随机决策模型简介

随机决策模型简介陈羽决策(Decision)是人们为了达到某一目标而从多个实现目标的可行方案中选出最优方案做出的抉择.决策分析(Decision Analysis)是帮助人们进行科学决策的理论与方法.在现代管理中,管理的核心就是决策,正如诺贝尔奖金获得者H.A.Simon说过的“管理就是决策”，决策在管理中起着十分重要的作用.本专题要紧介绍随机决策的基本概念与基本方法,重点介绍风险型决策、不确定型决策与效用理论.第一节决策的概念一、实例例1某医院决策者对“CT”室配置“CT”机进行决策.目的是在满足诊断需要的同时取得最好的经济效益.他们设想的可行方案有三个,分别为配置一台、两台与三台.根据资料,估计在今年内需用“CT”诊断的患者人数有三种可能:人多、通常、人少.同时,出现这三种情况的概率分别为0.3、0.5与0.2.又计算得知,当配置一、二、三台“CT”机时,假如病人多,则效益分别为10、22、36(万元)；通常时，效益分别为10、20、18（万元）；而病人少时,效益分别为10、16、10(万元).问应选择何种方案,才能达到目标要求？建立实际问题的数学模型,是运筹学解决问题的前提,在这里我们先引入决策分析问题的精确数学描述,暂不考虑问题的解法.第二节将对该题给出解法.很显然,本题中有三个方案可供选择,每种方案都有三个可能结果,即存在三个自然状态:病人多、通常、病人少；由于状态是不可操纵的,是随机事件,而每个状态发生的概率已经分别给出；不一致方案与不一致的状态的效益值也不一致.为了能够给出问题的数学描述,我们先给出决策问题的一些基本概念.二、决策的基本概念1. 策略集 为实现预期目的而提出的每一个可行方案称之策略,全体策略构成的集合,称之策略集(Strategies Set),也称方案集，记作}{i a A =，)3,2,1(n i a i =表示每一个方案.2. 状态集 系统处于不一致的状况称之状态,它是由人们不可操纵的自然因素所引起的结果,故称之自然状态.全体状态构成的集合称之状态集(States Set),记作}{j s S =，)3,2,1(m j s j = 表示每一状态.3. 状态概率 状态j s 的概率称状态概率(State Probability)，记为)(j s p .4. 益损函数 益损函数(Opportunity Loss Function)是指对应于选取方案与可能出现的状态,所得到的收益值或者缺失值,记为R .显然,R 是A 与S 的函数,益损函数值可正可负也可为零,假如认定正值表示收益,那么负值就表示缺失,益损函数的取值就称之益损值.策略集,状态集,益损函数是构成一个决策问题的三项最基本要素.5. 决策准则与最优值 决策者为了寻找最佳方案而采取的准则称之决策准则(Decision Criterion),记为Φ.最优值(Optimal Number)是最优方案对应的益损值，记为*R ．通常选取的决策准则往往是保证收益尽可能大而缺失尽可能小，由于决策者对收益、缺失价值的偏好程度不一致，对同一决策问题，不一致的决策者会有不一致的决策准则． 三、决策的数学模型一个决策问题的数学模型是由策略集A 、状态集S 、益损函数R 与决策准则Φ构成的.因此我们能够用解析法写出上述集合、函数、准则来表示一个决策问题的数学模型.即 ij r S A R R ==),(,其中,}{i a A = n i ...2,1=, }{j s S = m j ...2,1=，ij r 是方案i a 在状态j s 情况下的益损值.例2 给出例9-1问题的数学模型.解 数学模型为: 策略集 }{}{机台配制CT i a A i == 321，，=i状态集}{}{}{321病人多，一般，病人少，，===s s s s S j状态概率 3.0)(1=s p 5.0)(2=s p 2.0)(3=s p益损值}{ij r R = 3,2,1=i 3,2,1=j1110r = 1012=r 1013=r 2221=r 2022=r 1623=r 3631=r 1832=r 1033=r另外，决策的数学模型也可用表格法表示，风险型决策也常用决策树方法表示.例1可由表1表示，决策树将于第二节全面介绍.表1 不一致方案在不一致状态下的益损值（万元）方 案 自 然 状 态1s (病人多) 2s (通常) 3s (病人少)3.0)(1=s p 5.0)(2=s p 2.0)(3=s p1a (配置一台) 10 10 102a (配置两台) 22 20 163a (配置三台) 36 18 10四、决策的步骤与分类一个完整的决策过程通常包含下列几个步骤：确定目标、拟定方案、评价方案、选择方案、实施决策并利用反馈信息进行操纵．决策按问题所处的条件与环境可分为确定型决策、风险型决策与不确定型决策．确定型决策(Certain Decision )是在决策环境完全确定的情况下作出决策．即每种方案都是在事先已经确定的状态下展开，而且每个方案只有一个结果，这时只要把各类方案及预期收益列出来，根据目标要求进行选择即可．尽管如此，当决策可行方案很多时，确定型决策也非常复杂，有的时候可借助线性规划的方法，去找出最佳方案．风险型决策(Venture Decision)是在决策环境不完全确定的情况下做出的决策．即每种方案都有几个可能的结果，而且对每个结果发生的概率能够计算或者估计，用概率分布来描述．正由于各结果的发生或者不发生具有某种概率，因此这种决策带有一定的风险．不确定型决策(Uncertain Decision )是在对将发生结果的概率一无所知的情况下做出的决策.即决策者只掌握了每种方案可能出现的各个结果,但不明白各个结果发生的概率.由于缺乏必要的情报资料,决策者只能根据自己对事物的态度去进行抉择,不一致的决策者能够有不一致的决策准则,因此同一问题就可能有不一致的抉择与结果．这里我们只介绍风险型与不确定型两种决策．第二节 风险型决策（有概率的决策）风险型决策也称随机决策，是在状态概率已知的条件下进行的决策．本节要紧介绍风险型决策的条件与一些常用的基本决策准则及决策方法．一、风险型决策的基本条件在进行风险型决策分析时，被决策的问题应具备下列条件：（1）存在决策者希望实现的明确目标；（2）存在两个或者两个以上的自然状态，但未来毕竟出现哪种自然状态，决策者不能确定；（3）存在着两个或者两个以上的可行方案(即策略)可供决策者选择,最后只选一个方案；(4)各类方案在各类自然状态下的益损值能够计算出来；(5)各类自然状态发生的概率能够计算或者估计出来.关于一个风险型决策问题,首先要掌握决策所需的有关资料与信息,从而确定状态集S ,与状态概率)(j s P ,明确可供选择的策略集A ,继而计算出益损函数),(S A R .建立决策数学模型,根据决策目标选择决策准则,从而找出最优方案.二、最大可能准则由概率论知识可知,一个事件的概率越大,它发生的可能性越大.基于这种考虑,在风险型决策问题中选择一个概率最大的自然状态进行决策,而其他状态能够不管,这种决策准则称之最大可能准则(The Maximum Criterion).利用这种决策准则进行决策时,把确定的自然状态看作必定事件，其发生的概率看作1,而其他自然状态看作不可能事件，其发生的概率看作0,这样,认为系统中只有一种确定的自然状态,从而将风险型决策转化为确定型决策.例 3 某药厂要确定下一计划期内某药品的生产批量,根据以往经验并通过市场调查与预测.现要通过决策分析,确定合理批量,使药厂获得效益最大,表2为不一致方案在不一致状态下的益损值.表2 不一致方案在不一致状态下的益损值（万元）方 案 药 品 销 路1s (好) 2s (通常) 3s (差)2.0)(1=s p 5.0)(2=s p3.0)(3=s p1a (大批量生产) 30 18 82a (中批量生产) 25 20 123a (小批量生产) 16 16 16解 这是一个风险型决策问题,使用最大可能准则来进行决策.在药品销路中,自然状态2S 出现的概率最大,即销路通常的可能性最大.现对这一种自然状态进行决策,通过比较,可知药厂使用策略2a (中批量生产)获利最大,因此选取中批量生产为最优方案.值得注意:在若干种自然状态发生的概率相差很大,而相应的益损值又差别不大时,使用这种决策准则效果较好.假如在若干种自然状态发生的概率都很小,而且相互很接近时,使用这种决策准则,其效果是不好的，甚至会引起严重错误.三、期望值准则期望值是指概率论中随机变量的数学期望.这里使用的是离散型随机变量的数学期望,是将每个策略(方案)都看作离散型随机变量,其取值就是使用该策略时各自然状态下对应的益损值.期望值准则(The Expected Value Criterion)就是选择期望益损值最大(或者最小)的方案为最优方案.用公式表达为:)}({max )}({max j jij i i i s p r a E R ∑==* (1) 或者 )}({min )}({min ∑==*jj ij i i i s p r a E R (2) 其中ij r 是方案i a 在状态j s 情况下的益损值,)(j s p 是状态j s 发生的概率.例4 用期望值准则解例3.解 根据表2所列各类状态概率与益损值,能够算出每个策略的期望益损值:163.0165.0162.016)(6.183.0125.0202.025)(4.173.085.0182.030)(321=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=a E a E a E通过比较可知)(2a E =6.18最大,因此使用2a 也就是采取中批量生产,可能获得的效益最大.例5 已知在过去的200天里,某药品在各类销售量下销售天数的记录如表3所示.设该种药品一旦生产出来需要及时推销出去,如当天不能推销出去,即全部报废.该药品每件生产成本8元,销售价10元,假设今后的销售情况与过去的销售情况相同,试确定最优的生产数量.表3 销售量与销售时间每天销售量(件) 80 90 100 110相应的销售天数 20 70 80 30解 在本例中,自然状态是销售情况,设状态1s 、2s 、3s 、4s 分别表示销售量为80件、90件、100件、110件.策略也为4种,设方案4321,,,a a a a 分别表示日生产80件、90件、100件、110件.由表3可计算状态概率: 1.0200/20)(1==s p 35.0200/70)(2==s p4.0200/80)(3==s p 15.0200/30)(4==s p现在计算每个策略在各类自然状态下的益损值.当1a ,1s 时,生产80件销售80件,每件收益10-8=2元,共收益160元,即 16011=r 元,同理160141312===r r r ；当2a ，1s 时，生产90件，但只销售80件，报废10件．共收益8010880221=⨯-⨯=r 元．依此类推，可算出所有的益损值，详列于表4，利用（1）式计算出每种策略下的期望益损值进行比较，能够看出：170)()}(),(),(),(max{24321==a E a E a E a E a E故选择方案2a 为最优策略，即日产90件，如今期望益损值为170元.表4 不一致方案在不一致状态下的益损值（元）方 案 市 场 可 销 售 量期望益损值1s 2s 3s 4s 1.0)(1=s p 35.0)(2=s p 4.0)(3=s p 15.0)(4=s p1a 160 160 160 160 160 2a 80 180 180 180 170 3a 0 100 200 200 145 4a -80 20 120 220 80 通常地，用期望值准则进行风险型决策的计算步骤是：（1）根据统计资料计算各个自然状态的概率；（2）计算每个方案在各个自然状态下的益损值；（3）计算每个方案的期望益损值；（4）根据期望益损值评价方案的优劣．若决策目标是收益，应选择期望益损值最大的相应方案为最优方案；若决策目标是支出或者缺失，应选择期望益损值最小的相应方案为最优方案．四、决策树法(decision trees method )应用期望值准则作决策，还可借助于一种名为“决策树”(decision tree)的图形来进行，它将方案、状态、益损值与状态概率等用一棵树来表示，将期望益损值也标在这棵树上，然后直接通过比较进行决策．图1就是例6中决策问题的决策树．决策树是由决策点、方案节点、树枝、结果节点四部分构成，下面就图中符号做一说明：□—表示决策点,从它引出的分枝称之方案分枝．○—表示方案节点,其上方数字为该方案的期望益损值,从它引出的分枝称之状态分枝,每条分枝上数字为相应的状态概率,分枝数就是状态数.△—表示结果节点,它后面的数字表示某个方案在某种状态下的益损值.使用决策树法进行决策的步骤是：（1）画决策树.通常是从左向右画,先画决策点,再画由决策点引出的方案分枝,有几个备选方案,就要画几个分枝；方案分枝的端点是方案节点；由方案节点引出状态分枝,有几个自然状态,就要画几个分枝；在每个状态分枝上标出状态概率；最后,在每个状态分枝末梢画上“△”,即结果节点,在它后面标上每个状态在其方案的益损值.（2）计算方案的期望益损值.在决策树中从末梢开始按从右向左的顺序,利用决策树上标出的益损值与它们相应的概率计算出每个方案的期望益损值.（3）根据期望益损值进行决策，将期望益损值小的舍去,而期望益损值大的方案则保留,这就是最优策略.决策树法是决策分析中最常用的方法之一,这种方法不仅直观方便,而且能够更有效地解决比较复杂的决策问题.例中只包含一级决策,叫做单级决策问题(Simple-Level Decision Problem).有些决策问题包含两级或者两级以上的决策叫做多级决策问题(Multiple-Level Decision Problem).这类问题使用决策树法进行决策显得尤为方便简洁.下面举例说明决策树法的应用。