高考数学一轮复习6 第6讲 二项分布及其应用

第6讲二项分布及其应用

最新考纲考向预测1.结合古典概型，了解条件概率，能计算

简单随机事件的条件概率，了解条件概率

与独立性的关系．

2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.命题趋势

条件概率、相互独立事件同时

发生的概率、独立重复事件、

二项分布和正态分布仍是高考

考查的热点，三种题型均有可

能出现．

核心素养数据分析、数学建模

1．条件概率(1)定义

设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）

P（A）

为在事件A发生的条件

下，事件B发生的条件概率．

(2)性质

①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；

②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

2．事件的相互独立性

(1)定义

设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

(2)性质

①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，

P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．

②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n在n次独立重复试验中，用X表示事件A

次试验称为n次独立重复试验发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率

计算公式用A i(i＝1，2，…，n)表

示第i次试验结果，则

P(A1A2A3…A n) ＝

P(A1)P(A2)…P(A n)

在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k

次的概率为P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k(k＝0，

1，2，…，n)

常用结论

1．相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

2．两个概率公式

(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝P（AB）

P（B）

.注意其与P(B|A)的不

同．

(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．

常见误区

运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．()

(2)相互独立事件就是互斥事件．()

(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()

(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()

(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B 同时发生的概率．()

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.38

D ．0.56

解析：选C.设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ， 则两地恰有一地降雨为A B －＋A －

B ， 所以P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －

B ) ＝P (A )P (B －

)＋P (A －

)P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.

3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝( )

A.13

B.14

C.15

D.16

解析：选A.因为P (A )＝2×3×336＝12，P (AB )＝3×236＝1

6，所以P (B |A )＝1612

＝13.

4．设随机变量X ～B ⎝

⎛⎭

⎪⎫

6，12，则P (X ＝3)＝________．

解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C36⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝5

16. 答案：5

16

5．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和1

3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．

解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝1

6，甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1－12)×(1－13)＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝2

3.

答案：16 23

条件概率

(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该

题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )

A ．0.9

B ．0.8

C ．0.72

D ．0.576

(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )

A.18

B.14

C.25

D.12

【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为80

100＝0.8.既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为72

100＝0.72.设“做对第一问”为事件A ，“做对第二问”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.72，某个学生已经