高中数学发散思维的培养

高中数学发散思维的培养

现代教育强调“知识结构”与“学习过程”,目的在于发展学生的思维能力,而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的发散思维才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘,但发散思维的培养会影响学生的一生。

美国心理学家吉尔福特(J·P·Guilford)提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息,其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出,很可能会发生转换作用。”

在当前的数学教学中,普遍存在着比较重视集中思维的训练,而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的,也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。

一、引导学生对问题的解法进行发散

在教学过程中,用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案,用一题多解来培养学生思维过程的灵活性,以下举例说明。

∴α=2kπ+π+β(与已知矛盾舍去)

或α+β=2kπ+2θ(k∈Z)

则sin(α+β)、cos(α+β)、tg(α+β)均可求。

开放型题目的引入,可以引导学生从不同角度来思考,不仅仅思考条件本身,而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论,有利于思维起点灵活性的培养,也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

三、引导学生对问题的条件进行发散

对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后,尽可能变化已知条件,进而从不同角度和用不同知识来解决问题。

对于等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,显然,四个变量中知道三个即可求另一个(解方程)。如“{an｝为等差数列,a1=1,d=-2,问-9为第几项”等等。然后,放手让学生自己编写题目。编题过程中,学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握。否则,信手拈来会闹出比较全面,而且能站在较高层次来看待问题,提高思维迁移的灵活性。

学生习惯于通过解方程求解,而此方程无法求解,常令学生手足无措。若能运

用灵活的思维换一个角度思考:此题的本质为求方程组y=sinxy=lgx的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题,寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通,牢牢抓住事物的本质,在思维深刻性的基础上,思维灵活性才有了用武之地。

四、引导学生对问题的各个重要细节进行发散

要求学生能认真分析题意,调动和选择与之相应的知识,寻找解答关键。

【例】已知抛物线在y轴上的截距为3,对称轴为直线x=-1,在x轴上截得线段长为4,求抛物线方程。

解法一:截距为3,可选择一般式方程:y=ax2+bx+c(a≠0)

显然有c=3,利用其他条件可列方程组求a,b值。

解法二:由对称轴为直线x=-1,可选择顶点式方程:y=a(x-m)2+k(a≠0)

显然有m=-1,利用其他条件可列方程组求a,k的值。

另外,由图象对称性可知x轴上交点为(1,0)和(-3,0)。

解法三:由截距为3,即过三点(0,3)、(l,0)和(-3,0),

可选择一般式方程:y=ax2+bx+c(a≠0)

代入点坐标,列方程组求a,b,c值。

解法四:由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(必须与x轴有交点)

显然:x1=-3,x2=1。由截距3,可求a值。

在把握整体的前提下,侧重某一条件作为解答突破口,对问题的各个重要细节进行发散。

五、引导学生从速度和准确率进行发散

【例】相邻边长为a和b的平行四边形,分别绕两边旋转所得几何体体积为Va(绕a边)和Vb(绕b边),则Va:Vb=( )

A、a:b

B、b:a

C、a2:b2

D、b2:a2

用直接法求解:以一般平行四边形为例。如图,可求:

Va=πab2sin2θ,Vb=πa2bsin2θ则Va:Vb=b:a,由于要引入两边夹角来求解,学生常无法入手。若以特殊的平行四边形——矩形来处理,则相当简便。

此题解法充分体现了思维灵活性,以简驭繁,用特殊化思想求解,解题迅速、正确。

我在教学中比较注重学生解题思路的独特性、新颖性的肯定和提倡,充分给予尝试、探索的机会,鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见,注意引导和启发,提倡独立思考能力的培养,以活跃思维、发展个性。

学生对结论的可靠程度进行怀疑,在独立分析的基础上,灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围,严密论证了三角函数值取值的可能性。

例题多解的教育是学生一次探索解题的教学,更是一次教师进行数学思想方法渗透和培养学生发散思维能力的教学,教师要创设一个有利于例题多解教学开展的氛围,当学生思维出现障碍时,教师应给予启发性提示,唤醒其创造性的欲望,促使思维起连锁反应,通过教师对解题方法的梳理、升华,引导学生把握问题的本质,通过对各种方法的比较,增强求简意识,优化思维品质。

参考文献:

[1]蒋铁伟,陈翠.浅谈课堂教学中如何培养发散性思维.中学数学杂志:高中版.

[2]林崇德著.中学生心理学.北京出版社.

[3]张成福.高中数学总复习中发散思维的培养和训练.福建教育学院学报.2007年第12期.