数学建模线性规划和整数规划实验
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学建模方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
整数规划（Integer Programming）是线性规划的一种扩展形式，要求变量取整数值。
在Matlab中，可以使用优化工具箱中的函数来求解线性规划和整数规划问题。
以下将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划的求解。
1. 线性规划问题的求解步骤：a. 定义目标函数：首先，需要定义线性规划问题的目标函数。
目标函数可以是最小化或最大化某个线性表达式。
b. 定义约束条件：其次，需要定义线性规划问题的约束条件。
约束条件可以是等式或不等式形式的线性表达式。
c. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个线性规划模型。
d. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如linprog，对线性规划模型进行求解。
e. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。
2. 整数规划问题的求解步骤：a. 定义目标函数和约束条件：与线性规划问题类似，首先需要定义整数规划问题的目标函数和约束条件。
b. 构建模型：将目标函数和约束条件组合成一个整数规划模型。
c. 求解模型：使用Matlab中的优化工具箱函数，如intlinprog，对整数规划模型进行求解。
d. 分析结果：分析求解结果，包括最优解和对应的目标函数值。
下面以一个具体的例子来说明如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题。
例子：假设有一家工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为200元。
生产一个单位的产品A需要2小时，生产一个单位的产品B需要4小时。
工厂的生产能力限制为每天最多生产10个单位的产品A和8个单位的产品B。
求解如何安排生产，使得利润最大化。
1. 定义目标函数和约束条件：目标函数：maximize 100A + 200B约束条件：2A + 4B <= 8A <= 10B <= 8A, B >= 02. 构建模型：目标函数可以表示为：f = [-100; -200]，即最大化-f的线性表达式。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
运筹学与优化中的整数规划与线性规划对比分析
运筹学与优化中的整数规划与线性规划对比分析运筹学与优化是一门研究如何利用数学方法来优化决策的学科。
在运筹学与优化领域中，整数规划和线性规划是两种常用的数学模型。
本文将对整数规划和线性规划进行比较和分析，探讨它们在应用中的异同点以及各自的优势和劣势。
首先，我们来看整数规划。
整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的数学方法。
在整数规划中，决策变量必须取整数值，这导致整数规划比线性规划要更加复杂。
整数规划可以用来解决很多实际问题，例如生产调度问题、资源分配问题和路线选择问题等。
整数规划的一个重要应用领域是物流运输问题。
在物流运输中，有时需要决定在某一段时间内应该购买多少辆卡车，以满足快速变化的运输需求。
这个问题可以被建模为一个整数规划问题，目标是最小化成本或最大化利润。
与整数规划相比，线性规划是一种在决策变量可以取任意实数值的情况下求解优化问题的方法。
线性规划在运筹学与优化中被广泛应用。
线性规划的求解方法相对较为简单，可以通过线性规划软件来求解。
线性规划常被用来解决资源分配问题、产品混合问题和生产计划问题等。
一个典型的线性规划问题是生产计划问题，其中目标是最大化产量或最小化生产成本，同时满足一系列约束条件，例如原料和人力资源的限制。
整数规划和线性规划在应用中有一些明显的异同点。
首先，整数规划相对于线性规划来说更加复杂，因为整数规划需要考虑决策变量取整数值的限制。
这使得整数规划的问题规模更大，求解难度更高。
其次，整数规划可以更好地描述某些实际问题，例如一些离散决策问题，而线性规划更适用于某些具有连续决策变量的问题。
此外，整数规划常常需要更长的计算时间来求解，而线性规划则可以在较短的时间内得到结果。
尽管整数规划和线性规划在应用中有一些区别，它们也有一些共同之处。
首先，整数规划和线性规划都是数学模型，通过最大化或最小化某个特定的目标函数来进行决策。
其次，整数规划和线性规划都可以通过数学方法来求解。
虽然整数规划的求解方法相对复杂一些，但仍然可以被有效地求解出来。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
求解整数规划实验报告
求解整数规划实验报告1. 引言整数规划是运筹学领域的重要分支，广泛应用于实际问题中。
本实验旨在研究和探索整数规划的求解方法，并通过实验验证算法的有效性和效率。
2. 实验目的本实验的主要目的如下：1. 了解整数规划的概念和基本原理；2. 学习并掌握整数规划的求解算法；3. 探索整数规划的应用实例，并进行模型构建；4. 运用求解工具求解整数规划模型，并进行结果分析。
3. 实验过程3.1 整数规划的概念和基本原理整数规划是指决策变量为整数的线性规划问题。
与线性规划相比，整数规划在模型的约束条件中要求决策变量为整数。
3.2 整数规划的求解算法常见的整数规划求解算法有分支定界法、割平面法等。
本实验主要采用分支定界法进行求解。
分支定界法是一种基于深度优先搜索的算法，其核心思想是通过不断分割问题的可行域，将整数规划问题转化为一系列子问题，以便找到最优解。
3.3 模型构建与求解工具选择本实验选择了某航空公司飞机调度问题作为研究对象。
在该问题中，需要确定飞机的起飞和降落时间以及机组成员的配备情况，以最小化总飞行成本为目标。
采用Python作为实验的编程语言，并使用PuLP库进行整数规划模型的构建和求解。
3.4 计算实验及结果分析首先，根据问题描述构建了完整的整数规划模型，并利用PuLP库求解得到最优解。
然后，通过对比不同约束条件下的模型求解结果，分析影响结果的关键因素。
最后，对实验结果进行总结，并提出改进措施和优化建议。
4. 实验结果与分析通过对某航空公司飞机调度问题的求解，得到了最优的飞行计划和配备方案，有效降低了航空公司的飞行成本。
同时，通过对比不同约束条件下的模型求解结果，发现起飞时间和降落时间的限制对最终成本的影响较大。
因此，建议航空公司在制定飞行计划时，合理安排飞机的起飞和降落时间，以减少不必要的成本。
5. 总结与展望本实验通过对整数规划的研究和实践，深入理解了整数规划的概念、原理和求解方法。
同时，通过实验还发现了整数规划在实际问题中的应用价值，并掌握了使用PuLP库求解整数规划模型的方法。
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验2-线性规划和整数规划
2. 线性规划和整数规划实验2.1 基本实验1. 生产计划安排某工厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2.1所示。
表2.1 不同产品的消耗定额（1）确定获利最大的生产方案；（2）产品A、B、C的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变；（3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜？（4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？解答：（1）获利最大的生产方案为：生产A产品5件，B产品0件，C产品3件，获利为27。
（2）产品A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变。
（3）运行程序X1 0.000000 1.800000X2 0.000000 1.400000X3 9.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 36.00000 1.0000002 0.000000 0.8000000从程序运行结果可得到：当A、B为0，而C 9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位。
（4）设D产品为，则有：maxs.t．，，，LINGO中程序：max = 3*x1 +x2+ 4*x3+3*x4;6*x1 + 3*x2+5*x3 +8*x4<= 45;3*x1 + 4*x2+5*x3 +2*x4<= 30;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);end程序运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 5.000000 -3.000000X2 0.000000 -1.000000X3 3.000000 -4.000000X4 0.000000 -3.000000从上表程序运行结果来看，产品D不值得生产。
运筹学实验总结
运筹学实验总结引言：运筹学是一门综合了数学、经济学和工程学等多学科知识的学科，它通过建立数学模型和运用各种优化方法，帮助我们在现实问题中寻找最优解决方案。
在这学期的运筹学课程中，我们进行了一系列实验。
这些实验不仅加深了对运筹学理论的理解，还提供了一种应用运筹学方法解决问题的实践平台。
在本文中，我将总结我参与的运筹学实验，并分享我的体会和收获。
实验一：线性规划问题求解在这个实验中，我们学习了线性规划的基本概念和求解方法。
我选择了一个典型的生产调度问题作为实验题目。
通过建立数学模型，并运用线性规划软件，我成功地解决了这个问题。
通过这个实验，我深刻理解了线性规划问题的本质，以及如何利用线性规划方法找到最优解。
实验二：整数规划问题求解整数规划是线性规划的扩展，它在决策问题中更加实用。
在这个实验中，我选择了货物配送路线问题作为研究对象。
通过构建整数规划模型，并运用求解软件，我得到了最佳的货物配送方案。
这个实验不仅对我的数学建模能力提出了要求，还培养了我的实际问题解决能力。
实验三：动态规划动态规划是一种重要的优化方法，它广泛应用于最优化问题的求解。
在这个实验中，我们学习了动态规划的基本原理和设计思想。
我选择了旅行商问题作为研究对象，通过建立递推关系和寻找最优子结构，我成功地解决了该问题。
这个实验让我意识到了动态规划方法的强大威力，同时也对我的算法设计能力提出了更高的要求。
实验四：模拟退火算法模拟退火算法是一种全局搜索优化算法，具有很强的应用能力。
在这个实验中，我选择了旅行商问题作为研究对象，通过模拟退火算法的迭代和优化，我得到了一个较好的解。
通过这个实验，我掌握了模拟退火算法的基本原理和实现过程，也了解到了算法的优越性。
实验五：遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
在这个实验中，我选择了装箱问题作为研究对象。
通过运用遗传算法的交叉、变异和适应度选择，我得到了一个较好的装箱方案。
这个实验不仅对我的算法设计能力提出了更高的要求，还让我意识到了遗传算法的创新性和解决复杂问题的能力。
大学生数学建模：作业-线性规划的实验
实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。
工作效率（个/人、天）如下表。
如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。
现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。
4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。
在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。
南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。
当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。
南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。
一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。
这些数据由下表给出。
注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。
南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。
农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。
三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。
所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。
对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。
5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
线性规划问题求解----数学建模实验报告
由题目所给的数据可建立如下的线性规划模型：
Min z(1.250.25)(������1 ������2 )(20.35)������8 (2.80.5)������9 10������6 )
084 实验报告
1、 实验目的：
（1)学会用 matlab 软件解决线性规划问题的最优值求解问题。 （2） 学会将实际问题归结为线性规划问题用 MATLAB 软件建立恰 当的数学模型来求解。 （3）学会用最小二乘法进行数据拟合。 （4）学会用 MATLAB 提供的拟合方法解决实际问题。
2、 实验要求：
（1）按照正确格式用 MATLAB 软件解决课本第 9 页 1.1、1.3， 第 100 页 5.1、5.3 这几个问题，完成实验内容。 （2）写出相应的 MATLAB 程序。 （3）给出实验结果。 （4）对实验结果进行分析讨论。 （5）写出相应的实验报告。
3、 实验步骤：
（1)、对于习题 1.1: a.将该线性规划问题首先化成 MATLAB 标准型 b．用 MATLAB 软件编写正确求解程序：程序如下:
（4)、对于习题5.3:用MATLAB中最小二乘法求拟合表中的数据。 程序如下：x=[1:8]';
y=[15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.87,117.6]'; xishu=[ones(8,1),x];%构造系数矩阵 cs=xishu\log(y);%线性最小二乘法拟合参数 cs(1)=exp(cs(1));%把lna变换成a
对应整数规划的最优解为 x11200，x2230，x30，x4859，x5571，x60，x7500，x8 500，x9324， 最优值为 z1146.414 元。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，其中最常用的有三种，分别是线性规划、整数规划和动态规划。
一、线性规划线性规划是一种优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找目标函数最大或最小值的一种方法。
它的数学形式是以线性约束条件为基础的最优化问题。
线性规划的基本假设是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划通常分为单目标线性规划和多目标线性规划，其中单目标线性规划是指在一个目标函数下找到最优解，而多目标线性规划则是在多个目标函数下找到一组最优解。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是最常用的求解线性规划问题的方法，它的核心思想是通过不断迭代改进当前解来达到最优解。
内点法是一种相对较新的求解线性规划问题的方法，它的主要思想是通过从可行域的内部最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在线性规划的基础上增加了变量必须取整数的限制条件。
整数规划具有很强的实际应用性，它能够用于解决很多实际问题，如资源分配、生产优化等。
整数规划的求解方法通常有两种：分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的基本思想是通过将问题划分为若干个子问题，并通过求解子问题来逐步缩小解空间，最终找到最优解。
割平面法也是一种常用的求解整数规划问题的方法，它的主要思想是通过不断添加线性割平面来修剪解空间，从而找到最优解。
三、动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的数学方法。
多阶段决策问题是指问题的求解过程可以分为若干个阶段，并且每个阶段的决策都受到之前决策的影响。
动态规划的核心思想是将问题划分为若干个相互关联的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
动态规划通常分为两种形式：无后效性和最优子结构。
无后效性是指一个阶段的决策只与之前的状态有关，与之后的状态无关。
最优子结构是指问题的最优解能够由子问题的最优解推导而来。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
运筹学实训实验报告
一、实验背景运筹学是一门应用数学的分支，它运用数学模型和算法来解决各种优化问题。
随着现代科技的发展，运筹学在各个领域的应用越来越广泛，如生产管理、物流运输、资源分配等。
为了提高学生运用运筹学知识解决实际问题的能力，我们开展了运筹学实训实验。
二、实验目的1. 熟悉运筹学的基本概念和常用方法；2. 掌握线性规划、整数规划、运输问题、目标规划等运筹学模型；3. 学会运用计算机软件解决实际问题；4. 培养学生的团队合作精神和创新意识。
三、实验内容本次实验主要包括以下内容：1. 线性规划：以生产计划问题为例，建立数学模型，并运用Excel规划求解器求解最优解。
2. 整数规划：以人员排班问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
3. 运输问题：以物流配送问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
4. 目标规划：以投资组合问题为例，建立数学模型，并运用Lingo软件求解最优解。
四、实验步骤1. 线性规划实验（1）问题分析：某企业需要生产甲、乙两种产品，已知生产甲、乙两种产品所需的原料、劳动力及设备等资源消耗量，以及产品的售价和利润。
（2）模型建立：根据问题分析，建立线性规划模型，目标函数为最大化利润，约束条件为资源消耗量不超过限制。
（3）求解：运用Excel规划求解器求解最优解。
2. 整数规划实验（1）问题分析：某公司需要安排员工值班，要求每天至少有3名员工值班，且员工值班时间不能超过一周。
（2）模型建立：根据问题分析，建立整数规划模型，目标函数为最小化员工值班成本，约束条件为员工值班时间不超过限制。
（3）求解：运用Lingo软件求解最优解。
3. 运输问题实验（1）问题分析：某物流公司需要将货物从A、B两个仓库运送到C、D两个销售点，已知各仓库的货物量、各销售点的需求量以及运输成本。
（2）模型建立：根据问题分析，建立运输问题模型，目标函数为最小化运输成本，约束条件为各仓库的货物量不超过需求量。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种强大的数学计算软件，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数学优化中，线性规划和整数规划问题是常见的优化问题。
本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并详细阐述求解过程和注意事项。
正文内容：1. 线性规划问题求解1.1 线性规划问题的定义线性规划问题是在一组线性约束条件下，最大化或者最小化线性目标函数的问题。
在Matlab中，可以使用线性规划函数linprog进行求解。
1.2 线性规划问题的建模在求解线性规划问题之前，需要将问题转化为标准的线性规划形式。
这包括定义决策变量、约束条件和目标函数。
在Matlab中，可以使用矩阵和向量表示线性约束条件和目标函数。
1.3 线性规划问题的求解步骤求解线性规划问题的普通步骤包括定义问题、建模、调用linprog函数进行求解、获取结果并进行分析。
在Matlab中，可以使用linprog函数指定问题的目标函数、约束条件和变量范围，然后通过调用该函数获得最优解。
2. 整数规划问题求解2.1 整数规划问题的定义整数规划问题是在线性规划问题的基础上，对决策变量增加整数限制的问题。
在Matlab中，可以使用整数线性规划函数intlinprog进行求解。
2.2 整数规划问题的建模与线性规划问题类似，整数规划问题也需要定义决策变量、约束条件和目标函数。
不同之处在于，决策变量需要增加整数限制。
在Matlab中，可以使用矩阵和向量表示整数约束条件和目标函数。
2.3 整数规划问题的求解步骤整数规划问题的求解步骤与线性规划问题类似，只是需要调用intlinprog函数进行求解。
在Matlab中，可以通过指定问题的目标函数、约束条件、变量范围和整数约束条件来调用该函数，然后获取最优解。
总结：在本文中，我们介绍了如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题。
对于线性规划问题，需要定义问题、建模、调用linprog函数进行求解，并获取结果进行分析。
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。
一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。
在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。
其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。
线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。
单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。
内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。
这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。
二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。
因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。
分支定界是一种常用的整数规划求解方法。
它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。
割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。
总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。
整数规划实验报告心得
整数规划实验报告心得引言整数规划是运筹学中一种重要的优化方法，它在决策问题中有着广泛的应用。
在整数规划实验中，我们通过数学模型的建立和求解来解决实际问题。
本次实验我们使用了MATLAB软件，通过调用优化工具箱中的整数规划函数，对一个具体的问题进行了求解。
实验内容本次实验主要任务是解决一个生产调度问题。
在一个工厂中，有n种原料，每种原料的供应量和价格都不同，而产品的生产需要用到这些原料。
研究目的是确定每种原料的需求量，以最小化总成本，并满足产品的需求。
实验步骤1. 问题分析与建模：首先，我们需要对问题进行分析，并建立数学模型。
在这个问题中，我们需要确定每种原料的需求量，所以我们可以将原料的需求量作为决策变量。
而最小化成本是我们的目标，所以我们可以将成本作为目标函数。
同时，由于原料的需求量必须是整数，我们可以将问题转化为整数规划问题。
2. 模型求解：然后，我们使用MATLAB软件来求解整数规划模型。
首先，我们需要将模型转化为标准形式，并进行线性规划求解。
然后，我们通过整数规划函数来求解整数规划模型。
3. 结果分析：最后，我们对求解结果进行分析。
通过对原料需求量的分析，我们可以评估生产成本的优劣。
同时，我们还可以通过敏感性分析，来评估模型的稳定性和可靠性。
心得体会通过本次实验，我对整数规划方法有了更深入的理解。
整数规划是一种非常实用的优化方法，广泛应用于生产调度、资源分配、路径规划等问题中。
在实验中，我学会了如何将实际问题转化为整数规划模型，并通过MATLAB软件来求解模型。
通过对实验结果的分析，我更直观地了解了整数规划方法在实际问题中的应用效果。
在实验过程中，我还遇到了一些困难。
首先是模型建立的难度，问题分析和建模是整个求解过程的关键。
如果模型建立不准确，就会导致求解结果的不准确。
其次是模型求解的复杂性，整数规划问题求解难度较大，需要运用一些优化方法和工具进行求解。
最后是结果分析的复杂性，结果分析需要对求解结果和敏感性分析进行综合判断，需要一定的经验和专业知识。
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1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
ⅰ）从计算结果可以看出，多增加一桶可以获利48元，大于35元，因此可以做此项投资，在结果显示中，修改相关参数，可得还可以再购买10桶。
ⅱ）从结果中可以看出，增加一小时劳动时间可以增加利润两元，因此，若聘用临时工人以增加劳动时间，工人每小时的工资应不超过2元钱。
ⅱⅰ）从程序的运行结果看，A产品系数变化范围为64到96，当A1产品获利增加到30元时，系数变化为30*3=90<96，因此，不用改变生产计划。
2）由题意可知，对产品做进一步的深加工，设用以生产A1的为A1桶，A2的为A2桶，其中加工成B1B2的千克数位x和y千克，编写如下程序：max=72*A1+64*A2+8.2*X+5*Y;A1+A2<=50;12*A1+8*A2+2*X+2*Y<=480;3*A1<=100;3*A1-X>=0;3*A2-Y>=0;运行以上程序，得到如下结果：Global optimal solution found.Objective value: 3460.800Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostA1 8.000000 0.000000A2 42.00000 0.000000X 24.00000 0.000000Y 0.000000 1.520000Row Slack or Surplus Dual Price1 3460.800 1.0000002 0.000000 37.920003 0.000000 3.2600004 76.00000 0.0000005 0.000000 -1.6800006 126.0000 0.000000从上面的结果可以看出，50桶牛奶中，8桶用于生产产品A1，42桶用于生产产品A2，且其中用以加工B1产品的A1为24千克，而A2不需要，可获得的最大利润为3460.8元。
ⅰ）从结果可以看出，每增加一桶牛奶可赚钱37.92元大于30，每增加一小时可赚钱3.26元大于3，因此应做此项投资。
若投入150元，可买5桶，所得利润分别为：39.6和13元。
ⅱ）从灵敏度分析可知，B1和B2获利10%的波动对生产销售计划没有影响，而B1获利减少10%对生产销售计划有影响。
2、下料问题用长度为500厘米的条材，截成长度分别为98厘米和78厘米二种毛坯，要求共截出长98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，问怎样截法，(1)使得所用的原料最少?(2)使得所剩余的边料最少?试分析两种问题的答案是否相同.解：由已知可得现有500厘米的条材，要截出98厘米和78厘米两种不同的长度的条材，可选择的模式如下表所示：（1）欲使所用原料最少，建立如下数学模型，其中xi为采用第i中模式的切割根数：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 5200.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 1200.000 0.000000X2 0.000000 0.4000000E-01X3 0.000000 0.8000000E-01X4 0.000000 0.1200000X5 4000.000 0.000000X6 0.000000 0.4000000E-01Row Slack or Surplus Dual Price1 5200.000 -1.0000002 0.000000 -0.20000003 0.000000 -0.1600000从运行结果可以看出，欲使所用原料最少，应采用第一种模式的截法1200根，第五种模式的截法4000根，做简单计算可得余料为60000cm。
（2）欲使剩余的边料最少，建立如下数学模型，并运行相应程序：min=10*x1+30*x2+50*x3+70*x4+12*x5+32*x6;5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;运行程序，结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 60000.00Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 1200.000 0.000000X2 0.000000 20.00000X3 0.000000 40.00000X4 0.000000 60.00000X5 4000.000 0.000000X6 0.000000 20.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 60000.00 -1.0000002 0.000000 -2.0000003 0.000000 -2.000000从运行结果可以看出，最少边料依旧是60000cm，采用第一种模式裁1200根，采用第5中模式裁4000根，这与欲使使用原料最少的结果是一致的。
3、投资问题假设投资者有如下四个投资的机会.(A)在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息.(B)在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元.两年后取息，可重新将本息投入生息.这种投资最多不得超过20万元.(C)在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15万元.(D)在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获利息0.4元，这种投资不得超过10万元.假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益.解：用xiA，xiB，xiC，xiD（i＝1，2，3）表示第i年初给项目A，B，C，D的投资金额，则max 1.2x3A＋1.6x2C＋1.4x3Ds．t．x1A+x1B=301.2x1A=x2A+x2Cx3B＋x3A+x3D=1.2x2A+1.5x1Bx1B≤20x2C≤15x3D≤10程序如下：MODEL:1]max=1.2*X3a+1.6*X2c+1.4*X3d;2]X1a+X1b=30;3]X2a+X2c-1.2*X1a=0;4]X3b+X3a+X3d-1.2*X2a-1.5*X1b=0;5]@bnd(0,X1b,20);6]@bnd(0,X2c,15);7]@bnd(0,X3d,10);END运行结果如下：Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 57.50000Variable Value Reduced CostX3A 16.25000 0.000000X2C 15.00000 -0.1000000X3D 10.00000 -0.2000000X1A 12.50000 0.000000X1B 17.50000 0.000000X2A 0.000000 0.6000000E-01X3B 0.000000 1.200000Row Slack or Surplus Dual Price1 57.50000 1.0000002 0.000000 1.8000003 0.000000 1.5000004 0.000000 1.200000因此，第一年在机会A上投资12.5万元，在机会B上投资17.5万元，第二年在机会C 上投资15万元，第三年在机会A上投资16.25万元，在机会D上投资10万元，可获得最大收益57.5万元。