (1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x xxxxxx→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-=习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处的连续性.解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim (2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续.2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →.解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-和(2,)+∞上都连续.2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==--3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sin xy x=（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都是第二类间断点.（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈Z ）.当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xx π→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点.（3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点.（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x →），故0x =为第二类间断点 4.已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而0lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==.5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=.即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续.又()3sin302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=.即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.7. 确定,a b 的值，使下式成立.（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+（2）lim )0x ax b →-∞-=.解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=.故1a =，1b =-. （2）由222lim )limx x ax b →-∞→-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b →-∞--++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =.8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤.（i ）若()0F a =，取c a =即得. （ii ）若()0F b =，取c b =即得.（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =.综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它的定义域.解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞.2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x .解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x ≡.当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩.3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和.解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数.（2）显然()()()f x F x G x =+，故得证.4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xy f =及(21)y f x =+的反函数.解：由()2x y f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=.5. 求下列极限.（1）21111lim ()3153541n n →∞++++- ；（2）()()()nx x x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）；（3）2lim coscoscos222nn x x x →∞；（4）limn →∞；（5）142sin lim ()||1xx xe x x e →+++；（6）20lim (cot )sin xx ex x→-；（7）0lim (cosxx π+→；（8）1lim ()xx x x e →+.解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+11(1)221n =-+，故21111111lim ()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+ . （2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x x x x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222 ，故()()()xxxxx x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222.（注意到当||1x <时，12lim 0n n x+→∞=）（3）当0x ≠时，nnx x x x 2sin2cos2cos 2cos 2nn nnnx x x x x 2sin22sin2cos 2cos2cos 22=nnx x 2s i n2s i n =故=∞→nnn x x x x 2sin2cos2cos2coslim 2nnn x x 2sin 2sin lim∞→xx x x nnn sin 2.2sin lim==∞→；当0x =时，12sin 2cos2cos2coslim 2=∞→nnn x x x x .综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin2cos2cos2coslim 2x x xxx x x x nnn （4≤≤，以及limlim1n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim1n →∞=.（5）1141302sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x xxxe x e x x xeee+++-→→→-+++=+=++，（1l i m x x e +→=∞）11442sin 2sin lim ()lim lim 211||11x xx x x xxe x e x x xee---→→→+++=+=-=-++（1lim 0x x e -→=）左右极限都存在并且相等，所以142sin lim ()1||1xx xe x x e →++=+.（6）2220cos (cos 1)(1)lim (cot )limlimsin sin xxxx x x ex e x ex x x x→→→-----==2201cos 1122limlimlimlim2xx x x x xx ex xxxx→→→→---=-=-=-.（7）0limlim lim x xxxx x eeπππ+→++→→==，而2112lim ln(coslim lim lim 2x x x x xxxxπππ++++→→→→-====-从而2lim xx e ππ+-→=（8）0111ln()limln()lim ()lim xxx x e x e xxxxx x x e ee→++→→+==，而1ln[1(1)]11limln()limlimlimlim2xxxxx x x x x x e x e x e x e xxxxx→→→→→++-+--+===+=，从而12lim ()x x x x e e →+=.6. （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +是否发散？（2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散.又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛.（2）也不一定.比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；。

高数课后题答案及详解高数课后习题答案解析

高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

重修高数不定积分

6. 1 dx d( arcsin x) d( arccos x). 1 x2
用凑微分法计算不定积分时，熟记凑
微分公式是十分必要的，以下是凑微
分公式(在下列各式中，a，b均为常
数Hale Waihona Puke 且):例7 求类似地，有解例8 求解
1
tanx
dx
sin x cosx
dx
5
5sin x C.
1 cosx
例10 求解
x 1
dx. x
2t
2t3
C
x 1
x
dx
1t
t
2
2t
dt
3
2 1 x 2 (1 x) 1 x C. 3
1.换元选择适当的变量代换x (t)，要求(t)单调且有连续的导数又'(t) 0，则
f ( x) dx f ((t))'(t) dt. 2.积分换元后的不定积分 f ((t))'(t) dt，可以直接
将是第二换元
代回.还原成x的函数，这就
积分法计算不定积分的基本思想.
定理
设f ( x)连续，x (t )及'(t )均连续，x (t 的反函数t 1(x)存在，若Φ(t )是f ( (t ))'(t ) 的一个原函数，即
f [(t)]'(t)dt Φ(t) C，
则
f ( x)dx Φ( 1(x)) C.
f ( x)dx Φ(t ) C Φ( 1( x)) C .
例11 求
解
设x a sin t，（- <t< ）dx a costdt，而 22
a2 x2 a2 a2 sin2 t a 1 sin2 t a cos t

高数重修试题答案2-1A09-10第一学期

重庆大学高等数学Ⅱ-1（重修）课程试卷2009 ~2010 学年第一学期开课学院：数理学院课程号：考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、填空题（3分/每小题，共15分）⒈1lim(1)x x x →+ e 。

2．设(0)0(1)8f f ='=，则 1()(1)lim1x f f x x →-=- 8 。

3 当a = 1 时，()00xf x e x a x x ⎧⎨⎩=<+≥在点0x =处连续。

41011211dx x x -=+⎰ 0 。

5． arc n ta y x =的单调增加区间是 R 。

二、计算题（7分/每小题，共14分）⒈求极限3tan lim x x x x →- 解：30tan lim x x x x →-=222200sec 1tan 1limlim 333x x x x x x →→-== 2．求极限 23l n (1)li m xx td tx→+⎰解：运用罗比塔法则：23ln(1)lim xx t dtx →+⎰220ln(1)1lim 33x x x →+==三、计算题（7分/每小题，共28分）1．．已知()f x=ln(x ⎡⎤⎣⎦'，求积分()xf x dx '⎰解：因为()ln(f x dx x =+⎰C +所以 ()f x == 则积分()xf x dx '⎰[()]()()xd f x xf x f x dx ==-⎰⎰ln(x C =-+命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封密2．由方程 10x y e xy ++-= 确定了隐函数 ()y y x =，求(0)y ''以方程两边对x 求导得：()0x y x y x yx ye x e y y y e y x e ++++'+++=--'=+当0x =时，(0)0y =，所以 (0)1y '=- 再将以上方程对x 求导有：(1)(1(1))()0x y x y x y e y y e y x e y y +++''''''+++++++=整理得：22(1)x y x yy e y y x e ++''++''=+所以 (0)2y ''=-3．设{2ln(1)arctan x t y t t=+=- 求dy dx22222111122211t t t y dy t t t t t dx x t t -'++===='++ 4求.22cos2cos sin xdx x x⎰222222cos sin 11()cos sin sin cos (cot tan )x x dx x x x x x x C-==-=-++⎰⎰解:原式四、计算题（7分/每小题，共14分）1．计算定积分2π-⎰2-⎰43xdx ==⎰2．求函数 11x y e-=的间断点，并判断其类型。

高数1 总复习1(含答案及其提示) 2

总复习1本高等数学1讲的内容基本可以归结为：一个思想：极限的思想；两个体现：微分与积分。

一．基本概念及其计算1.求极限；2.求导数与微分；3.求极值、最值；4.求不定积分；5.求定积分；6.求面积、体积与弧长；7.求平面与直线的方程。

二．应用（重点是几何应用）： 1.利用导数求切线；2.利用定积分的元素法求面积体积与弧长；3.最值问题。

综合练习(精选) 一．计算 1. 计算下列极限说明：在习题课上已经总结了许多求极限的方法。

但最开始应该想到的还是罗比达法则以及两个重要极限。

*（1）222n n 2n n 1lim()n 1+→∞-+ 答案：4e - *（2）x 011lim()sin x x→- 提示：通分后用罗比达。

答案：0 *（3） x 0ln(1x)x lim 1cos x→+--（04-05）提示：罗比达结合重要极限。

答案：-1 **（4）()x x 1x 1ln x limx e e→---（08-09）答案：0 **（5）x 1ln(1+a 提示：等价无穷小替换。

答案：1 **（6）1xx x 0lim(ex)→+（07-08）提示：重要极限结合罗比达。

答案：2e*（7）x 0x lim→提示：分母有理化答案：2*（8）x lim x(arctan x)2→+∞π- （07-08）答案：1 （9）x2x 0e cosx 1x lim x →-- 答案：0 **（10）xsinxx 030(tant sint)dt limt dt→-⎰⎰提示：注意变上限积分求导。

答案：1/22．计算下列导数 *（1） 2sin (3x 1)y e-=，求y ' 答案：2sin (3x 1)y'3sin(6x 2)e-=-**（2）cosxy x(sinx)=，求y '答案：cosxcosx y'(sin x)x(sin x)[sin xlnsin x cot xcos x]=+-+*（3）221x f(x)arcsin 1x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，求f '(x)。

重庆理工大学大一高等数学C1练习册答案

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加三．计算题1、（1）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解由h r V 231π= 得23rv h π= 表面积：)0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f xx x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错四．（1）证明令12+=n nx nε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错；四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1sin ≤x 所以 0sin lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解：（4）00sin 1limlim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x xx e ---•-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e •→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式四．1.证明：2......n n nπ<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

武汉科技大学2012级本科高数一(理工多)解答A

2012级本科高等数学（上）期末试题解答与评分标准A（理工类多学时）一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）1．设⎰=xdt t f x F 0)()(，则)(x F ∆=（ C ）. A.⎰-∆+xdt t f t t f 0)]()([ ； B.x x f ∆)(； C.⎰⎰∆+-xx x dt t f dt t f 00)()(； D.⎰⎰-∆+x xdt t f t t d x f 00)()()( . 2．0()0x f x x k x -≠⎪=⎨⎪=⎩，如果()f x 在0x =处连续，那么k =（ D ）.A. 0；B. 2；C. 12； D. 1. 3．设五次方程54320123450a x a x a x a x a x a +++++=有五个不同的实根，则方程4320123454320a x a x a x a x a ++++=有( B )实根.A.5个；B.4个；C. 3个；D. 2个.4．若723()(2)lim 1(2)x f x f x →-=-，则函数()f x 在2x =处（A ）.A. (2)0f '=，但(2)f 不是()f x 的极值；B. 连续，但不一定可导；C. (2)0f '=，且(2)f 不是()f x 的极小值；D. 必可导，但(2)0f '≠.5．设()f x 、()g x 在0x =的某个邻域内连续，且()f x 具有一阶连续导数，0()lim 0x g x x→=，20()2()x f x x g t dt '=-+⎰，则（C ）. A.0x =是()f x 的极小值点； B. 0x =是()f x 的极大值点；C.(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点；D.以上都不正确.二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）6．设)(x f =x cos ，则[f ⎰x dt t f 0)(]=cos(sin )x . 7．设由方程0y x e e xy -+=可确定y 是x 的隐函数，则0x dy dx == 1 .8．已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x x dt t f x F ，则(0)F '= -2 . 9．=-+⎰+-aa dx x f x f x )]()([ 0 . 10．⎰=+∞→101lim dx x x nn 0 .三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．求极限22060cos lim (sin )x x x tdt x →-⎰. 解：2222006600cos cos lim lim (sin )x x x x x tdt x tdt x x →→--=⎰⎰ （3分）22540022cos 1cos lim lim 63x x x x x x x x →→--== （5分） 440112lim 36x x x →== （8分） 12．设1arctan y x=，求dy . 解：222111111y x x x⎛⎫'=⋅-=- ⎪+⎝⎭+ 211dy dx x=-+ （8分） 13．设()2x xe x f =，求(1)f ''.解：()2222x x f x e x e '=+ （3分） ()22364x x f x xe x e '=+ （5分）(1)6f e ''= （8分） 14．设函数()y y x =由参数方程212ln 112u t x t e y du u +⎧=+⎪⎨=⎪⎩⎰(1)t >所确定，求9x dy dx =.解：4dx t dt =，12ln 2212ln 12ln t dy e et dt t t t+=⋅=++ （4分）当9x =时，2t = 所以922(12ln )42(12ln 2)x t et dy e t dx t==+==+. （8分） 15．求定积分120ln(1)x dx +⎰. 解：1122102002ln(1)ln(1)1x x dx x x x dx x+=+-+⎰⎰ （3分） 1201ln 22(1)1dx x =--+⎰ （5分） ln 222π=-+（8分） 16．设1lim ax a t x x te dt x -∞→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰，求a 的值. 解：由题知：1lim 1axa t x tde x -∞→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ （3分）解答a a a e ae e =- （6分）从而2a = （8分）四、试解下列各题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）17．设0sin ()x t f x dt t π=-⎰，求0()f x dx π⎰. 解：000()()()f x dx xf x xf x dx πππ'=-⎰⎰ （2分） 00sin sin t x dt x dx t xπππππ=---⎰⎰ （4分） 00sin ()sin 2x x dx xdx x ππππ=-==-⎰⎰. （6分） 18．设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形面积为1S ，它们与1x =所围面积为2S ，且01a <<.试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值.解：（1）23101()6a S ax x dx a =-=⎰，1232111()623a S x ax dx a a =-=-+⎰ 312111323S S a a +=-+，（3分）由()212102S S a '+=-=得2a =唯一驻点()1220a a S S a ''+==>，所以取得极小值，故必取得最小值.即当a =时，12S S +达到最小,（6分）五、证明题（本大题2个小题，每小题5分，共10分）19．设函数()ln(1)tan ,01()1,0x x x f x x -⎧<<⎪=⎨=⎪⎩，证明函数)(x f 在0x =处右连续. 证明：()ln(1)ln(1)ln tan 00lim tan lim x x x x x x e ++--⋅→→= ln(1)11ln tan ln tan ln tan 00lim lim lim x x x x x x x x x e e e +++---→→→=== 22221sec tan ln tan 1sec 1tan 000lim lim lim 1(1)x x x x x x x x x x x e e e f +++-⋅-⋅-→→→=====所以)(x f 在0x =处右连续.20．设函数)(x f 在区间[0,1]上可导，且10()0xf x dx =⎰，证明在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()0f f ξξξ'+=.证明：令()()F x xf x =，则（2分） 111100()()()(0)xf x dx f F F ξξξ====⎰，1(0,1)ξ∈ 由罗尔定理知在区间1(0,)(0,1)ξ⊂内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'= 即 ()()0f f ξξξ'+=. （5分）。

高数课后答案详解

高数课后答案详解【篇一：高数课后习题答案】txt>▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆《全新版大学英语综合教程》（第三册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=77fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=75fromuid=164951《会计学原理》同步练习题答案/viewthread.php?tid=305fromuid=164951《微观经济学》课后答案（高鸿业版）/viewthread.php?tid=283fromuid=164951《统计学》课后答案（第二版，贾俊平版）/viewthread.php?tid=29fromuid=164951《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印/viewthread.php?tid=289fromuid=164951毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案/viewthread.php?tid=514fromuid=164951新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载/viewthread.php?tid=2531fromuid=164951西方宏观经济高鸿业第四版课后答案/viewthread.php?tid=2006fromuid=164951《管理学》经典笔记（周三多，第二版）/viewthread.php?tid=280fromuid=164951《中国近代史纲要》课后习题答案/viewthread.php?tid=186fromuid=164951《理论力学》课后习题答案/viewthread.php?tid=55fromuid=164951《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）/viewthread.php?tid=17fromuid=164951高等数学（同济第五版）课后答案（pdf格式，共527页）/viewthread.php?tid=18fromuid=164951中国近现代史纲要课后题答案/viewthread.php?tid=5900fromuid=164951曼昆《经济学原理》课后习题解答/viewthread.php?tid=85fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案/viewthread.php?tid=5fromuid=164951谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）/viewthread.php?tid=28fromuid=164951《概率论与数理统计》习题答案/viewthread.php?tid=57fromuid=164951《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版） 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p.林德特王新奎）大学英语综合教程 1-4册练习答案/viewthread.php?tid=1282fromuid=164951《流体力学》习题答案/viewthread.php?tid=83fromuid=164951《传热学》课后习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=200fromuid=164951高等数学习题答案及提示/viewthread.php?tid=260fromuid=164951《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）/viewthread.php?tid=236fromuid=164951/viewthread.php?tid=6417fromuid=164951《计算机网络》课后习题解答（谢希仁，第五版）/viewthread.php?tid=3434fromuid=164951《概率论与数理统计》优秀学习资料/viewthread.php?tid=182fromuid=164951《离散数学》习题答案（高等教育出版社）/viewthread.php?tid=102fromuid=164951《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版） /viewthread.php?tid=41fromuid=164951《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）/viewthread.php?tid=74fromuid=164951《教育心理学》课后习题答案（皮连生版）/viewthread.php?tid=277fromuid=164951《理论力学》习题答案（动力学和静力学）/viewthread.php?tid=221fromuid=164951选修课《中国现当代文学》资料包/viewthread.php?tid=273fromuid=164951机械设计课程设计——二级斜齿圆柱齿轮减速器（word+原图）/viewthread.php?tid=35fromuid=164951《成本会计》配套习题集参考答案/viewthread.php?tid=300fromuid=164951《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）/viewthread.php?tid=249fromuid=164951《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） 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第四版，106张)/viewthread.php?tid=2647fromuid=164951新视野大学英语视听说教程第一册【篇二：高数练习题及答案】xt>一、填空题（每空3分，共15分）z?的定义域为y2yy2（1）函数（2）已知函数z?arctan20?zx，则?x?＝(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?l（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）?x?3y?2z?1?0?（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（） a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交（2（）xyz?确定，则在点(1,0,?1)处的dz??2a.dx?dyb.dx?22d.dx?2?2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（） a.?0c.2????(x?y)dv5d??rdr?dz235?2?0d??rdr?dz2?22543?2?0d??20rdr?5dz2r35d. （）1?d??rdr?dz（4）已知幂级数a. 2b. 1c. 2d. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（）a.xx??xxb.(ax?b)xec.(ax?b)?ced.(ax?b)?cxe三、计算题（每题8分，共48分）x?11、求过直线l1:12?y?20?z?3?1且平行于直线l2：x?22?y?11?z1的平面方程?z?z2、已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y3、设d?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求??dxdxdy24、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分l，其中l为摆线?y?1?cost从点2y2x2o(0,0)到a(?,2)的一段弧x?xy?y?xe6、求微分方程满足 yx?1?1的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算半球面z????2xzdydz?yzdzdx?z?dxdy，其中?由圆锥面z?与上(10? )?2、（1）判别级数?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx的和函数（6?）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z?（1）函数ln(1?x?y)的定义域为；elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝；（4）已知l是抛物线y?x上点o(0,0与点b(1,1之间的一段弧，则?l?；（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）?x?y?3z?0?（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l与?的夹角为（）；???z?a. 0b. 2c. 3d. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz2233?（）；xy2yz2x?xz2?a. xy?zb. z?xyc. xy?zd. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe 的特解y的形式为y?（）；a.(ax?b)e2xb.(ax?b)xe222xc.(ax?b)?ce22xd.(ax?b)?cxe2x（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将三次积分为（）； a?02?2???dv?在球面坐标系下化成a?20d??sin?d??rdra2b.?02??20d??d??rdr2?a20c.?02?d??d??rdr?ad.?02nd??sin?d??rdr??（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（）.1a. 2b. 1c. 2三．计算题（每题8分，共48分）5、求过a(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .?z?z6、已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y.7、设d?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算22??arctandyxdxdy.8、求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、利用格林公式计算? 222l(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中l为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从a(2a,0)到o(0,0)的弧段.x?16、求微分方程四．解答题（共22分）y??y3?(x?1)2的通解.?1、（1）（6?）判别级数敛；n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算 z?x?y(0?z?1)的下侧22?n?1?xnn的和函数 .??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .2、n??3n?3n?2=.3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy?.2lim(n?2)22?4、定积分1?1(x2006sinx?x)dx?2.dy5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57.二．选择题（每空3分，共15分）x?3x?2的间断点 1、x?2是函数（a）可去（b）跳跃（c）无穷（d）振荡y?x?1222、积分?10=.(a) ?(b)??(c) 0 (d) 13、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是。