数学建模线性规划和整数规划实验

1、线性规划和整数规划实验

1、加工奶制品的生产计划

（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，

每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?

(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?

(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?

(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加

工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:

(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，

是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?

(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?

解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。

利用lingo软件，编写如下程序：

model:

max=24*3*x1+16*4*x2;

s.t.

12*x1+8*x2≤480;

x1+x2≤50;

3*x1≤100;

X1≥0,x2≥0

end

求解结果及灵敏度分析为：

Objective value: 3360.000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost

X1 20.00000 0.000000

X2 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 3360.000 1.000000

2 0.000000 2.000000

3 0.000000 48.00000

4 40.00000 0.000000

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease

X1 72.00000 24.00000 8.000000

X2 64.00000 8.000000 16.00000

Righthand Side Ranges

Row Current Allowable Allowable

RHS Increase Decrease

2 480.0000 53.3333

3 80.00000

3 50.00000 10.00000 6.666667

4 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：

1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。

ⅰ）从计算结果可以看出，多增加一桶可以获利48元，大于35元，因此可以做此项投资，在结果显示中，修改相关参数，可得还可以再购买10桶。

ⅱ）从结果中可以看出，增加一小时劳动时间可以增加利润两元，因此，若聘用临时工人以增加劳动时间，工人每小时的工资应不超过2元钱。

ⅱⅰ）从程序的运行结果看，A产品系数变化范围为64到96，当A1产品获利增加到30元时，系数变化为30*3=90<96，因此，不用改变生产计划。

2）由题意可知，对产品做进一步的深加工，设用以生产A1的为A1桶，A2的为A2桶，其中加工成B1B2的千克数位x和y千克，编写如下程序：

max=72*A1+64*A2+8.2*X+5*Y;

A1+A2<=50;

12*A1+8*A2+2*X+2*Y<=480;

3*A1<=100;

3*A1-X>=0;

3*A2-Y>=0;

运行以上程序，得到如下结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 3460.800

Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost

A1 8.000000 0.000000

A2 42.00000 0.000000

X 24.00000 0.000000

Y 0.000000 1.520000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 3460.800 1.000000

2 0.000000 37.92000

3 0.000000 3.260000

4 76.00000 0.000000

5 0.000000 -1.680000

6 126.0000 0.000000

从上面的结果可以看出，50桶牛奶中，8桶用于生产产品A1，42桶用于生产产品A2，且其中用以加工B1产品的A1为24千克，而A2不需要，可获得的最大利润为3460.8元。

ⅰ）从结果可以看出，每增加一桶牛奶可赚钱37.92元大于30，每增加一小时可赚钱3.26元大于3，因此应做此项投资。若投入150元，可买5桶，所得利润分别为：39.6和13元。

ⅱ）从灵敏度分析可知，B1和B2获利10%的波动对生产销售计划没有影响，而B1获利减少10%对生产销售计划有影响。

2、下料问题

用长度为500厘米的条材，截成长度分别为98厘米和78厘米二种毛坯，要求共截出长98厘米的毛坯10000根，78厘米的20000根，问怎样截法，(1)使得所用的原料最少?(2)使得所剩余的边料最少?试分析两种问题的答案是否相同.

解：由已知可得现有500厘米的条材，要截出98厘米和78厘米两种不同的长度的条材，可选择的模式如下表所示：

（1）欲使所用原料最少，建立如下数学模型，其中xi为采用第i中模式的切割根数：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

5*x1+4*x2+3*x3+2*x4+x5>=10000;

x2+2*x3+3*x4+5*x5+6*x6>=20000;

运行结果如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 5200.000

Total solver iterations: 2