高中数学之算法案例

算法案例（讲义）

➢ 知识点睛

典型算法举例： 1. 辗转相除法

①方法概述：两数相除，较大数除以较小数，得商和余数，继而较小数除以余数，重复操作，直至除尽，此时除数即为最大公约数．

②原理：在a =bq +r 中，除数b 和余数r 能被同一个数整除，那么被除数a 也能被这个数整除．或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数． 2. 秦九韶算法

把一个n 次多项式改写成如下形式：

1110

12110

2312101210

()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a ----------=++++=++++=+++++==+++++…………

…… 记0n v a =，11n n v a x a -=+，…，10n n v v x a -=+．

求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v 1，然后由内向外逐层计算． 3. 进位制

①k 进制：若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式．

110()n n k a a a a -…

11011000n n n n a a a a N a k a a a k --∈<<<≤（，，…，，，，，…，，）

②进位制数相互转化：

k 进制转十进制，计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，重复操作求和．

十进制数转k 进制数（除k 取余法）： 如右图，十进制数化为二进制数， 89=1011001（2）．

➢ 精讲精练

1. 用“辗转相除法”求下列数的最大公约数：

（1）459和357的最大公约数是____________；

余数2222

2220

12511224489

（2）三个数324243135，，的最大公约数是____________．

2. 用秦九韶算法求多项式的值：

（1）计算多项式x x x x x x x f 876543)(23456+++++=在

1.0=x 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_______，_______；

（2）求多项式23456()1235879653f x x x x x x x =+-++++在x =-4的值时，4v 的值为_______；

（3）计算多项式5432()853261f x x x x x x =+++++，当2x =时的值为________． 3. 完成下列进制的转化：

(3)(10)10202____=； (10)__________(8)101=；

1231(5)=_____________(7)．

4. 三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（ ）

A ．322

B ．402

C ．342

D ．365

5. 在下列各数中，最小的数是（ ）

A ．)9(85

B ．)6(210

C ．)4(1000

D ．(2)111111

6. 已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，按照从小到大的顺序排列为________________．

7. 已知()175r =(10)125，则r =________．

8. 如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执

行该程序框图，若输入的a ，b 的值分别为14，18，则输出的a 的值为（ ） A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9. 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，

2，则输出v 的值为（ ） A ．35

B ．20

C ．18

D ．9

10.下面是把二进制数

(2)

11111化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．5

i>？B．4

i≤？C．4

i>？D．5

i≤？

11.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范

围是（）

A．715

816

P

<≤B．

15

16

P>

C．37

48

P

<≤D．

715

816

P<

≤

12.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的

三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=________．

13. 已知函数232 1 01 012 1x x y x x x x x -<⎧⎪

=+<⎨⎪+⎩

≤≥（）（）（），写出求该函数的函数

值的算法，并画出程序框图．

14. 设计一算法，求使20063212222>++++n Λ成立的最小正整数n 的值.

15.设计算法计算：

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

7

S=+

+

+

+

+

+

，画出程序框图．