初中数学七年级上学期《一元一次方程应用----水箱变高了与打折销售》的知识讲解及例题解析

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初中数学北师大版七年级上册应用一元一次方程——水箱变高了课件

柱底面半径，读题时要看清题目中所给条件是直径还是
半径.
感悟新知
知识链接常见立体图形的体积公式： 1. V正方体=a(3a为棱长). 2. V长方体=abh(a、b为底面的长、宽，h为高). 3. V圆柱=πR2h(R为底面圆的半径，h 为高).
知1－讲

感悟新知
知1－练
例 1 用直径为4 cm 的圆柱形钢铸造3 个直径为2 cm，高为 16 cm 的圆柱形零件，需要截取多长的圆柱形钢？解题秘方：紧扣题意中铸造前后的体积相等这一等量关系，列出方程解决问题.
感悟新知
知1－练
例2 将装满水的底面直径为40 cm，高为60 cm 的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 cm 的圆柱形水桶里(水不会溢出)，这时水面的高度是多少厘米？解题秘方：紧扣容器改变但水的体积没有变这一等量关系.
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解：设这时水面的高度为x cm.
根据题意可得，
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知2－练
3-2. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆. 已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积较大.
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解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为m.
知2－练
根据题意，得2πr＝4.解得r＝4.
所以铁丝的长为2π×4＝8π(m)．
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知2－练
3-1. 用一根铁丝可围成边长为9 cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2 cm 的长方形，则长方形的面积是多少？
解：设长方形的宽为x cm，则它的长为(x＋2)cm. 依题意，得2x＋2(x＋2)＝9×4.解得x＝8. 则x＋2＝10，10×8＝80(cm2) 所以长方形的面积为80 cm2.

应用一元一次方程—水箱变高了-(初中数学教学PPT课件)

x
(2)中长方形面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)m，
(1)中长方形面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
(x+0.8) m
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2) 中相比，又有什么变化？
拓展应用
如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为 4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条。如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
等量关系：长条1的面积＝长条2的面积．
拓展应用 3.小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽多4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
解：设这一支牙膏能用x次。根据题意得
π×2.52×10×36＝π×32×10x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
一图形的等长变化
合作探究
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的
长、宽各是多少？
长方形的周长不变
在这个过程中什么没有发生变化？
1.设水箱的高变为x m，填写下表：
底面半径/m 高/m
容积/m3
旧水箱
新水箱
2
1.6
4
x
π×22×4 π×1.62×x
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积
3.列出方程并求解. π×22×4=π×1.62×x, 解得x=6.25. 因此，水箱的高度变成了6.25 m.

应用一元一次方程——水箱变高了课件

学习目标
01
理解一元一次方程的概念和建立方法。
02
掌握一元一次方程的求解方法。
03
能够在实际问题中应用一元一次方程解决水箱变高问题。
04
培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
02
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定义
总结词
一元一次方程是只含有一个变量，且该变量的指数为1的方程。
习和巩固基础。
对未来学习的展望
希望老师能够提供更多实际问题的案例，让我们更好地理解和应用一元一次方程。
希望在学习中能够更加注重理论与实践的结合，培养自己的综合能力。
希望能够加强数学建模的训练，提高解决复杂问题的能力。
THANKS
感谢观看
底面积，t 是时间。
解一元一次方程
01
02
03
04
移项
合并同类项
化简
解出未知数
验证解的正确性
代入原方程
将解出的 h 值代入原方程进行验证。
比较解与实际
分析误差
如果解与实际不一致，分析误差来源，可能是建立方程时忽略了一些因素，或者解方程过程中出现了计算错误。
比较解出的 h 值与实际水箱高度变化量是否一致。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0，其中 a ≠ 0。它包含一个未知数 x，并且 x 的指数为1。
一元一次方程的标准形式
总结词详细描述
解一元一次方程的方法
总结词
详细描述
03
水箱变高的情境描述
水箱变高水源的补充
内部压力变化
03 物理或化学反应
05
实际应用与案例分析
水箱变高的实际应用

七年级数学上册第五章一元一次方程3应用一元一次方程__水箱变高了教案新版北师大版

3 应用一元一次方程——水箱变高了【知识与技能】通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题.【过程与方法】经历由实际问题抽象为方程模型的过程,进一步体会用方程解实际问题的一般思路和步骤.【情感态度】结合本课教学特点,教育学生热爱学习,热爱生活,激发学生学习的兴趣.【教学重点】分析图形问题中的数量关系,熟练地列方程解应用题.【教学难点】从实际问题中抽象出数学模型教学过程.一、情境导入,初步认识用同一根铁丝围成不同的图形,如三角形长方形、正方形、梯形、平行四边形等在这些图形中,什么发生了变化？什么不发生变化？【教学说明】学生很容易得出这些图形的变化,初步感受图形问题中的数量关系.二、思考探究,获取新知1.运用一元一次方程解决等体积变形问题问题1 教材第141页例题以上的内容.【教学说明】学生通过思考、分析,与同伴进行交流,完成表格,列出方程解决问题.体会列表法的重要作用.【归纳结论】列方程解应用题关键是找出问题中的等量关系.2.运用一元一次方程解决等周长变形问题问题2 教材第141页下方的例题.【教学说明】学生通过思考、分析与同伴进行交流,列出方程求解.【归纳结论】在问题2中,长方形的周长始终是不变的,即长与宽的和为:10×1/2=5(m).所以在解决问题的过程中,要紧紧抓住这个等量关系.3.运用一元一次方程解决等面积变形问题.问题3 已知一梯形的高为8cm,上底长为14cm,下底长比上底长的2倍少6cm,若把这个梯形改成与其面积相等的长方形,且长方形的长为24cm,求长方形的宽.【教学说明】学生思考、分析,与同伴交流,设未知数列出方程求解.【归纳结论】运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）设未知数,（2）找等量关系式,（3）列方程,（4）解方程,（5）检验,（6）写出答案.三、运用新知,深化理解1.已知内径为120mm的圆柱玻璃杯和内径为300mm,内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水,则玻璃杯的内高为（）.A.150mmB.200mmC.250mmD.300mm2.一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm的正方形,如果用这根绳子围成一个长8cm的长方形,这个长方形的宽为_______cm,面积是_______cm2.3.如图所示,将一个底面直径为10cm,高为 36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm的“矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变,那么高变成了多少？第3题图第4题图4.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如右图实线所示（单位:cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如右图虚线所示,小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米?【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解,检测对运用一元一次方程解决等积变形问题的掌握情况？对学生的疑惑教师应及时加以指导.完成上述题目后,教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.【答案】1.B2.4 323.设高度为xcm,由题意得:π×52×36=π×102x解得x=9所以高变成了9cm.4.设长方形的长为xcm,由题意得:2(x+10)=10×4+6×2解得x=16所以长方形的长为16cm,宽为10cm.四、师生互动,课堂小结1.师生共同回顾运用一元一次方程解决等体积、等周长、等面积问题.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,积极与同伴交流,加深对新学知识的理解与运用.【板书设计】1.布置作业:从教材“习题5.6”中选取.2.完成练习册中本课时的相应作业.本节课从学生运用一元一次方程解决等体积,等周长\等面积问题,到掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤,培养学生动手\动脑习惯,提高学生用所学知识解决实际问题的能力,激发学生的学习兴趣.。

打折销售一元一次方程应用题讲解

一、打折销售一元一次方程应用题的相关概念1.1 打折销售的概念在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的打折销售活动。

打折销售是商家为了促进产品的销售而采取的一种促销手段，通过给予用户一定比例的折抠，来吸引用户购物商品。

1.2 一元一次方程的概念一元一次方程是指一个未知数的一次方程，通常可以用类似“ax+b=c”的形式来表示，其中a、b、c分别代表已知的系数或常数，x代表未知数。

解一元一次方程就是求出这个未知数的值，使得方程等号成立。

1.3 打折销售一元一次方程的应用在打折销售中，经常会涉及到一元一次方程的应用。

用户在购物商品时，商家通常会给出原价和折抠率，用户需要根据这些信息来计算最终的价格。

而这个过程就可以用一元一次方程来进行建模和求解。

二、打折销售一元一次方程应用题的解题步骤2.1 理清题意，假设原价为x在遇到打折销售一元一次方程应用题时，首先要理清题意，明确原价和折抠率等信息。

然后假设原价为x，根据折抠率可以得到折抠后的价格为x*(1-折抠率)，这就是我们需要求解的最终价格。

2.2 起一个未知数，建立方程接下来，我们可以起一个未知数，通常用y来表示折抠后的价格。

然后根据题目给出的信息，建立一元一次方程。

如果题目给出了原价为x，折抠率为p，折抠后的价格为d，那么我们就可以建立方程x-p*x=d，然后求解方程得到最终的价格。

2.3 检验解答是否合理我们要对求解出的结果进行检验，看看是否符合实际情况。

通常可以将求解出的y值代入原方程中，再用折抠率计算实际的折抠后价格，看两者是否相符。

如果相符，则说明求解无误。

三、打折销售一元一次方程应用题的实例3.1 实例一某商场举行打折促销活动，一件原价为200元的商品打八五折，求打折后的价格是多少？3.1.1 确定未知数和建立方程我们可以假设折抠后的价格为y，原价为200元，折抠率为85。

根据折抠率公式，可以得到打折后的价格的方程为200*0.85=y。

3.1.2 求解方程带入原方程计算可得y=170，所以打折后的价格为170元。

北师大数学七年级上册第五章一元一次方程应用(一)水箱变高了与打折销售(基础)

一元一次方程应用（一）--水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解【学习目标】1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、水箱变高了（等积变形问题）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式：长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4；面积公式：边长×边长正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=2d r ππ=；面积公式：2S r π=；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=13×底面积×高要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.要点三、打折销售（利润问题） (1)-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解．【答案与解析】解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V1=π×（）2×18=（立方厘米），底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V2=π×（6÷2）2×10=（立方厘米），因为V2＜V1，所以装不下.设瓶内水面还有xcm．π×（）2×x=，解得：x=3.6．答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？【答案与解析】解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，根据题意得：2x+（x+5）=35解得： x=10．因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，根据题意得2y+（y+2）=35解得： y=11．因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.类型二、打折销售（利润问题）3．（2016•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【答案与解析】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：3270×0.8﹣x=9%x，解得：x=2400，答：这款空调每台的进价为2400元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．举一反三：【变式】（2015•滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（）A．120元B．100元C．72元D．50元【答案】D．解：设进货价为x元，由题意得：（1+100%）x•60%=60，解得：x=50.4．（2015•怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x 的值即需购买茶杯的数目．【答案与解析】解：设购买茶杯x只，依题意得5x+125=4.5x+135，解得：x=20．所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．举一反三：【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，解得：x＝160．答：李明上次所买书籍的原价是160元．【巩固练习】一、选择题1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径A．B．C．D．3．图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（）为140元，那么这种商品的原价是（）A．160元 B．180元 C．200元 D．220元5．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为135元, 若按成本计算, 其中一件盈利25%, 一件亏本25%, 则在这次买卖中他 ( )A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元6．（2015•大庆）某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同．2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元．2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为（）A．880元B．800元C．720元D．1080元二、填空题7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝米．8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程．9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为cm2．10．（2016•孝义市三模）五一期间，某商厦为了促销，将一款每台标价为1635元的空调按标价的八折销售，结果仍能盈利9%，则是这款空调机每台的进价为元．11．五•一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为元.三、解答题13．（2015•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p．15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】设小杯的高为x，根据题意得：π×102×30=π×12×（10÷2）2x解得：x=10 2．【答案】A【解析】等级变形问题，形变体积不变．3．【答案】C【解析】设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．4．【答案】C；【解析】解：设原价为x元，根据题意可得：80%x=140+20，解得：x=200．所以该商品的原价为200元；故选：C．5．【答案】C【解析】成本分别为：135108125%=+，135180125%=-；盈亏：13513510818018+--=-6.【答案】A．【解析】设1月份每辆车售价为x元，则2月份每辆车的售价为（x﹣80）元，依题意得 100x=（x﹣80）×100×（1+10%），解得x=880．即1月份每辆车售价为880元．二、填空题7．【答案】100【解析】设能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝x 米，则22201=2x ππ⨯⨯⨯⨯，解得：x ＝100． 8．【答案】【解析】等级变形问题，形变体积不变． 9．【答案】80【解析】解：设正方形的边长是xcm ，则根据题意得：4x=5（x ﹣4），解得：x=20．故长方条的面积为4x=80cm 2． 10.【答案】1200；【解析】解：设这款空调机每台的进价为x 元，根据题意，得：1635×0.8﹣x=9%x ，解得：x=1200，∴这款空调机每台的进价为1200元，故答案为：1200．11．【答案】九【解析】设用贵宾卡又享受了x 折优惠，依题意得：10000﹣10000×80%×=2800，解之得：x=9． 12．【答案】130【解析】设裤子标价为x 元．由题意得：300×60%+80%x=284，解得：x=130．三、解答题 13.【解析】解：设每件衬衫降价x 元，依题意有120×400+（120﹣x ）×100=80×500×（1+45%），解得x=20．答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 14．【解析】解：设进货价为x ，则下降后的进货价为0.92x ．则（1+p%）x= [1+（10+p ）%]0.92x ，即（1+0.01p ）x= [1+0.01（p+10）] 0.92x ，解得： p=15．答：p 为15． 15．【解析】解：(1)设小明他们一共去了x 个成人，则去了(11-x)个学生，根据题意得： 40x+0.5×40×(11-x)＝360．解得x ＝7．所以11-x ＝4．答：小明他们一共去了7个成人，4个学生． (2)若按14人购买团体票，则需要花费： 14×40×60%＝336(元)，360-336＝24(元)．答：买团体票更省钱，可节省24元．。

初一数学《应用一元一次方程——打折销售》知识点总结

初一数学《应用一元一次方程——打折销售》知识点总结知识点总结1.与打折有关的概念（1）进价：也叫成本价.（2）标价：也称原价.（3）售价：也叫成交价.（4）利润：“获利”“盈利”“赚”.（5）利润率：利润占进价的百分比.（6）打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折.打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出.如打八折就是以原价的80%卖出.2.利润问题中的关系式（1）售价＝标价×折扣；售价＝成本＋利润售价＝成本×（1＋利润率）（2）利润＝售价-进价=标价×折扣－进价（3）利润＝进价×利润率；利润＝成本价×利润率；利润率＝利润/进价＝（售价-进价）/进价1.一件衣服按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批服装每件的成本价是多少元？2.一件衣服按成本价提高40%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，结果每件仍获利15元，这批服装每件的成本价是多少元？3.某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是多少元？4.某商品打八折比打九折少花20元，那么这本书的原价是多少元？5.小明买了20本练习本，店主给他八折优惠（即以标价的80%出售），结果便宜了32元，则每本练习本的标价是多少元？6.某商品把进价2250元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为多少元？7.某商场举行优惠活动，规定一次购物不超过200元的不优惠；超过200元的，全部按八折优惠.顾客买了一件服装，付款180元，这件服装的标价是多少？A.180元B.200元C.225元D.180元或225元8.书店举行购书优惠活动：（1）一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；（2）一次性购书超过100元，但不超过200元一律打九折；（3）一次性购书200元以上一律打七折.小明在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小明这两次购书原价的总和是多少元？9.已知A、B两件商品的成本共1000元，老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，两件商品共获利130元，问A、B两件服装的成本各是多少元.10.某商品若按标价的七五折出售将亏25元，而按标价的九折出售将赚20元，问这种商品的标价是多少，进价是多少？11.某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折且让利40元销售，仍可获利10%，则x为（）A．700 B．约773 C．约736 D．约85612.某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，将每件的销售价打折出售，但要求卖出一件商品所获的利润是降价前所获利润的90%，则折扣应为多少？13.某商品进价为200元，原价为300元，折价销售后的利润率为5%，则此商品是按原价的几折销售的？14.某服装店将品牌时装提价25%后，发现销路不好，要恢复原价，则应降价百分之多少.15.书店里每本定价10元的书，成本是8元，为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打几折？16..某商场以每件80元的价格购进了衬衫500件，然后以每件120元的价格销售了400件，商场准备将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？17.某商店出售两件衣服，每件100元.其中一件赚10%，而另一件赔10%，那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？18.某织布厂有150名工人，为了提高经济效益，增设制衣项目，已知每人每天能织布30m，或利用所织布制衣4件，制衣一件需要布1.5m，将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣．（1）一天中制衣所获利润P=___（用含x的式子表示）；（2）一天中剩余布所获利润Q=___（用含x的式子表示）；（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11800元？19.某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元.经洽谈后，甲店每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠.该班需乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）.问：（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？（2）当购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？20.超市促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，但不超过500元，按九折优惠；超过500元，超过部分按八折优惠，其中的500元仍按九折优惠.某人两次购物分别用了134元和466元.问：（1）此人两次购物，若物品不打折，值多少钱？（2）此人两次购物共节省多少钱？（3）若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的物品，是否更节省？说明理由.五个基本概念：进价、标价、售价、利润、利润率.三个基本公式：利润率=利润/进价×100%利润=售价-进价售价=标价×折扣打折销售的基本等量关系式：①标价=进价（1+利润率）；②实际售价=标价×打折数；④销售额=销售价×销售量⑤销售利润=（销售价－成本价）×销售量思维导图习题精析打折销售（利润问题）3．（2016•潮南区模拟）某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价？（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【思路点拨】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【答案与解析】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：3270×0.8﹣x=9%x，解得：x=2400，答：这款空调每台的进价为2400元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×2400×9%=21600（元），答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元．【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．举一反三：【变式】（2015•滦平县二模）一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（）A．120元B．100元C．72元D．50元【答案】D．解：设进货价为x元，由题意得：（1+100%）x•60%=60，解得：x=50.4．（2015•怀柔区二模）列方程或方程组解应用题：周末小明和爸爸准备一起去商场购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商场都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，且两家都有优惠．甲商场买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商场全场九折优惠．小明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．当去两家商场付款一样时，求需要购买茶杯的数量．【思路点拨】由题意可知，在甲店买一把茶壶赠送茶杯一只，故需付5只茶壶的钱和x﹣5只茶杯的钱，已知茶壶和茶杯的钱，可列出付款关于x的式子；在乙店购买全场9折优惠，同理也可列出付款关于x的式子；若两种优惠办法付款一样，则两式子的值相等，计算出x的值即需购买茶杯的数目．【答案与解析】解：设购买茶杯x只，依题意得5x+125=4.5x+135，解得：x=20．所以购买茶杯20只时，两种优惠办法付款一样．【总结升华】本题考查了一元一次方程在经济问题中的运用以及买东西的优惠问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．举一反三：【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．【答案】解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，解得：x＝160．答：李明上次所买书籍的原价是160元．——打折销售问题（一）【例1】某商场把一个双肩背的书包按进价提高60%标价，然后再按8折（标价的80%）出售，这样商场每卖出一个书包就可赢利14元．这种书包的进价是多少元？【分析】相等关系:售价-进价=利润(14元).【解】设这种书包的进价是x元，其标价是（1+60%）x元，依题意，得（1+60%）x•80%﹣x=14，解得：x=50，答：这种书包的进价是50元．【练习1】一家商店将某种服装按成本提高15%后标价，又以标价的9折卖出，结果每件服装仍可获利7元，问：（1）这种服装每件的成本价是多少元？（2）成本提高15%后的标价是多少?【解】（1）设这种服装每件的成本价是x元，依题意，得x•（1+15%）×90%﹣x=7，解得：x=200．答：这种服装每件的成本价是200元．（2）x•（1+15%）=200×1.15=230（元）答：成本提高15%后的标价是230元．【例2】小明去文具店购买2B铅笔，店主说：“如果多买一些，给你打8.5折”．小明测算了一下，如果买100支，比按原价购买可以便宜27元，求每支铅笔的原价是多少？【分析】相关关系：原价﹣现价=差额．【解】设每支铅笔的原价是x元，依题意，得100x﹣100×0.85x=27，解得：x=1.8．答：每支铅笔的原价是1.8元．【练习2】王老师去菜市场为食堂选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊派主说：“多买按八折算，你要多少斤？”王老师报了数量后摊主同意按八折卖给王老师，并说：“之前一人只比你少买了5斤就是按标价的，还比你多花了3元呢！”你知道王老师购买了多少斤豆角吗？【分析】相等关系：之前顾客花费－王老师的花费＝3元，再根据总价=单价×数量【解】设王老师买了x斤豆角，则另一个顾客买了（x﹣5）斤豆角，依题意，得3×0.8x+3=3（x﹣5），解得：x=30．答：王老师买了30斤豆角．【例3】某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元，在元旦期间该店举行文具优惠活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得87元，则在这次优惠活动中卖出铅笔、圆珠笔各多少支？【分析】相等关系：铅笔费用+圆珠笔费用＝87元，再根据总价=单价×数量．【解】设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60﹣x）支，依题意，得1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x）=87，解得：x=25，∴60﹣x=60﹣25=35．答：卖出铅笔25支，卖出圆珠笔35支．【练习3】某老板将A品牌服装每套按进价的2.5倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，五折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的三分之一，现售价与原售价相比，价格降了还是升了？说出你的理由．【分析】先求出原售价及提价打折后的售价，再进行比较．【解】设A品牌服装每套进价为x元，依题意，得（2.5x+50）×0.5﹣x=x/3x，解得x=300．原来售价2.5×300=750（元），提价后打五折后价格为：（2.5×300+50）×0.5=400（元），∴400＜750，∴价格降了．答：现售价与原售价相比，价格降低了．——打折销售问题（二）【例1】甲乙两人相约元旦一起到某书店购书，恰逢该书店举办全场9.5折的新年优惠活动．甲乙两人在该书店共购书15本，优惠前甲平均每本书的价格为20元，乙平均每本书的价格为25元，优惠后甲乙两人的书费共323元．（1）问甲乙各购书多少本？（2）该书店凭会员卡当日可以享受全场8.5折优惠，办理一张会员卡需交20元工本费．如果甲乙两人付款前立即合办一张会员卡，那么比两人不办会员卡购书共节省多少钱？【分析】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，相等关系：甲购书实际费用+乙购书实际费用＝323元，再根据总价=单价×购买数量．（2）相等关系：总花费=购买图书的总价×折扣率+会员卡工本费．【解】（1）设甲购书x本，则乙购书（15﹣x）本，依题意，得[20x+25（15﹣x）]×0.95=323，解得：x=7，∴15﹣x=8．答：甲购书7本，乙购书8本．（2）（20×7+25×8）×0.85+20=309（元），323﹣309=14（元）．答：办会员卡比不办会员卡购书共节省14元钱．【练习1】某超市为了促销，对A、B两种商品进行打折出售．打折前，购买5件A商品和2件B商品需要88元，购买7件A商品和3件B商品需要124元．促销期间，购买100件A商品和100件B商品仅需1500元．（1）求打折前每件A商品和B商品的价格．（2）若B商品所打折扣为7.5折，求促销期间每件A商品的价格．【分析】（1）设打折前每件A商品的价格为x元，每件B商品的价格为(88-5x)/2元(根据“打折前，购买5件A商品和2件B商品需要88元)，再根据：购买7件A商品的费用+购买3件B商品的费用＝124元”．（2）设促销期间每件A商品的价格为z元，根据单价×数量=总价．【解】（1）设打折前每件A商品的价格为x元，每件B商品的价格为(88-5x)/2元，依题意，得解得：x=16，则(88-5x)/2=4．答：打折前每件A商品的价格为16元，每件B商品的价格为4元．（2）设促销期间每件A商品的价格为z元，依题意，得100×4×0.75+100z=1500，解得：z=12．答：促销期间每件A商品的价格为12元．【例2】某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同．甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零售价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠．乙家的规定如下表：数量范围（千克）不超过50的部分50以上但不超过150的部分150以上的部分价格（元）零售价的95%零售价的85%零售价的75%表格说明：批发价分段计算：如：某人批发200千克的苹果；则总费用=50×8×95%+100×8×85%+50×8×75%.（1）如果他批发240千克苹果选择哪家批发更优惠；（2）设他批发x千克苹果（x＞100），当x取何值时选择两家批发所花费用一样多．【分析】（1）分别计算出各自的费用，再进行比较；（2）分100＜x≤150 、x＞150及当100＜x≤150三种情况，分别用含x的式子表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用．然后得出存在相等的情况；，再分别计算不等情况。

应用一元一次方程—水箱变高了课件

重新建立一元一次方程
πr^2(h-20)=πr^2h。
解方程得到
h=20cm。
实际应用与案例分析
水箱变高问题的实际应用
农业灌溉
在农业灌溉系统中，水箱起到存储和调节水量的作用。当水箱变高时，能够提供更多的灌溉用水，有助于农作物的生长。
城市供水
工业用水
在工业生产过程中，水箱用于冷却、洗涤等工艺流程。水箱变高可以提高冷却效果，降低能耗，提高生产效率。
在解题过程中，我学会了如何分析问题、建立数学模型，并运用所学知识解决问题，提高了自己的思维能力和实践能力。
通过与同学合作探究，我学会了与他人合作、交流和分享，拓展了自己的思路和视野。
对未来学习的展望
我希望在未来的学习中，能够更加深入地学习一元一次方程及其应用，掌握更多的数学知识和技能。
我希望能够加强自己的数学思维能力，提高解决实际问题的能力，更好地服务于社会。
能够运用一元一次方程解决实际问题。
一元一次方程的基本概念
一元一次方程的定义
一元一次方程
只含有一个未知数，并且该未知数的次数为1的方程。
例如
x + 3 = 4，这是一个一元一次方程，其中x是未知数。
一元一次方程的标准形式
01
ax + b = 0，其中a和b是已知数， x是未知数。
02
标准形式是解决一元一次方程的基础，通过移项和合并同类项，可以将任意形式的一元一次方程转化为标准形式。
应用一元一次方程—水箱变高了课件
引言
主题介绍
主题背景
水箱变高问题是一个常见的实际问题，通过这个主题，学生可以了解一元一次方程在实际问题中的应用。
主题内容

数学北师大版七年级上册一元一次方程的应用------水箱变高了

5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计【教学目标】知识与技能1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。

2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。

【过程与方法】采用启发探究式的方法,使学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型,培养观察发现问题的能力以及创新的意识.了解“未知”转化成“已知”的数学思想,培养分析问题、解决问题的能力和严谨、细致的学习态度.【情感、态度与价值观】经历从生活中发现数学和应用数学知识解决实际问题的过程,树立用多种方法解决实际问题的创新意识,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.【教学重难点】重点:1.体验用多种方法解决实际问题的过程.2.列一元一次方程解简单的图形变化的应用题.难点:从复杂问题中挖掘条件,由“未知”向“已知”转化,寻找相等关系.【教学过程】一、旧知回顾：①长方形的周长公式________，面积公式________,体积公式_______②正方形的周长公式________，面积公式________,体积公式_______③圆的周长公式________，面积公式________,圆柱的体积公式_______二、激发兴趣：1、展示两个容量一样，形状不同的矿泉水瓶，将一个瓶子里的水倒入另一个里，你得出什么结论？2、回想小时候玩的橡皮泥，不管做成什么形状，橡皮泥的总体积改变了吗？____ 要想求圆柱的体积，我们应先知道（或求出）圆柱的______ 和 _______学生讨论：从这两个活动中你能得出什么结论？三、创设情境，引入新课：某居民楼顶有一个底角直径和高均为4 m的圆柱形水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度由原先的4 m增高为多少米?想一想：什么发生了变化？什么没有发生变化？在这个问题中,有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积.设水箱的高度为x,填写下表:根据等量关系,列出方程:.解得x= 6.25.因此,水箱的高变成了m.(1)看一看:让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程;(2)列一列:根据问题中的等量关系列出方程,并解方程,使问题(一)得到解决.1.引导学生分析问题中的已知量与未知量.2.用实物模拟演示水箱由“矮”变“高”的变化过程.3.引导学生探究问题中的等量关系,列方程并解方程.学生独立思考,找出解决问题的方法和思路,列方程,解决问题(一).通过观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程.四、探究例题用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米?(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少?它所围成的图形的面积与(2)中相比又有什么变化?1.学生分四人小组讨论解决问题,并根据计算的结果作出各自的长方形(或正方形).2.抽派小组代表阐述解题的步骤以及思路,并展示自己所在的小组所作的长方形(或正方形).3.通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.分析:由题意可知,长方形的周长始终是不变的,即长与宽的和为5米，在解决这个问题的过程中,要抓住这个等量关系.解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.根据题得x+x+1.4=10×.解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.(2)设此时长方形的宽为xm,则它的长为(x+0.8)m.根据题意,得x+x+0.8=10×.解这个方程,得x=2.1.2.1+0.8=2.9.此时长方形的长为2.9 m,宽为2.1 m,面积为2.9×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33(m2).(3)设正方形的边长为x m.根据题意,得x+x=10×.解这个方程,得x=2.5.正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m 2),比(2)中面积增大6.25-6.09=0.16(m 2).总结：小知识要知道长方形的长与宽越接近，面积越大，长与宽相等时面积最大五、课堂练习墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？分析：等量关系是变形前后周长相等解：设长方形的长是 x 厘米，则 26410)10(2⨯+⨯=+x16=x因此小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。

北师大版初中数学七年级上册5.3 应用一元一次方程——水箱变高了课件

想一想什么发生了变化？
什么没有发生变化？
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积解：设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
锻压前
底面半径
高
9 cm
体积
锻压后
x cm
探究新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
根据等量关系，列出方程： π× 102×9 = π× 52×x
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米；面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果
两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是
(B)
A．20 cm
B．24 cm
C．48 cm
D．144 cm
课堂检测
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
基础巩固题
2.从一个底面半径是10cm的凉水杯中，向一个底面半径为 5cm，高为8cm的空玻璃杯中倒水，当玻璃杯倒满水后，凉水杯的水面将下降( B ) A．8cm B．2cm C．5cm D．4cm
北师大版数学七年级上册 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
5.3 应用一元一次方程 ——水箱变高了
导入新知
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了/
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？

初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结

初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结知识点总结1.这类应用题中所涉及的公式（1）长方形的周长=2（长+宽）（2）长方形的面积=长×宽（3）长方体的体积=长×宽×高（4）正方体的体积=边长×边长×边长（5）圆的周长=2πr（6）圆的面积=πr2（7）圆柱的体积=底面积×高=πr2h2.形积变化问题（1）形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.（2）形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等.（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.3.例题讲解例1某农民准备利用一面旧墙围一长方形鸡舍，他编好了6米竹篙笆,考虑三种方案.（1）要使长比宽多0.6米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?（2）要使长比宽多0.3米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?（3）要伸长和宽相等，此时长方形的边长是多少米?解：如图所示，设长方形的宽为x米（1）根据题意，得x+x+(x+0.6)=6,解得x=1.8,1.8+0.6= 2.4.1.8x2.4=4.32.这时长方形的长是2.4米，宽1.8米，面积是4.3方米.（2）根据题意，得x+x+(x+0.3)=6，解得x=1.9,1.9+0.3=2.2.1.9x2.2=4.18.这时长方形的长是2.2米，宽是1.8米，面积是4.18平方米.（3）根据题意，得 3x=6,x=2,2x2=4.这时长方形的边长是2米，面积是4平方米.说明:当材料一定时，三种方案所围成的面积不同，其中第一种方案面积较大，值得选择，这是一个解方程探究最优方案的问题.图文导学。

北师大版七年级上册数学《应用一元一次方程―水箱变高了》一元一次方程说课研讨教学复习课件

依题意，列方程可得 x ( 75－64－x ) 64，
20%
15%
解之得x＝____5_.6___．
75－64－x＝___7_5_－__6_4_－__5_.6____＝___5_._4___．
方法2：设12月份甲柜台的营业额是y万元，则乙柜
台的营业额是(64－y)万元．
（来自《典中点》）
知2－讲
依据题意，列方程得___(1_＋__2_0_%__)_y_＋__(_1_＋__1_5_%_)_____ _(_6_4_－__y_)_＝__7_5_，解得y＝___2_8____．所以甲柜台增长了__2_8___×20%＝___5_.6__(万元)，乙柜台增长了__(_6_4_－__2_8_)_×15%＝___5_.4___(万元)．答：甲柜台的营业额增长了___5_._6___万元，乙柜台的营业额增长了____5_._4__万元．
列方程解应用题的一般步骤：设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确
定答案；可简要地概括为“设、列、解、检、答”．
知1－讲
例1 3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵，要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？ (1)审题：审清题意，找出已知量和未知量；
（来自《典中点》）
知3－练
3 洗衣机厂今年计划生产洗衣机25 500台，其中A型，B型，C型三种洗衣机的产量之比为 1:2:14，这三种洗衣机分别计划生产多少台？
（来自《典中点》）
知3－练
解：设A型、B型、C型这三种洗衣机分别计划生产 x台、2x台、14x台．由题意得x＋2x＋14x＝25 500.解得x＝1 500. 所以2x＝2×1 500＝3 000， 14x＝14×1 500＝21 000. 答：这三种洗衣机分别计划生产1 500台、3 000台、 21 000台．

七年级数学上册《应用一元一次方程水箱变高了》优秀教学案例

2.设定未知数，建立方程：设定未知数为水位上升的高度，根据水箱的形状和已知条件，建立一元一次方程。
3.解方程，求解未知数：运用一元一次方程的解法，求解未知数，并解释结果的实际意义。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组学生合作解决一个与水箱变高类似的问题。具体步骤如下：
1.小组讨论：每组学生根据问题，共同分析、讨论，建立一元一次方程模型。
3.小组合作学习模式
小组合作学习在本案例中发挥了重要作用。通过合理分组，确保每个学生都能在小组中发挥自己的优势，共同解决问题。在合作学习过程中，学生相互讨论、交流、分享，不仅提高了团队协作能力，还培养了沟通能力和解决问题的能力。
4.反思与评价相结合
本案例注重学生的反思与评价。在教学过程中，引导学生对自己的学习过程进行反思，总结收获和不足，提高自我认知。同时，组织学生进行相互评价，学会欣赏他人、提出建设性意见。这样的设计有助于促进学生之间的相互学习，提高教学质量。
在教学过程中，以水箱变高为背景，引导学生运用一元一次方程的知识，解决实际的水位变化问题。这不仅有助于巩固学生对一元一次方程的理解，还能培养学生将数学知识应用于现实生活的能力，提高学生的创新意识和解决问题的能力。
本案例注重以人为本，关注学生的个体差异，鼓励学生主动探究、合作交流，以实现课程标准中倡导的“人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展”的理念。通过本节课的学习，让学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，感受数学的无穷魅力。
同时，我还会组织学生进行相互评价，让学生学会欣赏他人的优点，发现他人的不足，并给出建设性的意见。通过评价，促进学生之间的相互学习，提高整体教学质量。
此外，我还将结合课堂教学，定期对学生的学习成果进行评价，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能，不断提高教学效果。

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》这一节内容，是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识、解一元一次方程的基本方法的基础上进行讲解的。

通过前面的学习，学生已经知道如何列出一元一次方程，并能够熟练地解一元一次方程。

而本节课，则是让学生运用一元一次方程解决实际问题，从而提高学生解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的基本知识和解一元一次方程的基本方法，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决问题，也有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往因为对问题的理解不够深入，而导致列出的方程不正确，或者解出的答案与实际情况相差较远。

因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，培养学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生会将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决生活问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生感受到数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.教学难点：学生对实际问题的理解，如何正确列出方程，并解出符合实际情况的答案。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。

同时，我会利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

2.新课讲解：讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

数学人教版七年级上册应用一元一次方程——水箱变高了

2.学生用预先准备好的40厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比较小组内四个同学的计算结果，你发现了什么？
3.活动内容：课本例题
安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系
橡皮泥，40厘米长的铁丝
其他评价
课堂观察、课后访谈、大型作业
作业清单
作业
差异化教学策略（提出针对超前学生和滞后学生的个性化教学措施，确保人人参与活动）
让不同组别的学生派代表提问，针对不同的组设计不同的课堂练习和课后作业，让各个层次的学生都能得到适当的训练，逐渐提高学习能力。
教学反思（请在实施后填写）
1.创造性地使用教材.
本节课的引入新颖自然，通过两个实验（情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化），使学生对课题有了初步的认识，并通过学生对实验的观察，发现了在物体形状变化时的不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中的表格发给每个小组，为增强小组讨论结果的展示起到了较好的作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论的得出起到辅助作用.
3.注意改进的方面
本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生的求知欲望，课堂气氛活跃，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己的想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改进.
设计概览
教学主题
应用一元一次方程——水箱变高了
涉及学科（领域）
数学
授课年级
七年级
前需技能（学生在开始此单元前必须掌握的知识或技能）
本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中的不变量，对于基本图形的体积、面积、周长等公式，学生已在小学系统学习，对于一元一次方程的解法本章的前部分已经学习。

北师大版七年级数学一元一次方程应用水箱变高了与打折销售

一元一次方程应用水箱变高了与打折销售【学习目标】1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点进阶：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．要点二、水箱变高了（等积变形问题）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.常用的面积、体积公式：长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4；面积公式：边长×边长正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=2d r ππ=；面积公式：2S r π=；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=13×底面积×高要点进阶：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变.要点三、打折销售（利润问题） (1)-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点进阶：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑．要点四、方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）例1．据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．类型二、打折销售（利润问题）例2．某商店在一笔交易中卖了两个进价不同的随身听，售价都为132元，按成本计算，其中一个盈利20%，另一个盈利10%，则该商店在这笔交易中共赚了元．举一反三：【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）例3．商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的110)，问商场将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)．类型三、方案设计问题例4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多，为什么?举一反三：【变式】（2015春•绿园区期末）某移动公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴费50元月租费，然后每通话1min再付话费0.4元；“快捷通”不缴月租费，每通话1min付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若一个月通话xmin，两种方式的费用分别为y1元和y2元．（1）用含x的式子分别表示y1和y2，则y1= ，y2= ；（2）某人估计一个月通话300min，选择哪种业务合算？（3）每个月通话多少分钟时，两种方式所付的费用一样多？【巩固练习】一、选择题1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出了这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径是d ，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为h ，则小明的这块矿石体积是（）A ． 4πd 2hB ． 2πd 2h C ． πd 2h D ． 4πd 2h2. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（）A ． 64B ． 100C ． 144D ． 2253. 如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB=？（）A ． 5：3B ． 7：5C ． 23：14D ． 47：294．小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”小王购买豆角的数量是（）A ．25斤B ．20斤C ．30斤D ．15斤5. 受季节影响，某种商品开始实行优惠措施，按原价降低10%后，又降低a 元，现在每件售价b 元，那么该商品每件的原售价为（）A ． 110%a b +-B ． -110%b a - C ．（1﹣10%）（a+b ） D ．（1﹣10%）（a ﹣b ）6.超市推出如下优惠方案:（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．李明两次购物分别付款80元，252元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款（）A ．288元B ．332元C ．288元或316元D ．332元或363元7．爷爷病了，需要挂100毫升的药液，小明守候在旁边，观察到输液流量是每分钟3毫升，输液10分钟后，吊瓶的空出部分容积是50毫升（如图），利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是毫升．8．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为．9.矩形ABCD被分成6个正方形，其中最小的正方形边长为1，则矩形ABCD的面积为．10.某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省元．11．某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了34元.则该学生第二次购书实际付款______________元.12. 中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 .13. 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按40％的利润定价，乙服装按50％的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装的成本各是多少元？14.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的九折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用．（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．15. 从2014年8月1日起，浙江省城乡居民生活用电执行新的电价政策，小聪家今年安装了新的电表，他了解到安装”一户一表”的居民用户，按用抄见电量（每家用户电表所表示的用电量）实行阶梯式累进加价，其中低于50千瓦时（含50千瓦时）部分电价不调整；51﹣200千瓦时部分每千瓦时电价上调0.03元；超过200千瓦时的部分每千瓦时电价再上调0.10元．已知调整前电价统一为每千瓦时0.53元．（1）若小聪家10月份的用电量为130千瓦时，则10月份小聪家应付电费多少元？（2）已知小聪家10月份的用电量为m千瓦时，请完成下列填空：①若m≤50千瓦时，则10月份小聪家应付电费为元；②若50＜m≤200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为元；③若m＞200千瓦时，则10月份小聪家应付电费为元．（3）若10月份小聪家应付电费为96.50元，则10月份小聪家的用电量是多少千瓦时？。

一元一次方程：水箱变高了、打折销售

一元一次方程应用题(一)知识梳理:复习回顾：1.解一元一次方程的步骤有哪些？2.解下列方程：(1)43(20)4x x --=- 758(2)143x x -+-=一、水箱变高了：圆柱的体积=2π⨯⨯半径高例1：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m 的圆柱形储水箱。

现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m 。

那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m 增高为多少米？等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积根据等量关系，列出方程： ()()224x ππ⨯⨯=⨯⨯ 解得：x=答：变式练习：将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？这个问题中的等量关系是：解：例2：用一根长为10m 的铁丝围成一个长方形.（1）使得该长方形的长比宽多1.4m ，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比、面积有什么变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？例3：（1）小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？（2）若小明用10米铁线在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？二、打折销售例4：算一算：（1）原价100元的商品打8折后价格为元；（2）原价100元的商品提价40%后的价格为元；（3）进价100元的商品以150元卖出，利润是元，利润率是；（4）原价X元的商品打8折后价格为___ 元。

（5）原价X元的商品提价40%后的价格为元；（6）原价100元的商品提价P %后的价格为（7）进价A元的商品以B元卖出，利润是元，利润率是例5：（1）我是按成本价提高40%后标的价，你按8折销售，我已算过了，每件可赚15元。