二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点
总结与例题讲解
二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：
1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展：
4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

本节题型：
1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

知识点讲解：
一元二次不等式的概念：
一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。

解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。

注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。

三个二次的关系：
一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。

一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：
1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；
①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；
②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。

2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。

具体关系见下表（1）所示。

一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。

例题讲解：
1.解不等式x2+4x+3≤0.
解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。

2.解不等式2x2-5x+3<0.
解：将不等式化为一元二次方程2x2-5x+3=0，解得x=1/2，x=3/2.因此，不等式的解集为(1/2,3/2)。

3.解不等式x2-2x-3>0.
解：将不等式化为一元二次方程x2-2x-3=0，解得x=-1，
x=3.因此，不等式的解集为(-∞,-1)U(3,+∞)。

4.已知二次函数y=ax2+bx+c，且a>0，若该函数的图象与
x轴有两个交点，则该函数的解析式为y=2x2-4x+1.
解：由于该函数的图象与x轴有两个交点，因此Δ=b2-
4ac>0.又因为a>0，所以a=2，b=-4，c=1.因此，该函数的解析
式为y=2x2-4x+1.
5.已知一元二次不等式x2-3x-10>0，求其解集。

解：将不等式化为一元二次方程x2-3x-10=0，解得x=-2，x=5.因此，不等式的解集为(-∞,-2)U(5,+∞)。

6.已知一元二次不等式x2-4x+3≥0，求其解集。

解：将不等式化为一元二次方程x2-4x+3=0，解得x=1，
x=3.因此，不等式的解集为[1,3]。

一元二次不等式的解集对应着二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x$轴下方（包括$x$轴）的部分所对应的自变量的取值范围。

解一元二次不等式的一般步骤是：（1）利用不等式的性质，
将二次项系数化为正数；（2）计算$\Delta=b^2-4ac$的值，并
判断$\Delta$的符号；（3）当$\Delta\geq0$时，求出相应的一
元二次方程的根；（4）画出对应的二次函数的简图；（5）根据一元二次不等式的形式，结合简图，写出其解集。

需要注意
的是，一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系。

其中，当$\Delta>0$时，一元二次不等式$ax^2+bx+c>a$的解集在“两根之外”，即“大于大根或小于小根”；一元二次不等
式$ax^2+bx+ca$的解集为$\{x|x\neq \frac{-b}{2a}\}$；一元二
次不等式$ax^2+bx+ca$的解集为$\mathbb{R}$；一元二次不等
式$ax^2+bx+c<a$的解集为$\varnothing$。

表（1）展示了一元二次方程、二次函数以及一元二次不
等式的关系。

需要注意的是，当一元二次不等式在
$\mathbb{R}$上恒成立时，需要解决两个问题：（1）
$ax^2+bx+c$在$\mathbb{R}$上恒大于$a$或恒小于$a$的情况；（2）$ax^2+bx+c$在$\mathbb{R}$上恒小于$a$且$\Delta<0$的
情况。

一元二次不等式的解法:
对于一元二次不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立，根据二
次函数的性质，其对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴
上必有交点，即存在实数根。

而实数根的判别式为Δ=b2-
4ac≤0，因此Δ≤0，即b2-4ac≤0，即可得到a<0且Δ≤0的解法。

对于一元二次不等式ax2+bx+c≤0在XXX成立，同理可
得到a>0且Δ≤0的解法。

关于二次函数的零点，可以理解为二次函数与x轴的交点，且交点的个数等于零点的个数。

当Δ≥0时，一元二次方程有
实数根，相应二次函数存在零点。

分式不等式的解法:
分式不等式是指分母中含有未知数的不等式。

可以利用不等式的性质将其化为标准形式，如f(x)/g(x)>0，f(x)/g(x)<0，
f(x)/g(x)≥0，f(x)/g(x)≤0.然后将其转化为整式不等式进行求解。

解高次不等式可以使用数轴标根法，即将高次不等式化为左边是几个因式的乘积，右边是0的形式，求出方程的所有实数根，并在数轴上标出这些根。

然后从最右根的右上方穿过根，往左下画线，依次穿过各根。

需要注意偶次根不穿过，即奇过偶不过。

C）a4或a4（D）4a4
分析根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,可得到a的取值范围.
解:由题意可知:x2ax4的解集为空集,即方程
x2ax4的根不存在.
a2440
4a 4.
选择答案【B】.
分析本文是一篇数学题解，主要涉及一元二次不等式和二次函数的关系以及根与系数的关系定理的应用。

需要注意的是，文章中有一些格式错误，需要进行修改。

解：本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系，同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题。

对于第一题，不等式 $x^2+ax+4<0$ 的解集为空集，即相
应的二次函数 $y=x^2+ax+4$ 的图像位于 $x$ 轴上及其上方，
或者不等式 $x^2+ax+4\geq 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立。

因此，根据一元二次不等式恒成立的条件，得到 $\Delta=a^2-
16\leq 0$，解得 $-4\leq a\leq 4$。

因此，实数 $a$ 的取值范围
是 $\{a|-4\leq a\leq 4\}$。

答案为 $\textbf{(A)}$。

对于第二题，由题意可知 $m0$ 的解集为 $x2$，因此
$m$ 满足 $(mx-1)(x-2)>0$ 在 $x2$ XXX成立。

展开不等式得
到 $mx^2-(2m+1)x+2>0$，因此 $m$ 满足 $x2$ 时，$mx^2-
(2m+1)x+2>0$ XXX成立。

根据一元二次不等式恒成立的条件，得到 $\Delta=(2m+1)^2-8m\leq 0$，解得 $m<0$。

因此，实数$m$ 的取值范围是 $\{m|m<0\}$。

答案为 $\textbf{(D)}$。

对于第三题，函数$y=ax^2+bx+18$ 的定义域为$[-3,6]$，因此一元二次不等式 $ax^2+bx+18\geq 0$ 在 $[-3,6]$ 上恒成立，即 $y=ax^2+bx+18$ 的图像位于 $x$ 轴上及其下方。

由根与系
数的关系定理可得$-b=-3+6$，$ab=18$，解得$a=-1$，$b=3$。

因此，实数 $a$ 的值为 $-1$，实数 $b$ 的值为 $3$。

对于第四题，当 $m=-2$ 时，函数 $y=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$，因此不等式 $y>0$ 的解集为 $x2$。

当 $m>0$ 时，函数
$y=x^2-x+m$ 的图像位于 $x$ 轴上方，因此不等式
$y\frac{1}{2}$，即 $m0$ 的解集为 $\{x|x2\}$；当 $m>0$ 时，
不等式 $y<0$ 的解集为
$\{x|x_1<x<x_2\}=\left\{x\left|\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}+\sqrt{\ frac{9}{4}-m}\right.\right\}$。

给定不等式ax^2-3x+2>(a∈R)，解集为{x|xb}，求a,b的值。

分析：本题考查含有参数的一元二次不等式的解法。

根据一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关，要对二次项系数的正负进行讨论。

解：当a≠0时，不等式ax^2-3x+2>0，即a(x-1)(x-2/ a)>0.根据不等式的性质可知，当a>0时，解集为{x|x2/ a}；当a<0时，解集为{x|1<x<2/ a}。

因此，a的取值范围为a≠0.
又因为解集为{x|xb}，所以不等式的解集为{x|xb}，即
a(x-1)(x-b)>0.根据不等式的性质可知，当a>0时，解集为
{x|x2/ a。

综上所述，a的取值范围为a≠0，b的取值范围为b2/ a。

解：根据题意，对于任意$1\leq x\leq 4$，都有$x^2-
(a+2)x+4\geq -a-1$成立。

化简不等式，得$x^2-(a+2)x+a+3\geq 0$。

对于二次函数$f(x)=x^2-(a+2)x+a+3$，当$a+2>0$时，开
口向上，当$a+2<0$时，开口向下。

要使得不等式恒成立，即$f(x)\geq 0$的解集为$[1,4]$，则必须满足以下两个条件：
1）$f(1)\geq 0$，即$1-(a+2)+a+3\geq 0$，解得$a\leq 2$；
2）$f(4)\geq 0$，即$16-4(a+2)+a+3\geq 0$，解得$a\leq 5$。

综上所述，实数$a$的取值范围为$-\infty<a\leq 2$。

分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题，需要将问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题。

解：因为 $x-(a+2)x+4\geq -a-12$，所以 $a(x-1)\leq x^2-
2x+5$。

因为 $1\leq x\leq 4$，所以当 $x=1$ 时，显然有
$a\times 0\leq 1-2+5=4$ 成立，所以 $a\in \mathbb{R}$；当
$10$，所以 $a\leq \frac{x^2-2x+5}{x-1}$。

因为 $\frac{x^2-
2x+5}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}\geq 2(x-1)$，所以 $a\leq 2(x-1)$。

因此，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

4]$。

例13.已知不等式 $mx^2-mx-1<0$。

1）当 $x\in \mathbb{R}$ 时不等式恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
2）当 $x\in [x_1,x_2]$ 时不等式恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

解：（1）当 $m=0$ 时，$-1<0$ 恒成立，符合题意；当$m\neq 0$ 时，解不等式得 $-4<m<0$。

因此，实数 $m$ 的取值范围为 $(-4,0]$。

2）当 $m=0$ 时，$-10$，所以 $mx-1<0$，即
$m<\frac{1}{x}$。

因为
$\frac{1}{x_2}<\frac{1}{x}<\frac{1}{x_1}$，所以
$m<\frac{1}{x_1}$。

因此，实数 $m$ 的取值范围为 $(-
\infty,\frac{1}{x_1})$。

综上所述，当$m=0$时，原不等式的解集为$\{x|x\leq
0\text{或}x\geq 1\}$；当$m>0$时，原不等式的解集为
$\{x|x\leq \frac{m}{2}\}$；当$m<0$时，原不等式的解集为$\{x|m\leq x\leq -m\}$。

例15.已知关于$x$的不等式$kx^2-2kx>x-2$。

1）当$k=2$时，解不等式；
2）当$k\in \mathbb{R}$时，解不等式。

解：（1）当$k=2$时，$2x-4x>x-2$，解之得$x>2$或$x<\frac{1}{2}$。

原不等式的解集为$\{x|x>2\text{或}x<\frac{1}{2}\}$。

2）原不等式可化为$kx^2-(2k+1)x+2>0$。

当$k=0$时，$-x+2>0$，解之得$x<2$。

∴原不等式的解集为$\{x|x<2\}$。

当$k\neq 0$时，原不等式可化为$(x-2)(kx-1)>0$。

方程$kx^2-2kx>x-2$的根为$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{k}$。

当$k<0$时，原不等式同解于$(x-2)(kx-1)<0$，且
$\frac{1}{k}<x<2$。

∴原不等式的解集为
$\{x|\frac{1}{k}<x<2\}$。

当$k>0$时，原不等式同解于$(x-2)(kx-1)>0$。

①若$k>\frac{1}{2}$，则$x2$。

∴原不等式的解集为
$\{x|x2\}$。

②若$k=\frac{1}{2}$，则$x\neq 2$。

∴原不等式的解集为$\{x|x\neq 2\}$。

③若$0<k<\frac{1}{2}$，则$2<x<\frac{1}{k}$。

∴原不等
式的解集为$\{x|2<x<\frac{1}{k}\}$。

综上所述，当$k=0$时，原不等式的解集为
$\{x|x\frac{1}{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x2\}$；当
$k=\frac{1}{2}$时，原不等式的解集为$\{x|x\neq 2\}$。

例16.已知关于$x$的不等式$kx^2-2x+6k<0$。

1）若不等式的解集为$\{x|x-2\}$，求实数$k$的取值；
2）若不等式的解集为$\mathbb{R}$，求实数$k$的取值范围。

解：（1）由题意可知：$k<0$。

一元二次方程$kx^2-2x+6k=0$的两个实数根分别为$x_1=-
3$，$x_2=-2$。

由根与系数的关系定理可得：$-2\times(-3)=\frac{6k}{k}$，解之得$k=-\frac{5}{2}$。

实数$k$的值为$-\frac{5}{2}$。

2）当不等式的解集为$\mathbb{R}$时，$k>0$。

原不等式可化为$k(x-\frac{1}{k})^2+\frac{23}{4k}<0$。

当$k>0$时，$k(x-\frac{1}{k})^2\geq 0$，故
$\frac{23}{4k}\frac{23}{4}$。

实数$k$的取值范围为$k>\frac{23}{4}$。

1）根据题意可列出方程组：
begin{cases}a+b=3\\4a+b=4\end{cases}$
解得$a=1,b=2$，因此$a=1,b=2$。

2）将函数$y=\dfrac{ax+b}{x}$化简得$y=a+\dfrac{b}{x}$，将给定的两个根代入得：
begin{cases}3a+b=9\\4a+\frac{b}{4}=16\end{cases}$
解得$a=2,b=3$。

将$y=a+\dfrac{b}{x}$代入不等式$y<k$中，得：
a+\dfrac{b}{x}<k$
化简得$x>\dfrac{b}{k-a}$。

由于$k>1$，因此$k-a>0$，所以不等式右侧为正数，可以不改变不等号方向。

因此，原不等式的解为$x>\dfrac{b}{k-a}$，即
$x>\dfrac{3}{k-2}$。

综上所述，原不等式的解为$x>\dfrac{3}{k-2}$。

当x取任意实数时，上式都成立，即对于任意实数x，都有x2+(m-4)x+4-m>0成立。

根据二次函数的性质，当a>0时，二次函数的图像开口向上，且在顶点处取得最小值。

因此，当上式恒成立时，其对应
的二次函数的判别式D<0，即(m-4)2-4(4-m)<0，解得m∈(-∞,2)∪(4,+∞)。

2）当2≤m≤4时，不等式x2+mx>4x+m-4可以化为
x(x+m-4)>4-m，因为m≤4，所以x+m-4≤0，即x≤4-m。

因此，当2≤m≤4时，不等式的解集为{x|x4-m}。

综上所述，实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞)，当
2≤m≤4时，实数x的取值范围为{x|x4-m}。

解决XXX成立问题时，需要清楚谁是主元，谁是参数。

一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，构造以主元为变量的函数，根据主元的取值范围求解。

1）由题得：$\Delta=(m-4)-4(4-m)<0$，解得 $|m|<4.2$，因此实数 $m$ 的取值范围是 $(-4.2,4.2)$。

2）由不等式 $x^2+mx>4x+m-4$，移项得 $(x-1)m+x^2-
4x+4>0$。

对于任意 $m\in[0,4]$，不等式恒成立，因此 $m$ 是参数，$x$ 是主元。

考虑不等式左边的式子 $(x-1)m+x^2-4x+4$，将 $m$ 看作
参数，$x$ 看作主元，则这是一个关于 $x$ 的二次函数，记为$g(x)=(x-1)m+x^2-4x+4$。

要使不等式恒成立，只需要让
$g(x)$ 在 $x\in[0,2]$ 上恒大于 $0$，即 $g(x)>0$。

对于 $m=0$，$g(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0$，因此
$m=0$ 时，$g(x)$ 在 $x\in[0,2]$ 上恒大于 $0$。

对于 $m>0$，$g(x)$ 的二次项系数 $1>0$，因此 $g(x)$ 的图像是一个开口向上的抛物线。

由于 $g(1)=1-m0$ 的解集为
$x\in(0,1)\cup(2,+\infty)$。

对于 $m0$，因此 $g(x)$ 的图像是一个开口向上的抛物线。

由于 $g(1)=1-m0$ 的解集为 $x\in(0,1)\cup(2,+\infty)$。

综上所述，实数 $x$ 的取值范围是 $\{x\mid x2\}$。

已知$k>\frac{1}{3}$，对于任意正实数$x,y$，不等式
$3kx+ky\geq 2xy$恒成立，求实数$k$的取值范围。

解：由题意得XXX，即$ky\geq 2xy-3kx$，又由
$k>\frac{1}{3}$可得$k-\frac{1}{3}>0$，即$3k-1>0$。

对于不等式$ky\geq 2xy-3kx$，若$x=0$，则$ky\geq 0$，显然恒成立；若$x\neq 0$，则可将不等式两边同除以$x$得$\frac{ky}{x}\geq 2y-3k$，令$t=\frac{y}{x}$，则$t>0$，且$\frac{ky}{x}\geq 2t-3k$。

对于$t>0$，当$t=\frac{3k}{2}$时，$\frac{ky}{x}=2t-
3k=0$，此时不等式恒成立；当$t\neq \frac{3k}{2}$时，
$\frac{ky}{x}>2t-3k$，令$m=2t-3k$，则$m\neq 0$，且
$\frac{ky}{x}>m$。

由题意得，对于任意正实数$x,y$，不等式$3kx+ky\geq
2xy$恒成立，因此$m\leq 0$，即$2t-3k\leq 0$，解得$t\leq
\frac{3k}{2}$。

综上所述，$k-\frac{1}{3}>0$且$t\leq \frac{3k}{2}$，即$\frac{1}{3}<k\leq \frac{2}{3}$。

因此，实数$k$的取值范围是$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]$。

解题步骤：
2.改写每段话，使其更加清晰易懂，同时修正格式错误。

改写后的文章：
例28.若关于 $x$ 的不等式 $\frac{(k-1)x^2+(k-
1)x+2}{x^2+x+1}>0$ 的解集为 $R$，则实数 $k$ 的取值范围是什么？
解：因为 $x^2+x+1>0$，所以原不等式等价于不等式 $(k-1)x^2+(k-1)x+2>0$，其解集为 $R$。

当 $k=1$ 时，$2>0$ 在$R$ 上恒成立，符合题意；当 $k\neq 1$ 时，解不等式 $(k-1)x^2+(k-1)x+2>0$，得到 $1<k<9$。

综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $[1,9)$。

例29.（1）解关于 $x$ 的不等式 $x^2-(a+2)x+4\leq 4-
2a$（$a\in \mathbb{R}$）；
2）若 $1<x\leq 4$ 时，不等式 $x^2-(a+2)x+4\geq -a-1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：（1）因为 $x^2-(a+2)x+4\leq 4-2a$，所以 $(x-2)(x-
a)\leq 0$。

当 $a>2$ 时，原不等式的解集为 $\{x|2\leq x\leq a\}$；当 $a=2$ 时，$(x-2)\leq 0$，原不等式的解集为 $\{x|x=2\}$；
当 $a2$ 时，原不等式的解集为 $\{x|2\leq x\leq a\}$；当
$a=2$ 时，$(x-2)\leq 0$，原不等式的解集为 $\{x|x=2\}$；当
$a<2$ 时，原不等式的解集为 $\{x|a\leq x\leq 2\}$。

2）由题意可知，当 $x\in (1,4]$ 时，$x^2-a(x-1)-2x+5\geq
0$ 恒成立。

因为 $x\in (1,4]$，所以 $x-1>0$。

所以 $a\leq
\frac{(x-2)(x-5)}{(x-1)^2}$。

又因为 $x\in (1,4]$，所以 $a\leq
4$。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,4]$。

已知关于$x$的不等式$x^2-2mx+m+2\leq 0$的解集为$M$。

1）当$M$为空集时，求$m$的取值范围。

由于$M$为空集，所以不等式$x^2-2mx+m+2\leq 0$无实
数解。

因此，判别式$\Delta=(-2m)^2-4(m+2)<0$，解得$-
1<m<2.2$。

因此，$m$的取值范围是$\{m|-1<m<2\}$。

2）在（1）的条件下，求$\frac{4m^2+2m+5}{m+1}$的最
小值。

由于$-10$，所以$\frac{4m^2+2m+5}{m+1}\geq 4$，当且
仅当$m+1=\frac{3}{2}$时取到最小值，即$m=1$时，
$\frac{4m^2+2m+5}{m+1}=4$。

3）当$M$不为空集，且$M\subseteq\{x|1\leq x\leq 4\}$时，求实数$m$的取值范围。

由于$M$不为空集，所以不等式$x^2-2mx+m+2\leq 0$有
实数解，并且这些实数解都在区间$[1,4]$内。

因此，这个二次函数的判别式$\Delta=(-2m)^2-4(m+2)\geq 0$，解得$m\leq
\frac{3}{4}$。

因此，实数$m$的取值范围是$\{m|m\leq
\frac{3}{4}\}$。

题目：已知二次函数 $y=x^2-2tx+t^2-1$（$t\in R$）。

1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式
$x^2-2tx+t^2-1\geq0$；
2）若关于 $x$ 的方程 $x^2-2tx+t^2-1=0$ 的两个实数根均大于 $-2$ 且小于 $4$，求实数 $t$ 的取值范围。

解析：
1）已知二次函数有两个互为相反数的零点，即存在
$x_1,x_2$ 满足 $x_1=-x_2$ 且 $y(x_1)=y(x_2)=0$。

代入二次函数得 $x_1x_2=t^2-1$，又因为 $x_1=-x_2$，所以 $x_1x_2=-x_1^2$。

则 $-x_1^2=t^2-1$，即 $x_1^2-1=t^2$。

对于不等式 $x^2-2tx+t^2-1\geq0$，可以看成关于 $x$ 的一元二次不等式，其解为 $x\in(-\infty,t-1]\cup[t+1,\infty)$。

2）关于 $x$ 的方程 $x^2-2tx+t^2-1=0$ 的两个实数根均大于 $-2$ 且小于 $4$，即存在实数 $x_1,x_2$ 满足 $-
2<x_1<x_2<4$ 且 $y(x_1)=y(x_2)=0$。

根据重要结论一元二次方程的实数根的 K 分布，可得：
begin{cases} \Delta>0 \\ -\frac{b}{2a}<-2 \\ \frac{b}{2a}<4 \end{cases}$$
代入 $a=1,b=-2t,c=t^2-1$，解得：
begin{cases} t^2-4t+4>0 \\ t>2 \\ t<3 \end{cases}$$
所以实数 $t$ 的取值范围为 $2<t<3$。

1）根据题意可列出不等式的解集为：$x>4$ 或 $x4$。

根据根与系数的关系定理可得：
begin{cases}
x_1+x_2=5a \\
x_1x_2=b
end{cases}
解得 $a=1$，$b=-4$。

因此实数 $a,b$ 的值为 $1,-4$。

2）当 $x4$ 时，$f(x)=\frac{b}{a}= -4$。

因此只需考虑$1<x<4$ 的情况。

在此范围内，$f(x)=\frac{b}{a}=\frac{-
4}{1}=-4$。

因此函数 $f(x)$ 的最小值为 $-4$。

分析：本文介绍了一元二次不等式的解的结构和基本不等式的应用，同时给出了一个具体的例子进行求解。

解析：首先，根据文章中的第一段，我们可以知道一元二次不等式的解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根。

因此，我们可以利用这个性质来求解不等式。

接着，根据文章中的第二段，我们可以得到方程的两个实数根分别为4和1，因此可以求出a和b的值为1和4.然后，我们可以利用基本不等式来求函数f(x)的最小值，最终得到最小值为9.
改写：本文介绍了一元二次不等式解的结构和基本不等式的应用，同时给出了一个具体的例子进行求解。

根据一元二次不等式的性质，我们可以通过求解对应的一元二次方程的实数根来得到解集的端点值。

在具体的例子中，我们可以求出a和
b的值为1和4，然后利用基本不等式求出函数f(x)的最小值为9.。