【复变函数】第五章留数(工科2版).ppt

的其它奇点 1 .
n
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2. 孤立奇点的分类 利用洛朗级数给孤立奇点分类
定义1.2: 孤立奇点有三类
可去奇点 极点 本性奇点
(1). 可去奇点: 若f(z)在z0处的洛朗级数为
f (z) c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 cn (z z0)n
二. 孤立奇点的特征 1. 可去奇点 (1). 若f (z) 在 z0 处无定义，或 f (z) 在 z0 处不为c0 ,
f (z) c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 cn (z z0)n
(2). 结论: z0是f(z)的可去奇点
lim
zz 0
f (z) c0
f (z), (3). z0是f(z)的可去奇点, 补充定义 g(z) c0,
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分上的应用.
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主要内容
• 利用洛朗级数对孤立奇点进行分类； • 留数定理
1.C-G定理、Cauchy积分是留数定理 的特殊情况；
2.计算 f (z转)d化z 为求留数；
3.应用留数定理可计算一些定积分和广 义积分。
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§1 孤立奇点
一. 孤立奇点的概念
第一次课
1. 定义1.1: 设f(z)在z0处不解析, 但在z0的某个去心邻域
0<|z－z0 |<R (0<R<+∞)内处处解析, 则称z0为f(z)
的孤立奇点.
z0 处解析
z0及 z0的邻域内处处解析
奇点:使函数不解析的点称为奇点
在孤立奇点 z0处的空心邻域中展开成的幂级数——洛朗级数
sin z
补充定义:
g
(z)
z
z0
1 z 0
则 g (z)在 z = 0 处解析.
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(2) f (z) 1 cos z z
解: z = 0 是孤立奇点.
lim1 cos z 洛必达 lim sin z 0
z0 z
z0 1
or
lim1 cos z
等价无穷小
lim
1 2
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(3). 本性奇点: 若f(z)在z0处的洛朗级数为
f (z) cm(z z0)m cm1(z z0)m1 c1(z z0)1 c0 c1(z z0)
即:展开式中有无限个(z-z0)的负幂次项, 则称z0为f(z) 的本性奇点.
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即:展开式中不含(z-z0)的负幂次项, 则称z0为可去奇点.
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(2). 极点: 若f(z)在z0处的洛朗级数为
f (z) cm(z z0)m cm1(z z0)m1 c1(z z0)1 c0 c1(z z0) , cm 0
即:展开式中只有有限个(z-z0)的负幂次项, 则称z0为f(z) 的极点. 若负幂次项的次数绝对值的最大值为 m, 则称z0为m 级极点。
)
m 级极点的特性:
g(z) f (z)
(z z0 )m
其中g(z) 在z0处解析且g(z0)≠0
(2). 结论:
①. z0是f(z)的极点 ②. z0是f(z)的m级极点
lim f (z)
zz 0
lim( z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm
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3. 本性奇点
f (z) cm(z z0)m cm1(z z0)m1 c1(z z0)1 c0 c1(z z0)
例如： f (z) (z2 1)(z 1)3
z =±i 是1 级零点， z =1是3 级零点
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2. 定理1.1 若f(z)在z0处解析, 则 z0为f(z)的m级零点 f (z0 ) 0, f (z0 ) 0, , f (m1) (z0 ) 0 , 但是 f (m) (z0 ) 0
z2
0
z0 z
z0 z
∴z = 0 是可去奇点.
补充定义:
g
(z)
1
cos z
z
,
z0
0,
z0
则 g (z)在 z = 0 处解析.
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(3)
f
(z)
(z2
z2 1)(z 1)3
解: z = 1, z = ±i 是孤立奇点.
1 z2 1 f (z) (z 1)3 z2 1 (z 1)3 g(z)
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三. 函数的零点与极点的关系 1. 定义1.3: 设函数 f ( z )在 z0 的邻域U内解析,
(1).如果 f ( z0 ) = 0, 那么称 z0为 f (z) 的零点.
(2). 进一步, 如果f (z) 满足 f (z) (z z0 )m(z)
(z) 解析, 且 (z) 0 (z U ) 则称 z0 为 f (z) 的 m 级零点
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【例1】求下列函数的孤立奇点
(1)
f
(z)
1
,
f
(z)
1
ez
(2)
z
解: (1) z = 0为孤立奇点
f
(z)
1
sin
z
(2) ①:由 sin 0 z 1 , z 1为孤立奇点,
来自百度文库
z
n
n
②: z = 0不为孤立奇点, 因为在z = 0 的
的任何一个邻域内都有除 z = 0 的外
g(z)
z2 z2 1
在 z = 1 处解析
∴z = 1 是 3 级极点 .
同理 z = ±i 是 1 级极点.
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(4) f (z) sin 1 z 1
解: z = -1 是孤立奇点.
1
lim f (z) lim sin
z 1
z 1 z 1
不存在, 也不为∞.
∴z = -1是本性奇点 .
不能乘以某个幂函数使之变成不存在负幂次项的函数。
结论: z0是f(z)的本性奇点
lim f (z) 不存在,也不为∞.
zz 0
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【例2】指出下列函数在孤立奇点处的类型 (1) f (z) sin z z 解: z = 0 是孤立奇点.
lim sin z 1 ∴z = 0 是可去奇点. z0 z
z z0 z z0
从而 g (z) 在 z0 处解析.
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2. m 级极点
(1).
f
(z)
(z
cm z0 )m
(z
cm1 z0 )m1
c1 z z0
c0
c1(z
z0 )
(z
1 z0
)m
(cm
c m1 ( z
z0
)
c1(z z0 )m1 c0 (z z0 )m