信号与系统重要知识总结

基本概念

一维信号：信号是一个独立变量的函数时，称为一维信号。

多维信号：如果信号是n 个独立变量的函数，就称为n 维信号。

归一化能量或功率：信号（电压或电流）在单位电阻上的能量或功率。

能量信号：若信号的能量有界，则称其为能量有限信号，简称为能量信号。

功率信号：若信号的功率有界，则称其为功率有限信号，简称为功率信号。

门函数：

()g t τ常称为门函数，其宽度为τ，幅度为1

因果性：响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统称为因果系统。

因果信号：把t=0时接入的信号（即在t<0时，f(t)=0的信号）称为因果信号，或有始信号。

卷积公式：

1212()()*()()()f t f t f t f f t d τττ∞

-∞==-⎰

梳妆函数：

相关函数：又称为相关积分。

意义：衡量某信号与另一延时信号之间的相似程度。延时为0时相似程度是最好的。

1212()()()R f t f t dt ττ∞-∞==-⎰

前向差分： ()(1)()f k f k f k ∆=+-

后向差分：

()()(1)f k f k f k ∇=--

单位序列：

()k δ

单位阶跃序列：

()k ε

基本信号：

时间域：连续时间系统以冲激函数为基本信号，离散时间系统以单位序列为基本信号。任意输入信号可分解为一系列冲积函数（连续）或单位序列（离散）的加权和。

频率域：连续时间系统以正弦函数或虚指数函数jwt e 为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。

DTFT ：离散时间信号，以虚指数函数2j kn N e π或j k e θ为基本信号，将任意离散时间信号表示为N 个不同频率的虚指数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。

系统响应：

()j t j t Ye H j Fe ωωω=

正交函数集：n 个函数

构成一函数集，如在区间 内满足正交特性。

复变函数的正交性

均方误差：误差的均方值2ε

帕斯瓦尔方程：j j j t t K C dt t f ∑⎰∞

==1222

1)( 含义：)(t f 在区间),(21t t 信号所含能量恒等于此信号在完备正交函数集中各正交分量能量的总和。

方波的傅里叶级数：频率较低的谐波，其振幅较大，它们组成方波的主体，频率较高的高次谐波振幅较小，它们主要影响波形的细节，波形中所包含的高次谐波越多，波形的边缘越陡峭。谐波中所包含的谐波分量愈多时，除间断点附近外，它愈接近原方波信号，在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但是尖峰的幅度并未明显减小。

吉布斯现象：即使合成波形所含谐波次数∞→n ，在间断点处仍有8.95%的偏差。

在利用信号的傅里叶变换恢复或逼近原信号时，如果原信号包含间断点，那么在间断点处其恢复信号会出现过冲，这种现象称为吉布斯现象。 奇谐函数：)2

(-)(T t f t f ±= 偶谐函数：

)2()(T t f t f ±= 全波整流信号：

半波整流信号:

傅里叶变换总结

傅里叶变换

英文 时域 频域 备注 连续傅里叶变换

CTFT 连续，非周期 连续，非周期 傅里叶级数

CFS 连续，周期 离散，非周期

离散时间傅里叶变换 DTFT 离散，非周期 连续，周期

傅里叶级数

DFS 离散，周期 离散，周期

连续傅里叶变换

CTFT 连续，周期 离散，非周期 和CFS 的区别是，CTFT 是冲激 离散傅里叶变换 DFT 离散，周期 离散，周期 待定 ()()()12n ,,g t g t g t ……，12(,)t t 21()()0()t i j t g t g t dt i j =≠⎰⎰=21)(2t t i i K dt t g 0)()()()(21212*1*21==⎰⎰

t t t t dt t f t f dt t f t f

总结：信号在时域的离散，则对应在频域的周期性；信号在频域的离散，对应时域的周期 信号在时域的连续，则对应频域的非周期性；信号在频域的非周期，对应时域的连续 所以时域采样对应频域的周期延拓，频域采样对应时域的周期延拓。

备注：(1)CFS ：任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦函数的分量。 狄里赫利条件：①函数在任意区间内连续，或只有有限个第一类间断点。

②在一周期内函数有有限个极大值或极小值。

(2)三角函数形式的傅里叶级数函数比较明确

(3)时域无限，频域有限;时域有限，频域无限。

证明：时域有限信号可以看作是信号和门函数相乘，由傅里叶变换的性质，时域相

乘对应频域卷积，门函数的傅里叶变换是)(x Sa 函数，故频域无限，由卷积区间的

确定（高+高，低+低）的规律知卷积后在频域是无限的。

同理频域有限信号可以看作是门函数与频带有限信号的乘积，由傅里叶变换的

性质，频域相乘对应时域卷积，故时域无限。

或者由傅里叶变换的对称性知，频域有限时域无限。

几何平均：N 个数据的连乘积的开N 次方根。

调和平均：一组数据的倒数和除以数据的项数的倒数。

统计平均：概率不同的数据的均值。 算数平均：一组数据的代数和除以数据的项数所得的平均数。概率相同的数据的均值。 标准差：是方差的算术平方根

均方根误差：RMSE root-mean-square error 亦称标准误差它是观测值与真值偏差的平 方和观测次数n 比值的平方根

均方根值：也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。

物理可实现的系统

时域特性：其冲击响应和阶跃响应在t<0时必须为0.响应不在激励作用之前出现，称为因果条件。

频域特性：佩利和维纳证明物理可实现的系统的幅频特性|)(|ωj H 必须是平方可积的。

佩利—维纳准则（必要条件）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∞<+∞<⎰⎰∞∞-∞

∞-ωωωωω221||)(|ln ||)(|j H d j H

不满足此准则的系统是非因果的，器响应出现在激励之前。由定理知如果系统幅频特性在某一有限频带内为零，则这样的系统是非因果的，对于物理课实现的系统幅频特性可以在某些孤立点上为零，但不能在某个有限频带内为0.