浙江省杭州市中考数学真题试题(含解析)

浙江省杭州市中考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。

1.计算下列各式，值最小的是（）
A. 2×0+1-9
B. 2+0×1-9
C. 2+0-1×9
D. 2+0+1-9
【答案】 A
【考点】有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：A.∵原式=0+1-9=-8，
B.∵原式=2+0-9=-7，
C.∵原式=2+0-9=-7，
D.∵原式=2+1-9=-6，
∵-8＜-7＜-6，
∴值最小的是-8.
故答案为：A.
【分析】先分别计算出每个代数式的值，再比较大小，从而可得答案.
2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）
A. m=3，n=2
B. m=-3，
n=2 C. m=3，
n=2 B.m=-2，n=3
【答案】 B
【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.
3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】 B
【考点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别为⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵PA=3，
∴PB=3.
故答案为：B.
【分析】根据切线长定理可得PA=PB，结合题意可得答案.
4.已知九年级某班30位学生种树72株，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树.设e男生有人，则（）
A. 2x+3（72-x）=30
B. 3x+2（72-x）=30
C. 2x+3（30-x）
=72 D. 3x+2（30-x）=72
【答案】 D
【考点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：依题可得，
3x+2（30-x）=72.
故答案为：D.
【分析】男生种树棵数+女生种树棵数=72，依此列出一元一次方程即可.
5.点点同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）
A. 平均数
B. 中位数
C. 方
差 D. 标准差
【答案】 B
【考点】中位数
【解析】【解答】解：依题可得，
这组数据的中位数为：=41，
∴计算结果与被涂污数字无关的是中位数.
故答案为：B.
【分析】中位数：将一组数据从小到大或从大到小排列，如果是奇数个数，则处于中间的那个数即为中位数；若是偶数个数，则中间两个数的平均数即为中位数；依此可得答案.
6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（）
A. B. C.
D.
【答案】 C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：A.∵DE∥BC，
∴，，
∴，，
∵≠ ，
∴≠ ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴，，
∴，，
∵≠ ，
∴≠ ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴，，
∴= ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴，，
∴= ，
即= ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.
7.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）
A. 必有一个内角等于30°
B. 必有一个内角等于45°
C. 必有一个内角等于60°
D. 必有一个内角等于90°
【答案】 D
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设△ABC的三个内角分别为A、B、C，依题可得，
A=B-C ①，
又∵A+B+C=180°②，
②-①得：
2B=180°，
∴B=90°，
∴△ABC必有一个内角等于90°.
故答案为：D.
【分析】根据题意列出等式A=B-C①，再由三角形内角和定理得A+B+C=180°②，由②-①可得B=90°，由此即可得出答案.
8.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）
A B C D
【答案】 A
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A.∵y1=ax+b图像过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
又∵y2=bx+a图像过一、二、三象限，
∴b＞0,a＞0，
故正确，A符合题意；
B.∵y1=ax+b图像过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
又∵y2=bx+a图像过一、二、四象限，
∴b＜0,a＞0，
故矛盾，B不符合题意；
C.∵y1=ax+b图像过一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
又∵y2=bx+a图像过一、二、四象限，
∴b＜0,a＞0，
故矛盾，C不符合题意；
D.∵y1=ax+b图像过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
又∵y2=bx+a图像过一、三、四象限，
∴b＞0,a＜0，
故矛盾，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图像与系数的关系：k＞0，b＞0时，图像经过一、二、三象限；k＞0，b＜0时，图像经过一、三、四象限；k＜0，b＜0时，图像经过二、三、四象限；k＞0，b＞0时，图像经
过一、二、四象限；依此逐一分析即可得出答案.
9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）
A. asinx+bsinx
B. acosx+bcosx
C. asinx+bcosx.
D. acosx+bsin x
【答案】 D
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，AD=b，
∴∠ABH=90°，AD=BC=b，
∵OB⊥OC，
∴∠O=90°，
又∵∠HCG+∠GHC=90°，∠AHB+∠BAH=90°，∠GHC=∠AHB，∠BC0=x，
∴∠HCG=∠BAH=x，
在Rt△ABH中，
∵cos∠BAH=cosx= ，AB=a，
∴AH= ，
∵tan∠BAH=tanx= ，
∴BH=a·tanx，
∴CH=BC-BH=b-a·tanx，
在Rt△CGH中，
∵sin∠HCG=sinx= ，
∴GH=（b-a·tanx）·sinx=bsinx-atanxsinx，
∴AG=AH+HG= +bsinx-atanxsinx，
= +bsinx- ，
=bsinx+acosx.
故答案为：D.
【分析】作AG⊥OC交OC于点G，交BC于点H，由矩形性质得∠ABH=90°，AD=BC=b，根据等角的余角相等得∠HCG=∠BAH=x，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数余弦定义cosx= 得AH= ，根据锐角三角函数正切定义tanx= 得BH=a·tanx，从而可得CH长，在Rt△CGH中，根据锐角
三角函数正弦定义sinx= 得GH=bsinx-atanxsinx，由AG=AH+HG计算即可得出答案.
10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）
A. M=N-1或M=N+1
B. M=N-1或M=N+2
C. M=N或
M=N+1 D. M=N或M=N-1
【答案】 C
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y=（x+a）（x+b），
∴函数图像与x轴交点坐标为：（-a，0），（-b，0），
又∵y=（ax+1）（bx+1），
∴函数图像与x轴交点坐标为：（- ，0），（- ，0），
∵a≠b，
∴M=N，或M=N+1.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式分别得出图像与x轴的交点坐标，根据题意a≠b分等于0和不等于0的情况即可得出两个交点个数之间的关系式，从而得出答案.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分，
11.因式分解：1-x2=________.
【答案】（1+x）（1-x）
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：∵原式=（1+x）（1-x）.
故答案为：（1+x）（1-x）.
【分析】根据因式分解的方法——公式法因式分解即可得出答案.
12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于________。

【答案】
【考点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵m个数据的平均数为x，
∴=x，
即x1+x2+……+x m=mx，
又∵n个数据的平均数为y，
∴=y，
即y1+y2+……+y n=ny，
∴这m+n个数据的平均数为：= .
故答案为：.
【分析】根据平均数的公式分别算出m个数据的总和为mx，n个数据的总和为ny，再由平均数的公式计算即可得出答案.
13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于________cm2（结果精确到个位）.
【答案】 113
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线为R,底面圆的半径为r，依题可得，
R=12cm，r=3cm，
∴S侧= ×2 r×R= ×2 ×3×12=36 ≈113.
故答案为：113.
【分析】设母线为R,底面圆的半径为r，根据圆锥侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可得出答案.
14.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=________.
【答案】或
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①若∠B=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB，
∴cosC= = = ，
②若∠A=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= AB，
∴cosC= = = ，
综上所述：cosC的值为或.
故答案为：，.
【分析】根据题意分情况讨论：①若∠B=90°,②若∠A=90°,根据勾股定理分别求得BC，再由锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
15.某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0；当自变量x=0时，函数值y=1.写出一个满足条件的函数表达式________.
【答案】 y=-x+1或y=-x2+1或等
【考点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设函数表达式为y=kx+b，
∵x=1时，y=0,；x=0时，y=1，
∴，
解得：，
∴满足条件得函数表达式为：y=-x+1.
故答案为：y=-x+1.
【分析】根据题意设函数表达式为y=kx+b，将数值代入得到一个关于k、b的二元一次方程组，解之可得k、b值，从而可得答案.
16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'点，D点的对称点为D'点，若∠FPG=90°，△A'EP 的面积为4，△D'PH的面积为1.则矩形ABCD的面积等于________。

【答案】 10+
【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由对称图形可知，
DC=D′P
AB=A′P
AB=CD
∴D′P=A′P
∵∠FPG=90º，∠EPF=∠D′PH，∠GPH=∠A′PE
∴∠A′PE+∠D′PH=∠EPF+∠GPH=90º
又∵A′EP+∠A′PE=90º,
∴∠A′EP=∠D′PH
∴△A′EP∽△D′PH
因为面积比为4:1
所以相似比为2:1
设D′H=k，则A′P=D′P=2k，
A′E=4k
S△PD′H= PD′·D′H=
∴k=1，
故PH= =
PE=
∴AD=AE+EP+PH+HP=4+ + +1=5+3
AB=2k=2
S矩形ABCD=AB·AD=
故答案为：10+6 .
【分析】根据轴对称图形特点，找出有关相等线段。

图中是关键点，再根据三角形相似确定有关线段的比例关系，因为∠FPC=90°，很容易证三角形相似。

运用数学的化归统一的思想，设参数k，把有关线段全部用K表示，然后根据三角形面积列关系式即可解出K值，K值确定，各线段长度即可求出。

运用矩形面积公式即可求解。

三、解答题：本大题有7个小题，共66分.
17.化简：
圆圆的解答如下：
=4x-2（x+2）-（x2-4）
=-x2+2x.
圆圈的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答，
【答案】解：圆圆的解答不正确，正确解答如下：
原式=
=
=
=-
【考点】分式的加减法
【解析】【分析】先找出最简公分母，再通分，根据分式加减法法则计算、约分即可得出答案. 18.称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的干克数记为负数.甲组为实际称量读数，乙组为记录数据。

并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）.
（1）补充完整乙组数据的折线统计图。

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为了，，写出与之间的等量关系.
②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2， S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：补全折线统计图，如图所示，
（2）解：①= +50，
②S甲2=S乙2理由如下：
因为S乙2= [（-2- ）2+（2- ）2+（+3- ）2+（-1- ）2+（4- ）2]
= [（48-50- ）2+（52-50- ）2+（47-50- ）2+（49-50- ）2+（54-50- ）2]
= [（48- ）2+（52- ）2+（47- ）2+（49- ）2+（54- ）2]
= S甲2
所以S甲2=S乙2
【考点】统计表，折线统计图，平均数及其计算，方差
【解析】【分析】（1）根据乙组记录的数据在折线统计图中描点、连线即可补全折线统计图.（2）
①根据甲组、乙组数据分别求出其平均数，再得出其等量关系式.
②根据甲组、乙组数据分别求出其平均数，再由方差公式求得其方差，总而可得它们相等.
19.如图，在△ABC中，AC<AB<BC.
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.
20.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时。

（1）求v关于t的函数表达式。

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由
【答案】（1）解：根据题意，得vt=480，
所以v= ，
因为480>0，
所以当v≤120时，t≥4，
所以v= （t≥4）
（2）解：①根据题意，得4.8<t≤6，
因为480>0，
所以<t<
所以80≤v≤100，
②方方不能在11点30分前到达B地.理由如下：
若方方要在11点30分前到达B地，则t<3.5，
所以v> >120，所以方方不能在11点30分前到达B地
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间得480=vt，变形即可得出答案，根据题意求出自变量取值范围.（2）①根据题意可得4.8≤t≤6，由（1）中解析式v= 可得v的取值范围.
②若方方要在11点30分前到达B地，则t＜3.5，代入解析式v= 可得v＞120，可知与题中条件矛盾，由此可得方方不能在11点30分前到达B地.
21.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 S2，且S1=S2.
（1）求线段CE的长.
（2）若点日为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG.
【答案】（1）解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.
设CE=x（0<x<1），则DE=1-x，
因为S1=S2，所以x2=1-x，
解得x= （负根舍去），
即CE= .
（2）证明：因为点日为BC边的中点，
所以CH= ，所以HD= ，
因为CG=CE= ，点H，C，G在同一直线上，
所以HG=HC+CG= + = ，所以HD=HG
【考点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°，CE=CG，设小正方形边长CE=x，
则DE=1-x，由S1=S2列出方程，解之即可求得答案.（2）由中点定义得CH= ，在Rt△DHC中，根据
勾股定理求得HD= ，再由HG=HC+CG= ，即HD=HG.
22.设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1， x2是实数）。

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x= 时，y=- ，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1， x2的代数式表示）. （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m.n是实数）当0<x1<x2<1时，求证：0<mn<
.
【答案】（1）解：乙求得的结果不正确，理由如下：
根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），
所以y=x（x-1），
当x= 时，y= ×（-1）=- ≠- ，
所以乙求得的结果不正确。

（2）解：函数图象的对称轴为x= ，
当x= 时，函数有最小值M，
M=（-x1）（-x2）=-
（3）证明：因为y=（x-x1）（x-x2），
所以m=x1x2， n=（1-x1）（1-x2），所以mn= x1x2（x1-x12）（x2-x22）
=[-（x1- ）2+ ]·[-（x2- ）2+ ].
因为0<x1<x2<1，并结合函数y=x（1-x）的图象，
所以0<-（x1- ）2+ ≤ ，0<-（x2- ）2+ ≤ ，
所以0<mn≤ ，
因为x1≠x2，所以0<mn<
【考点】二次函数的最值，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）乙求得结果不对，理由如下：根据题意得二次函数图像过（0，0），（1，0），从而可得y=x（x-1），再将x= 代入，求得y=- ≠- ，由此可得乙求得结果不对.（2）由题中解析式可得函数对称轴x= ，代入函数解析式求得最小值M.（3）根据题意得m=x1x2，n=（1-x1）（1-x2），从而可得mn的代数式，配方得mn=[-（x1- ）2+ ]·[-（x2- ）2+ ]，
结合题意可得0＜-（x1- ）2+ ≤ ，0＜-（x2- ）2+ ≤ ，从而可得mn的范围.
23.如图，已知锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连接OA.
（1）若∠BAC=60°，
①求证：OD= OA.
②当OA=1时，求△ABC面积的最大值。

（2）点E在线段OA上，（OE=OD.连接DE，设∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED（m，n是正数）.若∠ABC<∠ACB，求证：m-n+2=0.
【答案】（1）①证明：连接OB，OC，
因为OB=OC，OD⊥BC，
所以∠B0D= ∠BOC= ×2∠BAC=60°，
所以OD= OB= OA.
②作AF⊥BC，垂足为点F，
所以AF≤AD≤AO+OD= ，等号当点A，O，D在同一直线上时取到.
由①知，BC=2BD= ，
所以△ABC的面积= BC·AF≤ × × = ，
即△ABC面积的最大值是
（2）证明：设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β.
因为△ABC是锐角三角形，
所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，
即（m+n）α+β=180°.（*）
又因为∠ABC<∠ACB，
所以∠EOD=∠AOC+∠DOC
=2mα+β，
因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，
所以2（m+1）α+β=180°.（**）
由（*），（**），得m+n=2（m+1），
即m-n+2=0.
【考点】圆周角定理，圆的综合题
【解析】【分析】（1）①连结OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=120°，由等腰三角形性质得∠BOD= ∠BOC=60°，由直角三角性质即可得证.
②作AF⊥BC，垂足为F，由三角形三边关系得AF≤AD≤AO+OD，当点A、O、D三点共线时才能取等号，
由①知BC=2BD= ，由S△ABC= ·BC·AF≤ × × ，计算即可求得答案.（2）设∠OED=
∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由周角定义得∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即（m+n）α+β=180°①，由大边对大角得∠ABC＜∠ACB，可得∠EOD=2mα+β，由三角形内角和定理得2（m+1）α+β=180°②，①②联立即可得证.
试卷分析部分
1. 试卷总体分布分析
总分：120分
客观题（占比）30（25.0%）分值分布
主观题（占比）90（75.0%）
客观题（占比）10（43.5%）题量分布
主观题（占比）13（56.5%）2. 试卷题量分布分析
大题题型题目量（占比）分值（占比）选择题：本大题有10个小题，
10（43.5%）30（25.0%）每小题3分，共30分。

填空题：本大题有6个小题，
6（26.1%）24（20.0%）每小题4分，共24分，
解答题：本大题有7个小题，
7（30.4%）66（55.0%）共66分.
3. 试卷难度结构分析
序号难易度占比
1容易13%
2普通65.2%
3困难21.7%
4. 试卷知识点分析
序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号
有理数的加减乘除混
1
3（1.5%）1
合运算
关于坐标轴对称的点
2
3（1.5%）2
的坐标特征
3切线长定理3（1.5%）3
一元一次方程的其他
4
3（1.5%）4
应用
5中位数3（1.5%）5
6平行线分线段成比例3（1.5%）6
7三角形内角和定理11（5.6%）7,19
8一次函数图象、性质与3（1.5%）8
系数的关系
9解直角三角形的应用3（1.5%）9二次函数图象与坐标
3（1.5%）10 10
轴的交点问题
因式分解﹣运用公式
11
4（2.0%）11
法
12平均数及其计算12（6.1%）12,18 13圆锥的计算4（2.0%）13 14解直角三角形4（2.0%）14
待定系数法求一次函
15
4（2.0%）15
数解析式
16翻折变换（折叠问题）4（2.0%）16
相似三角形的判定与
4（2.0%）16 17
性质
18分式的加减法6（3.0%）17 19统计表8（4.0%）18 20折线统计图8（4.0%）18
21方差8（4.0%）18
22三角形的外角性质8（4.0%）19线段垂直平分线的性
8（4.0%）19 23
质
待定系数法求反比例
24
10（5.1%）20
函数解析式
反比例函数的实际应
10（5.1%）20 25
用
26正方形的性质10（5.1%）21
二次函数y=ax^2+bx+c
27
12（6.1%）22
的性质
28二次函数的最值12（6.1%）22 29圆周角定理12（6.1%）23 30圆的综合题12（6.1%）23。