曲率约束正则化
有偏估计之——病态方程的常用解法
b、条件数法 K cond N N N 1
max min
一般认为K 100时没有复共线性； K 1000 时存在严重的复共线性 ，系统 呈病态。这个指标是在 对数据中心化标准化的 前提下得到的。但在测 量 数据处理实际应用中， 如GP S快速定位中，条件数大 致在1013 左右。所以 对上述准则应根据实际 情况修正取舍。 条件数法的缺点是不能 判定设计矩阵B中有几个复共线性关系 。 c、CTVDP法 条件指标 方差分解比方法。
岭参数有多种选取法，常用的 有L曲线法、岭迹法及 GCV 法等。在
ˆ V T PV x ˆT x ˆ min中，V T PV和x ˆT x ˆ均为岭参数的函数，选 式 x
ˆ x ˆT x ˆ 为纵坐标作图，得一条 择不同的值，以 V T PV 为横坐标， x L曲线法的关键是定 L曲线法上曲率
常用均方误差MSE来评价病态情形下参数的估值质量。
由均方误差公式：
2 T 2 ~ ~ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ MSE x E x x x x 0 tr Qx ˆx ˆ E x x
1 2 tr B B
2 0 T
T T
所以正则化法单位权方 差无偏估计的计算公式 为 2 ~ V T PV 2 ~ x T Q Q x ˆ0 n t 2tr Q2
ˆ代替。 计算时，由于无法得到 参数真值~ x ，可以用参数估值 x
岭参数（正则化参数）的选取—L曲线法（1）
根据二次型的期望公式 ，有
E V T PV tr PE V T V tr PDVV tr PEV E V 而
正则化方法赫森矩阵 -回复
正则化方法赫森矩阵-回复什么是正则化方法赫森矩阵？在机器学习和统计学中，正则化是一种常用的方法，用于减小学习算法的复杂度并防止过拟合。
而赫森矩阵（Hessian Matrix）是用于描述多元函数的二阶偏导数的矩阵。
正则化方法和赫森矩阵在机器学习中扮演着重要的角色，通过对样本数据进行适当的惩罚，提高了机器学习算法的泛化能力，并减小了模型的复杂度。
本文将一步一步回答关于正则化方法赫森矩阵的问题，以帮助读者更好地理解它们的原理和应用。
第一部分：正则化方法1. 什么是正则化方法？正则化是一种用于减小模型复杂度并防止过拟合的技术。
它通过在损失函数中增加一个正则化项，对模型的参数进行约束，控制参数的大小，以避免模型在训练数据上过多地关注噪声或异常点，从而提高模型的泛化能力。
2. 为什么需要正则化方法？在机器学习中，模型在训练数据上可能会出现过拟合现象，即模型过于复杂，过度拟合了训练数据中的噪声和异常点，导致在新的数据上表现不佳。
正则化方法通过限制模型的参数大小，降低复杂度，提高了模型在新数据上的预测准确性。
3. 常见的正则化方法有哪些？常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过在损失函数中加入模型参数的绝对值之和，并使得部分参数为0，从而实现特征选择和稀疏性；L2正则化则通过在损失函数中加入模型参数的平方和，并使得参数趋于较小的值，从而平滑模型的参数，并避免过拟合。
第二部分：赫森矩阵1. 什么是赫森矩阵？赫森矩阵是一个描述多元函数的二阶偏导数的矩阵。
对于一个具有n个自变量的函数，赫森矩阵是一个n×n的矩阵，其中每个元素是函数的二阶偏导数。
2. 赫森矩阵有什么作用？赫森矩阵提供了有关函数局部曲率变化的信息，可以帮助我们理解函数在某一点附近的趋势和形状。
尤其在求解优化问题时，赫森矩阵可以帮助我们确定函数的极值点以及该点的性质。
3. 如何计算赫森矩阵？为了计算一个多元函数的赫森矩阵，我们需要求解函数的所有一阶和二阶偏导数。
地球物理反演理论
地球物理反演理论一、解释下列概念1.分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。
它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
2.协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。
其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。
在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。
在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。
可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:()(1)(cov )u aspread R size m α+-如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。
而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。
这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题4.正则化用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。
离散曲面曲率流 曲率
离散曲面曲率流曲率离散曲面曲率流是一种曲面重建方法，主要用于处理分割或几何复杂的曲面。
曲率是指曲面上的弯曲程度，通常通过曲面的一阶和二阶导数来定义。
曲率流是一种基于曲率的演化模型，旨在通过对曲面曲率的改变来重构曲面。
离散曲面曲率流则是在曲率流的基础上，加入了离散化的处理，用离散的点和三角形网格来描述曲面。
本文将对离散曲面曲率流的原理、方法、应用进行详细介绍。
一、曲率流原理曲率流模型本质上是一种偏微分方程模型，通过求解适当的变分问题求得曲面上的曲率函数，从而实现曲面重建。
曲率流模型的基本思想是通过表示曲面的局部几何特征，如曲率、法向量等，来构建一个能量函数，并通过求解这个能量函数的变分问题来求解曲面的形状。
变分问题通常是把能量函数最小化的问题，因此求解变分问题就是在一定约束条件下，求解代表曲面形状的函数，使得曲面上的这个函数最小化能量函数。
对于一个曲面上的点p，其曲率可以通过曲率半径r或曲率矩k来表示。
曲率半径r是曲面局部弧的半径，曲率矩k是曲面局部高斯曲率和平均曲率之和。
离散曲率流的主要思路是，以曲率作为曲面形状候选变量，建立起能量函数，并将曲率作为能量函数的极小点。
具体来说，离散曲率流模型中，曲面上的点和三角形网格被离散化，曲率在每个网格上被定义，曲面恢复的目标是找到一组使得能量函数最小的曲率值。
能量函数通常由曲率以及曲率对空间位置的依赖构成，更常用的是高斯曲率的能量函数，其公式为：E(k) = ∑f∑k[f]W[k[f]]²其中k[f]是三角形网格f上的曲率值，W[k[f]]是一个权重函数，它使得高斯曲率的能量函数对相对于平均曲率的变化更加敏感。
二、离散曲率流方法离散曲率流方法主要包括两个步骤：曲率的初始化和曲率的流动。
曲率的初始化是指给定初始的曲率函数，通常可以采用一些传统的方法来预估曲率值，例如三角形法向量、Shepard插值等。
曲率流动是指根据初始的曲率函数和能量函数，逐步调整曲率值，使得能量函数达到最小值。
正则化方法赫森矩阵
正则化方法赫森矩阵一、引言在机器学习和数据挖掘领域，正则化方法赫森矩阵作为一种重要的优化手段，得到了广泛的研究和应用。
本文将对正则化方法及其与赫森矩阵的关系进行详细阐述，以期为相关领域的研究者和从业者提供有益的参考。
二、正则化方法概述1.概念解释正则化方法是一种在优化问题中添加惩罚项的方法，目的是在训练模型时防止过拟合现象。
通过引入正则化项，可以对模型的复杂度进行约束，从而在很大程度上提高模型的泛化能力。
2.应用场景正则化方法广泛应用于线性回归、逻辑回归、支持向量机等众多机器学习模型中。
在实际问题中，正则化方法可以根据具体场景和需求进行调整，以达到最佳的优化效果。
三、赫森矩阵简介1.定义及性质赫森矩阵（Hessian Matrix）是描述二次函数在某一点处梯度的一阶导数和二阶导数的矩阵。
在优化问题中，赫森矩阵可以用来表示目标函数的曲率，对于分析函数的极值点和鞍点具有重要意义。
2.与正则化方法的关系赫森矩阵在正则化方法中的应用主要体现在对目标函数的梯度进行修正。
在正则化方法中，梯度下降法的基础上，引入赫森矩阵可以得到更为稳定和收敛速度更快的优化算法。
四、正则化方法与赫森矩阵在实际应用中的案例分析1.案例一1.问题描述：线性回归模型在面临大量数据时，容易出现过拟合现象。
2.解决方案及步骤：采用岭回归（Ridge Regression）正则化方法，在目标函数中加入赫森矩阵乘以惩罚项，从而约束模型的复杂度。
2.案例二1.问题描述：支持向量机（SVM）在处理高维数据时，可能出现拟合不佳的现象。
2.解决方案及步骤：引入赫森矩阵的正则化方法，如核岭回归（Kernel Ridge Regression），可以提高模型的泛化能力。
五、正则化方法与赫森矩阵的优缺点对比1.优点正则化方法和赫森矩阵的结合可以有效防止过拟合现象，提高模型的泛化能力。
同时，赫森矩阵可以反映出目标函数的曲率信息，有助于寻找全局最优解。
2.缺点计算赫森矩阵的过程较为复杂，可能导致计算量过大。
正则化约束方式 fisher信息矩阵
正则化约束方式 fisher信息矩阵
正则化约束方式和Fisher信息矩阵在机器学习和统计学习理论中都有着重要的作用。
它们通常被用来提高模型的泛化能力，防止过拟合，并在参数优化过程中提供有关模型不确定性的信息。
正则化约束方式是一种在损失函数中加入额外项的方法，用于控制模型的复杂度。
常见的正则化方式有L1正则化、L2正则化以及弹性网络等。
L1正则化通过在损失函数中加入参数绝对值的和，鼓励模型使用稀疏的参数，即让一些参数为零。
L2正则化则通过加入参数平方和的方式，鼓励模型使用较小的参数值，从而避免模型过于复杂。
弹性网络是L1和L2正则化的结合，通过平衡两种正则化方式的效果，可以在某些情况下获得更好的性能。
Fisher信息矩阵是一个在统计学和机器学习中用于衡量模型参数不确定性的矩阵。
它包含了关于模型参数估计量的二阶偏导数信息，即海森矩阵的逆。
Fisher信息矩阵在多种优化算法中都有应用，例如牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法利用Fisher信息矩阵来近似损失函数的曲率，从而在参数优化过程中获得更快的收敛速度和更准确的解。
将正则化约束方式与Fisher信息矩阵相结合，可以在参数优化过程中同时控制模型的复杂度和提供有关模型不确定性的信息。
例如，在正则化损失函数中加入Fisher信息矩阵的项，可以使得模型在优化过程中更加关注参数的不确定性，从而得到更加稳定和可靠的模型。
这种结合方式在实际应用中可能会带来更好的性能和更高的泛化能力。
正则化参数的确定方法
1. 拟最优准则Tikhonov 指出当数据误差水平δ和η未知时，可根据下面的拟最优准则：0min opt dx d ααααα>⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭（1-1） 来确定正则参数。
其基本思想是：让正则参数α以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。
2. 广义交叉验证令22(())/()[(())]/I A y m V tr I A mδααα-=- （2-1） 其中，*1*()A (A A I)A h h h h A αα-=+，1(I A())(1())mkk k tr ααα=-=-∑，()kk αα为()A α的对角元素。
这样可以取*α满足 *()min ()V V αα= （2-2）此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS 准则，但比它更稳健。
3. L_曲线法L 曲线准则是指以log-log 尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则 参数的方法。
其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L 曲线。
运用L 曲线准则的关键是给出L 曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数α。
Hanke 等[64]建议定义L 曲线的偶角为L 曲线在log-log 尺度下的最大曲率。
令log b Ax αρ=-，log x αθ=，则该曲率作为参数α的函数定义为''''''3'2'22()(()())c ρθρθαρθ-=+ （3-1）其中“'”表示关于α的微分。
H.W.Engl 在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L 曲线准则可通过极小化泛函()x b Ax ααφα=-来实现。
即,选取*α使得{}*0arg inf ()ααφα>= （3-2） 这一准则更便于在数值计算上加以实施。
但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L 曲线准则的收敛性结果。
另一方面,有文献己举反例指出了L 曲线准则的不收敛性。
基于曲率模态与柔度曲率的损伤识别
基于曲率模态与柔度曲率的损伤识别聂彦平;毛崎波;张炜【摘要】以含两条裂纹的两端固定梁为例,采用曲率模态差和模态柔度曲率差来检测结构的损伤.首先将梁的裂纹模拟为无质量的等效扭转弹簧,推导了裂纹梁的特征微分方程,利用边界条件和裂纹位置的连续性条件推导得到该裂纹梁的振形函数解析表达式.然后用中心差分法分别求解裂纹梁损伤前后的曲率模态值和模态柔度曲率值,利用其差值确定梁的损伤位置,进而确定损伤程度.最后讨论了曲率模态和柔度曲率对结构损伤识别的敏感性.【期刊名称】《机械研究与应用》【年(卷),期】2012(000)002【总页数】4页(P19-21,25)【关键词】损伤检测;结构模态;曲率模态;模态柔度【作者】聂彦平;毛崎波;张炜【作者单位】南昌航空大学飞行器工程学院,江西南昌330063;南昌航空大学飞行器工程学院,江西南昌330063;南昌航空大学飞行器工程学院,江西南昌330063【正文语种】中文【中图分类】TB123;O3271 引言在工程应用中，裂纹的识别与检测对于保证构件的正常使用具有重要意义。
根据结构动力学理论可知，裂纹的存在会对振动结构的固有频率和结构模态(振形)产生影响，因此，利用损伤前后结构参数(如固有频率、结构模态等)的变化来进行结构裂纹检测受到了广泛的重视。
Pandey［1］首先应用曲率模态检测简支梁和悬臂梁的裂纹。
随后有众多学者［2～5］对曲率模态方法进行了大量研究，结果表明:与固有频率和振型相比较，曲率模态是结构检测中的一个非常灵敏的参数。
与此同时，基于模态柔度［6～9］的损伤检测也被深入研究。
以含两条裂纹的两端固定梁为例，分别通过曲率模态和模态柔度曲率方法确定梁的损伤位置和损伤程度，并对比分析。
2 双裂纹梁模型选取梁长L=1m，厚度为h=0.02m的铝材双裂纹梁建立模型，假设梁的边界条件为两端固定，并在l1和l2两个位置设置损伤，损伤程度分别为r1和r2，损伤后将梁分为3段，由文献［1］，［2］可知，裂纹可以模拟为无量纲的等效弹簧，如图1所示。
正则化参数λ
正则化参数λ或者α如何选择？1Tikhonov （吉洪诺夫）正则化投影方程Ax=b （1）在多种正则化方法中，Tikhonov 正则化方法最为著名，该正则化方法所求解为线性方程组众多解中使残差范数和解的范数的加权组合为最小的解：（2）式中22. 表示向量的 2 范数平方；λ 称为正则参数，主要用于控制残差范数22Ax b与解的范数22Lx 之间的相对大小； L 为正则算子，与系统矩阵的具体形式有关。
Tikhonov 正则化所求解的质量与正则参数λ 密切相关，因此λ 的选择至关重要。
确定正则参数的方法主要有两种：广义交叉验证法和 L-曲线法。
（1）广义交叉验证法（GCV ，generalized cross-validation ）广义交叉验证法由 Golub 等提出，基本原理是当式Ax=b 的测量值 b 中的任意一项i b 被移除时，所选择的正则参数应能预测到移除项所导致的变化。
经一系列复杂推导后，最终选取正则参数λ 的方法是使以下 GCV 函数取得最小值。
（3）式中T A 表示系统矩阵的转置； trace 表示矩阵的迹，即矩阵中主对角元素的和。
（2）L-曲线法（L-curve Method ）L-曲线法是在对数坐标图上绘制各种可能的正则参数所求得解的残差范数和解的范数，如图1所示，所形成的曲线一般是 L 形。
图1 L 曲线示意图L 曲线以做图的方式显示了正则参数变化时残差范数与解的范数随之变化的情况。
从图中知道当正则参数λ 取值偏大时，对应较小的解范数和较大的残差范数；而当λ 取值偏小时，对应较大的解范数和较小的残差范数。
在 L 曲线的拐角（曲率最大）处，解的范数与残差范数得到很好的平衡，此时的正则参数即为最优正则参数。
另外一种方法Morozov 相容性原理是一种应用非常广泛的选取策略，它是通过求解非线性的Morozov 偏差方程来得到正则化参数。
投影方程Kx=y考虑有误差的右端观测数据 y Y δ∈ 满足y y δδ-≤，Tikhonov 正则化方法是通过极小化Tikhonov 泛函。
Burg谱的阶数依赖性与最佳正则化参数的选择
（． １ 重庆 大 学 电气 工 程 学 院 ，重 庆 ４ ０ ４ ； ２ 重 庆 交通 大学 ００４ ． 图书 馆 ，重 庆 ４０７ ０ ０ ４）
摘要 ：利 用Ｂ ｒ 法分 析 了被 白噪 声 污染 的功率 谱 ， 并将 结果 与传统 周 期 图法进 行 了比较 。 当阶数 比 ｕｇ 较 小时 ，Ｂ ｒ谱 比较 平坦 ，信 号被噪 声掩盖 ； 随着阶数 的增加 ，分辨 率增 加 ； 当阶数进 一步增 加 时，虚假 ｕｇ
常 常不足 以使 问题 。 病态 问题 的解 与 正 则 参数 的选 择密 切 相 关 ，如何 选 择最 佳 正 则参 数 是解 决 问题 的关 键 。在 体霍 洛 夫方法 中 ，正 则化 参 数 决 定 了附 加 项权 重 的 大 小 ；在 投 影 方法 中 ，子 空 间 的维 数 是正 则 参数 ，如 何确 定子 空间 的大 小非常 重要 ：而混 合法 则 既 需要确 定子 空 间的大 小 ，又 需要 求 投影 问题 的正则参 数 。
峰 出现 ，并 逐渐增 多 ，以至 于信 号被噪 声淹 没。这 一结 果表 明， 系统 一定存 在 某个 阶数 ，在这 个阶数 附近 Ｂ ｒ谱 质量 最好 。指 出 了这个 阶数 就是 最佳正 则 参数； ｕ ｇ 而且 还指 出了，只 需进 一 步考 虑残 差 向量 的归一化
累积误 差 ，并同Ｋ．判 据相 结合就 可 以确定它 。 Ｓ
常用 的正 则 参 数选 取 方 法 有 ： 离 差 原 理 ；广 义 交 叉 验 证 （ ＧＣＶ） ；Ｌ 曲线 法 和 归 一化 累积 周 期 － 图 （ Ｐ）法等 。 离差 原 理 的 基 本 思 想 是 要 求 残 差 范 数 不 小 于测 量 数 据 的 噪 声 范 数 ，这 就 要 求 数据 ＮＣ
基于模型函数与L-曲线的正则化参数选取方法
基于模型函数与L-曲线的正则化参数选取方法胡彬;徐会林;王泽文;喻建华【摘要】Based on the model function method,the modified L-curve principle is presented and a simple corre-sponding iteration method for choosing regularization parameters is given. Furthermore,the simple iteration method for choosing regularization parameters is proved to be local convergence under some conditions. The method is local-ly efficient by numerical experiments.%基于模型函数方法与修正的L-曲线准则，给出了选取正则化参数的1种迭代算法。
在一定条件下，证明了所提出的选取正则化参数的算法是局部收敛的，通过数值算例验证了该方法的局部有效性。
【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】5页(P569-573)【关键词】L-曲线准则;正则化方法;正则化参数;模型函数【作者】胡彬;徐会林;王泽文;喻建华【作者单位】东华理工大学理学院，江西南昌 330013;河南理工大学数学与信息科学学院，河南焦作 454000;东华理工大学理学院，江西南昌 330013;东华理工大学理学院，江西南昌 330013【正文语种】中文【中图分类】O241.8;O241.60 引言反问题研究已是计算数学及应用数学领域研究的热点问题之一.反问题一般是不适定的［1］，其不适定性在数值计算上表现为解不连续依赖测量数据.即使在实际测量过程中测量误差非常小，也会引起解的巨大波动.目前求解不适定问题最具有普遍性、完备性的是Tikhonov正则化方法，但该方法的有效性取决于选取到合适的正则化参数.目前比较有代表性的正则化参数选取策略有:Morozov偏差原理、广义交叉检验、L-曲线(L-curve)等准则.当误差水平已知或可估计时，Morozov偏差原理是最常采用的正则化参数选取策略之一，但是当不适定算子方程右端项的误差水平δ未知时，Morozov偏差原理就失效了.为了克服Morozov偏差原理需要已知误差水平的局限性，P.C.Hansen等提出基于L-曲线的正则化参数选取方法［2-3］，可以在误差水平未知的情形下找到近似最佳的正则化参数.在利用Morozov偏差原理确定正则化参数时需要借助牛顿迭代，而牛顿迭代的计算量比较大，为了克服这一缺点，文献［4-7］中提出了1种新的确定正则化参数的方法—模型函数法.它是将Tikhonov泛函定义为关于α的函数，再用1个简单的具有显示表达式的模型函数来近似F(α)，通过简单迭代确定正则化参数.本文在上述2种方法的基础上研究了基于模型函数的修正L-曲线准则，证明了所得序列点是局部收敛的，给出了相应的迭代算法.通过算例验证了该准则的有效性，同时也指出了目前还存在的不足和今后进一步研究的方向.1 模型函数法线性反问题一般可归结为解第1类不适定算子方程:其中K是Hilbert空间X到Y上的有界线性算子.由于观测数据存在误差，所以一般把方程(1)改写为其中δ为误差水平，‖yδ-y‖≤δ.Tikhonov正则化方法是将求不适定方程(2)的解转为求Tikhonov泛函的最优解，其中α＞0是正则化参数.对于固定的正则化参数α，记最优函数为引理1［4］设K:X→Y是有界线性算子，X，Y均为Hilbert空间.∀α ＞0，(3)式的唯一解x(α)是无穷次可微的，且g=dnx(α)dαn∈X可由递推求解得到.定理1［4-5］最优函数F(α)在(0，+∞)内是无限次可微的，且∀α ＞0，F(α)满足模型函数的方法就是在αk附近构造F(α)的局部近似函数Fk(α)，使其满足微分方程(4)，即若假设‖Kx(α)‖2≈ Tk‖x(α)‖2，代入(5)式并注意到F'(α)= ‖x(α)‖2，解得即得到双曲模型函数:由于Kx(α)≈ yδ，故可设‖Kx(α)‖2≈‖yδ‖2-Tk，代入(5)式得解微分方程(6)，得Fk(α)=Tk+Ckα，其中Ck、Tk是待定参数且由方程组确定，即于是，得到更为简洁的双曲模型函数:文献［8］研究了非精确数据下的线性模型函数选取正则化参数.虽然线性模型函数具有计算简单、收敛性较好等优点，但是却不能将它与L-曲线准则相结合而得到选取正则化参数的算法.文献［9］将双曲模型函数m1(α)应用于L-曲线选取准则获得选取正则化参数的新算法.本文是前述研究的继续和深入，基于双曲模型函数m2(α)研究修正的L-曲线选取准则，从而获得选取正则化参数选取的新方法.2 修正的L-曲线准则L-曲线准则是残差‖Kx(α)-yδ‖2与正则化解‖x(α)‖2在一组正则化参数下所构成的图像，也就是由(‖Kx(α)-yδ‖2，‖x(α)‖2)所构成的平面曲线.最优的正则化参数α出现在曲线的拐点处. 通常转化为对应的(2log‖Kx(α)-yδ‖，2log‖x(α)‖)曲线，因为曲线形状如字母L(见图1)，故称为L-曲线准则.从图像上很容易找到曲线的拐点，即最优正则化参数α在对应曲线的“角点”出现.记u(α)=2log‖Kx(α)-yδ‖，v(α)=2log‖x(α)‖，则L曲线上各点的曲率公式［10-11］为曲率最大的点对应正则化参数即为所需正则化参数.图1 L-曲线示意图由文献［12］知，若L-曲线在点α=α*处取到最大曲率，且在该点处曲线的斜率为 -1/μ，则下列泛函:在α=α*处取得极小值.因此，选取正则化参数的L-曲线准则等价为求泛函(8)的极小值点.修正的L-曲线准则就是通过求(8)的极小值来获得合适的正则化参数.由于是α的非线性隐式函数，不便于计算.本文利用模型函数的方法将(8)式显化，从而简化计算，提高计算效率.3 基于模型函数的修正L-曲线算法对于任意给定的α＞0，最优函数F(α)为且F'(α)= ‖x(α)‖2，则(8)式可改写成F(α)的形式，即模型函数m(α)是F(α)的局部近似，则(9)式的局部近似为本文主要研究了双曲模型函数m2(α)，代入(10)式得ω(α)=(T+2C/α)(-C/α2)μ.对ω(α)求导，得令ω'(α)=0，解得α=-C(1+2μ)(μT).对于正则化参数αk，求得对应的正则化解x(αk)，再根据方程组(7)可确定参数 Ck，Tk，则由(11)式及Ck＜0，Tk＞0知αk+1＞0且它是唯一的.该算法比文献［9］中的更为简单，因为文献［9］给出的是关于α的2次方程，选取其中较大的作为正则化参数αk+1.综合上面分析，得到基于双曲模型函数m2(α)与修正的L-曲线正则化参数选取策略的新算法:算法1 给定ε ＞ 0，yδ，K，μ ＞ 0;Step 1 给定1个初始值α0＞α*，置k=0;Step 2 解正则化方程αkx+K*Kx=Kyδ;Step 3 求出 Ck，Tk，αk+1;Step 4 当成立转Step 5，否则置k=k+1转Step 2;Step 5 停止迭代，输出正则化参数αk+1.定理2 如果则在算法1中函数ωk(α)在点αk处是局部严格单调递减的.证算法1中产生的函数ωk(α)为ωk(α)=(Tk+2Ck/α)(-Ck/α2)μ，则ωk'(α)=(-Ck)μ(-2Ck+(αTk+2Ck)·(-2μ))/α2μ+2.取α= αk，把(7)式中解得 Ck，Tk的表达式代入得由已知条件得ω'k(αk)＜0，即函数ωk(α)在点αk处是局部严格单调递减的.定理3 给定初始值α0满足(12)式，则算法1产生严格单调递减序列{αk}且收敛. 证由定理2 的证明过程知，令φ(α)=-2Ck+(αTk+2Ck)(-2μ)，显然φ(αk)＜ 0，φ'(αk)＜ 0.所以函数φ(α)是严格单调递减的.由算法1知φ(αk+1)=0，所以αk＞αk+1.又∀k均有αk＞0，故收敛性成立.4 数值算例例1 求解第1类Fredholm积分方程［13］:其中，核 K(s，t)=1 ［1+100(t-s)2］，本文用等距节点复化梯形公式来离散第1类Fredholm 积分方程(13)，得线性方程组Ax－=y－，其中把积分核K(s，t)离散成矩阵Am×n，x(s)离散成n维列向量x－.对方程组右端加入随机扰动为其中r为Matlab中的随机函数.取不同的误差值δ，求出对应不同误差值δ的正则化参数，并把不同正则化参数求出的正则化解对比(见图2～4)，其中实线表示无扰动下的精确解，星形线表示不同正则化参数下的数值近似解.情形1 当δ=5.8378e-4，α=3.7320e-4，正则化解的相对误差ρ=0.0678.正则化解与真解如图2和图3所示，其中图2是该情形下未作正则化处理的计算所得解(即当α=0时的最小二乘解)，图3为算法1计算所得解.情形2 当δ=8.5401e-8，α=6.6470 e-4，正则化解的相对误差ρ=0.0500，算法1计算结果如图4所示.图2 α=0图3 α=3.7320e-4图4 α=6.6470e-4例2 求解第1类Fredholm积分方程［14-15］:x(s)=a1e-c1(s-t1)2+a2e-c2(s-t2)2，a1=2，a2=1，c1=6，c2=2，t1=0.8，t2=-0.5，K(s，t)=(cos(s)+cos(t))2(sin(u)u)，u= πsin(s).情形1 当δ=0.0022，α=0.0470时，正则化解的相对误差ρ=0.1746.正则化解与真解如图5和图6所示，其中图5是未作正则化处理的计算所得解，图6为算法1计算所得解.图5 α=0图6 α=0.0470情形2 当δ=2.2268e-5，α=0.0466时，正则化解的相对误差ρ=0.1744，算法1计算结果如图7所示.图7 α=0.04665 结论本文基于模型函数方法研究了正则化参数选取的修正L-曲线准则，使得计算上更加简单.从算例的模拟结果可以看出，基于双曲模型函数m2(α)的所得修正后的L-曲线准则是有效的.但是，本文只证明了初始正则化参数选取满足一定前提条件下，算法1产生的序列是局部收敛的.对于是否存在全局收敛性的算法［16］，还有μ值选取原则等问题还需进一步研究.6 参考文献【相关文献】［1］刘继军.不适定问题的正则化方法及应用［M］.北京:科学出版社，2005.［2］Hansen P C，O’Leary D P.The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems［J］.SIAM J Sci Comput，1993，14(6):1487-1503.［3］ Hansen P C.Analysis of discrete ill-posed problems bymeans of the L-curve［J］.SIAM Review，1992，34(4):561-580.［4］Xie Jianli，Zou Jun.An improvedmodel functionmethod for choosing regularization parameters in linear inverse problems［J］.Inverse Problems，2002，18(5):631-643.［5］王泽文，徐定华.线性不适定问题中选取Tikhonov正则化参数的线性模型函数方法［J］.工程数学学报，2013，30(3):451-466.［6］Wang Zewen，Liu Jijun.Newmodel functionmethods for determining regularization parameters in linear inverse problems［J］.Applied Numerical Mathematics，2009，59(10):2489-2506.［7］Wang Zewen.Multi-parameter Tiknonov regularization andmodel function approach to the damped Morozov principle for choosing regularization parameters［J］.Journal of Computational andApplied Mathematics.2012，236(7):1815-1832.［8］胡彬，夏赟，喻建华.算子非精确条件下确定正则化参数的一种方法［J］，江西师范大学学报:自然科学版，2014，38(1):65-69.［9］Heng Yi，Lu Shuai，MhamdiA，et al.Model functions in themodified L-curvemethod-case study:the heat flux reconstruction in pool boiling［J］.Inverse Problems，2010，26(5):1-13.［10］张立涛，李兆霞，张宇峰，等.结构识别计算中基于L-曲线的模型确认方法研究［J］.运动与冲击刊，2011，30(11):36-41.［11］王宏志，赵爽，胡艳君.基于L-曲线正则化的MAP超分辨率图像复原［J］.吉林大学学报:理学版，2008，46(2):275-278.［12］ Reginska T.A regularization parameter in discrete illposed problems［J］.SIAM J Sci Comput，1996，17(3):740-749.［13］樊树芳，马青华，王彦飞.算子及观测数据都非精确情况下一种新的正则化参数选择方法［J］.北京师范大学学报:自然科学版，2006，42(1):25-31.［14］王彦飞.反问题的计算方法及应用［M］.北京:高等教育出版社，2007.［15］郭文彬.奇异值分解及其广义逆理论中的应用［M］.北京:中国科学院研究生院，2003. ［16］高炜，朱林立，梁立.基于图正则化模型的本体映射算法［J］.西南大学学报:自然科学版，2012，34(3):118-121.。
frenet坐标系 曲率约束
frenet坐标系曲率约束摘要：一、引言二、Frenet 坐标系的定义和性质1.Frenet 坐标系的定义2.Frenet 坐标系的性质三、曲率约束在Frenet 坐标系中的表示1.曲率的定义2.曲率约束的引入3.曲率约束在Frenet 坐标系中的表示四、曲率约束在实际问题中的应用1.机器人运动控制2.车辆自动驾驶3.飞行器飞行轨迹规划五、总结与展望正文：一、引言Frenet 坐标系是一种用于描述曲线运动的数学工具，广泛应用于机器人运动控制、车辆自动驾驶和飞行器飞行轨迹规划等领域。
在Frenet 坐标系中，可以方便地描述曲率和速度等运动状态，从而为运动控制和轨迹规划提供依据。
本文将详细介绍Frenet 坐标系的定义和性质，以及曲率约束在Frenet坐标系中的表示和应用。
二、Frenet 坐标系的定义和性质1.Frenet 坐标系的定义Frenet 坐标系是沿着曲线运动的物体的一种局部坐标系。
它由三个相互正交的向量组成，分别是切向量t、法向量n 和侧向量s。
其中，切向量t 始终指向曲线上该点的切线方向，法向量n 始终指向曲线上该点的法线方向，侧向量s 则始终垂直于切向量和法向量。
2.Frenet 坐标系的性质在Frenet 坐标系中，有以下几个重要的性质：(1) 切向量t、法向量n 和侧向量s 是相互正交的；(2) 切向量t、法向量n 和侧向量s 是沿曲线运动的物体在該点的局部坐标系；(3) 在Frenet 坐标系中，可以方便地描述曲率和速度等运动状态。
三、曲率约束在Frenet 坐标系中的表示1.曲率的定义曲率是描述曲线弯曲程度的一个物理量，通常用符号k 表示。
在Frenet 坐标系中，曲率k 可以表示为：k = (t_next × t_prev) / (s_next × s_prev)其中，t_next 和t_prev 分别表示下一时刻和上一时刻的切向量，s_next 和s_prev 分别表示下一时刻和上一时刻的侧向量。
possion方程 tresca摩擦型边界 regularization
possion方程tresca摩擦型边界regularization 1. 引言1.1 概述本篇文章主要研究的是possion方程和Tresca摩擦型边界问题，并探讨了在这两个问题中应用正则化方法的意义和效果。
Possion方程作为常见的偏微分方程之一，在科学和工程领域中具有广泛应用。
而Tresca摩擦型边界则是一种特殊的边界条件形式，常见于固体力学中描述材料表面接触或滑动情况。
通过对这两个问题进行深入研究，本文旨在提供解决相关问题的数学模型和求解方法。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分，分别是引言、Possion方程、Tresca摩擦型边界、Regularization方法以及结论与展望。
在引言部分，将对整篇文章进行概述，并说明文章各个章节的结构组织。
1.3 目的本文旨在全面介绍并深入探讨Possion方程和Tresca摩擦型边界问题及其数值求解方法。
同时，还着重介绍了正则化方法在这些问题中的应用场景和效果。
通过对正则化技术的研究与应用，我们可以有效地提高问题的数值求解精度和稳定性。
本文所涉及的内容旨在为相关领域的研究者和工程师提供更多解决问题的思路和方法，推动该领域的进一步发展。
以上为“1. 引言”部分的详细内容。
2. Possion方程:2.1 定义与背景:Possion方程是一类常见的偏微分方程，描述了在某些物理过程中具有平衡状态的系统。
它的数学形式如下：∇²u(x, y) = f(x, y)其中，u(x, y)表示未知函数，∇²为拉普拉斯算子，f(x, y)为已知函数或者常数。
Possion方程在物理、工程和数学等领域都有广泛应用。
例如，在电势场和热传导中的稳态问题、流体力学中的潜流问题以及弹性力学中的统计分布等都可以通过Possion方程进行建模和求解。
2.2 数学模型:在二维情况下，Possion方程可以表示为：∂²u/∂x²+ ∂²u/∂y²= f(x, y)其中，x和y分别代表空间的两个坐标轴。
多项式拟合 正则化 减少曲率
多项式拟合、正则化与减少曲率一、引言在数据分析、机器学习和科学计算中，多项式拟合是一种常见的数学方法，用于通过给定的数据点来估计未知的数学关系。
然而，多项式拟合可能面临一些挑战，如过度拟合、曲率过大等。
本文将探讨如何通过正则化和减少曲率来改进多项式拟合的结果。
二、多项式拟合的基本概念多项式拟合是一种数学方法，通过找到一个多项式，使得其在给定的数据点上的值与目标值尽可能接近。
这种方法常用于数据分析和建模，特别是在不知道应使用哪种数学函数来表示数据时。
三、正则化的应用正则化是一种用于防止模型过拟合的技术。
在多项式拟合中，正则化可以通过对模型的复杂度施加惩罚来实现。
这有助于防止模型在训练数据上过度拟合，从而提高模型在未知数据上的泛化能力。
常用的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。
四、减少曲率的方法在多项式拟合中，曲率过大会导致估计的函数形状过于复杂，增加模型的复杂度和过拟合的风险。
为了减少曲率，我们可以采取以下方法：1.降低多项式的阶数：降低多项式的阶数可以减小曲率。
然而，这可能导致模型无法充分拟合数据。
因此，需要在模型复杂度和拟合效果之间进行权衡。
2.数据变换：对数据进行适当的变换（如对数变换或幂变换）可以改变其分布，从而降低曲率。
选择合适的变换方法需要依据数据的特性和问题的背景知识。
3.使用低曲率的多项式：例如，使用立方样条插值或B样条插值等方法，这些方法产生的多项式具有较低的曲率。
五、结论多项式拟合是一种广泛应用于各种领域的数学方法。
然而，为了提高模型的泛化能力和减小曲率，我们可以通过正则化和采用一些减少曲率的方法来优化多项式拟合的结果。
正确地应用这些技术需要深入理解问题的背景和数据的特性，以及对数学方法的熟练运用。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用这些技术，以提高多项式拟合的效果。
约束条件下的hessian矩阵
约束条件下的hessian矩阵标题：Hessian矩阵：揭示函数曲率的奇妙性质引言：在数学和计算机科学领域，Hessian矩阵是一个重要的概念。
它不仅可以帮助我们理解函数的曲率和形状，还在优化算法和机器学习中起着关键作用。
本文将以人类视角，生动叙述Hessian矩阵的奇妙性质，带领读者一窥其背后的数学之美。
1. Hessian矩阵：函数的曲率之谜当我们研究一个多元函数时，Hessian矩阵是一个重要的工具，用于描述函数的二阶导数信息。
它能够揭示函数在某一点的曲率和形状。
通过Hessian矩阵，我们可以判断函数是否是凸函数、凹函数，进而优化算法和机器学习中的参数调优。
2. Hessian矩阵的性质与应用Hessian矩阵不仅可以帮助我们理解函数的曲率，还在各个领域有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，Hessian矩阵可以用于边缘检测和角点检测。
在优化算法中，Hessian矩阵可以用于牛顿法和拟牛顿法等高效的迭代算法。
在机器学习中，Hessian矩阵可以用于参数优化和模型选择。
3. Hessian矩阵的计算方法为了计算Hessian矩阵，我们需要求取函数的二阶偏导数。
这一过程需要一定的数学技巧和计算能力。
幸运的是，现代的计算机科学工具和软件包可以帮助我们自动计算Hessian矩阵，使得复杂的计算变得简单和高效。
4. Hessian矩阵的局限性与改进虽然Hessian矩阵在许多问题中都表现出色，但它也有一些局限性。
首先，计算Hessian矩阵的时间和空间复杂度较高，对于大规模问题可能会面临挑战。
其次，Hessian矩阵可能存在奇异性，导致计算和优化过程中的困难。
为了克服这些问题，研究者们提出了各种改进的方法，如拟牛顿法和正则化技术。
结语：Hessian矩阵作为一种重要的数学工具，不仅揭示了函数的曲率和形状，还在优化算法和机器学习中发挥着重要作用。
通过深入理解Hessian矩阵的性质和应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
一种提取弯曲单元对称轴的方法
一种提取弯曲单元对称轴的方法提取弯曲单元的对称轴一直是有限元分析中的一个重要问题。
在实际工程中，为了节省计算成本和简化分析，研究对称轴往往是非常必要的。
对于弯曲单元，如何提取其对称轴就成为了一个需要解决的问题。
本文将介绍两种常见的弯曲单元对称轴提取方法，并比较其优缺点。
一、基于正则化方法的弯曲单元对称轴提取方法简介：基于正则化方法的弯曲单元对称轴提取是一种常用的对称轴提取方法。
该方法的主要思想是最小化与对称轴不相干的变形。
因此，在处理该问题时，我们需要将重心与对称轴的对称位置作为约束条件，然后通过正则化方法来求得对称轴。
算法流程：1、确定重心：首先，需要通过某种方式确定弯曲单元的重心。
这可能会涉及到计算每个单元的重心或者是根据模型的几何形状来确定整个模型的重心。
2、确定对称轴的方向：接着，我们需要明确对称轴的方向。
这可以通过绘制单元的矢量图进行确定。
3、应用对称条件：我们需要将对称轴的位置与重心的位置对称，以确定约束条件。
将对称原点和重心的对称轴作为约束条件（指标），可得到最终的对称轴方程。
4、解决方程组：我们需要通过已知的重心坐标和对称条件求解对称轴方程。
这可以通过应用正则化方法来实现。
优缺点分析：优点：a.该方法可以用于各种类型的弯曲单元。
b.简单易行，且应用广泛。
缺点：a.该方法对于有孔模型或者非凸模型并不适用。
b.在对称性差的单元中，该方法可能无法获得精确的对称轴。
二、基于Bézier 曲线的弯曲单元对称轴提取方法简介：基于Bézier 曲线的弯曲单元对称轴提取是一种先进的对称轴提取方法。
该方法基于Bézier 曲线概念，将曲线的定位问题转化为将曲率半径转化为无次数常数的问题。
该方法可应用于凸、凹的甚至是多重曲面的对称性问题。
算法流程：1、初始化：在对称的单元中，我们可以通过找出x 和y 方向的主轮廓线来初始化这个算法。
2、Bézier 曲线逼近：我们需要将主轮廓线拟合为Bézier 曲线。
图像降噪方法
1.1研究背景及意义21世纪以来，页岩气作为一种新能源，目前世界上天然气供应关系因为页岩气的快速发展发生了巨大的变化。
目前，页岩气勘探已经成为一场革命在整个世界兴起，受到了世界各国政府以及能源油气公司的重视，并将其勘探和开发提上日程。
叠前反演可以获得所需的裂缝和脆性属性，其在岩性预测和流体检测中发挥着重要作用，叠前反演的效果受到叠前道集数据质量的影响较大。
页岩气勘探虽然已从构造勘探转变为岩性勘探，但目前的地震数据处理仍以构造成像方法为主，为地震储层描述进行保持动力学特征的处理较少，产生的叠前道集存在随机噪声、多次波等干扰，部分道集因速度误差、各向异性等影响导致反射波同相轴不平。
因此，这些叠前道集不能真实地揭示地下介质的A VO特征，需要对叠前道集进行一定程度的优化处理，才能顺利地对叠前弹性参数进行反演。
地震道集是由很多振动的波形组成的，其产生是在地面由人工激发的地震波向下传播的过程中由于地下岩层拥有不同的物理属性而产生不同能量的反射，传感器接收到来自地面的反射波成像。
图1-1演示了地震波收集的过程，在两个地质界面属性不同的界面处地震波的振幅强。
地震记录有很多道集方式，如共炮点道集(CSP)，共接收点道集(CRP)，共深度点道集(CDP)，共中心点道集(CMP)等，不同的道集采集方式不同，CSP道集是在同一个炮点处激发，在不同检波点接收的所有道形成的道集。
CRP道集的激发不是来自于同一个炮点，是指在不同炮点激发，但是其接收来自于一个检波点，将这些信号组成道集就是CRP道集，它的每一道都出自于相同的中心点。
这些道集如果直接使用就是叠前道集，在地质解释的很多场合需要将这些道集进行叠加，叠加之后的道集就叫叠后道集，通常来说直接获得的道集更准确，也就是叠前道集的准确度优于叠后道集。
图1-1 地震法成像在野外由于复杂的地形特点，比如沼泽，山地等等，在这些地区进行野外勘探时受地形复杂的影响得到的数据质量差，富含大量的噪声，这些叠前数据成像不准确，干扰了结果分析。
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曲率约束正则化（Curvature Constraint Regularization）是一种在机器学习和优化问题中使用的技术，用于控制模型的复杂度并防止过拟合。
它通过引入与模型曲率相关的正则化项来实现这一目标。
在传统的正则化方法中，如L1正则化和L2正则化，我们通常通过限制模型参数的绝对值或平方和来控制模型的复杂度。
然而，这些方法主要关注参数的大小，而不直接考虑模型的曲率。
曲率约束正则化的核心思想是通过限制模型的曲率来控制其复杂度。
曲率可以看作是函数在给定点的局部变化率，它反映了模型在该点附近的弯曲程度。
通过限制曲率，我们可以使模型更加平滑，并减少过拟合的风险。
在实际应用中，曲率约束正则化可以通过在损失函数中添加与模型曲率相关的正则化项来实现。
例如，对于神经网络模型，可以计算模型的Hessian矩阵（即二阶导数矩阵），并使用其范数或特征值作为正则化项。
通过最小化这个正则化项，我们可以限制模型的曲率，并使其更加平滑。
需要注意的是，曲率约束正则化在实际应用中可能会面临一些挑战。
计算模型的曲率可能需要额外的计算资源和时间，特别是对于复杂的模型。
此外，确定合适的曲率约束参数也可能需要一些经验和实验验证。
总的来说，曲率约束正则化是一种有趣且有用的技术，可以帮助我们更好地控制模型的复杂度并防止过拟合。
然而，在实际应用中，我们需要权衡其计算复杂性和性能提升
之间的权衡，并根据具体的问题和数据集来选择合适的正则化方法。