2022-2021学年高二数学人教B版必修4学案：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
1.平面对量数量积的坐标表示
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b
＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度
(1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.
(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式
设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b
|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22
.
[情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示
思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.
又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，
∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.
思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).
反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).
探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ，
∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2.
思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →
的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)、B (3,2)、C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →
|与点D 的坐标. 解 设点D 坐标为(x ，y )，
则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →
＝(－6，－3)， BD →
＝(x －3，y －2)，
∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →
共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →
， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3).
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－6λ，y －2＝－3λ.
∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →
＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②
由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即D 点坐标为(1,1)，AD →
＝(－1,2). ∴|AD →|＝
(－1)2＋22＝5，
即|AD →
|＝5，D (1,1).
反思与感悟 在几何里利用垂直及长度来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及长度列出方程组进行求解.
跟踪训练2 以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB ，∠B ＝90°，求点B 和AB →
的坐标. 解 设B (x ，y )，则|OB →
|＝
x 2＋y 2，
∵B (x ，y )，A (5,2)，∴|AB →
|＝(x －5)2＋(y －2)2.
又∵|AB →|＝|OB →
|，∴
(x －5)2＋(y －2)2＝
x 2＋y 2.
可得10x ＋4y ＝29，①
又OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，且OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →
＝0，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0， 即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0，②
由①②解得⎩⎨⎧
x 1＝32
，
y 1
＝7
2，
或⎩⎨⎧
x 2＝72
，
y 2
＝－3
2
.
∴B ⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72
，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →
＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 探究点三 平面对量夹角的坐标表示
思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？ 答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答 cos θ＝a·b
|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
. 例3 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角. 解 设a 与b 的夹角为θ， 则a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)由于a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12
.
(2)由于a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b <0且a 与b 不反向. 由a·b <0得1＋2λ<0，故λ<－1
2
，
由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不行能反向.
所以λ的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2. (3)由于a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b >0且a ，b 不同向.
由a·b >0，得λ>－1
2，由a 与b 同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为⎝⎛⎭
⎫－1
2，2∪(2，＋∞). 反思与感悟 由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a·b
|a||b |来推断，可将θ分五种
状况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角.
跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围. 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝
1＋λ2，a ·b ＝λ－1.
∵a ，b 的夹角α为钝角.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).
1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π
2 答案 B
解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝510×5＝2
2
. 又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π
4
.
2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C
解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2 ＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0， ∴n 2＝3.∴|a |＝
12＋n 2＝2.
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →
＝(2,3)，则k 的值为________. 答案 5
解析 ∵BC →＝AC →－AB →
＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →
＝(2,3)，
∴BC →·AC →
＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.
4.已知平面对量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 答案 82
解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，
∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ， ∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2 ＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.
[呈重点、现规律]
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题供应了完善的理论依据和有力的工具支持.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的力气.
3.留意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a
⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
一、基础过关
1.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π
6，则实数m 等于( )
A.2 3
B. 3
C.0
D.－3 答案 B
解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝
12＋(3)2×
32＋m 2×cos π
6
，
∴3＋3m ＝12＋(3)2×
32＋m 2×cos π
6
，
∴m ＝ 3.
2.已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17
B.17
C.－16
D.16
答案 A
解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2). 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－1
7
.
3.平面对量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B.23 C.4 D.12 答案 B
解析 ∵a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝
a 2＋4·a ·
b ＋4b 2＝2 3.
4.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－7
9 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79
，－73 答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－7
3
.
5.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4 B.π6 C.π4 D.3π
4
答案 C
解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，
∵α∈[0，π]，∴α＝π
4
.
6.设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________. 解 ∵θ为钝角，∴cos θ＝
a ·b
|a ||b |
<0， 即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <8
5
.
∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－5
2，
当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－1
2b ，
∴a 与b 反向，即θ＝π.
故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－5
2.
7.已知a ＝
(4,3)，b ＝(－1,2).
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝
42＋32＝5，|b |＝
(－1)2＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝
a ·
b |a ||b |＝255＝25
25
. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.
二、力气提升
8.已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
答案 B
解析 由于m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2). 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1). 由于(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.
9.已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →
方向上的正射影的数量为( ) A.322
B.315
2
C. －322
D.－3152
答案 A
解析 ∵AB →＝(2,1)，CD →
＝(5,5)， ∴AB →在CD →
方向上的正射影的数量为 AB →·CD →
|CD →|
＝2×5＋1×552＋52
＝1552＝32
2.
10.平面对量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.
答案 2
解析 由于向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，
所以5m ＋85＝8m ＋2025，
解得m ＝2.
11.在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →
＝(－1，k －3).
若∠A ＝90°，则AB →·AC →
＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－2
3
；
若∠B ＝90°，则AB →·BC →
＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113
；
若∠C ＝90°，则AC →·BC →
＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132
.
故所求k 的值为－23或113或3±13
2
.
12.设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值. 解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝
(1－2m )2＋(2－3m )2，
∴cos 45°＝c ·d
|c ||d |
＝
2－3m
(1－2m )2＋(2－3m )2
＝
22
. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝3
5.
三、探究与拓展
13.已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4). (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →
＝(－3,3)， 又∵AB →·AD →
＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →
，即AB ⊥AD .
(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →
. 设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →
＝(x ＋1，y －4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5.
∴C 点坐标为(0,5). 由于AC →＝(－2,4)，BD →
＝(－4,2)， 所以AC →·BD →
＝8＋8＝16>0， |AC →|＝2 5，|BD →
|＝2 5. 设AC →与BD →
夹角为θ，则 cos θ＝AC →·BD →
|AC →|·|BD →|
＝1620＝4
5>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为4
5
.。