二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点

总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：

1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展：

4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

本节题型：

1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

知识点讲解：

一元二次不等式的概念：

一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。

三个二次的关系：

一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：

1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；

①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；

②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。

2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。

具体关系见下表（1）所示。一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。

例题讲解：

1.解不等式x2+4x+3≤0.

解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。

2.解不等式2x2-5x+3<0.

解：将不等式化为一元二次方程2x2-5x+3=0，解得x=1/2，x=3/2.因此，不等式的解集为(1/2,3/2)。

3.解不等式x2-2x-3>0.

解：将不等式化为一元二次方程x2-2x-3=0，解得x=-1，

x=3.因此，不等式的解集为(-∞,-1)U(3,+∞)。

4.已知二次函数y=ax2+bx+c，且a>0，若该函数的图象与

x轴有两个交点，则该函数的解析式为y=2x2-4x+1.

解：由于该函数的图象与x轴有两个交点，因此Δ=b2-

4ac>0.又因为a>0，所以a=2，b=-4，c=1.因此，该函数的解析

式为y=2x2-4x+1.

5.已知一元二次不等式x2-3x-10>0，求其解集。

解：将不等式化为一元二次方程x2-3x-10=0，解得x=-2，x=5.因此，不等式的解集为(-∞,-2)U(5,+∞)。

6.已知一元二次不等式x2-4x+3≥0，求其解集。

解：将不等式化为一元二次方程x2-4x+3=0，解得x=1，

x=3.因此，不等式的解集为[1,3]。

一元二次不等式的解集对应着二次函数$y=ax^2+bx+c$在$x$轴下方（包括$x$轴）的部分所对应的自变量的取值范围。解一元二次不等式的一般步骤是：（1）利用不等式的性质，

将二次项系数化为正数；（2）计算$\Delta=b^2-4ac$的值，并

判断$\Delta$的符号；（3）当$\Delta\geq0$时，求出相应的一

元二次方程的根；（4）画出对应的二次函数的简图；（5）根据一元二次不等式的形式，结合简图，写出其解集。需要注意

的是，一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系。

其中，当$\Delta>0$时，一元二次不等式$ax^2+bx+c>a$的解集在“两根之外”，即“大于大根或小于小根”；一元二次不等

式$ax^2+bx+ca$的解集为$\{x|x\neq \frac{-b}{2a}\}$；一元二

次不等式$ax^2+bx+ca$的解集为$\mathbb{R}$；一元二次不等

式$ax^2+bx+c

表（1）展示了一元二次方程、二次函数以及一元二次不

等式的关系。需要注意的是，当一元二次不等式在

$\mathbb{R}$上恒成立时，需要解决两个问题：（1）

$ax^2+bx+c$在$\mathbb{R}$上恒大于$a$或恒小于$a$的情况；（2）$ax^2+bx+c$在$\mathbb{R}$上恒小于$a$且$\Delta<0$的

情况。

一元二次不等式的解法:

对于一元二次不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立，根据二

次函数的性质，其对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像在x轴

上必有交点，即存在实数根。而实数根的判别式为Δ=b2-

4ac≤0，因此Δ≤0，即b2-4ac≤0，即可得到a<0且Δ≤0的解法。

对于一元二次不等式ax2+bx+c≤0在XXX成立，同理可

得到a>0且Δ≤0的解法。

关于二次函数的零点，可以理解为二次函数与x轴的交点，且交点的个数等于零点的个数。当Δ≥0时，一元二次方程有

实数根，相应二次函数存在零点。

分式不等式的解法:

分式不等式是指分母中含有未知数的不等式。可以利用不等式的性质将其化为标准形式，如f(x)/g(x)>0，f(x)/g(x)<0，

f(x)/g(x)≥0，f(x)/g(x)≤0.然后将其转化为整式不等式进行求解。

解高次不等式可以使用数轴标根法，即将高次不等式化为左边是几个因式的乘积，右边是0的形式，求出方程的所有实数根，并在数轴上标出这些根。然后从最右根的右上方穿过根，往左下画线，依次穿过各根。需要注意偶次根不穿过，即奇过偶不过。

C）a4或a4（D）4a4