高一数学基本不等式试题

高一数学基本不等式试题
1.设且,则的最小值为________．
【答案】4
【解析】由，当且仅当时等号成立．
故答案为4．
【考点】均值不等式的应用．
2.当时，函数的最小值为 .
【答案】6
【解析】由于，所以函数
【考点】基本不等式的应用.
3.已知，，则的最小值为．
【答案】4
【解析】,由基本不等式得
【考点】基本不等式的应用．
4.设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（）A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即. 欲求的最大值，利用前面关系，建立，由
，故选C.
【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式.
5.已知，则x + y的最小值为．
【答案】
【解析】，，由，可得，当且仅当
时等号成立，故，故答案为.
【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.
6.若，则下列不等式正确的是（）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由基本不等式得，则；又，
.
【考点】基本不等式.
7.若,则的最小值是( )
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】．
【考点】基本不等式．
8.已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，
当公比时，；
当公比时，，
.
【考点】利用基本不等式求最值。

9.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当
时，等号成立．
②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，
有最小值．
（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）
①若，只有当__________时，有最小值__________．
②若，只有当__________时，有最小值__________．
（3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。

问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面
积的最小值。

【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648
【解析】（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②
，当时，有最小值10．
（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得
，整理运用所给结论，可求面积的最值．
（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．
（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得
，整理．
当且仅当即取“=”．此时
所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；进行简单的合情推理
10.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围
是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，化简后可得：
，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式．
11.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】
【解析】因为且，所以，当
且仅当即时取。

即恒成立。

要使2x＋y＞m恒成立，则。

【考点】基本不等式。

12.下列各函数中，最小值为2的是 ()．
A．y＝x＋B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝D．y＝＋
【答案】D
【解析】（1）函数：当时，，当且仅当即时取；当时，，此时，即，当且仅当即时取。

综上可得或。

故A不正确。

（2）函数，：因为，所以，所以当且仅当即时取。

因为即，所以不能取。

综上可知。

故B不正确。

（3），当且仅当即时取。

因为不成立所以不能取到。

故C不正确。

（4），当且仅当即时取。

所以D正确。

【考点】基本不等式。

13.已知且若恒成立，则的范围是
【答案】
【解析】原式恒成立等价于,,所
以
解得.
【考点】基本不等式求最值
14.若，则对说法正确的是
A．有最大值B．有最小值
C．无最大值和最小值D．无法确定
【答案】B
【解析】根据题意，由于，说明x,y同号，则可知
利用基本不等式可知，当x=y时等号成立，故答案为B.
【考点】均值不等式
点评：主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

15.若实数，满足，则的最小值为（）
A．18B．12C．9D．6
【答案】D
【解析】根据题意，由于实数，满足，则当且仅当
a=b时取得等号，故可知最小值为6，选D.
【考点】基本不等式
点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．
16.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，则
的最小值为________．
【答案】8
【解析】根据题意，由于函数的图像恒过定点A，则可知令x-2=0，y=1,故可知
A（2，1）, 点A在直线上,2m+n-1=0,那么可知，故
，当且仅当n=时取得等号故答案为8.
【考点】基本不等式
点评：本题考查基本不等式的应用，函数的图象过定点问题，利用不等式求解最值。

属于基础题。

17.若x>0，y>0，且，则x+y的最小值是__________
【答案】16
【解析】根据题意，由于x>0，y>0，且
，当且仅当x=3y时取得等号，故y=8
成立，故答案为16.
【考点】基本不等式
点评：主要是根据基本不等式来求解最值的运用，属于基础题。

18.已知，则函数的最小值是（）
A．5B．4C．8D．6
【答案】B
【解析】因为，所以，当且仅当
时取等号。

【考点】基本不等式。

点评：本题主要考查基本不等式。

我们要注意基本不等式应用的条件：一正二定三相等。

属于基础题型。

19.已知正实数 ( )
A．6B．8C．9D．16
【答案】C
【解析】因为，
所以.
【考点】本小题主要考查基本不等式和“1”的整体代换.
点评：在解题过程中，“1”的作用很大，在求最值时，就经常用到“1”的整体代换，要注意取等号的条件.
20.在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于 .
【答案】
【解析】解：设所添的两个数分别为x，y，则x＞0，y＞0且x+y=1,则
，故可知3x=y=时取得等号，故可知函数xy 的最小值为
【考点】基本不等式
点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换，从而配凑出基本不等式的应用条件
21.设的最小值是( )
A．10(B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，故选D。

【考点】均值定理的应用。

点评：简单题，应用均值定理，“一正，二定，三相等”，缺一不可。

22.已知a,b为正实数，且，则的最小值为
【答案】
【解析】因为，a,b为正实数，且，
所以，，当且仅当且时，取到最小值。

【考点】均值定理的应用。

点评：简单题，应用均值定理，“一正，二定，三相等”，缺一不可。

23.已知的最小值为__ __.
【答案】
【解析】，当且仅当时等号成立，所以最小值为
【考点】均值不等式求最值
点评：利用均值不等式求最值时要注意其应用的条件：，当积为定值时和取最值，和为定值时积取最值，要验证等号成立条件是否满足，满足时才能取最值
24.若，，．则下列不等式：①；②；③；④
.其中成立的是．(写出所有正确命题的序号)
【答案】①③④
【解析】利用代入可得，，
，
【考点】不等式性质
点评：常用到的不等式性质关系，
25.下列各式中，最小值等于2的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于选项A：当时，无最小值，不正确；对于选项B：∵=
≥2，但等号不可能成立，故最小值不是2，C不正确；对于选项C：当tanθ＜0时，它的最小值显然不是2，不正确．对于选项D：∵2x+2-x=2x+≥2，当且仅当 x=0时，
等号成立，故选D．
【考点】本题考查了基本不等式的运用
点评：此类问题通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
26.已知x+3y-1=0，则关于的说法正确的是（）
A．有最大值8B．有最小值
C．有最小值8D．有最大值
【答案】B
【解析】解：因为x+3y-1=0，则关于，故选B
27.已知，则函数的最小值为
【答案】
【解析】解：因为，则,当x=时成立
28.已知正数、满足，则的最小值是（）
Ａ．18Ｂ．16C．8D．10
【答案】A
【解析】解：因为，那么，选A
29.某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外
路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。

【答案】绿地的长为30米，宽为米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为1280平方
米。

【解析】当用均值定理解题时一定注意等号取到的条件，当且仅当，以及实际意义。

解：设绿地长边为米，宽为米。

…………………………………2分
总面积……8分
当且仅当即时，上式取等号。

…………………10分
所以，绿地的长为30米，宽为米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为1280平方米。

30.已知，且，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为，且，则
选A
31.若，，且，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：，，且则
32.已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】解：∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列
根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，
当且仅当x=y时取“=”，
33.已知，使式中的、满足约束条件
（1）作出可行域；
（2）求z的最大值．
【答案】作出可行域
【解析】略
34.若，且，则有（）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
【答案】A
【解析】【考点】基本不等式。

分析：和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=1≥2=8，就可解得xy的最小值，
注意等号成立的条件。

解答：
因为x＞0，y＞0
所以
2/x+8/y=1≥2=8，
?xy≥64当且仅当x=4，y=16时取等号，
故选A。

点评：本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小。

35.已知，则的最小值为
A．8B．6C．D．
【答案】C
【解析】本题考查均值定理
由，由均值不等式定理得，其中“”当且仅当即时成立；
所以的最小值为
故正确答案为C
36.已知，则的最小值是
A．6B．5C．D．
【答案】C
【解析】此题考查最值问题
当且仅当即时取等号
答案 C
点评：注意在使用均值不等式时要“正等定”
37.设x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为 ( )
A．6B．9C．12D．15
【答案】B
【解析】略
38.不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
39.若
【答案】
【解析】略
40.函数的最小值是．
【答案】2＋2
【解析】
【考点】均值不等式求最值。