高二数学 空间向量的数量积运算课件
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空间向量的数量积运算-ppt课件
空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
空间向量的数量积运算完整版课件
O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
空间向量的数量积运算 课件(共18张PPT)高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(λa)・b=λ(a・b)，λ∈R
a・(b+c)=a・b&#
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
不能.向量没有除法.
思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?
数量积运算不满足结合律． 数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
角转化
根据今天所学，回答下列问题：1.空间向量的线性运算和数量积运算有什么区别？2.如何利用数量积求长度和角度？3.如何利用数量积解决垂直问题？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cos<a,a>=|a|2.
a·a也记作a2.
即a·b=|a||b|cos<a，b>.
知识点2：空间向量的数量积
结果为数值
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
取向量
求余弦值
定结果
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．
a・(b+c)=a・b&#
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a・b=a・c能得到b=c吗?如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
不能.向量没有除法.
思考3:对于向量a,b,c,(a・b)c=a(b・c)成立吗?也就是说,向量的数量积满足结合律吗?
数量积运算不满足结合律． 数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a・b)c不一定等于a(b・c)．这是由于(a・b)c表示一个与c共线的向量，而a(b・c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
角转化
根据今天所学，回答下列问题：1.空间向量的线性运算和数量积运算有什么区别？2.如何利用数量积求长度和角度？3.如何利用数量积解决垂直问题？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos<a，b>叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cos<a,a>=|a|2.
a·a也记作a2.
即a·b=|a||b|cos<a，b>.
知识点2：空间向量的数量积
结果为数值
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
取向量
求余弦值
定结果
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
1.1.2 空间向量的数量积运算课件ppt
=
·
| || |
1
1
1
×2-2×2+4×2-2=-2,所以向量
4
=
-2
2
=- .
3× 3 3
探究三
利用数量积证明垂直问题
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O
是底面ABCD的中心.
求证:OB1⊥平面PAC.
思路分析要证 OB1⊥平面 PAC,只需证明 OB1⊥AC 与 OB1⊥PA,即只需证明
答案 5
1
−
2
=5.
.
课堂篇 探究学习
探究一
求空间向量的数量积
例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分
别为AB,BC,CA的中点.试求:
(1) ·;(2) ·;
(3) · ;(4) ·.
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照
数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
解 (1) ·=||||cos<, >=||||cos ∠AOB=2×2×cos 60°=2.
(2) ·=||| |cos<, >=||| |cos 180°=1×2×(-1)=-2.
(3) · = ·( − )= · − ·
(
2
− )+1 =
1
1
·1 =(a+b)· -
2
2
+
1 2 1
1
1
=2|a| +2a·b-2a·b-2|b|2+a·c+b·c
1
=2
−
1
=0.
2
1 1
a- b+c,
空间向量的数量积运算ppt课件
l
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
高二数学空间向量的数量积运算课件
的数量积为8，求$x$，$y$，$z$的值。
高阶习题解析
根据数量积的定义，我们有$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x(-2) + y(4) + z(-6) = 8$，即$-2x + 4y - 6z = 8$。
解这个方程组可以得到$x$，$y$，$z$的值。
在运动分析中，我们需要计算物体的运动轨迹和速度，这可以通过空间向量的数量积来计算。例如， 物体的速度可以表示为一个向量，通过数量积可以得到物体在某个方向上的速度大小和方向。
04
空间向量的数量积的习题及解析
基础习题
基础习题1
已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4,6)$，求 $overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
向量数量积的模长为$|mathbf{a} cdot mathbf{b}| = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times |cos theta|$。
03
空间向量的数量积的应用
在物理中的应用
力矩计算
在物理中，力矩是力和力臂的乘积，这实际上就是空间向量 的数量积。通过力矩，我们可以计算物体在力作用下的旋转 效果。
要longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$ ，$overset{longrightarrow}{b} = (2,3, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数量积的相反数。
高阶习题解析
根据数量积的定义，我们有$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x(-2) + y(4) + z(-6) = 8$，即$-2x + 4y - 6z = 8$。
解这个方程组可以得到$x$，$y$，$z$的值。
在运动分析中，我们需要计算物体的运动轨迹和速度，这可以通过空间向量的数量积来计算。例如， 物体的速度可以表示为一个向量，通过数量积可以得到物体在某个方向上的速度大小和方向。
04
空间向量的数量积的习题及解析
基础习题
基础习题1
已知空间向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4,6)$，求 $overset{longrightarrow}{a}$与$overset{longrightarrow}{b}$的数量积。
向量数量积的模长为$|mathbf{a} cdot mathbf{b}| = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times |cos theta|$。
03
空间向量的数量积的应用
在物理中的应用
力矩计算
在物理中，力矩是力和力臂的乘积，这实际上就是空间向量 的数量积。通过力矩，我们可以计算物体在力作用下的旋转 效果。
要longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$ ，$overset{longrightarrow}{b} = (2,3, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数量积的相反数。
空间向量的数量积运算 课件
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ， ∴| AC1 |2＝ AC1 2＝( AB＋ AD＋ AA1 )2 ＝ AB2＋ AD2＋ AA1 2＋2( AB ·AD＋ AB ·AA1 ＋ AD·AA1 ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6.
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝ BB1 ·BC ＝0,
∴ BA1 ·AC ＝－ 2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3,
∴cos〈
BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC ＝－1＝－ BA1 || AC | 6
＝12×1×1×cos〈 CA， CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC ＋OB－ OC ) ＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC ) ＝OA2＋OA·OB－2OA·OC ＋OB·OA＋OB2－2OB·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫
义 做a，b的数量积，记作 a·b
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝ b·a a·(b＋c)＝ a·b＋a·c
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a， 定义
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
空间向量的数量积运算ppt课件
而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]
3.空间两个向量的数量积：
已知两个非零向量,，则|
Ԧ
|
Ԧ ||cos<,>叫做
Ԧ
,的
Ԧ
数量积，记作Ԧ ∙ ，即Ԧ ∙ = ||
Ԧ ||cos<,>
Ԧ
特别地: （1）零向量与任意向量的数量积为0.
（2）Ԧ ⊥ ⟺ Ԧ ∙ =0
k
a
b
②若 a b k
,则
(结合律)
③ ( a b) c a ( b c )
D1
A1
a
A
C1
B1
D
C
B
6.空间两个向量数量积的性质:
(1) ∙ =||cos<, >
(2) ⊥ ⟺ ∙ =0
(3)||2 = ∙
(4)| ∙ |≤ ||||
（3）Ԧ ∙ Ԧ = |||
Ԧ |
Ԧ
< Ԧ ∙ Ԧ >=||
Ԧ2
注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
4.投影向量
向量在向量上的投影向量
量 = ,
称为向量在向上的投影向量.
5.空间向量数量积的运算律:
（1）（ ） ∙ =（） ∙
（2） ∙ = ∙
（3）（ + ） ∙ = ∙ + ∙
注意： (1)数量积不满足结合律即( ∙ ) ∙ ≠ ∙ ( ∙ )
(2) ∙ =�� ∙ ⇏ =
(3) ∙ =0⇏ = 或 =
对于空间向量下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
高二数学-空间向量的数量积运算精品PPT课件
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
(3) EF DC (4) EF AC
E
F
B
D
C
P92.2
ABCD ABCD AB 4
王新敞 奎屯
解：∵ CD BD BC ， ∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D ④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
CD a2 b2 c2
5.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
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对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
ak ) ? 也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
若对(于ab三)c 个 a均(b不c).为对0于的向数量a,ba,,bc,,c,
(a
b)c
a(b
c)
成立吗？也就
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
求证： l PA
分析：用向量来证明两直线 垂直，只需证明两直线的方
P
向向量的数量积为零即可！
适当取向量尝试看看！
O A a l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
证明：在直线l上取向量 a ,只要证 a PA 0
a PO 0 , a OA 0,
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
例1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F
分别是AB，OC的中点，试求OE, BF 所成角
的余弦值.
O
F
A
C
E
B
例 2.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的数
a
对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例.
不直能 时， ，例 有如a b向 量a ca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
| AC | 85.
P925..3已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
c
D
a
b
A
B
解：∵ | CD |2 (CA AB BD)2
| CA |2 | AB |2 | BD |2 a2 b2 c2
② a b a b 0 (垂直的判断);
a
b
a,b
③ cos a, b a b (求角度). ab
以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关 垂直、长度、角度等问题.
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ . a
a, b =0 时, a 与 b 同向; a, b =π 时, a 与 b 反向. b
A
a
B O
b
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b
2
P
a PA a (PO OA)
a PO a OA
O A a l
0.
a PA,即l PA. 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
2) (a b) c a (b c)
()
3)
2
p
2
q
(
p
q)2
( )
2
2
4) p q p q p q
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
2
a
.
注：
性质②是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律 ⑴(a) b (a b)
⑵ a b b a (交换律)
⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
共面向量定理,有了!
证: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
| OA | | OB | cos | OA | | OB | cos
A
C
0
B
OA BC
78、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的
长都等于a，点M、N 分别是边AB、CD的中点。 求证：MN AB，MN CD。
证明：因为 MN MA AD DN
A
AB MN AB (MA AD DN )
王新敞 奎屯
解：∵ CD BD BC ， ∴ AB CD AB BD AB BC | AB | | BD | cos AB, BD
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
67、、已知空间四边形OABC，OB OC， AOB AOC ，求证：OA BC
证明：因为OA BC OA (OC OB)
O OA OC OA OB
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60
AC
D' A'
D A
B'
C B
C'
解： AC AB AD AA
| AC |2 ( AB AD AA)2 | AB |2 | AD |2 | AA |2 2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85.
CD a2 b2 c2
5.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3 ,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
(3) EF DC (4) EF AC E
F
B
D
C
P92.2
ABCD ABCD AB 4
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D ④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
a b 的几何意义
A
a A1
B1
b
数量积
a
b
等于
a
的长度
a
B 与b
在
a
的方向上的投影 b cos 的乘积.
3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
MD BN CAB MA AB AB AB DN
1 a2 1 a2 1 AB (BC BD) 222
0 MN AB
同理，MN CD
复习：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
回顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.