立体几何 解答题专项训练-2022届高三数学三轮冲刺复习
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设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成角的大小为 ，
则 ， ，
∴平面 与平面 所成角的大小为 .
(3)点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
设 则 ， ， ， ，
，
解得 ，∴线段 的长为 .
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，所以 .
2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AB=CD=BC=CF=1。
19、如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， 平面 ， ，且 .
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）已知点G在CF上，当 时，求直线DG与平面BDE所成角的正弦值.
20、如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 是 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
立体几何解答题专项训练
1、在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面 ，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AB=CD=BC=CF=1。
(1)求证:EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值。
(1)求证:EF∥平面SAD.
(2)若G为线段AB上一动点,求平面EFG与平面ABCD间最小锐二面角的余弦值.
15、如图1所示，在矩形 中， ， ， 为 中点，将 沿 折起，使点 到点 处，且平面 平面 ，如图2所示.
（1）求证： ；
（2）在棱 上取点 ，使平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(1)求证： ；
(2)若 与底面 所成角的正切值为 ，求二面角 的正弦值.
5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ， 为等边三角形，平面 平面ABCD，F为AB的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
6、在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ， 为 与 的交点，点H为棱 的中点.
16、在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为 ，求 的值．
17、如图所示，正方形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ， ， ， .
(1)求证:EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值。
3、如图，在四棱锥 中， ， 底面 ， 是边长为2的菱形， ，正 所在平面与底面 垂直．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
4、如图所示，已知四棱锥 中，底面 是矩形，平面 底面 且 为 中点.点P在平面ABCD上的投影在线段AD上.
（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
18、如图，在梯形 中， ，现将 所在平面沿对角线 翻折，使点B翻折至点E，且成直二面角 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）如图乙，设 ， 的延长线交于点M，求二面角 的余弦值.
9、如图，在 中， ，百度文库边 ，现将 绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点， 为圆锥底面圆周上异于B，D的一点．
(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求二面角 的正弦值．
10、如图，在三棱柱 中， ， ， ， .
解：(1)证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以直线 平面 .
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
由题可知 为平面 的一个法向量，所以 .
又因为 平面 ， 平面 .
(2) ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
21、已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 分别是 的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
参考答案
1、在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面 ，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
11、如图1，已知 为等边三角形，四边形 为平行四边形， ，把 沿 向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）在（1）的条件下求二面角 的余弦值．
12、如图， ， 分别是圆台上下底面的圆心， 是下底面圆的直径， ，点 是下底面内以 为直径的圆上的一个动点（点 不在 上）.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
7、如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，且 ， ．
(1)证明：平面 平面PBD；
(2)直线PC上是否存在一点M使得二面角 为直二面角，若存在，求出M点的位置；若不存在，请说明理由．
8、如图甲，三棱锥 ， 均为底面边长为 ､侧棱长为 的正棱锥，且A､B､C､D四点共面（点P，Q在平面 的同侧）， ， 交于点O.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ，求二面角 的余弦值.
13、在三棱柱 中，四边形 是菱形，AB⊥AC，平面 平面ABC，平面 与平面 的交线为l．
（1）证明： ；
（2）已知 ， ，l上是否存在点P，使 与平面ABP所成角为 ？若存在，求 的长度；若不存在，说明理由．
14、如图,四棱锥S-ABCD,E、F分别为BS、CD中点,ABCD为菱形,∠BAD=60°,△SAD为正三角形,AB= 2,面SAD⊥面ABCD.
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成角的大小为 ，
则 ， ，
∴平面 与平面 所成角的大小为 .
(3)点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
设 则 ， ， ， ，
，
解得 ，∴线段 的长为 .
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
又 ，所以 .
2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AB=CD=BC=CF=1。
19、如图，在多面体 中，四边形 是菱形， ， 平面 ， ，且 .
（I）求证： 平面 ；
（Ⅱ）已知点G在CF上，当 时，求直线DG与平面BDE所成角的正弦值.
20、如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 是 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
立体几何解答题专项训练
1、在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面 ，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD= ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AB=CD=BC=CF=1。
(1)求证:EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值。
(1)求证:EF∥平面SAD.
(2)若G为线段AB上一动点,求平面EFG与平面ABCD间最小锐二面角的余弦值.
15、如图1所示，在矩形 中， ， ， 为 中点，将 沿 折起，使点 到点 处，且平面 平面 ，如图2所示.
（1）求证： ；
（2）在棱 上取点 ，使平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
(1)求证： ；
(2)若 与底面 所成角的正切值为 ，求二面角 的正弦值.
5、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ， 为等边三角形，平面 平面ABCD，F为AB的中点．
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
6、在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ， 为 与 的交点，点H为棱 的中点.
16、在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为 ，求 的值．
17、如图所示，正方形 所在平面与梯形 所在平面垂直， ， ， ， .
(1)求证:EF⊥平面BCF；
(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大？并求此时锐二面角的余弦值。
3、如图，在四棱锥 中， ， 底面 ， 是边长为2的菱形， ，正 所在平面与底面 垂直．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
4、如图所示，已知四棱锥 中，底面 是矩形，平面 底面 且 为 中点.点P在平面ABCD上的投影在线段AD上.
（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点E，使得二面角 的余弦值为 ，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由.
18、如图，在梯形 中， ，现将 所在平面沿对角线 翻折，使点B翻折至点E，且成直二面角 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）如图乙，设 ， 的延长线交于点M，求二面角 的余弦值.
9、如图，在 中， ，百度文库边 ，现将 绕AC旋转一周得到一个圆锥，BD为底面圆的直径，点P为圆锥的内切球O与CD的切点， 为圆锥底面圆周上异于B，D的一点．
(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求二面角 的正弦值．
10、如图，在三棱柱 中， ， ， ， .
解：(1)证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，所以直线 平面 .
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
由题可知 为平面 的一个法向量，所以 .
又因为 平面 ， 平面 .
(2) ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
21、已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 分别是 的中点， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
参考答案
1、在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ， ，平面 平面 ，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的大小；
(3)已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
11、如图1，已知 为等边三角形，四边形 为平行四边形， ，把 沿 向上折起，使点E到达点P位置，如图2所示；且平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）在（1）的条件下求二面角 的余弦值．
12、如图， ， 分别是圆台上下底面的圆心， 是下底面圆的直径， ，点 是下底面内以 为直径的圆上的一个动点（点 不在 上）.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
7、如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，且 ， ．
(1)证明：平面 平面PBD；
(2)直线PC上是否存在一点M使得二面角 为直二面角，若存在，求出M点的位置；若不存在，请说明理由．
8、如图甲，三棱锥 ， 均为底面边长为 ､侧棱长为 的正棱锥，且A､B､C､D四点共面（点P，Q在平面 的同侧）， ， 交于点O.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ， ，求二面角 的余弦值.
13、在三棱柱 中，四边形 是菱形，AB⊥AC，平面 平面ABC，平面 与平面 的交线为l．
（1）证明： ；
（2）已知 ， ，l上是否存在点P，使 与平面ABP所成角为 ？若存在，求 的长度；若不存在，说明理由．
14、如图,四棱锥S-ABCD,E、F分别为BS、CD中点,ABCD为菱形,∠BAD=60°,△SAD为正三角形,AB= 2,面SAD⊥面ABCD.