一元一次不等式八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

2.4一元一次不等式
一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
题型1：识别一元一次不等式
1.在数学表达式：﹣4＜0，2x +y ＞0，x ＝1，x 2+2xy +y 2，x ≠5，x +2＞y +3中，是一元一次不等式的有
（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【变式1-1】下列各式中，是一元一次不等式的有（ ） （1）x +2+x 2＜2x ﹣5+x 2；（2）2x +xy +y ；（3）3x ﹣4y ≥0；（4）﹣5＜x ；（5）x ≠0；（6）a 2+1＞5． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【变式1-2】已知（m +2）x |m |﹣
1+1＞0是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为（ ） A ．1
B ．±1
C ．2
D ．±2
一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或
2
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x >a x <
）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. 注意：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
题型2：一元一次不等式的解法
2.不等式2x ≤4的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式2-1】不等式6﹣2x ＞0的解集是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＞﹣3
C ．x ＜3
D ．x ＜﹣3
【变式2-2】不等式
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
题型3：解一元一次不等式
3.（1）解不等式：2x +1＞3（2﹣x ），并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式4（x ﹣1）+3≤2x +5，并把它的解集在数轴上表示出来．
【变式3-1】（1）解不等式3（x +2）﹣9≥﹣2（x ﹣1），并把解集表示在数轴上．
a x >ax b
>ax b <0a ≠
（2）解不等式x﹣3＜+1；并把解集在数轴上表示出来．
【变式3-2】（1）解不等式：≥+1，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式+1≥．并把此不等式的解表示在数轴上．
题型4：已知不等式的解集求字母的值
4.（1）解不等式：8﹣5（x﹣2）＜4（x﹣1）+13；
（2）若（1）中不等式的最小整数解是关于x的方程2x﹣ax＝3的解，求a的值．
【变式4-1】已知不等式x＞﹣3的最小正整数解是方程3x﹣ax＝6的解，求a的值．
【变式4-2】已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．
题型5：构造一元一次不等式求字母的取值范围
5.已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有四个，求m的取值范围．
【变式5-1】已知不等式2x﹣a＜1的所有正整数解的和为6，求a的取值范围．
【变式5-2】已知不等式2x﹣m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围．
题型6：一元一次不等式的实际应用
6.用适当的符号表示下列关系：
（1）x的3倍与8的和比x的5倍大；
（2）x2是非负数；
（3）地球上海洋面积大于陆地面积；
（4）老师的年龄比你年龄的2倍还大；
（5）铅球的质量比篮球的质量大．
【变式6-1】．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：
原料甲乙
维生素C/（单位/kg）600100
原料价格/（元/kg）84
（1）现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（kg）应满足的不等式；
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出x（kg）应满足的另一个不等式吗？
【变式6-2】用数学式子表示下列数量之间的关系：
（1）小明每天跑步xmin，学校规定每名学生每天跑步的时间不少于20min；
（2）某次知识竞赛共有20道题，每答对1道题得10分，答错或不答1道题倒扣5分，娜娜答对了n 道题．她的得分超过了90分；
（3）某药品说明书上标明药品保存的温度t（℃）是（10±4）℃．
题型7：方程组与一元一次不等式的综合应用
7.某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．
A产品B产品
成本/（万元/件）25
利润/（万元/件）13（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．
【变式7-1】在2019年全国青少年信息学联赛中，巴蜀中学创历史新高，有69人获得“全国信息学联赛
一等奖”，充分展现了巴蜀人探索求知的精神，实力冠绝重庆．学校想借此提升信息课的教学质量，准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购12个无线鼠标和16个有线鼠标共花费972元，采购25个无线鼠标比采购8个有线鼠标多花费909元．
（1）求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少？
（2）学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W （单位：元）表示本次计划采购的总费用，请求出W的最小值．
【变式7-2】某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表．
销售时段销售数量销售收入
A种型号B种型号
第一周3台5台2100元
第二周4台10台3600元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A，B两种型号的台灯的销售单价；
（2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？
（3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；
若不能，请说明理由．
【变式7-3】某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元？
（2）该中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么至少要购买多少个小地球仪？
题型8：一元一次不等式与最优方案问题
8.．某花店计划在母亲节来临之前购进一批康乃馨和百合花，已知购买2支康乃馨和3支百合共需40
元；购买3支康乃馨和1支百合共需25元．
（1）求每支康乃馨和百合花的价格分别是多少元？
（2）若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【变式8-1】根据国家精准扶贫政策，某地A、B两局分别提供12个和6个扶贫名额，甲、乙两地分别有贫苦户10户、8户，其中A局每个名额给甲、乙两地的钱数分别为400元、800元，B局每个名额给甲、乙两地的钱数分别为300元、500元
（1）设B局给甲地x个名额，求总钱数y关于x的关系式；
（2）若总钱数不超过9000元，问共有几种分配方案．
【变式8-2】有A、B两个商场以同样价格出售同样商品，且各自推出了不同的优惠方案：在A商场累计购物超过400元后，超出部分按80%收费；
在B商场累计购物超过200元后，超出的部分按90%收费．
顾客选择到哪家购物花费少？
【变式8-3】某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已
知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．
（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．。