大连市历年高等数学竞赛题

大连市第三届大学生高等数学竞赛试题1.（10分）求+⨯+⨯+⨯59803987139871994119941112.（10分）设函数f(x)在闭区间[0，1]上可微，且满足f(1)-2⎰=2100)(dx x xf ,求证在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f ＇(ξ)= —ξξ)(f 。

3.（10分）设函数f(x)具有一阶、二阶导数，f(0)=f(1)=0,且2)}({10=≤≤x fMax x证明：16)}('{10-≤≤≤x fMin x4.（10分）求函f(x)=⎰+--xdt t t t 02112在[0，2]上的最大值与最小值。

5.（10分）设函数f(x)在区间（0，1）上可微，且0＜f ＇(ｘ)≤１，f(0)=0 证明⎰⎰≥101022)())((dx x f dx x f6.（10分）已知f(t)=(tg )14-t π(tg )242-t π(tg )1004100-t π,求f ＇（１）。

7.（10分）试求∑∞=+++12)2)(1(n n n n x 的和函数，并计算∑∞=++12)2)(1(41n nn n8.（10分）一均质链条挂在一个无摩擦的钉子上，运动开始时，链条的一边垂下8米，另一边垂下10米，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9.（10分）设f(x)=a 1sin(x)+a 2sin2x+…+a n sinnx,且|f(x)|≤｜sinx ｜ 求证：| a 1+a 2+…+a n |≤１10.（10分）设半径为R 的球的球心在半径为a 的定球面上，问R 为何值时，夹在定球内部的表面积最大，并求出最大的表面积的值。

大连市第四届大学生高等数学竞赛试题1、 设x=g(y)为y=f(x)的反函数，求))(''')('')(')(('''表示、、用x f x f x f y g 。

2、 设f(x)在（+∞-∞，）上有连续导函数，求⎰-++Ldy xy f y y x dx y xy f y )1)(()(1222 其中L 是从点A （3，32）到点B(1,2)的直线段。

3、 设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，求证在（a,b ）内存在ξ,使得⎰badx x f )(=（b -a ）f(2b a +)+241(b -a)3)(''ξf 。

4、 设f(x)=)0(1)1ln(>++x xx 定义A(x)= ⎰xdt t f 0)(令A= A(1)+ A(21)+…+ A(n1)+…,试证：247＜Ａ＜１５、设f(x)在（+∞-∞，）上有三阶连续导数，且等式f(x+h)=f(x)+hf’(x+h θ)(0<θ<1)中，θ与h 无关，则f(x)必为一个一次函数或二次函数。

6、 函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证由g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0)0('0)(x f x x x f 所定义的g(x)有一阶连续导数。

7、 若函数f(x)在[0,1]上二次可微，且f(0)=f(1), |)(''x f |≤１，试证：｜)('x f ｜≤21在［０，１］上成立。

８、设a(x)，b(x)，c(x)和d(x)都是x 的多项式， 试证：()⎰xdx x c x a 1)()(()⎰xdx x d x b 1)()(-()⎰xdx x d x a 1)()(()⎰xdx x c x b 1)()(可被（x -1）4除尽。

９、设a 、b 、c 为实常数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，当|x|≤１时满足｜f(x)｜≤１， 试证：当|x|≤１时有｜)('x f ｜≤４。

１０、求由坐标平面与椭球面1222222=++cz b y a x 的一个切平面所界的最小体积。

大连市第五届大学生高等数学竞赛试题（理工类本科）一、设),(y x f y x z -++=当0=y 时, ,3x z =求函数f 及z .二、知)(x f 在6=x 的邻域内为可导函数,且,0)(lim 6=→x f x ,1995)(lim 6='→x f x 求极限.)6()(lim3666x dt du u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→ 三、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,0,)()(2x c x x dx x xf x F x 其中)(x f 具有连续导数且,0)0(=f （１）试确定c 使)(x F 连续;（２）在1的结果下问)(x F '是否连续(要求过程)四、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11)(x ex x x f x 求⎰-2.)1(dx x f五、级数+⋅2211x +⋅4431x +⋅6651x …++-n x n n 2)12(21…的收敛并求其和． 六、设B A 为连接)1,1(),0,0(B A 的某一曲线弧，且B A与直线段AB 所包围的图形面积为,23AB 与B A 除B A ,外无其它交点，B A自身也不相交，计算曲线积分⎰-+-BA x x dy m y e dx my y e .)cos ()sin ( 七、计算曲面积分∑-+-⎰⎰∑,48)1(22xzdxdy xydzdx dydz x 是曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转曲面的外侧．八、试利用函数,)(1xa x f =对于,1,1≥>x a 证明以下不等式.ln )1(21111211na a aa n a nn n n <-<+++ 九、设)(x f 对于1≥x 为一非负的增函数，证明⎰∑∑=-=≤≤nnk n k k f dx x f k f 1211)()()( （１）当x x f ln )(=时，证明不等式n n nn e n e n en e -+-⋅⋅<<⋅⋅1! （２）由此求.)!(lim1nn nn ∞→十．求用平面)0(0≠=++C Cz By Ax 与椭圆柱面12222=+by a x 相交所成的椭圆的面积．大连市大学生第六界高等数学竞赛试卷９６.６.３０ （本科）一（１０分）设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（１＋ｓｉｎｘ）（２＋ｓｉｎｘ）……（１９９６＋ｓｉｎｘ），求)0(f '二（１０分）求202lim xe e x x x -+-→ 三（１０分）设ｆ（ｘ）的原函数为xxsin ，求不定积分⎰'dx x f x )( 四（１０分）讨论ａ取何值，使及方程0233=+-ax x 有一二三个实根 五（１０分）设)(x f 连续，求证⎰∏)(sin dx x xf ＝⎰ππ)(sin 2dx x f 并计算⎰+π2cos 1sin dx xxx 六（１０分）设),,(z y x F u =在0),,(=z y x ϕ及0),,(=z y x ψ的条件下，于),,(0000z y x P 处 取极值ｍ，证明三曲面m z y x F =),,(，0),,(=z y x ϕ，0),,(=z y x ψ在点0p 处的三条法线共面。

七 （１０分）设)(u f '连续，ｆ（１）＝２，ｆ（０）＝１，求dy y x x y f dx x⎰⎰--'1))(1()(八（１０分）计算⎰⎰⎰Ω+dxdydz z x 2)2(，Ω：2222R z y x ≤++ 九（１０分）计算⎰++-c y x xdyydx ，ｃ为1=+y x 正向十（１０分）证明⋯⋯+⋯⋯+++!!5!3642（２ｋ－１）＋２ｋππππ收敛，并求和大连市第七界大学生高等数学竞赛试题（理工类本科）１９９７年６月２８日注：共１０题，每题１０分。

一．设)1(21,211n n n a a a a +==+（ｎ＝１，２，……），证明{}n a 收敛，并求n n a lim ∞→ 二．设函数f （x ）=1)1()1(2lim +++--+∞→x n x n n e bax e x ，a ，b ，为常数，问a ，b 为何值时，f （x ）在),(+∞-∞上连续，可导 ？三．试确定a 值，使方程a x x =+-)1ln(222在[-1，+1]上有两个相异的实根。

四．设函数f （x ）在[0，1]上连续，在（0，1）内大于零并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线y=f （x ）与x=1，y=0所围成的图形S 的面积为2，求函数y=f （x ）及图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积 五．设y=f （x ，t ），而t 是由方程F （x ，y ，t ）=0所确定的x ，y 的函数，其中 f ，F 都具有一阶连续偏导数，试导出dxdy的公式。

六．在第一挂限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使得切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为最小，求切点的坐标七．计算曲线积分⎰-++=cydy ye x dx x xy I ,)()sin 3(2，其中Ｃ是曲线x x y 22-=上以（０，０）为始点，（４，８）为终点的曲线段八．求幂级数∑∞=02)!2(n n n x 的收敛区间，若令ｓ（ｘ）＝∑∞=02)!2(n nn x ，求⎰10)(dx x S九．设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，且在（ａ，ｂ）内有0)(>'x f 。

证明存在唯一的),(b a ∈ξ使得ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｆ（ξ），ｘ＝ａ所围成的平面图形1S 与 ｙ＝ｆ（ｘ），ｙ＝ｆ（ξ），ｘ＝ｂ所围成的平面图形2S 相等。

十．设ｆ（ｘ）存在二阶导数，且0)(,0)(>''>'x f x f 。

证明ｆ（ａ）〈ab dx x f ba-⎰)(〈2)()(b f a f +。