初中数学中的几道变式训练题

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人教版初中数学中考练本中考真题中的教材变式题(一题多变)

（2）解：连接AQ，CQ.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，∠ABF＝90°.
∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠BCQ.
∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，
∴QC＝QF，∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ.
∵∠QFC＋∠BFQ＝180°，
∴AB＝BC，
∠B＝∠BCD＝90°.
∵CF平分∠DCH，
∴∠ECF＝135°.
∵AG＝CE，∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF，∴AE＝EF.
的中点G，连接EG.）
变式1：（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且
BE＝2AE，过点E作DE的垂线，交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于
点M，连接DF，交边BC于点N，则MN的长为（
B ）
D.1
变式2：（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题.
∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠DAB＝90°＝∠CME，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
变式3：（2020·鞍山）在矩形ABCD中，E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作
BF⊥AE于点G，交直线CD于点F.
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰
变式3：（2022·兰州）综合与实践

初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

初中数学变式训练

初中数学教学变式训练题1、一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？变式1：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，同学们，请你想一想他如果以每秒6米的速度划行多少秒才能追上快艇？（从先行20米改为先行了20秒）变式2：我们学校有一块300米的跑道在比赛跑步时经常会涉及到相遇问题和追及问题现有甲、乙两人比赛跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他们两人同地出发（1）两人同时相向而行经过几秒两人相遇。

（2）两人同时同向而行经过几秒两第一次相遇。

（3）乙先出发5秒，然后甲开始出发，问甲经过几秒两人第一次相遇。

变式3：一膄快艇与孟关良的皮艇同在起点，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教练要求他用45秒追上快艇，孟关良为了追上快艇，必须奋力前划，他以每秒6米的速度划行，划了5秒后他发现用这样的速度不能在规定的时间内追上，请问他的想法用45秒不能追上快艇对不对？如果他要追上请你算一算孟关良后来要用多少速度才能在规定的时间内追上快艇？2、16的算术平方根是。

变式1：16的平方根是。

变式2：的平方根是。

变式3：已知a的算术方根是2，则a= 。

3、“求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.”变式1：顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么四边形?变式5：顺次连结什么四边形中点可以得到平行四边形?变式6：顺次连结什么四边形中点可以得到矩形?4、例题：如图1，在平行四边形ABCD中，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？请说明理由。

图1变式训练：变式1:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为点E、F三等分对角线BD，其它条件不变，问上述结论成立吗？为什么？变式2:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为BE=DF，其它条件不变，结论成立吗？为什么？变式3:若将例题中的已知条件E、F分别是OB、OD的中点改为E、F为直线BD上两点且BE=DF，结论成立吗？为什么？5、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；变式一、求直线与轴的交点的坐标及△的面积；变式二、求方程的解（请直接写出答案）；变式三、求不等式的解集（请直接写出案）.6、已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是： ____________．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：____________．并证明你的结论（3）运用：已知三角形ABC，AB=5cm,AC=3cm,分别以AB、BC、CA为边作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和最大值是. ____________7、正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点G在线段CD或CD的延长线上．分别连接BD、BF、FD，得到△BFD．(1)在图①～图③中，若正方形CEFG的边长分别为1、3、4，且正方形ABCD的边长均为3，请通过计算填写下表：正方形CEFG的边长 1 3 4△BFD的面积(2)若正方形CEFG的边长为a，正方形ABCD的边长为b，猜想S△BFD的大小，并结合图③证明你的猜想．8、如图（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S△APD +S△BPC=S△PAB+S△PCD填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

初中数学变式训练题2

初中数学变式教学研究-----------10道变式题1：平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(6,3)，B （1,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（1，0）（6，0）变式2：平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B （5, 2），点C 是x 轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（1，0）（4，0）（5，0）变式3：平面直角坐标系中，已知A(2,2)，B （-2,2），点C 是坐标轴上的点，若△ABC 为直角三角形，则满足要求的所有点C 有个.答案 8个2.平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B （5, 0），点C 是直线2y x =-上的点，若△ABC 为直角三角形，则点C 的坐标为 .答案（1，-1）（5，3）（275-，271-）（275+，271+）变式2：平面直角坐标系中，已知A(-2,0)，B （2, 0），点C 是双曲线上的点，若△ABC 为直角三角形，则满足要求的点C 的个数为个.答案 3变式3：平面直角坐标系中，已知A(3,0)，B （0, 4），点C 是抛物线的对称轴上的点，若△ABC 为直角三角形，则点C 的坐标为 .答案（4，2）（4，7）（4，）3．平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，并且△ABC 为直x y 2=1682+-=x x y 43角三角形，请求出满足要求的所有点C 的坐标 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式1：平面直角坐标系中，已知A(4,0)，B （0,3），点C 是坐标轴上的点，点D 在平面直角坐标系内，使 A 、B 、C 、D 为矩形，则点C 的坐标为 .答案（0，0）（49-，0）（0，316-）变式2：平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B （5, 2），点C 是x 轴上的点，点D 在第一象限内，使 A 、B 、C 、D 为矩形，则点D 的坐标为 .答案（1，4）（4，4）变式3：平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B （5, 0），点C 是直线2y x =-上的点，点C 是坐标轴上的点，点D 在平面内，使 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为矩形，则点C 的坐标为 .答案（1，-1）（5，3）（275-，271-）（275+，271+）4：直角梯形ABCD 中，AD=1， BC=4 ， DC =4。

苏教版2022-2023学年九年级数学上册《一元二次方程的应用八大题型》专项训练

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练（重难点培优）【知识点1】增长率问题【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【变式1.1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗请通过计算说明．【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【知识点2】传播问题【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【知识点3】营销问题【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克土特产售价（单位：元）可供出售的土特产质量（单位：千克）现在出售 2000x天后出售(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]【知识点4】面积问题【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式4。

人教版九年级数学上册小专题(八)教材p90习题第14题的变式与应用

初中数学试卷金戈铁骑整理制作小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．1．如图，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状并证明你的结论．2．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DB ＝DC.求证：AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线．3．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，P 为弧AB 上异于A ，B 两点的一动点时，当△ABC 满足什么条件时，PA 能否平分∠BPC 的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．5．(1)如图1，△ABC 内接于⊙O ，AD 为∠BAC 的平分线，过D 作DE 垂直于AB 于E ，AE 与△ABC 的两边AB ，AC 有怎样的关系呢？(2)如图2，若AD 为△ABC 的外角∠CAG 的平分线时，AE 与△ABC 的两边AB ，AC又有怎样的关系呢？6．如图，平面直角坐标系中，O′为y 轴上一点，⊙O ′交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点．直线AE 交⊙O′于F 点，连接FC.过C 作CH 垂直AF 交其延长线于H.试问：当点F 在弧AC 上运动时，FB －FA 与FH 的比值是否为定值？并说明理由．7．如图，△ABC 的三个顶点均在⊙O 上，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交⊙O 于点D ，连接BD ，DC.(1)求证：BD ＝DC ＝DI ；(2)若⊙O 的半径为10 cm ，∠BAC ＝120°，求△BDC 的面积．参考答案例证明：因为∠APC ＝∠ABC ，∠CPB ＝∠BAC ，又因为∠APC ＝∠CPB ＝60°.所以∠ABC ＝∠BAC ＝60°.于是∠ACB ＝60°.所以△ABC 为等边三角形．1.△ABC 是等腰三角形，理由：因为∠CPA ＝∠ABC ，四边形APBC 是圆内接四边形，所以∠EPA ＝∠ACB.因为∠EPA ＝∠CPA ，所以∠ACB ＝∠ABC.所以AB ＝AC.故△ABC 是等腰三角形．2.证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠DCB ＋∠DAB ＝180°.又∠DAE ＋∠DAB ＝180°，∴∠DCB ＝∠EAD.∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB.∵∠DBC ＝∠DAC ，∴∠DAC ＝∠EAD.∴AD 平分∠EAC.3.(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．(2)连接OB 、OC.可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°.∵OB ＝OC ，∴∠OBD ＝∠OCD ＝12×(180°－120°)＝30°. ∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝12OB ＝4. 4.当AB ＝AC 时，PA 平分∠BPC 的外角∠CPE.理由：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，又∵∠APE ＋∠APB ＝180°，∠ACB ＋∠APB ＝180°，∴∠APE ＝∠ACB.又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠APE ＝∠APC.即AB ＝AC 时，PA 平分∠BPC 的外角∠CPE.5.(1)AE ＝12(AB ＋AC)．理由：在AB 上截取AF ＝AC ，连接BD 、CD 、FD.∵∠FAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△FAD ≌△CAD.于是FD ＝CD.又∵BD ＝CD ，∴FD ＝BD.在Rt △BDE 与Rt △FDE 中，DE ＝DE ，∴Rt △BDE ≌Rt △FDE.于是BE ＝FE.∵AE ＝AB －BE ，① AE ＝AF ＋FE.② ①＋②得2AE ＝AB ＋AC ，∴AE ＝12(AB ＋AC)． (2)当AD 为外角∠CAG 的平分线时，AE ＝12(AC －AB)．理由：作DF ⊥AC 于点F.∵AD 为∠CAG 的平分线，DE ⊥AB ，所以DE ＝DF ，又∵∠DCB ＝∠GAD ＝∠DAC ＝∠DBC.∴DB ＝DC.∴△EBD ≌△FCD.∴BE ＝CF.易证△EAD ≌△FAD ，∴AE ＝AF.∴AC －AB ＝AF ＋CF －(BE －AE)＝AF ＋CF －BE ＋AE ＝2AE.即AE ＝12(AC －AB)． 6.过C 作CM 垂直FB 于M ，∵直径CD ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.于是AC ＝BC ，∴∠EFC ＝∠CBA ＝∠CAB ＝∠CFB.从而FC 为∠EFB 的平分线．∵CH ⊥FE ，CM ⊥FB ，∴CH ＝CM.又∵FC ＝FC ，∴Rt △CHF ≌Rt △CMF.∴FH ＝FM ，CH ＝CM ，于是△ACH ≌△BCM.∴AH ＝BM.从而FB －FA ＝(FM ＋MB)－(AH －HF)＝(MB －AH)＋(FM ＋FH)＝2FH.∴FB －FA 与FH 的比值是2.7.(1)证明：∵AI 平分∠BAC ，∵∠BAD ＝∠DAC ，∴BD ＝DC.∵BI 平分∠ABC ，∴∠ABI ＝∠CBI.∵∠BAD ＝∠DAC ，∠DBC ＝∠DAC ，∴∠BAD ＝∠DBC.又∠DBI ＝∠DBC ＋∠CBI ，∠DIB ＝∠ABI ＋∠BAD ，∴∠DBI ＝∠DIB.∴△BDI 为等腰三角形．∴BD ＝ID ，∴BD ＝DC ＝DI.(2)∵∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ＝60°.∴∠DBC ＝∠DAC ＝60°.∵BD ＝DC ，∴△BDC 为等边三角形．过点D 作DH ⊥BC ，交BC 于H ，所以DH 过圆心，∠HDC ＝30°，∠HCO ＝30°.连接OC.则OH ＝12OC ＝12×10＝5(cm)．在Rt △OHC 中，利用勾股定理可得CH ＝CO 2－HO 2＝102－52＝53(cm)．由垂径定理可得BC ＝2CH ＝10 3 cm.∴S △BDC ＝1032×15＝753(cm 2)．答：△BDC 的面积为75 3 cm 2.。

初中数学教材变式题

变式题1、原题：计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题：四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题：（1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

初中数学中的几道变式题所引发的思考的研1

《初中数学中的几道变式题所引发的思考的研究》结题报告一、课题提出的背景和意义素质教育是以培养具有创造性思维和创造能力的人才为目标而进行的创新教育为归宿的教育。

在课堂教学中落实素质教育，就要贯穿“学生为主体，训练为主线，能力为主攻”的原则。

现代数学课程标准指出：数学教学不仅仅要使学生获得数学基础知识,基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质,要通过各种途径，让学生体会数学思考和创造的过程，增强学习的兴趣和自信心,不断提高自主学习的能力。

所以加强在教学中注重变式训练，可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。

所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。

数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。

.变式其实就是创新。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。

实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。

通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。

下面本人结合理论学习和数学课堂教学的实践，谈谈在数学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。

二、理论依据最早对“变式”定义的是张兆琪1981年在《天津教育》发表题为“变式在小学数学教学中的应用”，定义为“在形成数学概念、掌握数学规律的过程中, 教师提供给学生的感性材料,要不断变化其表现形式,使那些非本质属性变化出现,而使其本质属性在所有材料中都出现,这种方法在心理学上称为“变式”。

初中数学之变式训练

【模拟试题】一、选择题1. “x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）A. 2x －3≤8B. 2x －3≥8C. 2x －3＜8D. 2x －3＞8 2.下列不等式一定成立的是（）A. 5a ＞4aB. x +2＜x +3C. －a ＞－2aD.a a 24> 3. 如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（）A. x 2＞－3xB. x 2≥－3xC. x 2＜－3xD. x 2≤－3x 4. 不等式－3x +6＞0的正整数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数多个 5. 若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 任意有理数 6. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足（）A. －8＜x ＜8B. x ＜－8或x ＞8C. x ＜8D. x ＞87. 若不等式组⎩⎨⎧>≤11x mx 无解，则m 的取值范围是（）A. m ＜11B. m ＞11C. m ≤11D. m ≥118. 要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（）A. m ＞23，n ＞－31B. m ＞3，n ＞－3C. m ＜23，n ＜－31D. m ＜23，n ＞－31二、填空题9. 不等式6－2x ＞0的解集是________.10. 当x ________时，代数式523--x 的值是非正数.11. 当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m -28.12. 若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________. 13. 已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.14. 不等式组⎩⎨⎧-<+<212m x m x 的解集是x ＜m －2，则m 的取值应为________. 15. 已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.16. 某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.三、解答题17. 解不等式（组）（1）－2（x －3）＞1 （2）⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤-3314)3(265x x x x18. 画出函数y =3x +12的图象，并回答下列问题：（1）当x 为什么值时，y ＞0？（2）如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.19. 已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y x m y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围.120. 某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地.汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务.已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时.的冷藏费.（1）设该批发商待运的海产品有x （吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y 1（元）和y 2（元），试求y 1和y 2与x 的函数关系式；（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？21. 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套.已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x （套），用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y （元）.（1）写出y （元）关于x （套）的代数式，并求出x 的取值范围.（2）该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？玩数学------------变式训练一1、（2008山东模拟）如图所示，等腰Rt △ABC 中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，连结EF .当∠EPF 绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），△PEF 也始终是等腰直角三角形，请说明理由.2、一位同学拿了两块45三角尺MNK △，ACB △做了一个探究活动：将MNK △ 的直角顶点M 放在ABC △的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==．BK图（1）N图（2）BN图（3）（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为ACM△，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图（1）中的MNK△绕顶点M逆时针旋转45，得到图26（2），此时重叠部分的面积为，周长为．（3）如果将MNK△绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为。

初中数学例题习题变式拓展辅导

综合拓展
拓展6
6．（2015威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6， CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°， AC=3，AE=8，求AD的长．
综合拓展
拓展7
7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是
；（将结论直接写在横线上
）
（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立
？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连
接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，请求出GE的长．
综合拓展
的距离的最大值为．（直接填写结果）
综合拓展
拓展8
8．（2016达州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点
D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：
；
②BC，CD，CF之间的数量关系为：
若∠EAF=45°，求△CEF的周长．
A
D
F
B
EC
基本模型
变式2
1．如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E ，F分别在BC，CD边上， BE=4，分别连接AE ，AF，EF，若∠EAF=45°，求△AEF的面积．
A
D
F
B
EC
基本模型
变式3
3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E， F分别在BC，CD边上，分别连接AE，AF，EF，

数学变式训练

数学变式训练激活学生思维松江二中（集团）初级中学刘艳杰《上海市中小学数学课程标准》中指出：“数学素养是人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和。

数学课程及其教学，不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生理解数学的社会价值，领略数学文化的内涵，体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素养得到全面提高。

”可见，培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。

如何培养学生良好的数学思维呢?经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练,即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或结论的形式或内容发生变化,而本质特征却不变.也就是所谓“万变不离其宗”.变式训练是提高学生的发散思维能力,化归、迁移思维能力和思维灵活性的有效方法之一.数学教学改革专家顾泠沅创立的青浦四条经验中,其中一条“组织好课堂层次序列,进行变式教学”,就强调了变式训练的重要性.运用变式训练可以提高数学题目的利用率,提高教学有效性,起到综合运用知识,有效培养学生综合思维能力,充分理解数学本质属性的作用.这同时也符合新课程标准的基本理念.下面结合课堂教学实践谈谈在数学教学中如何运用变式训练，激活数学思维。

一、概念的变式训练数学思维能力的发展离不开数学概念的形成，尤其是对概念的内涵和外延的理解。

因而在概念形成过程中的训练主要是通过多方面呈现概念的外延和触及一些“貌似神离”的情况，以便突出概念的内涵，使学生能深刻、准确地理解掌握概念。

如在学习平方根的概念时，可以设计这样的变式训练，例题：16的平方根是。

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念。

但本节课还介绍了“正的平方根，负的平方根这两个概念，学生在刚刚学习这几个概念时，往往区分不开，为了让学生加深对几个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1，变式1：16的正的平方根是。

初中数学精品试题：八上第二章 5逆命题和逆定理

一、精题精练例题：（八上教材P66例1）说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.变式1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假.(1)两直线平行，同旁内角互补.逆命题：_______________________________________________________________（）(2)在一个三角形中，等边对等角.逆命题：________________________________________________________________（）(3)如果a=0，b=0，那么ab=0.逆命题：________________________________________________________________（）变式2：写出定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.变式3：请写出一个命题，使它是假命题，但它的逆命题是真命题，并证明此逆命题.命题________________________________________________________________________________逆命题______________________________________________________________________________证明逆命题：变式4：写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.本课题的重点是写出逆命题，并证明逆定理，通过设置多个类似的熟悉的已学的命题，逐步理清写出某个定理的逆命题的基本方法，以及证明逆定理的一般步骤与构成。

证明一个命题主要由四部分组成：图形、已知、求证、证明等，可根据命题中的条件画出具体的图形，便于后面几个环节可以用几何语言的描述，根据图形，把已知条件与求证的结论写完整，最后进行证明。

初中数学改编题

B M M N
解 (3 )点： B 能叠M 在上 D . .直 . ....线 ............................1 ...分 ..... 由2 ）（得 P M ， ∽ B NM ; B NM D NM N 沿直 M折 N 线叠纸 B 能片叠， M 在上点 D . .直 . ....2 线 .分 ....
证:( 明 1 ) PN M BN 1 Q 8 0 0 90 0 90 0 PN M PM 9N 0 0 ; BN Q PM ...N .......2 .分 ... 又 NP M BQ 9 N 0 0 ; NM ∽ B PN ...Q ....3 .分 ...
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
编
到折痕BM。同时得到了线段BN。
变式一：
沿MN线折叠得折痕MH，点B在直线MD上，利用展开图探究：
题
△BMH是什么三角形并证明你的结论．
一
改编目的：通过对原题的
引申，培养了学生的发散
性思维，识图能力和灵活
运用数学知识解决实际问
题的能力。
原
题
原题出自：人教版八年级（下册）课本115 页教学活动1
大家好
1
原题：如果我们身旁没有量角器或三角尺，需要做600,300,150
课
的角等大小的角，可以采用下面的方法： (1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
片展开
(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得
编
到折痕BM。同时得到了线段BN。
变式三：

初中数学几何专题-对角互补模型变式训练题

FE D A 对角互补模型变式一、基本图形如图，点D 为△ABC 外一点，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长线于点E ，作AF ⊥CD 于点F .①AB ＝AC （可换为“点A 在线段BC 中垂线上”或“∠ABC ＝∠ACB ”）②∠BAC ＝∠BDC （可换为“∠ABD ＝∠ACD ”或“∠BAC ＋∠EDF ＝180°”） ③AD 平分∠EDF （可换为“∠ADC ＝90°－12∠BDC ”或“AE ＝AF ”）④CD －BD ＝2DE （可换为“CD －BD ＝2DF ”或“CD ＋BD ＝2BE ”或“CD ＋BD ＝2CF ”） ⑤∠ADC ＝∠ABC （可换为“∠BAD ＝∠BCD ”或“∠ADE ＝∠ACB ”）结论如下：（1）若①②成立，则③④⑤成立；（2）若①③成立，则②④⑤成立；（3）若②③成立，则①④⑤成立；（4）若③④成立，则①②⑤成立；（5）若①④成立，则③④⑤成立；（6）若①⑤成立，则②③④成立. （7）若②④成立，则①③⑤成立；注：（1）-（3）要熟知，（4）（5）（6）要会，（7）能懂即可，不要求掌握.二、应用举例【例】1、（2015年武昌7校八上期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，则∠DBC ＝（） A .18° B .20° C .25° D .15°A BCD2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，E 在边AB 上，连接DE ，CE . （1）如图1，若AD ∥BC ，∠AED ＝∠ACD ，求证：DC ＝DE ；（2）如图2，若DC ＝DE ，∠CDE ＝∠BAC ，求证：AD ∥BC .图1图2EDCBAABCDE【练】1、在四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若∠ACD ＝∠ADC ＝α，∠ACB ＝∠ADB ，则∠CBD ＝__________.AD2、如图，点C 为△ABD 外一点，连接CA ，CD .（1）如图1，若∠B ＝∠C ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，请探究∠ADB 与∠BDC 的数量关系；（3）如图3，若AB ＝AC ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：∠B ＝∠C .图3图2图1ABDABD D BA【例】1、（2015武昌八上期末、2016洪山八上期中）已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上. （1）如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE ＋AD ；（2）如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE ＋BC .图1图2FE DC BAF ( )E DC BA2、如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上一点，D 为△ABC 外一点，连接DA 、DB 、DC . （1）过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长于点E ，若∠BDC ＝∠BAC ，BE ＝5，求BD ＋CD 的值；（2）若∠DAB ＝∠DCB ，∠BDC ＝60°，求证：AD ＋BD ＝CD .E AB DDA【练】1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB .DCBA2、（2015七一八上10月）如图，BD ＝CD . （1）如图，若AD 平分∠BAC 的外角，①求证：∠ABD ＝∠ACD ；②试探究∠BAD 与∠BCD 的关系并证明；（2）如图，若∠ADB ＝∠ACB ，求证：AD 平分∠BAC 的外角.EDC B AEDCB A【例】1、（2016年勤学早八上轴对称周练）如图1，A 是OB 的垂直平分线上一点，P 为y 轴上一点且∠OPB ＝∠OAB . （1）若∠AOB ＝60°，PB ＝4，求点P 坐标；（2）在（1）的条件下，求证：P A ＋PO ＝PB ；（3）如图2，若点A 是OB 的垂直平分线上一点，已知A （2，5），求PO ＋PB 的值.图2图12、如图，在平面直角坐标中，点A 、B 分别在x 轴负半轴和正半轴上，且关于y 轴对称，点C 在y 轴正半轴，连接AC ，BC ，BD . （1）若∠ACD ＝2∠ABD ，求证：AC ＝CD ；（2）在（1）的条件下，若点E 、F 分别在AC 的延长线和CB 的延长线上，且DE ＝DF ，求CF －CE CO的值.【练】1、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1 ，0），点C 的坐标是(1，0)，点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，过D 作DM ⊥AC 于M . （1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；（2）若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；（3）当A 点运动时，AC －ABAM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A 、PB ，D 为AC 的中点.（1）如图1，设点P 运动时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等；（2）如图2，若P A ＝AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA ＝60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ ＋∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图1图2。

(完整word)初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)