相似三角形常用辅助线知识讲解
相似三角形中的辅助线及动点问题（经典题型）
第2讲 相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线一、作平行线例1. 如图，D A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ， 证明：AB ·DF=AC ·EF 。
二、作垂线二、作垂线例3. 已知：如图两个等积ABC D 、DBC D ，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：例 4. 如图从2AB=AEACADAF×。
+×三、作延长线三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的的面积。
面积为21，求△HBC的面积。
例6. 如图，Rt D ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG^AB于G，求证：FG2=CF·BF 四、作中线四、作中线D中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
例7 如图，ABC动点题型1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？2、如图，正方形ABCD的边长为2，AE AE＝＝EB EB，，MN MN＝＝1，线段MN的两端在CB CB、、CD上滑动，当CM为何值时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？H EDCBAP3、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F . (1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由. (2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。
初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形的辅助线技巧
︵
AHCD 的面积为 21，求△HBC 的面积．
九
【分析】延长 BA 与 CD，两延长线交于点 F，由 CH 垂直于 BF，得到一对直角相等，由
年
CH 为角平分线得到一对角相等，再由 CH 为公共边，利用 ASA 可得出三角形 CFH 与三
级
角形 CBH 全等，由全等三角形的对应边相等得到 CF＝CB，且 BH＝HF，由 BH＝3AH，
1
∴AE= 2AB＝1，
∵AB∥DC，
∴△AEM∽△GDM，
∴
=
= ；
（2）∵△ADG 是等腰直角三角形，
∴在 Rt△ADG 中，由勾股定理得：AG= √3 + 3 =3√2，
∵AB∥DC，
15
相似三角形的辅助线技巧
数
【解答】解：
（1）如图，连接 FC、AD．
学
∵点 F 是 AB 的中点，CD＝BC，
︵
∴FC 是△ADB 的中位线，
九
1
∴FC= 2AD，
年
∴△EFC∽△EDA，
级
∥
︶
∴
=
∴
= ；
=2，
（2）∵点 F 是 AB 的中点，AB＝18，FB＝EC，
1
∴EC= 2AB＝9．
由（1）知，
=2，则
=2，故 AE＝18，
∴AC＝AE+EC＝18+9＝27．
9
相似三角形的辅助线技巧
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．此类题要注意作平行线，能够根据相似
三角形对应边成比例即可求得线段的比．
2．如图，已知△ABC 的边 AB 上有一点 D，边 BC 的延长线上有一点 E，且 AD＝CE．DE
相似三角形之常用辅助线
相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。
而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。
专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。
定理得基本图形:例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。
例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF变式1、如图,△ABＣ中,AB<AC,在AB、ＡC上分别截取BD=ＣE,ＤE,ＢC得延长线相交于点F,证明:ＡB·DF=AC·EF。
例4、已知:如图,在△AＢＣ中,AD为中线,Ｅ在AＢ上,ＡE=AC,CＥ交AD于F,ＥＦ∶FＣ=３∶5,EB=8cm，求AB、AC得长、变式:如图,,求。
(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。
(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。
2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。
专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形例1、，，那么吗？试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由？(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC Ｄ中,ＣE ⊥A Ｅ,ＣF ⊥AF,求证:A Ｂ·AE+AD ·AF=AC 2例２、如图,RtA ＢC 中,ＣD 为斜边ＡB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B Ｃ于Ｆ,ＦG ＡB 于G,求证:FG ＝ＣFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,Ｅ,F 。
初二数学《相似三角形》知识点解读
初二数学《相似三角形》知识点解读相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在数学几何中有着广泛的应用。
本文将对相似三角形的定义、性质以及解题方法进行详细解读，帮助初二学生更好地掌握这一知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有以下两个条件的两个三角形：它们的对应角相等，对应边的比值相等。
简单来说，就是两个三角形的形状相似，只是大小不同。
二、相似三角形的性质1. 角对应相等性质：如果两个三角形相似，它们对应的角一一对应相等。
2. 边对应比例性质：如果两个三角形相似，它们对应边的比值相等。
即两个相似三角形中，任意两条对应边的长度比等于其他两条对应边的长度比。
3. 周长比例性质：如果两个三角形相似，它们的周长之比等于对应边之比。
4. 面积比例性质：如果两个三角形相似，它们的面积之比等于对应边长度之比的平方。
三、相似三角形的解题方法1. 定理证明法：利用已知条件和相似三角形的性质进行推理与证明。
例如，已知两个角分别相等，就可以推导出这两个三角形相似。
2. 比值关系法：利用相似三角形中对应边的比值等于其他对应边的比值的性质，求解未知长度。
可以通过设置变量，建立方程来解决问题。
3. 辅助线法：根据问题的需要，引入辅助线，将问题转化为已知得相似三角形的求解问题。
通过绘制辅助线，可以更好地理解和解决问题。
四、相似三角形的应用相似三角形广泛应用于测量和工程实践中。
以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量已知长度的阴影与未知长度的物体的阴影的长度比来计算物体的高度。
2. 制图和测量距离：在制图和地理测量中，可以利用相似三角形的性质，通过测量已知长度和对应边比值，计算未知距离和角度。
3. 相似比例模型：在建筑和工程设计中，可以使用相似比例模型，根据已知尺寸比例计算未知部分的尺寸。
总结：相似三角形是初中数学中的重要知识点，掌握了相似三角形的定义、性质以及解题方法，可以更好地解决实际问题。
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
初中数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；②；③.三、两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）当三点设置法不能解决待证问题时，即线段比例公式中的四条线段在图中均在同一条直线上，不能形成三角形，或四条线段形成两个三角形，但两个三角形不相似时，就需要根据已知条件，找到与比例公式中的一条线段相等的线段来代替这条线段。
如果没有，可以考虑加一条简单的辅助线。
然后用三点成形法确定相似三角形。
只要代入得当，问题往往可以解决。
当然，也要注意最后把被替换的线段替换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC， AD的垂直平分线FE 交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．分析：1、等比过渡法（等比代换法）当用三点设置法无法确定三角形，又没有等比线段代换时，可以考虑等比代换法，即可以考虑使用第三组线段的比比例桥，即通过对已知条件或图形的深入分析，在验证的结论中找到等于某一比值的比值并进行代换，再用三点设置法确定三角形。
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类
思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系． 作辅助线的方法主要有以下几种：(1)作平行线构造“A ”型或“X ”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S －1类型一 作平行线构造“A ”型或“X ”型相似1．如图11－S －2，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于点F ，若AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，求BF 的长．图11－S －22．如图11－S －3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于点E ，交AB 于点F .求证：AE DE ＝2AF BF. 图11－S －33．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝12，连接DF 交AC 于点E . (1)如图△，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB的值； (2)如图△，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB的值(用含a 的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB的值． 图11－S －4类型二 作平行线转换线段的比4．如图11－S －5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，求AF AE的值． 图11－S －55．如图11－S －6，已知等边三角形ABC ，D 为AC 边上的一动点，CD ＝nDA ，连接BD ，M 为线段BD 上一点，∠AMD ＝60°，连接AM 并延长交BC 于点E .(1)若n ＝1，则BE CE ＝______，BM DM＝______； (2)若n ＝2，如图△，求证：BM ＝6DM ；(3)当n ＝________时，M 为BD 的中点(直接写出结果，不要求证明)．图11－S －66．2019·朝阳 已知：如图11－S －7，在△ABC 中，点D 在AB 上，E 是BC 的延长线上一点，且AD ＝CE ，连接DE 交AC 于点F .(1)猜想证明：如图△，在△ABC 中，若AB ＝BC ，学生们发现：DF ＝EF .下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D 作DG △BC ，交AC 于点G ，可通过证△DFG △△EFC 得出结论；思路2：过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H ，可通过证△ADF △△HEF 得出结论． 请你参考上面的思路，证明DF ＝EF (只用一种方法证明即可)．(2)类比探究：在(1)的条件下(如图△)，过点D 作DM △AC 于点M ，试探究线段AM ，MF ，FC 之间满足的数量关系，并证明你的结论．(3)延伸拓展：如图△，在△ABC 中，若AB ＝AC ，∠ABC ＝2△BAC ，AB BC＝m ，请你用尺规作图在图△中作出AD 的垂直平分线交AC 于点N (不写作法，只保留作图痕迹)，并用含m的代数式直接表示FN AC的值． 图11－S －7类型三 作垂直证相似7．如图11－S －8，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AB 的中点，M ，N 分别为边AC ，CB 上的点，且DM ⊥DN .(1)求证：DM DN ＝BC AC； (2)若BC ＝6，AC ＝8， CM ＝5，直接写出CN 的长．图11－S －88．如图11－S －9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连接AD . 问题引入：(1)如图△，当D 是BC 边的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝________(用图中已有线段表示)．探索研究：(2)如图△，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：(3)如图△，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连接BO 并延长交AC 于点F ，连接CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值，并说明理由． 图11－S －99．如图11－S －10，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别是AC ，AB 边上的点，连接EF .(1)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，则AE ＝________；(2)如图△，若将直角三角形纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且MF △CA ，求EF 的长；(3)如图△，若FE 的延长线与BC 的延长线相交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF的值． 图11－S －10详解详析1．解：如图，过点O 作OM △BC 交AB 于点M .∵O 是AC 的中点，OM ∥BC ，∴M 是AB 的中点，即MB ＝12a ， ∴OM 是△ABC 的中位线，OM ＝12BC ＝12b . ∵OM ∥BC ，∴△BEF ∽△MEO ，∴BF MO ＝BE ME ， 即BF 12b ＝c a 2＋c ，∴BF ＝bc a ＋2c . 2．证明：如图，过点D 作DG △CF 交AB 于点G .∵DG ∥CF ，D 为BC 的中点，∴G 为BF 的中点，FG ＝BG ＝12BF . ∵EF ∥DG ，∴AE DE ＝AF GF ＝AF 12BF ＝2AF BF . 3．解：(1)甲同学的想法：如图△，过点F 作FG △AB 交AC 于点G ，∴△AED ∽△GEF ，∴AD GF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝GF .∵FG ∥AB ，∴△CGF ∽△CAB ，∴GF AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝GF AB ＝CF CB ＝13. 乙同学的想法：如图△，过点F 作FG △AC 交AB 于点G ，∴AD AG ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴AD ＝AG .∵FG ∥AC ，∴AG AB ＝CF CB. ∵CF BF ＝12，∴CF CB ＝13，∴AD AB ＝AG AB ＝CF CB ＝13. 丙同学的想法：如图③，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵E 为DF 的中点，∴ED ＝EF ，∴GD ＝CF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC .∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13. ∴AD AB ＝DG BC ＝CF BC ＝13. (2)如图△，过点D 作DG △BC 交CA 的延长线于点G ，∴∠C ＝△G ，∠CFE ＝△GDE ，∴△GDE ∽△CFE ，∴GD CF ＝ED EF. ∵DE EF ＝a ，∴ED ＝aEF ， ∴DG ＝aCF .∵DG ∥BC ，∴∠C ＝△G ，∠B ＝△ADG ，∴△ADG ∽△ABC ，∴AD AB ＝DG BC . ∵CF BF ＝12，∴CF BC ＝13，即BC ＝3CF . ∴AD AB ＝DG BC ＝aCF 3CF ＝a 3. 4．解：取CF 的中点G ，连接BG .∵B 为AC 的中点，∴BG AF ＝12，且BG △AF . 又E 为BD 的中点，∴F 为DG 的中点，△EF BG ＝12，∴EF AF ＝14， ∴AF AE ＝43. 5．解：(1)当n ＝1时，CD ＝DA .∵△ABC 是等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BAC ＝60°，∴∠ADM ＝90°.又△△AMD ＝60°，∴∠MAD ＝30°，∴∠BAE ＝△BAC －△MAD ＝30°，即△BAE ＝△EAD ，∴AE 为△ABC 的中线，∴BE CE＝1. 在△AMD 中，DM ＝12AM (30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM ＝△ABM ＝30°，∴AM ＝BM ，∴BM DM＝2. (2)证明：△△AMD ＝△ABD ＋△BAE ＝60°，∠CAE ＋△BAE ＝60°，∴∠ABD ＝△CAE .又△BA ＝AC ，∠BAD ＝△ACE ＝60°，∴△BAD △△ACE (ASA)，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .如图，过点C 作CF △BD 交AE 的延长线于点F ，∴FC BM ＝CE BE ＝AD CD ＝12①，DM FC ＝AD AC ＝13②，由△×△得DM BM ＝16，∴BM ＝6DM . (3)△M 为BD 的中点，∴BM ＝MD .∵△BAD ≌△ACE ，∴AD ＝CE ，∴CD ＝BE .∵△AMD ∽△ACE ，△BME ∽△BCD ，△AD AE ＝MD CE ，BM BC ＝ME CD， ∴AD ＝MD ·AE CE ③，CD ＝BC ·ME BM④， 由△×△得CD ＝5－12DA ，∴n ＝5－12. 6．解：(1)思路1：如图△，过点D 作DG △BC ，交AC 于点G .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵DG ∥BC ，∴∠DGA ＝△BCA ，∠DGF ＝△ECF ，∴∠A ＝△DGA ，∴DA ＝DG .∵AD ＝CE ，∴DG ＝CE .又△△DFG ＝△EFC ，∴△DFG ≌△EFC ，∴DF ＝EF .思路2：如图△，过点E 作EH △AB ，交AC 的延长线于点H .∵AB ＝BC ，∴∠A ＝△BCA .∵EH ∥AB ，∴∠A ＝△H .∵∠ECH ＝△BCA ，∴∠H ＝△ECH ，∴CE ＝EH .∵AD ＝CE ，∴AD ＝EH .又△△AFD ＝△HFE ，∴△DF A ≌△EFH ，∴DF ＝EF .(2)结论：MF ＝AM ＋FC .证明：如图△，由思路1可知：DA ＝DG ，△DFG ≌△EFC ，∴FG ＝FC .∵DM ⊥AG ，∴AM ＝GM .∵MF ＝FG ＋GM ，∴MF ＝AM ＋FC .(3)AD 的垂直平分线交AC 于点N ，如图△所示．连接DN ，过点D 作DG △CE 交AC 于点G .设DG ＝a ，BC ＝b ，则AB ＝AC ＝mb ，AD ＝AG ＝ma .∵∠ABC ＝2△BAC ，设△BAC ＝x ，则△B ＝△ACB ＝2x ，∴5x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°. ∵NA ＝ND ，∴∠A ＝△ADN ＝36°.∵∠ADG ＝△B ＝72°，∴∠NDG ＝△A ＝36°.又△△DGN ＝△AGD ，∴△GDN ∽△GAD ，∴DG 2＝GN ·GA .易知DG ＝DN ＝AN ＝a ，∴a 2＝(ma －a )·ma ，两边同除以a ，得m 2a －ma －a ＝0. ∵DG ∥CE ，∴DG ∶CE ＝FG △FC ＝DG △DA ＝1△m .∵CG ＝mb －ma ，∴FG ＝1m ＋1·m (b －a )， ∴FN ＝GN ＋FG ＝ma －a ＋1m ＋1m (b －a )＝m 2a －a ＋mb －ma m ＋1＝mb m ＋1， ∴FN AC ＝mbm ＋1mb ＝1m ＋1. 7．解：(1)证明：如图，过点D 作DP △BC 于点P ，DQ ⊥AC 于点Q ，∴∠DQM ＝△DPN ＝90°.又△△C ＝90°，∴四边形CPDQ 为矩形，∴∠QDP ＝90°，即△MDQ ＋△MDP ＝90°. ∵DM ⊥DN ，∴∠MDN ＝90°，即△MDP ＋△NDP ＝90°，∴∠MDQ ＝△NDP ，∴△DMQ ∽△DNP ，∴DM DN ＝DQ DP. ∵D 为AB 的中点，DQ ∥BC ，DP ∥AC ，∴DQ ＝12BC ，DP ＝12AC ，∴DQ DP ＝BC AC ，∴DM DN＝BC AC. (2)由题意得AQ ＝CQ ＝4，MQ ＝CM －CQ ＝5－4＝1，DQ ＝12BC ＝3，DP ＝12AC ＝4. ∵△DMQ ∽△DNP ，∴MQ NP ＝DQ DP ，∴NP ＝43. 又CP ＝PB ＝3，∴CN ＝3－43＝53. 8．解：(1)1△2 BD △BC(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD △AD .理由：如图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足分别为E ，F ，∴OE ∥AF ，∴OD ∶AD ＝OE △AF .∵S △BOC ＝12BC ·OE ，S △ABC ＝12BC ·AF ， ∴S △BOC ∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·OE ∶⎝⎛⎭⎫12BC ·AF ＝OE △AF ＝OD △AD . (3)猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF的值是1.理由如下： 由(2)可知：OD AD ＋OE CE ＋OF BF ＝S △BOC S △ABC ＋S △BOA S △ABC ＋S △AOC S △ABC ＝S △BOC ＋S △BOA ＋S △AOC S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 9．解：(1)△将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S △ABC ＝4S △AEF .在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5.∵∠EAF ＝△BAC ，∴Rt △AEF ∽Rt △ABC ，∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB)2，即(AE 5)2＝14，∴AE ＝2.5. (2)连接AM 交EF 于点O ，如图△，∵将△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴AE ＝EM ，AF ＝MF ，∠AFE ＝∠MFE .∵MF ∥CA ，∴∠AEF ＝△MFE ，∴∠AEF ＝△AFE ，∴AE ＝AF ，∴AE ＝EM ＝MF ＝AF ，∴四边形AEMF 为菱形．设AE ＝x ，则EM ＝x ，CE ＝4－x .∵四边形AEMF 为菱形，∴EM ∥AB ，∴△CME ∽△CBA ，∴CM CB ＝CE CA ＝EM AB， 即CM 3＝4－x 4＝x 5，解得x ＝209，CM ＝43. 在Rt △ACM 中，AM ＝AC 2＋CM 2＝4103. ∵S 菱形AEMF ＝12EF ·AM ＝AE ·CM ， ∴EF ＝2×43×2094103＝4109. (3)如图△，过点F 作FH △BC 于点H ，∵EC ∥FH ，∴△NCE ∽△NHF ， ∴CN ∶NH ＝CE △FH ，即1△NH ＝47∶FH ，∴FH ∶NH ＝4△7. 设FH ＝4x ，NH ＝7x ，则CH ＝7x －1，BH ＝3－(7x －1)＝4－7x .∵FH ∥AC ，∴△BFH ∽△BAC ，∴BH ∶BC ＝FH △AC ，即(4－7x )△3＝4x △4，解得x ＝0.4，∴FH ＝4x ＝85，BH ＝4－7x ＝65.第11页/共11页 在Rt △BFH 中，BF ＝（65）2＋（85）2＝2， ∴AF ＝AB －BF ＝5－2＝3，∴AF BF ＝32.。
模型总结： 相似三角形模型解析及辅助线作法梳理
相似三角形（模型-辅助线）一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。
本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。
二、知识回顾1、图形的相似（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形对应边的比为相似比。
2.相似三角形（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
（4）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
②判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（5）相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
3.位似（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。
1.“A”字形相似2. ”8”字形相似二、典例精析能力目标：1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。
【例1】已知：图下图，AD（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则思维探究：方法一：通过平行线构造相似解析：过A点作A P//BC交CF于点P,“8”字模型A P CD方法二：过A作A H//CF交BC延长线于H，则方法三：作DK//CF交AB于K,则方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题作B P//AD交CF于点P,大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。
初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形中的辅助线归纳总结
相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BDCE=BDA CFE证明：过点C 作CG//FD 交AB 于GF∴=AD AG AEAC又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CEGC DF //，∴=BD DG BFCF∴=BD CE BF CF小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。
例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。
∴=⋅=⋅EM AB ECAC EM AC AB EC 即， ∴=AB AC EM EC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EMBD=∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EF DF，∴⋅=⋅AB DF AC EF方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BD DN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN EC DN （为中间比），∴=∴⋅=⋅AB AC EF DFAB DF AC EF ，二、作垂线3. 已知：如图两个等积ABC ∆、DBC ∆，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。
几何证明题辅助线的技巧和方法
几何证明题辅助线的技巧和方法
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用且有效的工具。
它可以帮助我们发现
隐藏的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
以下是几种常见的辅助线技巧和方法，可用于解决几何证明题。
1. 平行线辅助线法：当题目涉及到平行线时，我们可以通过引入一条平行线作
为辅助线，从而构建出平行线之间的相似三角形或平行四边形。
这样，我们可以得出相应的角度和边的关系，进而证明几何问题。
2. 三角形中线辅助线法：三角形的中线是连接一个顶点与对应中点的线段。
通
过引入三角形中线作为辅助线，我们可以将原问题转化为直角三角形的性质或平行线的性质。
这种方法常常用于证明三角形的等边、等腰等性质。
3. 垂直线辅助线法：当题目涉及到垂直线时，我们可以通过引入一条垂直线作
为辅助线，从而构建出垂直角、直角三角形或平行四边形。
通过利用垂直线的性质，我们可以得到角度、边长等关系，进而解决问题。
4. 内切圆辅助线法：对于一个给定的三角形，可以通过引入其内切圆作为辅助线，来简化证明过程。
内切圆与三角形的的边相切于三个点，这些点可以提供有用的几何关系，如正方形的性质、垂直线的性质等。
5. 类似三角形辅助线法：当计算角度或证明形状相似时，引入类似三角形作为
辅助线可以大大简化证明过程。
通过找到两个或多个类似的三角形，我们可以得到两个三角形的边长比例，并据此解决问题。
总之，辅助线是几何证明中的有效工具，它们可以帮助我们发现关键的几何关系，简化证明过程，并提供新的角度来解决问题。
通过灵活运用各种辅助线技巧和方法，我们可以更加轻松地解决各种几何证明题。
相似三角形中的辅助线与常见模型
相似三角形中的辅助线与常见模型相似三角形的性质、定理都是由“平行线分线段成比例”定理衍生出的，在其中隐藏着许多基本图形，我们需要灵活运用基本图形，才能掌握添加辅助线的规律。
第一层次：直接从题设图形中寻找基本图形。
从已知图形和结论特征中发现，挑选出平行线是关键；第二层次：根据题意特点（如题目中出现的比例式或涉及的比例线段），构造图形。
方法1：以FA/FB为主体，以∠F为公共角，BC为一条边，过A 作AG//BC。
这样就构造出了A型及X型。
方法2：以FA/FB为主体，以∠F为公共角，AE为一条边，过B 作BG//AE。
这样就构造出了A型及一对全等三角形。
方法3：以FA/FB为主体，以∠FAE为对顶角，过B作BG//AE。
这样就构造出了A型及X型。
方法4：如左下图，以AE/CE为主体，以∠FAC为公共角，过点C作CG//FD交BF延长线于点G，构造出两组A型，分别在▲ACG 与▲BCG中。
方法5：如右下图，以AE/CE为主体，∠FEA为对顶角，过点C作CG//FB，构造出一组X型和一对全等三角形。
方法6：同时以FA/FB与AE/CE为主体，∠B为公共角或∠C为公共角，过点A作AG//DF，构造出两组A型，分别在▲ACG与▲BDF中。
在解决此类问题时，①要注意联想平行线分线段成比例的几个基本图形（A型或X型）；②考虑所构造出的A型及X型后所得的线段与所要证明的比例式中线段的内在联系。
方法7：由于图中出现了燕尾形三角形，因此本题也可以借助梅氏定理进行解决。
以三角形ABC 为三角形，直线DEF为截线，则有：(链接：梅氏定理）1、A型或斜A型2、X型或斜X型3、共边共角型（子母三角形）3-1、直角三角形中的共边三角形3-2、一线三等角模型（等腰三角中）3-3、一线三等角模型（正方形中）4、双垂型三角形（4对相似三角形）5、手拉手模型（链接：手拉手模型）在与比例线段和相似三角形的证明中，往往隐藏着以上的这些模型，在证明或计算时，先观察是否可以直接应用模型，如果没有模型，则根据已知或结论之间的关系构造辅助线。
相似形中常用的辅助线
相似形中常用的辅助线山东 程方岩添加辅助线实际上就是构造出某种图形，构造哪些图形？这就需要掌握一些基本图形．相似三角形中的基本图形如下图所示：这些基本图形可以把它们当作一种数学模型，在解决问题时就可以去观察，看看能不能运用上它们，这就是建模的思想方法．1、添加平行线构造平行线型基本图形，我们称之为“A”、“X”型．例1、已知：如图，过△ABC 的顶点C 任作一条直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证:AE:ED=2AF:FB ．分析：要证线段成比例，而题中没有平行条件，故无法证明，所以想到引平行线，构建基本图形“A”、“X”型.证明：过B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于N ，∴.,BDCD DNED EN AE FBAF ==∵BD=CD ，∴2ED=2DN=EN ， ∴,2EDAE FB AF =∴AE:ED=2AF:FB ． 注意：引平行线时注意以下几点：（1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项（或后项）在同一直线的线段的端点作为引平行线的点；（2）引平行线时尽量使较多已知线段来求证线段成比例；（3）引平行线的实质是构造“A”、“X”型基本图形，在上例中过每个已知点均可引平行线构造“A”型或“X”型，进而使结论获证，故本题有多种证法，仅过E 点就有四种方法，都能证明结认正确，有兴趣的读者可以去研究．2、根据条件，构造相似三角形的基本图形．例2、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图，在△ABC 中，平行线型CCBNEFDCBA图（2）图（1）a baCBACBA∠A=2∠B ，且∠A=600，求证：a 2=b （b+c ）；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A=2∠B ，关系式a 2=b （b+c ）是否仍然成立？并证明你的结论．分析：（1）由∠A=2∠B ，且∠A=600，易得∠C=900．所以在Rt △ABC 中，三边a 、b 、c 之间的关系为，c=2b ，a=3b ．所以a 2=3b 2，b （b+c ）=3b 2，则a 2=b （b+c ）．（2）要证a 2=b （b+c ），则需构造有关a 、b 与（b+c ）的相似的三角形，且a 为公共边．对照基本图形，有类似的图形，这提醒我们延长BA 到D ，使AD=b ，则∠D=∠ACD ，又∠BAC=∠D+∠ACD ，所以∠BAC=2∠D ，得到∠B=∠D ，DC=BC （如图）．于是构造出了有关a 、b 与（b+c ）的三角形，易证△BCD ∽△CAD 相似，于是得到a 2=b （b+c ）．a D CB。
相似三角形解题方法技巧步骤辅助线解析
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为 基础. 二、 两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路:1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单； 2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、 已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、 已知可能的一个直角三角形 ①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似 ③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、 与等腰三角形有关的①找顶角对应相等 判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、 相似形的传递性 若4 1S^ 2,^ 23,则厶 3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所 代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只 要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
相似三角形添加辅助线的方法举例
相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。
例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。
2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。
这些中位线的交点被称为三角形的重心。
通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。
3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。
4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。
例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。
5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。
例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。
以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。
在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。
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②
∴
DG AD
DG BC
DF BC EF AC
BC AC
AD AC
∴
∴EF×BC＝AC×DF
1、已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC
于E,交BA的延长线于F,求证：AF AE
F
BF EC
A E
B
D
C
利用比例式够造平行线，通 过中间比得结论
利用中点”倍长中线”的思 想平移线段EC,使得所得四条 线段分别构成两个三角形
A
n
4y F
Байду номын сангаас
4h
E n
6y 5y hh
B
D TC
AF：CF=2：3.
作平行线
• 例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和
E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线
相交于F，求证：BF
B
CF
BD CE
G
D
证明：过点C作CG//FD交AB于G
小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎
样使用。由这道题还可以增加一种证明线
A
2x nF
PE
3x
2k 2x n k
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
2x
nF
E
2k
n
2x Q
kx
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
4y
4h
n E n
Fy h
S
5y
2h
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
本题的 重点在于如何
解决“2”倍的 问题；
让它归属一条线段，
A
找到这一线段2倍是哪
一线段。
D
B
C
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是 高，求证：BC2=2AC·CD
已知：从直角三角形ABC的 直角顶点A向斜 边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直 线ED与边AB的延长线交于F，
求证：AB:AC=DF:AF
段相等的方法：相似、成比例。
A
EC
F
• 例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、 AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线 相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角 形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形 相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加 平行线。
F y
2k
n ?2y k Q
B
D
C
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
则 DQ DA2， BF BC 3,
EF EA
DQ DC
∴ BE BF EF
3DQ EF 6EF EF 5E， FA
∴BE：EF=5：1.
B
n E
F y
?5y 2k
n
2y k Q
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
• 方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则 △EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角 形相似）。
E M E C 即 E M A C A B E C ， A B A C
AB EM AC EC
同 理 可 得 E M F D B F
EF EM， DF BD
又 BD E， C EM EM ECBD
• 1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB 延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。
• 求证：EF×BC=AC×DF
1、证明： 过D作DG∥BC交AB于G， 则△DFG和△EFB相似，∴
DG DF BE EF
∵BE＝AD,∴
DG DF ① AD EF
由①②得，
①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，
n
2k
k
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD2,
FE AE
PF DC
∴PE=EF BP=2PF=4EF， A
所以BE=5EF
∴BE：EF=5：1.
P
n E
F y
4?y 2k y n k
B
D
C
解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
n E
AB BD AC DN
同 理 E C F D N F ，
E C E F ， 而 B D E C （ 已 知 ） D ND F
B D E C （ E C 为 中 间 比 ） ， D ND N D N
A BE F， A B D FA C E F A CD F
淮北市开渠中学
王毅
• 相似三角形中的辅助线
• 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能 够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为 证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。主要的辅助线有以下几种：
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
P
n E y
F ?y y
2
EF TC
∵BD=2DC，
∴BT 5 DC，
2
∴BE：EF=5：1.
B
A
nF Ey
?5y n
2k
D k Tk C
22
练习：
如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1，
E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F,
求AF：CF的值.
A
F
E
B
D
C
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
（EM为 中 间 比 ） ， BD
AB AC
EF ， DF
A B D F A C E F
• 方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N
则 有 ， B D N B A C ，
B D D N ， 即 B D A C A B D N （ 比 例 的 基 本 性 质 ） A BA C
基本图形，因此可以没
有相互关系的 成比例的
E B
CD
四条线段转化为成比例 的四条线段（通过全等 找相等的 线段）
关键是要把成比例线段
放在两个三角形中
F
2、如图，平行四边形ABCD中，E为AB边中
A
nF
E ?kk S
2k n 2 k
B
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
?5y y
n E
y FS
k
2k n 2 k
B
D
C
解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T，
A nF E
n
B
2k
D ?kk T?kk C
22
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
则DTCT1DC，BE BT ；
A
B
D
F
E C
利用前两题的 思想方 法，借助中点构造中 位线，利用平行与2 倍关系的 结论，证明 所得结论
找到后以比例式所 在三角形与哪个三 角形相似
1、如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是
AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.
求证：AE：EC=AF：BF
A
注意观察图形的 特殊性，
有些像全等中，旋转的