(完整版)点的运动学

dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O
x
r r(t)
y
oxyz—参考系 r—动点M 相对于原点O 的位置矢量（矢径）
点的运动学
2、点的速度矢量
（1）点的平均速度
t r (t) t t r (t t)
矢量法
M
v
r
r (t )
M
r (t t)
轨迹演示
点的运动学
解：取M点与地接触，开始时该点
y
与直角坐标轴原点重合,建立图示直
E
v
角坐标系。
由纯滚动条件 OC MC r rt O M
直角坐标表示的M点运动方程：
C
x OC O1M sin rt sint y O1C O1M cos r1 cost
vx x r1 cos t , vy y r sin t
x (a b)cos y bsin
消去上式中的角ψ，即得M点的
轨迹方程:
x2
y2
(a b)2 b2 1
直角坐标法
y B
A
Cx
O
y
x
M
轨迹演示
点的运动学
思考：M点的轨迹是什么曲线 ？
直角坐标法
点的运动学
直角坐标法
例题2 半径为 r 的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角 = t
( 为常量），求轮上任一点M的运动方程、速度和加速度。
O j
y
i
x
xy
加速度的大小： a
d2 x ( dt 2
)2
d2 (
dt
y
2
)2
d2z ( dt 2
)2
加速度的方向余弦：
cos(a, i )
ax
cos(a,
j)
ay
a
a
cos(a, k )
az
a
★点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标
对时间的二阶导数。
点的运动学
直角坐标法
问题：如何求点运动方程、运动轨迹以及点的速度 和加速度的大小与方向？
z
M
在直角坐标系中，点在空间的位置
v
由3个方程确定： （1）点的运动方程和轨迹方程
r
z
a
x f1(t) x(t) y f2(t) y(t) z f3(t) z(t)
k
O j
y
i
x
xy
（2）点的轨迹方程 f ( x, y, z) 0（与时间t无关）
平面曲线 f ( x, y) 0
点的运动学
第六章 点的运动学
§6–1 描述点运动的矢量法 §6–2 描述点运动的直角坐标法 §6–3 描述点运动的弧坐标法 结论与讨论
点的运动学
矢量法
§6-1 矢量法
1、点的运动方程—变矢量形式 z
运动方程用点在任意瞬时t的位置
M
矢量r(t)表示。 r(t)简称为位矢。
M
动点M 在空间运动时，矢径 r 的
r (t )
直角坐 标法
2、点 的速 度
r xi yj zk
v
r
( xi
yj
zk )
( xi yj zk)
z
vz
M
vy rz
k
v
vx
a
(Oxyz)为定参考系
v r
xi
i j
yj
k
zk
0
v
x
x i
i
v
O
y yj
j
v
z
k
x
y
vx
dx dt
x ,
vy
dy dt
y ,
vz
几何性质 运动方程
运动轨迹
点的速度
点的加速度
点的运动学
直角坐标法
例题1 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规
尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺
上任一点M 的轨迹方程。 y B
A
C x
O
y
x
M
已知: OA AC AB a
2
CM b.
点的运动学
解: 考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成
（1）有坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；
（2）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；
? （3）有相应的坐标系(自然轴系)。
点的运动学
矢量法
3、点的加速度矢量
v1
（1）点的平均加速度
t v(t) t t v(t t)
t 时间间隔内速度的改变量
速度端图 v2
O
v3
v3
v1
v2
v v(t t) v(t)
动点M在时间间隔△t 内的平均速度
a
v
t
（2）点的瞬时加速度v a lim t0 t
dv dt
v
v
2 x
v
2 y
r
2(1 cos t) 2r sin t （0 t 2 )
2
ax x r 2 sin t, ay y r 2 cos t
a
a
2 x
a
2 y
r 2
直角坐标法
x
点的运动学
§6-3 自然法
道路转弯中的力学问题
自然法
双曲线
点的运动学
自然法
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时 间的变化规律，如何确定点的加速度?
v
M
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点
且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
点的运动学
自然法
1、弧坐标要素与运动方程
思路：如果点沿着已知的轨迹 运动，则点的运动方程，可用 点在已知轨迹上所走过的弧长 随时间变化的规律描述。
(+)
M
O
(-)
s
● 弧坐标具有以下要素：
v
t 时间间隔内矢径的改变量
O
r
r(t
t)
r (t )
—点M的位移
动点M在时间间隔△t 内的平均速度
v
r
（2）点的瞬时速度
v
lim
r
dr
rt
t0 t dt
速度 — 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量。速度的
方向沿着运动轨迹的切 线；指向与点的运动方向一致；速度大
小等于矢量的模。