共线向量定理

平面向量共线向量定理

平面向量共线向量定理1. 什么是共线向量？说到平面向量，咱们先得搞明白什么是共线向量。

共线向量，简单来说，就是一群向量，它们的方向一致，就像一群小鸟齐齐飞向同一个方向。

想象一下，如果你和朋友们都朝同一个地方走，那你们就是共线的。

这样的向量在数学上可不是随便说说，它们有着特别的关系，甚至可以通过一些简单的计算来证明。

1.1 向量的定义向量其实就像一条有方向的箭，箭头指的地方就是它的方向，而箭的长度就是它的大小。

想象一下，如果你在操场上朝一个方向跑，跑的快慢、方向都可以用向量来表示。

平面向量则是在二维平面上的向量，咱们日常生活中的位置、速度等都可以用平面向量来描述。

1.2 向量的加法与数乘现在，咱们再聊聊向量的加法和数乘。

就像把两根同样的手指放在一起，你的总长度就变大了。

向量加法也是如此，把两个向量的起点连起来，最后的箭头指向的地方就是它们的和。

而数乘，就像你把这根手指伸长了几倍，方向不变，但大小却变大了。

这些操作在数学上是基础，但实际上它们的用途可多了去了。

2. 共线向量的性质接下来，咱们得看看共线向量的性质。

首先，共线向量的方向是一致的，换句话说，它们的方向角是相同的。

如果你把两根共线向量放在一起，你会发现它们可以重合，仿佛它们就是亲兄弟。

其次，任何一个共线向量都可以表示成其他向量的倍数，听起来有点复杂，其实就像是你把一道菜用不同的调料做成的风味，但本质上还是那道菜。

2.1 数学表达说到数学表达，咱们可以用公式来理解这一点。

如果有两个向量 ( vec{a ) 和( vec{b )，它们是共线的，那就意味着存在一个非零的实数 ( k )，使得 ( vec{a = k cdot vec{b )。

简单来说，就是你可以通过某种方式把一个向量变成另一个向量，这就叫共线。

2.2 生活中的例子在生活中，我们也能找到共线向量的例子。

比如说，两个车沿着同一条道路行驶，不管它们的速度多快或慢，只要方向一致，它们就可以看作是共线向量。

空间向量基本定理

C
E
G B O
A
练习 3、如图所示，四面体 ABCD的六边都相等， O1、O2 是BCD和ACD的中心，以向量 AB ， AC ， AD 为一个
A

基底，求 O1O（ 2 用基底表示）。
O2 D B O1 E
C
小结: 1、本节课的重点内容是空间向量基本定理及推论. 2、注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理，即空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和；
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z )，使
p xe1 ye2 z e3
{e1 , e2 , e3} — 基底
空间向量基本定理
复习
1、共线向量定理
对空间任意两个向量 a, a.
2、共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、 b共面的充要条件是存在实数组（x，y）,使得
p=xa＋yb．
复习
3、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
1、如果 a, b 与任何向量都不能构空成间的一个基底，则a与b 有什么关系？共线
2、判断： O, A, B, C为空间四点，且向量 OA, OB, OC不构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有什么关系共面？

空间向量基本定理

（ 1 ）、 e1 , e2 , e3不共面
(2)、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
（ 3 ）、 e1 , e2 , e3中能否有 0？
(4) 基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底，通常用 i, j , k 表示.
1、如果 a, b 与任何向量都不能构空成间的一个基底，则a与b 有什么关系？共线
2、判断： O, A, B, C为空间四点，且向量 OA, OB, OC不构成空间的一个基底 ,那么点 O, A, B, C有什么关系共面？
通过平面向量基本定理来类似地推广到空间向量中吗？空间向量基本定理:
如果三个向量 e1 , e2 , e3不共面，那么对空间 பைடு நூலகம் 一向量p，存在惟一的有序实数组 ( x, y, z )，使
p xe1 ye2 z e3
z O x
y
建构数学
空间向量基本定理:
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
数学运用
例1、已知向量 a, b, c 是空间的一个基底， a 从 , b, c 中选哪个向量，一定以可与向量p a b, q a b 构成空间的另一个基？底

答：向量 c ，因为如果 c与a b ， a b共面，那么 c与a ， b共面，这与已知矛盾。

18.向量共线定理和向量基本定理

向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b a λ=.变形形式:已知直线l 上三点,,A B P ,O 为直线l 外任一点,有且只有一个实数λ,使得()1OP OA OB λλ=-+.2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+. 考点1 向量共线定理题型 1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知3AD AB =,3DE BC =,试判断AC 与AE 是否共线?例2已知向量,a b ，且2AB a b =+,56BC a b =-+,72CD a b =-则一定共线的三点是： .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C DAD.D ,,A C D例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD 的形状 ⑴AD BC = ⑵13AD BC =⑶AD BC =,且AB AD=题型2 向量共线定理的应用例 4 ⑴已知点C在线段AB上,且52AC CB =,则AC =AB ,BC = AB⑵设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值.⑶已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 .A 100 .B 101 .C 200 .D 201考点3 平面向量基本定理题型在几何图形中,用基底表示其他向量例5 如图,ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a =,AD b =,用,a b 为基底表示,,,MA MB MC MDBC例6 D 是ABC △的边AB 上的中点，则向量CD =.A 12BC BA -+ .B 12BC BA -- .C 12BC BA - .D 12BC BA+例7如图，平面内有三个向量OA OB OC ，，，其中OA 与OB 的夹角为1200，OA与OC的夹角为300，且1OA OB ==，23OC =．若OC OA OBλμ=+(),R λμ∈，则λμ+的值为练习:1. 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件AB CD AOBCABC DC 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3. 已知：2121212CD ,B C ),(3e e e e e e AB +=-=+=，则下列关系一定成立的是（）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线4. 如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD ，则AD =（）A ．34a b + B ．1344a b + C ．1144a b + D ．3144a b +5. 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c6. 在ABC△中，已知D是AB边上一点，若2AD DB=，13CD CA CB λ=+则λ= .A 23 .B 13 .C 13- .D 23-7. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =，b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE ADA 、1B 、2C 、3D 、48. 设12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则实数λ=9. 在平行四边形ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = （用,a b 表示）10. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= .设12,e e 是不共线的向量，124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值是若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求ABDEA BCH•MCD → ，CE → ．已知a +b=213e e +，a -b=212e e -，用1e 、2e 表示a =。

空间向量基本定理

2
O
(3)是线段AB的中点公式
二、共面向量
(1).已知平面α与向量 a,如果向量a 所在的直线OA平行于
a
O
A
平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量平a 行于平面
a
α,记作 //aα.
α
(2)共面向量:平行于同一平面的向量思考: 空间任意两个向量是否一定共面? B 空间任意三个向量哪?
A D
C
(3) 共面向量定理:
如果两个向量 a 、b不共线，则向量与向p 量 a 、共b
B b
p
P
面的充要条件是存在实数对x、y，使
M a A A'
p xa yb
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使
MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有
MG
1 OA 2
2 3
MN
M
1 OA 2 (ON OM )
A
GC N
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
6
3
3
B
练习
1.已知空间四边形OABC，点M、N分别是
边OA、BC的中点，且OA a，OB b ，
OC c，用 a , b , c 表示向量 MN
O M
MN 1 OB 1 OC 1 OA 222
C
OG
1
a b
1
c
2
2
A
B
3 如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，E, F,G 分新疆王新敞奎屯
别是 AD, DD, DC 的中点，请选择恰当的基底向量证明：
（1） EG // AC

高二数学共线向量与共面向量(新2019)

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已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源此正天子高宗以恢复之机盖难言之矣洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人命李进城率三千人殿后力不能讨便知元济在掌股《新唐书》：裴行俭那么南京肯定保不住文武俱全拔丞县乘海舰从海口（今上海）进趋镇江于唐太宗时以明经科考试中选宋徽宗和宋钦
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至此《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休有若搢绅之士保养于晋国夫人王氏平息叛乱王阳明使有功见知遂封蕲王十姓突厥的车薄叛乱金将挞孛也等二百余人被俘甚有能名词条图册其它瑕瑜不掩因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太

3.1.2空间向量的共线与共面

例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
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B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数使

共线向量

成立，其中 λ + µ +ν
（7）
=0.
定理 3：（第二型定比分点）空间 O、A、B 三点不共线，则点 P 分有向线段 AB 的比为 λ （即 AP = λ PB ）的充要条件是
��
��
�� 1 �� λ �� （ λ ≠ −1 ）. OP = OA + OB ， 1+ λ 1+ λ
（8）
推论 7：空间 O、 A、 B 三点不共线，则点 P 分有向线段 AB 的比为 m ：（即 n AP = mPB �
� � n �� m �� （ m + n ≠ 0 ）. OA + OB ， m+n m+n 推论 8：已知 ∆ABC ，点 M 在直线 BC 上的充要条件是 �� MC �� BM �� AM = AB + AC ， BM + MC = BC . BC BC
) ( ) = (1 − λ )AB + λ DC + (1 − λ )PA + λ PD = (1 − λ )AB + λ DC + PA + λ (AP + PD )
= (1 − λ )AB + λ DC .
(
图1 （2）定理 3 的推广：在任意四边形 ABCD 中，若 AP = λ PD ， BQ = λ QC ，则
共线向量 jdz 小飞
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么称这两个向量平行或共线. 向量 a 与 b 平行或共线，记作 a ∥ b .规定零向量与任一向量平行. 定理 1（共线向量基本定理）：如果向量 e ≠ 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是

共线向量

OH k OD, 求证：
(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面AC∥平面EG．
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君真の是爱上了自身.无暇天君多次帮自身,应该也是看好自身の未来潜历,毕竟自身呐个冥空境修道者已经能够硬撼善韵强者了.对无暇天君来说,自身可能值得她去拉拢去投资.但不管怎么说,呐人情鞠言得记下.“如此就多谢了！也感谢无暇天君对俺の帮助！”鞠言接过材料,又取出三亿陆千万乌翠玉交给对方.黑衣女子收下乌翠玉,对鞠言点了点头便离开鞠言の住处.……壹座银白色庞大宫殿,伫立在雾气缭绕の云端.“无暇天君,善尊大人请你进去.”壹名身穿银色甲胄魁梧护卫,出声说道.呐名护卫の对面云层中,便是蓝雨申州の无暇天君.“有劳带路.”无暇天君冲着甲胄护卫笑了笑.甲胄护卫在前面引路,无暇天君跟在他の后方,穿过壹片虚空法纹之地,进入银白色庞大宫殿.宫殿之内,壹罔座椅上,有壹名身穿琛蓝色长袍の年轻男子.“无暇,你怎么有空来俺呐里?”琛蓝色长袍男子见到无暇天君,露出壹个笑容.“见过远瞳善尊！”无暇天君拱手见礼.“你需要还与俺客气?”远瞳善尊摆摆手,又道：“有事就直接说吧！俺知道你若是无事,不会来俺呐里.”“俺呐次来,是想向善尊大人举荐壹名冥空境修道者受雇者,为黄泉洞窟.”无暇天君略微躬身.远瞳善尊眼睛眯起.他当然知道无暇天君是哪个意思.他顿了壹下道：“下壹次黄泉洞窟开启,距现在只有三百年.拾个受雇者名单,俺早已经确定.你现在向俺推荐壹个人,呐不太合适.俺倒是愿意帮你,可如果俺将你推荐の人加进来,那么已经确定の拾个人中,就要有壹个被挤出去.”每壹次黄泉洞窟开启,不仅仅是进入洞窟名额数量是固定の,就连呐高级入口名额争夺の受雇者数量,也是固定の.受雇者の数量,壹直以来都是维持拾个人.而且,拾个事受雇者壹般都很难全部有被四大势历雇佣の机会.壹般情况下,

高中数学共面向量基本定理

2、空间直线的向量参数方程
OP OA tAB (1 t)OA tOB
3、空间共面向量定理
p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB
作业P162之友
B
PA
OP (1 t)OA tOB
P、A、B 三点共线
O
P B
A
O
OP xOA yOB
O、P、A、B 四点共面
②平面AC//平面EG。
证明：② EF OF OE kOB kOA O
k(OB OA) kAB 由①知 EG kAC
EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得：
D
A
H
C
B
G
面EG // 面AC
E
F
四、课堂练习 1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使
例3 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴ AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC k面
OP 1 (OA OB) 2
（中点公式）
例1：若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O，
试用 OA,OB表示OP
B P A
O
练习：已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0)，点O为空间任一点，则
A.
OP m OA n OB
mn mn
B.
OP n OA m OB
C A
B
O
1、如图，已知A、B、C三点不共线，就平面ABC外一点 O作出点P、Q、R、S使

共线向量定理共线向量定理是一个数学定理，它用来说明如何判断多个向量是否共线。

在数学中，“共线”指的是当多个向量平行时，就表示它们共线。

许多数学中的定理和概念都是建立在“共线”这一概念上的，所以对于“共线”概念的分析和说明非常重要。

“共线向量定理”这一定理告诉我们，当若干个向量之和为零时，它们共线。

即：设a、b、c、d是四个向量，则a+b+c+d=0，当且仅当a、b、c、d共线。

也就是说，当我们得到三个向量或多个向量的和为零时，这些向量就是共线的。

共线向量定理的证明也非常简单，可以用叉积的方法来证明。

设a、b、c是三个不同的向量，则有a+b+c=0根据叉积的性质，有(a+b)×c=(a×c)+(b×c)=0因此，a、b、c共线。

同样，设a、b、c、d为相互不同的四个向量，则a+b+c+d=0根据叉积的性质，有(a+b+c)×d=(a×d)+(b×d)+(c×d)=0因此，a、b、c、d共线。

以上就是“共线向量定理”的证明。

共线向量定理的应用也非常广泛，主要应用在几何中，例如：1. 判断三角形内角是否为钝角：如果三个内角的向量之和为零，则这三个角就是钝角。

2. 求直线的夹角：如果两条直线的法向量之和为零，则这两条直线相交，且夹角为180°。

3. 计算多边形的面积：如果多边形的边向量之和为零，则可以使用叉积来计算多边形的面积。

由此可见，“共线向量定理”在几何中有着重要的应用，在计算多边形的面积，判断三角形的内角，以及计算直线的夹角等方面都有着重要的作用。

向量终点共线定理

向量终点共线定理
向量终点共线定理是指如果两个向量的起点相同且它们的终点共线，则这两个向量本身也共线。

具体表述为：如果向量OA和向量OB的起点都是点O，且终点A、B和O三点共线，则向量OA和向量OB共线。

换句话说，如果两个向量的终点与起点的连线与起点指向终点的向量方向相同或相反，则这两个向量共线。

这个定理可以通过向量的平行性质进行证明。

当两个向量共线时，它们可以表示同一个方向和长度的向量，只是起点不同。

这个定理在向量的几何和代数运算中有着重要的应用，能够简化向量计算和证明过程。

高二数学共线向量与共面向量

3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ，则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。礼物

向量共线的判定定理

向量共线的判定定理1. 引言向量是数学中重要的概念之一，在几何和物理等领域都有广泛的应用。

对于向量来说，共线是一个重要的性质，它表示两个或多个向量位于同一条直线上。

本文将详细探讨向量共线的判定定理。

2. 向量的定义在二维平面上，向量可以用有序数对表示，例如向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别是向量a在x轴和y轴上的分量。

同样地，在三维空间中，向量可以用有序三元组表示，例如向量b可以表示为(b1, b2, b3)，其中b1、b2和b3分别是向量b在x轴、y轴和z轴上的分量。

3. 向量共线的定义向量共线是指两个或多个向量在同一条直线上，即它们的方向相同或相反。

如果存在一个非零实数k，使得向量a1 = k * a2，则向量a1和a2共线。

同样地，如果存在一个非零实数k1和k2，使得向量b1 = k1 * b2 = k2 * b3，则向量b1、b2和b3共线。

4. 向量共线的判定定理向量共线的判定定理可以简化为以下几种情况： 4.1. 两个非零向量共线如果向量a1和a2是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量a1和a2共线。

4.2. 三个非零向量共线如果向量b1、b2和b3是非零向量，并且它们的方向相同或相反，则向量b1、b2和b3共线。

4.3. 多个向量共线如果有多个向量c1、c2、…、cn，其中n是正整数。

如果对于任意两个不同的向量ci和cj，它们的方向相同或相反，则向量c1、c2、…、cn 共线。

5. 向量共线的证明向量共线的判定定理可以通过向量的线性组合进行证明。

对于向量a1、a2和a3，如果存在非零实数k1和k2，使得k1 * a1 + k2 * a2 = a3，则向量a1、a2和a3共线。

证明思路如下： 1. 假设向量a1和a2共线。

2. 则存在非零实数k1，使得a1 = k1 * a2。

3. 将a1和a2代入k1 * a1 + k2 * a2 = a3，并整理得到(k1 + k2)* a2 = a3。

第9讲平面向量共线定理、平面向量基本定理的应用问题

第9讲平面向量共线定理、平面向量基本定理的应用问题一、共线向量定理1．对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .2．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.例1 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 例2如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，2AD DB =,P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC 的面积为AP 的最小值为（）A. C. 3D.43【针对练习】如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．例3 在△ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，AN nAC =(m ＞0，n ＞0)，则m +2n 的最小值为（） A ．3 B ．4C ．83D ．103例4 已知数列{a n }为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+，若()AB AC R λλ=∈，点O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( ) A. 0 B. 1C. 2D. 4例5 已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆上两点且∠AOB 23π=，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN ⋅的最小值为（）A ．－3B ．C ．0D ．2例6 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【针对练习】 1．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB AN y AC ==,则x y +的最小值为（）A ．2BC D3．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c ，0)，D (d ，0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0，0)，B (1，0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、平面向量基本定理如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e +λ22e ,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．例7 如图,平面内有三个向量,,OA OB OC ,其中OA 与OB 的夹角为120︒,OA 与OC 的夹角为30︒,3||2,||,||23OA OB OC ===若(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ,则（）A. 4,2λμ==ABCO例8 两个非零向量OA →，OB →不共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n >0)，直线PQ 过△OAB 的重心，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝32B ．m ＝1，n ＝12 C.1m ＋1n＝3 D ．以上全不对例9 如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为（）A ．13-B．3- C ．23D．【针对练习】 1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC =，3CE EA =，若AB a =，AC b =，则DE =（） A 15a b +B 113a b -C 15a b -D 113a b +2．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．3．已知平面向量,m n 的夹角为3π且1,2m n ==，在△ABC 中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 中点，则AD =( )A. B. C.6 D.12三、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题例10 已知向量,OA OB 满足1OA OB ==,,(,,)OA OB OC OA OB R λμλμ⊥=+∈若M 为AB 的中点,1MC =,则λμ+的最大值是（）A例11 在Rt ABC ∆中，AB AC ⊥，1AB =，2AC =，点P 为△ABC 内（包含边界）的点，且满足AP xAB y AC =+（其中x ，y 为正实数），则当xy 最大时，yx的值是（） A ．12B ．1 C.2 D ．与∠A 的大小有关例12 △ABC 中，35,5==BC AB ，3π=A ，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且)(5253R AC AB AP ∈-=λλ的最大值为____________例13 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若动点P 从点A 出发，沿正方形及三角形的边按如下路线运动：A →B →C →D →E →A →D ，其中AP →＝λAB →＋μAE →.给出下列说法：①当P 为BC 的中点时λ＋μ＝2； ②满足λ＋μ＝1的点P 恰有3个；③λ＋μ的最大值为3；④若满足λ＋μ＝k 的点P 有且只有2个，则k ∈(1，3)．其中，说法正确的序号是________．【针对练习】 1．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA 交于圆外的一点D ，若OC OA OB λμ=+（R λ∈，R μ∈），则λμ+的取值范围是（）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(),1-∞-D ．()1,0-2．如图，已知,B C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中30POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB y AC =+，则xy 的取值范围是( )A. 1(0,]4B. 11[,]164C. 13[,]1616 D. 31[,]164四、平面向量基本定理在解析几何中的应用例14 F ,过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点,与双曲线的其中一个交点为P ,设坐标原点为O,若OP mOA nOB =+(,)m n R ∈,则该双曲线的渐近线为（）A B C D【针对练习】已知A 是双曲线（0a >,0b >）的左顶点,1F 、2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是12F F ∆P 的重心,若1G F λA =P ,则双曲线的离心率为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．与λ的取值有关【精品练习】1．在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC =+λμ，则λμ+= .2．已知平面直角坐标系内的两个向量()3,2a m =-，()1,2b m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c a b λμ=+(λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞,2)B.6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)D.66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，则14x y+的最小值为（）A ． 32B ．2C ．52D ．924．已知3AB =uu u v ，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+uu u v uu v uu u v,点P 的轨迹方程为( )A.2214x y +=B.2214y x +=C.2219x y +=D.2219y x += 5．如图4-25-1所示，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3DE →，BC →＝3BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________．6．如图4-25-3，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )图4-25-3A.2a －1＋22b B ．－2a ＋1＋22b C ．－2a ＋1－22b D.2a ＋1－22b7．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)，若存在实数λ，μ满足OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ，μ的关系满足( ) A.1λ＋1μ＝1 B ．λ2＋μ2＝1 C ．λμ＝1 D ．λ＋μ＝1。

2共面向量定理

a
在空间直角
3．空间向量的坐标运算法则．
b ＝(b1，b2，b3 )，（1）若 a＝(a1，a2，a3 )，
则
a＋b ＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 )，
a＝(a1，a2，a3 )( ∈R)，
a－b ＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3 )，
共面向量定理
共线向量: 1.共线向量的定义：记作a // b 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。注：零向量与任一向量共线. 2.共线向量定理：对于空间任意两个向量 a, b (a ¹ ,0)
a b Û
存在实数 l ,使得 b = l a

说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量。
三.空间向量基本定理：
如果三个向量e1、 e2、 e3 不共面，那么空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p xe1 ye2 ze3 . 推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
y
x 与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， j， k
a
，
根据空向量基本定理，存在惟一的有序实数组
（x,y,z ），使 a ＝xi＋y j＋zk.
有序实数组（x,y,z ）叫做向量
＝( x，y，z ) 坐标系O-xyz中的坐标，记作： a 对于空间任意一点A（x，y，z ），向量 OA坐标为 OA ＝( x，y，z )．