2012年数学建模竞赛-葡萄酒的评价模型

葡萄酒的评价模型

摘要

本题主要讨论了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系，并得出结论能够用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，这对于盛行的葡萄酒的鉴赏具有重要意义。

从建模的角度来说，这道题偏重于统计学的知识，因此，我们利用应用广泛的统计学软件SPSS19.0来进行分析。问题一用独立样本Ｔ检验判断两组有无显著性差异。对红、白葡萄酒分别检验，则两组评分均有显著性差异，并且第二组评酒员的评分更为可信。对于问题二，我们利用了问题一的结果作为葡萄酒的质量，使之与葡萄的理化指标相结合进行聚类分析，分别将红白葡萄酒都分为四个等级。

对于问题三，要研究葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，用多元统计中的典型相关分析研究两个变量组之间的联系。由于两组变量存在组内多重共线性，因而先用因子分析缩减变量，使分析结果准确可靠。得到结果葡萄的各指标对葡萄酒的综合影响大于个体指标的影响。问题四则在问题三因子分析的基础上，对公因子变量和葡萄酒质量进行回归分析，得出可以用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。

关键字：独立样本Ｔ检验聚类分析因子分析典型相关分析综合影响回归分析

一、问题重述

确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：

1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？

2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？

二、问题分析

2.1问题1的分析

分析两组打分结果有无显著性差异，实质是对这两个独立样本均值的t检验。我们先不区分红酒还是白酒，统一对两组评酒员对55个酒样本的评分进行两个独立样本均值的t检验：如果结果显示无显著性差异，则可能是实际两组评分无显著差异，也可能是红酒和白酒的评分差异互相抵消的结果，需要将红酒评分和白酒评分进一步分开，分别做显著性检验；如果结果显示有显著性差异，则可以直接由离散趋势的相关指标判断出哪一组更可信。

在判断哪一组的结果可信度更高时，我们认为同一组评酒员对同一个酒样本的评分差别越大，即离散程度越大，则他们的评分越不可信。考虑到每组评分的总体水平不同，我们选用标准差系数来进行比较判断。

2.2问题2的分析

本题要求对酿酒葡萄进行分级。我们有两种解决思路，聚类分析法和因子得分分析。题目附件2中给出了葡萄的各理化指标，又已知每个评酒员对葡萄酒的打分可看做是葡萄酒的质量，所以我们可以用葡萄的理化指标和葡萄酒的分数作为标准，利用SPSS聚类分析法评定葡萄的等级。聚类分析是根据事物本身的特性研究个体分类的方法，聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异很大，它是一种探索性的分析，在分类的过程中，不必事先给出一个分类的标准，而能够从样本数据出发，自动进行分类。

因子分析是将酿酒葡萄的理化指标反映到可以综合它们的公因子上，然后按各公因子对应的方差贡献率为权重计算综合统计量，对此进行排序分级。

2.3问题3的分析

根据题意，要求分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。根据题目附件2的葡萄酒和葡萄的理化指标可看出，题中给出的指标数量多，指标的等级不同，且相互之间可能存在较强的相关性而并不相互独立，使得直接用这些指标进

行分析并不合理。因此，我们首先使用原始数据得出二级指标是从一级指标中分离出来的，可以只对一级指标进行分析，直接剔除二级指标；其次，使用因子分析和典型相关分析相结合的方法，消除组内多重共线性的影响，使分析结果准确可靠。

2.4问题4的分析：

分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，可以通过SPSS 软件作线性回归分析，评分作为因变量，各理化指标作为自变量。在问题3我们得知酿酒葡萄中的一些指标与葡萄酒的指标存在多重共线性，所以在将各指标进行回归时，为了减少此影响，可以通过6个公因子，用此来进行回归分析。因为红白葡萄酒在理化指标上有所不同，我们可以再分别分析红，白两种葡萄酒质量受到哪些因子的影响。

三、模型假设 1.做典型相关分析时，假设两组变量之间为线性关系，即每对典型变量之间为线性关系；

2. 在做多元线性回归模型中，假设各自变量序列之间完全不相关。

四、符号说明

i x （1=i 、2、3……、10） 葡萄各指标变量

j y （1=j 、2、3……、8） 葡萄酒各指标变量

U 第一对典型变量为

V 第二对典型变量

F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6 主成份变量

五、问题一的解答

5.1统一对两组评酒员对55个酒样本的评分进行两个独立样本均值的t 检验

由题目附件1的原始数据，我们首先在SPSS 软件中将两组评酒员对这55种酒样品的打分情况进行输入，根据题意，分类指标的总和即为各样品的总分，我们对原始数据做了分类汇总，得到每位评酒员对每种酒样本的评分汇总表（见附件1：表1.1）。

要对汇总表中的数据的均值进行显著性检验，首先建立原假设和备择假设如下：

210:μμ=H 211:μμ≠H

利用SPSS 软件中比较均值中的“独立样本t 检验”，得到如下结果：

由于Levene’s方差齐性检验结果小于0.05，因此方差不相等，选用方差不相等的t检验结果，P值（Sig.）显示为0.959，大于0.05，从而最终得到的统计结果为接受原假设，可以认为这两组评酒员对55个酒样本的评价结果无显著性差异。

由检验变量的基本情况，用标准差比均值计算出标准差系数，第一组标准系数为0.147，第二组为0.107，所以第二组打分的结果更可信。

5.2两组评酒员对红葡萄酒样品评分的差异性检验

用同5.1的方法，可以整理出个评酒员对红葡萄酒的评分，同样的方法，求

由于Levene’s方差齐性检验结果小于0.05，因此方差不相等，选用方差不相等的t检验结果，P值（Sig.）显示为0.001，小于0.05，从而最终得到的统