上海交通大学矩阵理论张跃辉思考题汇总

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上海交通大学2010-2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题,总分

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置.一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001001001A ，则=-199200A A ( )（A ）E ；（B ）0；（C ）A ；（D ）2A .2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )（A ）次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的通常乘法；（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法；（C ）平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算0x x k =⋅，k 是实数，0x 是某一取定向量；（D ）投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法.3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )（A ）保持向量的长度不变；（B ）将标准正交基变为标准正交基；（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )（A ）A 与对角矩阵相似；（B ）A 的特征值只可能是1或者0；（C ）A A )1sin()sin(=；（D ）幂级数10)(-∞=-=∑A E A k k .5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )（A ）{}021=⋂V V ；（B ）2121dim dim )dim (V V V V +=+；（C ）21V V +的零元素的分解式唯一；（D ）V V V =⋃][21.二、填空题（每空3分，共15分）设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0201,1201B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B A 0的Jordan 标准型为 .三、计算题（12分）向量空间22⨯R 中的内积通常定义为.))(,)((,),(22222121⨯⨯=====∑∑ij ij i j ij ij b B a A b a B A选取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1110,001121A A ，构造子空间],[21A A W =.1、求⊥W 的一组基；2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基.四、计算题（18分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110130002A .1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ；2、计算矩阵A e ；3、求下列微分方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,0x x Ax dt dx ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110x .五、计算题（10分）设n m C A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*UDV A =，nm O O O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=，),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆.六、计算题（18分）设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为3032322110)()()()()(t a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；3、求线性变换T 的值域的基与维数；4、求线性变换T 的核的基与维数.七、证明题（6分）设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得2B A =.八、证明题（6分）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .。

(2021年整理)上海交通大学矩阵理论张跃辉思考题汇总

矩阵理论思考题汇总第一章线性代数概要与提高1.秩为0的n阶矩阵只有1个.秩为1的矩阵与秩为2的矩阵是否可以比较多少?2.当n≥2时,n阶可逆矩阵与不可逆矩阵都是无限的.是否存在某种方式可以比较它们的多少?3.试给出矩阵秩的一种直观意义.1.齐次线性方程组的解的几何意义是什么?非齐次线性方程组的解与其对应的齐次线性方程组的解的几何意义是什么?2.初等变换的几何意义是什么?3.试给出满秩分解的一种直观意义.1.矩阵的特征向量和特征值有何直观意义?2.交换矩阵A的两行对其特征值与特征向量有何影响?交换两列呢?试总结之.3.如果同时交换矩阵A与B的相同两行(比如同时交换第1、2行),所得的矩阵相似,那么A与B是否相似?如果既交换1、2两行，又交换1、2两列,则又如何?4.能否有某种办法衡量有相同特征值的矩阵与无相同特征值的矩阵的多少?你认为哪种多一些?5.能否有某种办法衡量可对角化的矩阵与不可对角化的矩阵的多少?你认为哪种多一些?1.将线性空间的条件(B4)即1•α=α改为1•α=2α将如何?2.线性空间的定义实际上没有用到每个非零元素均有逆元这个条件.如何改造线性空间的定义,使其包括更多的系统,比如包括通常加法和乘法下的整数集合(去掉数域F中每个非零元素均有逆元的条件将得到数数环的概念)?3.设u=u(x,y,z,t)是未知函数,c是常数,∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2是Laplace算符.波动方程∂2u∂t2=c2∇2u的全体解是否构成线性空间?若u与时间t无关,则波动方程变为Laplace方程∇2u=0.该方程的全体解是否构成线性空间?总结之.4.试给出基与基向量一个直观的解释.5.试给出过渡矩阵的一种直观解释.1.将内积的正定性条件去掉将如何?是否这是无稽之谈?2.正交性概念是通常垂直概念的推广.Gram-Schmidt正交化方法在立体几何中有何解释?3.试给出标准正交基的一个直观解释.4.由标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵有何特点?5.设F=C或R.F上的n元二次型全体是否构成F上的线性空间?n维双线性型全体呢?6.试对F上的任意m维向量x与n维向量y,推广双线性型的概念.这样的双线性型全体是否构成F上的线性空间?7.三阶度量矩阵的行列式有何几何解释?8.设(•,•)i,i=1,2是n维实线性空间V上的两个不同的内积,α,β∈V.是否可能(α,β)1=0但(α,β)2=0?是否可能(α,α)1<(β,β)1但(α,α)2>(β,β)2?一般地,这两个内积有何关系?19.试对n维实线性空间V上的双线性型讨论上题类似的问题?第二章矩阵与线性变换1.两个子空间的并何时是子空间?2.两个向量张成的子空间的几何意义是什么?3.两个子空间的交,并与和的几何意义分别是什么?4.实数域R作为实线性空间的所有子空间是什么?作为有理数域上的线性空间呢?5.复数域C作为实线性空间的所有子空间是什么?作为复数域上的线性空间呢?6.解释3阶矩阵A的四个子空间的几何意义和相互位置关系.7.设F=C或R.则F上的n元二次型全体构成F上的线性空间(第一章第五节思考题5).全体半正定二次型是否是该线性空间的子空间?全体不定二次型呢?8.设F=C或R.则F上的n维双线性型全体构成F上的线性空间(第一章第五节思考题5).全体n维对称双线性型是否是该线性空间的子空间?1.是否有可加性与齐次性等价的情形?2.平面(即R2)上的线性变换能否将直线变为抛物线或者椭圆?能否将抛物线或者椭圆变为直线?空间(即R3)中的线性变换能否将平面变为直线?能否将抛物线变为直线或者椭圆?3.如何建立空间中的过原点的直线和平面上的过原点的直线之间的同构映射?4.试利用线性变换的观点解释矩阵的等价.5.以线性变换的观点解释列满秩与行满秩矩阵以及矩阵的满秩分解.6.设V是1维线性空间,则End V与Aut V是什么?特别,什么是End R,Aut R,End C,Aut C?7.有限维线性空间上的单线性变换就是满线性变换,此结论对无限维线性空间成立吗?8.同构R∼=R∗与R3∼=(R3)∗有何自然含义?9.设V是空间中满足x+y+z=0的子空间,V的对偶空间是什么?1.试用正交分解理论解释勾股定理.2.试利用正交分解理论在空间中建立关于面积的勾股定理.能否建立更高维的勾股定理?3.最优解何时唯一?4.如果在R3中定义“广义内积”(x,y)=x1y1+x2y2−x3y3,则正交性有何变化?是否存在非零向量x与自己正交?1.平面(即R2)上的非等距线性变换不能保持所有向量的长度,但可否保持所有角度?2.空间(即R3)中的非等距线性变换能否保持一些向量的长度?能否将某个半径为1的圆还变为半径为1的圆?特别,空间中的幂零变换能否保持一些向量的长度?幂等变换保持哪些向量的长度?3.平面上的反射变换能否由旋转实现?反过来呢?4.对称变换并不保持图形的对称性,如何为“对称”一词找一个恰当的几何解释?5.反对称矩阵对应的线性变换有何特点?6.对称变换是否在任何一组基下的矩阵均为对称矩阵?在某组基下的矩阵为对称矩阵的线性变换是否一定是对称变换?1.设U i,V j,1≤i≤n,1≤j≤m是线性空间.描述Hom(n∑i=1⊕U i,m∑j=1⊕V i)中的元素的结构,并以此给出分块矩阵的一个几何解释.22.Q (√2)是有理数域上的2维线性空间.它与Q 及自身的张量积(空间)分别是什么?3.复数域C 是实数域R 上的2维线性空间.商空间C /R 是什么?4.设p 是素数,有限域F p =Z /p Z 的加法与乘法结构如何?能否建立F 2(或F p )上的线性空间(线性变换)理论?5.实多项式空间R [x ]与复数域C 均是R 上的线性空间,它们的张量积是什么?6.设V 是线性空间,σ∈End V 是幂零(幂等,同构,等)变换.设U 是σ的不变子空间,设¯σ是由σ诱导的V/U 上的商变换,问¯σ是否也是幂零(幂等,同构,等)变换?第三章矩阵的Jordan 标准形1.实数域上的Schur 三角化定理成立吗,即每个实方阵是否可以正交三角化?2.是否每个矩阵都可以分块酉三角化,即分块Schur 三角化定理中的可逆矩阵是否可以加强为酉矩阵?3.设A,B 为同阶方阵,则由降幂公式知AB 与BA 有相同的特征多项式,它们是否相似?4.特征多项式与最小多项式的商多项式有何意义?5.如果一个线性变换σ的特征值的模均小于1,σ有何特点?6.如果一个线性变换σ有一组正交的特征向量,σ有何特点?1.设矩阵A ∈M n (Q ),且A 的特征值均属于Q .是否存在可逆矩阵P ∈M n (Q )使得P −1AP 为Jordan 标准形?将Q 换成Z 又如何?2.分块矩阵(A B B A)的Jordan 标准形与A,B 的Jordan 标准形有何关系?特征值有何联系?特别讨论A =0与A =B 的情形.3.仿照幂零矩阵相似的判别准则给出两个同阶矩阵相似的判别准则.是否能够判断该准则与幂零矩阵相似的判别准则哪个更有意义?1.两个矩阵的和与积的Jordan 标准形是否等于它们的Jordan 标准形的和与积?2.如果P 与Q 均为Jordan 标准形中的变换矩阵,它们之间有何关系?1.用盖尔圆盘定理如何估计酉矩阵与正交矩阵的特征值?第四章正规矩阵与矩阵的分解1.复对称矩阵是否是正规矩阵?2.正规矩阵的和与积是否为正规矩阵?3.相似变换是否保持矩阵的正规性?4.讨论2阶与3阶实对称矩阵的特征值(包括零)的几何意义.1.试讨论非正规矩阵的谱分解的几何意义.2.设单纯矩阵A 仅有一个非零特征值λ,则A 的谱分解是什么?3.两个n 阶矩阵A 与B 何时满足条件AB =BA =0?4.研究单纯矩阵的谱分解,说明为什么不定义非单纯矩阵的谱分解.31.如果一个矩阵有LU 分解,它是否一定有UL (即上三角在左,下三角在右)分解?2.设一个矩阵既有LU 分解也有UL 分解,试比较正定矩阵的这两种分解在计算上的差异?3.半正定矩阵有无类似的Cholesky 分解?负定矩阵和不定矩阵呢?4.如果去掉对角元素均为正的条件,正定矩阵的Cholesky 分解是否具有唯一性?5.可逆矩阵未必有三角分解.能否设计一种方法以比较有三角分解的可逆矩阵与没有三角分解的可逆矩阵的数量?1.可逆矩阵是否存在“三角正交分解”即“A =RU ”,其中R,U 同正交三角分解？又,能否将上三角矩阵变为下三角矩阵?2.对行满秩矩阵如何定义正交三角分解?3.对不可逆矩阵能否定义类似的分解?4.由U ∗U =I 是否可以推出UU ∗=I ?1.矩阵的奇异值分解不唯一,但是否可以确定到某种程度?2.能否将极分解中的顺序改变?即是否存在酉矩阵U 和半正定矩阵P 使得A =UP ?3.不是方阵的矩阵可否定义极分解?唯一性如何?4.可否以满足条件B 2=A 的矩阵B 来定义√A ?更一般地,可否以满足条件B m =A 的矩阵B 来定义A 1/m ?第五章矩阵函数及其微积分1.在R 2中,中心在原点的非等边矩形是否可以是单位圆?中心在原点的正三角形与双曲线呢?2.三角不等式中的等号何时成立?是否存在范数使得三角不等式总是等式?3.两个范数的乘积是否仍是范数?(和的情形见习题18.)4.内积可以诱导范数.哪些p -范数可以诱导内积,即定义(x −y,x −y )=||x −y ||2?哪些不能?5.矩阵A 与其共轭转置A ∗的矩阵范数有何联系?可逆矩阵与其逆矩阵的矩阵范数有何联系?线性变换与其伴随变换的范数有何联系?6.矩阵范数中次乘性的等号何时成立?是否存在矩阵范数使得次乘性中的等号永远成立?7.能否在赋范线性空间中定义合理的角度?研究1-范数和∞-范数的单位圆中的几个角,它们是直角吗?1.若lim n →∞A n B n 存在,是否lim n →∞A n ,lim n →∞B n 一定存在?为什么?2.设A,B 均幂收敛,A +B,AB 幂收敛吗?1.e A e B =e B e A 成立的可能性有多大?更一般地,设f (x )是一个幂级数,则f (A )f (B )=f (B )f (A )成立的可能性如何?一般地,如何比较与A 可交换的矩阵的数量(当然是无穷多个)和与A 不可交换的矩阵的数量?2.试举例说明矩阵e A e B ,e B e A 与e A +B 可以两两不等.又,如果e A e B =e B e A ,是否有e A e B =e A +B ?3.矩阵的勾股定理是否成立,即是否有cos 2A +sin 2A =I ?4.公式(A (t )2) =2A (t )A (t )正确吗?45.设A (t )可逆,如何计算(A (t )−1) ?又A (t )是否可逆?6.设A (t )是正交矩阵,问A (t )还是正交矩阵吗?7.即使A 不可逆,积分∫t t 0e As d s 仍然有意义.应如何计算?1.设α∈C m ×1,β∈C n ×1,则J (αT Xβ)=∂αT Xβ∂X =?2.设α∈C m ×1,β∈C n ×1,则J (αT X T β)=∂αT X T β∂X=?3.设X 是方阵,J (X 2)=?4.如果定义J (X )=∂X ∂rvec X ,将得到何种结果?是否还有其它方式?5.试比较隐函数存在定理与Jacobian 猜想.第六章广义逆矩阵1.2×1矩阵与1×2矩阵的广义逆矩阵的几何意义是什么?2.两个n 阶矩阵A 与B 何时满足条件AB =BA =0?3.设P,Q 是两个可逆矩阵,等式(P AQ )†=Q −1A †P −1成立吗?1.列满秩矩阵与行满秩矩阵的Moore-Penrose 广义逆的几何意义是什么?2.利用谱分解计算Moore-Penrose 广义逆的几何意义是什么?1.零矩阵的广义逆矩阵是所有矩阵,是否还有别的矩阵的广义逆矩阵是所有矩阵?2.不可逆的方阵可否有可逆的广义逆矩阵?3.A −A 与AA −的几何意义是什么?4.试给出矩阵A 的广义逆矩阵的秩的一个上限?1.除了零矩阵与可逆矩阵外,是否还有别的矩阵的{1,2}-逆是唯一的?2.Hermite 矩阵的{1,2}-逆一定是Hermite 的吗?3.不可逆矩阵的{1,3}-逆与{1,4}-逆一定是不可逆的吗?4.矩阵的{1,2}-逆,{1,3}-逆,{1,4}-逆的几何意义是什么?5.何时A {1,i }=A {1,j },1≤i =j ≤4?6.何时A {1,i }是元素个数大于1的有限集合?1.利用广义逆矩阵如何刻画方程组Ax =b 的相容性?2.方程Ax =b 的最小范数解是否唯一?几何意义是什么?3.利用矩阵的张量积与广义逆求解矩阵方程AXB =C 有何异同?5。

矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案

5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
6. 设 V 是线性空间, W1, W2, · · · , Ws 是 V 的真子空间. 证明 W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws = V .(提示: 利用 Vandermonde 行列式或归纳法.)
得
β
证 (t)
明 =
：∑不si=1妨ti设−1αWi ∈i
⊂ ∪j=iWj, ∀i. 因此存在 αi ∈ Wi \ ∪j=iWj. 所以存在 ∪sj=1Wj。否则：对 F 中的无穷多个数 t，至少有一个 Wi0
证明：U 关于加法与数乘显然封闭，故是子空间。dim U = n2 − 1, U 的一个补空间是全体纯量矩阵构成的子空间。
8. 设 V 是所有次数小于 n 的实系数多项式组成的实线性空间, U = {f (x) ∈ V | f (1) = 0}. 证明 U 是 V 的子空间, 并求 V 的一个补空间.
12
记 α = k1α1 + k2α2 + · · · + krαr, β = br+1βr+1 + br+2βr+2 + · · · + bsβs, γ = cr+1γr+1 + cr+2γr+2 + · · · + ctγt.
则 α ∈ U ∩ W, β ∈ U, γ ∈ W , 以及 α + β + γ = 0. 于是 γ = −α − β ∈ U , 从而 γ ∈ U ∩ W ; 从而存在适当的数 d1, d2, · · · , dr, 使得 γ = d1α1 + d2α2 + · · · + drαr, 即

上海交大研究生矩阵理论答案

nk rnn12习题一1．（ 1）因cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x =cosxcos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x，故由归纳法知cosnx sin nx A。

sin nx cosnx（ 2）直接计算得A4E ，故设 n4 k r (r 0,1,2,3) ，则 AnA 4 k Ar( 1) A ，即只需算出 A 2, A 3即可。

0 1 0 1（ 3 ）记 J=，则，1 0n1 n 12 n 2na C n aC n a C nanC 1 a n 1C n 1aAn(aE J )nnC i a i Jn ii 0n n an 。

C 1a n 1 an2. 设 AP1a2P 1(a 1,0),则由A 2E 得a 1时,11110 12 12 1 02不可能。

1而由 a10时,2 1知1 所以所求矩阵为 PB P 1 ，其中 P 为任意满秩矩阵，而ii2221 0 1 0 1 0 B 1, B 2, B 3。

0 10 11注： A2E 无实解， AnE 的讨论雷同。

3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2个未知数时线性方程 AXXA=0 有 n 2个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，1*1a w通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。

a na n 1 a 1 04. 分别对（ A B ）和A 作行（列）初等变换即可。

C5. 先证 A 或 B 是初等到阵时有AB*B *A *，从而当 A 或 B 为可逆阵时有AB*B * A *。

考虑到初等变换 A 对 B 的 n1阶子行列式的影响及 A A 即可得前面提到的结果。

E r 0 下设 PAQ，（这里 P ， Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：0 0**E r 0 *E r 0 B B，0 00 0（ 1） r<n-1 时，因秩小于 n-1 的 n 阶方阵的 n-1 阶子式全为 0，结论显然；B n1*E r 0 0 0 **E r 0 0B n2（ 2） r=n-1 时，0 0， B，但0 10 0E r 0b 11b 12b 21b 22b 1 nb 2nb 11b 12b 21b 22b 1n b 2n ，故0 B nn0 0b n1b n2b nn0 0E r 0 B n1 *B n 2**E r 0 BB。

矩阵理论补充习题及10年试题

⊕σi
i=1
U ⊗V σ⊗τ E{x} Ex
向量 x 与向量 y 的内积向量 x 与向量 y 正交 (垂直) 实数域上 n 维有序数组构成的线性空间复数域上 n 维有序数组构成的线性空间数域 F 上 n 维有序数组构成的线性空间数域 F 上 n 阶方阵全体构成的线性空间全体 m × n 阶实矩阵构成的线性空间全体 m × n 阶复矩阵构成的线性空间数域 F 上全体 m × n 阶矩阵构成的线性空间区间 [a, b] 上全体实变量连续函数构成的线性空间由向量 α1, ..., αk 生成的子空间子空间 (或矩阵)U 与 W 的直和
虚实数数单域位, 复√数−域1 , 有理数域, 整数 (环), 自然数集复数 λ 的实部复数 λ 的虚部复数 λ 的共轭充分必要条件
对所有 (任意) 存在有
证毕
多项式 f (x) 的次数矩阵 A 的逆矩阵矩阵 A 的 Moore-Penrose 广义逆矩阵矩阵 A 的 i 次方或矩阵 A 的第 i 行矩阵 A 的第 j 列
1
主要符号表
R, C, Q, Z, N i Re(λ) Im(λ) λ¯ ⇐⇒ ∀ ∃
∂f (x) A−1 A† Ai Aj A(i,j) vec(A) rvec(A) AT A∗ A>0 A≥0 A⊗B adj A r(A) tr A σ(A) ρ(A) |||A||| ||A||1, ||A||2, ||A||∞ |A| Cnr dk(λ) δij diag(λ1, ..., λn) eTi ej Eij HA I, Im J Jk(λ) N (A) N (AT ) R(A) R(AT )
目录
主要符号表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第一章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 第二章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 第三章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 第四章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 第五章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 第六章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 第七章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第八章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 第九章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 第十一章补充习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 附录：上海交通大学 2009-2010 学年《矩阵理论》考试题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

矩阵理论与应用(张跃辉上海交大研究生教材)第四答案

1. 判断下列矩阵能否酉对角化, 如能, 则求一个酉矩阵 U , 使 U ∗ AU 为对角形: −1 i 0 0 i 1 i i 0 (1) A = −i 0 −i ; (2) A = −i 0 0 ; (3) A = i 1 0 . 0 i −1 1 0 0 0 i i i 1 i 解：(1) U = (2) U =
2 i=1 λi |yi |
= max
∑n
i=k
|yk |2 +···+|yn |2 =1,y ⊥wi 1≤i≤n−k
λi |yi |2 ≥ λk .
9. 设 A = (aij )n×n 是复矩阵, λ1 , λ2 , · · · , λn 为 A 的 n 个特征值. 证明 n n ∑ ∑ (1) (Schur 不等式 ) |λi |2 ≤ |aij |2 ∑ i,j =1
|aij |2
且等号成立当且仅当 B 是对角矩阵当且仅当 A 是正规矩阵, 即得 (2). 10. 直接证明实对称矩阵与 (实) 正交矩阵可以酉对角化, 从而均为正规矩阵. 证明：由线性代数知实对称矩阵可以正交对角化故可酉对角化。设 A 是正交矩阵，则存在酉矩阵 U 使得 U ∗ AU = T 是上三角矩阵, 但 A 也是酉矩阵，从而 T 也是酉矩阵，于是 T 只能是对角矩阵。 11. 设 A 是 n 阶实矩阵, 证明 A 是正规矩阵 ⇐⇒ 存在正交矩阵 Q 使得 QT AQ = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中每个 Ai 或者是 1 阶实矩阵, 或者是一个 Schur 型. 证明：由于每个 Schur 型均为正规矩阵，故充分性是显然的。必要性。由实矩阵的三角 A1 ∗ A2 化定理 (见第三章习题 5) 可知存在正交矩阵 Q 使得 QT AQ = = B ，其 . . . 0 Ak 中 Ai , 1 ≤ i ≤ s 是 1 阶实矩阵 (即 A 的一个实特征值), Ai , s+1 ≤ i ≤ n 是一个 Schur 型 (对应 A 的一对非实数特征值, 其模长平方恰为该型的行列式). 设 A 是实正规矩阵，λ1 , λ2 , · · · , λn k k s n ∑ ∑ ∑ ∑ tr(Ai AT |Ai | = |Ai |2 + |λi |2 = 为 A 的 n 个特征值. 则 tr(BB T ) = tr(AAT ) = i ).

张跃辉矩阵理论与应用第五章参考答案

证明：因为
x = 0,
故
||Ax|| ||x||
=
||A
x ||x||
||，由于
x ||x||
的范数为
1，即得所需。
16. (1) 证明 |||A|||2 = (ρ(A∗A))1/2 定义了一个矩阵范数, 称为 A 的谱范数; (2) 试求一个与矩阵的谱范数相容的向量范数; (3) 证明若 A 是正规矩阵, 则 A 的谱范数就是其谱半径 ρ(A); (4) 设 V 是由全体 Hermite 矩阵构成的复线性空间, 证明谱半径给出 V 上的一个向量范数. 该范数是矩阵范数吗?
|((a − b)x, y)| + |(b − a)(x, y)| ≤ 2|a − b|||x||2||y||2. 由于对任意给定的 ε > 0, 总存在 b ∈ Q 使
得 |a − b| < ε, 因此上式意味着 |(ax, y) − a(x, y)| 可以任意小, 故它们必相等.
(4) 仅有 l2 范数.
(4) | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||.
证明：(1) ||0|| = ||0x|| = 0||x|| = 0;
x
1
(2) ||x|| = ||x|| ||x|| = 1;
(3) || − x|| = | − 1|||x|| = ||x||;
(4) ||x|| ≤ ||x − y|| + ||y||, ||y|| ≤ ||x − y|| + ||x||.
证明：为方便起见，设内积空间为欧氏空间. (1) 设 || • || 是由内积 (•, •) 诱导的范数，则
||x ± y||2 = (x ± y, x ± y) = (x, x) ± 2(x, y) + (y, y).

上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉

7
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?

100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2

矩阵理论第4章习题解答

第四章习题解答1. 证明：实对称矩阵A 的所有特征值在区间[],a b 上的充要条件是对任何0a λ<,0λ-A E 是正定矩阵；而对任何0a λ<,0λ-A E 是负定矩阵.证：因为A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使得{}12,,n diag λλλ T A =Q Q ，其中特征值[],i a b λ∈.{}010200,,n diag λλλλλλλ--- T A -E =Q Q ,所以对于00,0i a λλλ∀<->知A 为正定矩阵；00,0i b λλλ∀>-<知A 为负定矩阵. 2. 设A ,B 都是实对称矩阵, A 的一切特征值在区间[],a b 上, B 的一切特征值在区间[],c d 上. 证明: A+B 的特征值必在区间[],a c b d ++.证：设A ,B 的特征值分别为()()()12n b A A A a λλλ≥≥≥≥≥ ， ()()()12n d B B B c λλλ≥≥≥≥≥ ，又因为A ,B 为实对称矩阵，所以A ,B 为Hermite 矩阵，由定理18知，A+B 的特征值()k λ+A B ，1,2,,k n ∀= . 有()()()()()1k n k k λλλλλ+≤+≤+A B A B A B .即()()()()()()()1k k n k k k a c c d b dλλλλλλλ+≤+≤+≤+≤+≤+≤+A A B A B A B A 3 设P 是酉矩阵，()1,,n A diag a a = ，证明PA 的特征值μ满足不等式m M μ≤≤，其中，{}min i im a =，{}max i iM a =.证：因为P 是酉矩阵，所以HP P E =，又因为()()HH H H PA PA A P PA A A ==，所以由Browne 定理知，PA 的特征值μ满足不等式minminmaxmaxiiiiμ=≤≤=而minmin i iia m ==，maxmax i iia M ==，所以 m M μ≤≤.4．用圆盘定理证明9121081110401001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A =至少有两个实特征值. 证: A 的4个盖尔圆为{}1|94G z z =-≤,{}2|82G z z =-≤, {}3|41G z z =-≤,{}4|11G z z =-≤,它们构成的两个连通区域部分为1123S G G G = , 24S G =, 易知1S 与2S 都关于实轴对称, 因为实矩阵的复特征值必成对共轭出现, 所以2S 中含有A 的一个特征值, 而1S 中至少含有A 的一个实特征值, 因此A 中至少有两个实特征值. 5 参见课本135页中的例1. 6 用圆盘定理估计7-168-1678885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A =的特征值和A 的谱半径, 然后选取一组正数123,,p p p 对A 的特征值作更细的估计. 解: A 的3个特征值在它的2个盖尔圆724z -≤,516z +≤得并集中, 且()31r A ≤. 因为矩阵A 有相同的主对角元素，所以，无法通过选取正数123,,p p p 给出更精细的估计.7证明141414141525115161636161171737⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =的谱半径()1r <A . 证: 113:||44S z -≤，223:||55S z -≤，333:||66S z -≤，433:||77S z -≤，故矩阵A 的盖尔,圆盘位于单位圆内且只与单位圆交于1，又因为||0E A -≠，所以知()1r <A .8. 证明14141141251515161636161717147⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =的谱半径()1r =A . 证: 113:||44S z -≤，223:||55S z -≤，333:||66S z -≤，443:||77S z -≤，故矩阵A 的盖尔,圆盘位于单位圆内且只与单位圆交于1，又因为()det 10=I -A , 所以()1r =A . 9．举例说明：（1）在有两个盖儿圆构成构成的连通部分中，可以在每一个盖儿圆中恰有一个特征值. （2）不一定每个盖尔圆中必有一个特征值.解：（1）如122-1⎛⎫ ⎪⎝⎭A =，故250λλ-=-=E A，1,2λ=（2）如1-0.80.50⎛⎫ ⎪⎝⎭A =，故20.40λλλ-=-+=E A，(1,211.2λ=±11．设()n,nij a =∈C A ，满足()1,2,,ij ij j ia a i n ≠>=∑ 则（1）A 可逆；（2）1det .nii ij j i i a a ≠=⎛⎫≥- ⎪⎝⎭∑∏A 证：（1）因为A 为严格对角占优矩阵，由定理4知，A 可逆。

矩阵论课后习题答案

第一章线性空间与线性映射习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ；（4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ，则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料

习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。

(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。

上海交大线性代数习题答案

上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。

而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。

在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。

因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。

1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。

在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。

这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。

具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。

我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。

在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。

我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。

我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。

上海交通大学线性代数第一,二章深刻复知识题附答案解析

6 3 74 7 1，贝y A中元素的代数余子式等于-11 ；1 1 3Q A12A 2B = 54 _______3印30 & 2d〔a1b c1 2d1A 2B = 3 a? 3d C2 2d 2 32a2 d c2 2d23a3 3b；j C3 2d 3 a3 b s C3 2d3A j0 A 0a1b1a1b2abazd a2b2a2b n6•设A = ，其中a i 0 , b i 0, i 1,2, ,n ,and a n b2 a n b n则r(A) = 1 ；7、设A,B,C都是行列式等于3的3阶方阵，则行列式一、填空题Q 3A 3n A 33A9 A 131 2 3 1 3 53、设3阶方阵 A 4 0 6 0 ,B 2 4 t，且AB 0 ,1 0 3 3 0 3则t = -7a1 b1 C1 a1 b1 d14 •设A = a2 b2 C2 , B a2 b2 d2，且 A =4 , B =1，则a3 b3 C3 a3 b3 d33 a1 bi C1 ai bi 2d19 a2b2 C2 9 a2 b2 2d2 a3 b a C3 a3 b3 2d3 9[4 2 1] 54 ；1)12、设A是3 阶方阵，5已知A是秩为2的4阶矩阵，则r(A )=__0_________D 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( 3 A) 1 ； B 3A 1 B ( 3)3 A 127&已知 A 为三阶方阵,且| A | 4 , A2E 8 ,则A A 1 =2________ J ______ ?1 1 11 1 01 1 1 12 110、设A 为n 阶可逆矩阵，B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵，则1AB = _pij_ _。

11 •设A 为5阶方阵，且|A =-4，则行列式 A A 46a11 a12a135a 〔13a 〔2 a1312如果Da 21 a22 a233，则 D 15a ?1 3a ?2a23=-45a 31a32a3353313a32a33、选择题9、设A4行各元素的代数余子式之和为an a 123H X 113 如果a 21 a 222,线性方程组 a 21X 1是1 X 314 .已知行列式 X 4 0中元素(1,5 6 4Q2X 2 b的解必元素(2,1)的代数余子式A 21的值—O15 .已知A 为5阶方阵，且行列式 5|A| a ，则 |2A| _|2A| 2 a 322X 2b2)的代数余子式A 128an a 12 a 134an 2an 3a 12 a 13 1、如果Da 21 a 22 a 231，则 D 14a 21 2a 21 3a 22 a 23a 31 a 32 a 334a 312a 313a 32a 334、当adbe 时， c;d=( )1 d e1de(A)(B)ad be b aad be b a1d b1d b(C)(D)be < a d eaad be ea5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是( )1 01 0 01 0 0(A)0 0 1(B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 11 0 10 0 40 0 10 1 010 1a11 a12 a13a 113a 31a 〔2 3a32a133a336、若 Pa21 a22 a23=a21a22a[23 ，则a 31a 32a33a31a32a33P =()1 0 01 030 03(A)0 1 0(B)0 1 0 (C)0 1 03 0 10 0 11 01CBA Ea ib(A) 8 (B) 12 (C)24(D)24 2 •设A 为4阶方阵，已知且，则3、设A ,B ,C 是n 阶方阵且ABC 必成立的是 BCAE , E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中(A) )(B) ACB(C) BAC E(D)(A) (B)(C) A A i(D)ii •设，且a ,c 均不为零，则A i(A) (B)i 412(C)(D)i2 .设(A) B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B) r(B) 2AB 0,r(A)(C) r(B)2，则( 2 (D))r(B) 2(a i a 2 b i b 2)(a 3a 4 b s b q )(A) A 2A i(B) Aii2E(C) A -A(D)A i9、设A 、 B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A 和B 的秩(B ) (A) 必有一个等于零(B)都小于n(C) 一个小于n ，—个等于n(D)都等于028、设n 阶方阵A 满足A 2E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有()0，其中 E 为n 阶单位矩阵, io •设n 阶矩阵 A 满足则必有)( A 2 E1 0 0(D) 01 0 03 1a i 0 0 bi0 a 2 b 2 0A7、设A，则 =()0 t h a 3 0 b 4 0 0 a 4(B)a i a 2a 3a 4b 1b 2b 3b 4(C)(a 2a 3 b 2b 3)(a i a 4 bb 4) (D)(A) a i a 2a 3a 4 b]b 2b 3b 4计算题T0 17 T0 14 3AB14 1317 13 103 10法二2 1 A T0 3 1 2 1 4 22 1 AB T B T A T7 2 0 0 3 1 3 11 22、求行列式;X nX x 2x n m1 1 1 1 21(4)1 1n21 12 1 (1 )2 23 1 3 34 245 5 32 0 11、已知 A1 32 1 7 1 B 4 23 求(AB)T。

矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。

1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A nn ij （，分别令Ti X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。

若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A HH H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾) 第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n Tn i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n Tn j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i ji X Y e e H j i 01),~~（故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。

矩阵论B卷及答案上海交通大学

上海交通大学《矩阵论》 B 卷姓名：班级：学号：一、单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）1. 设1()kk A f A k ∞==∑收敛，则A 可以取为A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：A 的特征值为0，-1，而1kk x k∞=∑的收敛区间为[1,1)-2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化3. 设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.214020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.114010061-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.224020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：'()At Ate Ae =，故()'A At t A Ae Aee ====5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 20012002M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦注：B 中矩阵的最小多项式为()22x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1．设220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。

2．已知n nA C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA ∞=∑=［()2AE A - ］。

张跃辉-矩阵理论与应用前第四章答案

A C
B D
可逆并求其逆.
(
解：(1)
A 0
B)−1 C
=
(A−1 0
−A−1BC C −1
−1
)
.
3
(2) 由 13 题可知该分块矩阵可逆. 根据 13 题证明中的下述等式
(
)(
)(
)
I0 −CA−1 I
AB CD
=
A
B
0 D − CA−1B
,
再由本题 (1) 中的结论可知 (以下记 G = D − CA−1B)
设矩阵 )
A
与
A − BC
均可逆,
试用
A, A−1, B, C
表示
(A − BC)−1.(提示:
研究分块
矩阵
AB CI
的逆矩阵.)
(
)(
)( )
证明：记 X = A − BC. 由于
A C
B I
=
A − BC 0
B I
I C
0 I
, 所以
( A C
B)−1 I
=
( I
−C
)( 0 A − BC
I
0
B)−1
17. 求下列各矩阵的满秩分解:
123 0
(1) A = 0 2 1 −1 ;
102 1
1 −1 1 1
(2)
A =
−1 −1
1 −1
−1 1
−1 1
.
1 1 −1 −1
答案：
1
(1) A = 0
1
0 −1 1
(
1 0
2 −2
3 −1
)
0 1
;
1

矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第六章参考答案

证明：直接验证即可. 6. 证明命题 6.1.1. ∑ 证明：直接验证可知 A† A 与 AA† 均为正交投影矩阵. 再设 A = U V ∗ 是 A 的奇异值 ∑ ∑ ∑ ∑ 分解, 则 A† = V † U ∗ , A∗ = V ∗ U ∗ . 由于 † 与 ∗ 的列空间与零空间相同, U, V 可逆, 故 R(A† ) = R(A∗ ), N (A† ) = N (A∗ ). 7. 设 A ∈ Cm×n , 又 U ∈ Cm×m 和 V ∈ Cn×n 均为酉矩阵. 证明 (U AV )† = V ∗ A† U ∗ . ∑ ∗ ∑ ∗ 证明：设 A = P Q 是 A 的奇异值分解, 则 U P Q V 是 U AV 的奇异值分解. 因 ∑ ∑ † 此 (U AV )† = (U P Q∗ V )† = V ∗ (Q P ∗ )U ∗ = V ∗ A† U ∗ . 8. 设 H 为幂等 Hermite 矩阵, 证明 H31. 证明命题 6.4.3. 32. (1) 哪些矩阵的 {1, 2}- 逆等于它的转置矩阵? (2) 哪些矩阵的 {1, 4}- 逆等于它的转置矩阵? 33. 试求一个与书中公式形式不同的计算秩为 1 的矩阵的各种广义逆的公式. 34. 不可逆的方阵可否有可逆的 {1, 2}- 逆或 {1, 3}- 逆或 {1, 4}- 逆? 35. 哪些不可逆的方阵有唯一的 {1, 2}- 逆或 {1, 3}- 逆或 {1, 4}- 逆? 36. 是否存在矩阵其 {1, 2}- 逆或 {1, 3}- 逆或 {1, 4}- 逆不唯一但只有有限个? 37. 设正规矩阵 A 仅有一个非零特征值 λ. (1) 证明 A† = λ−2 A; (2) 试求 A 的 {1, 2}- 逆, {1, 3}- 逆及 {1, 4}- 逆的表达式; −2 1 1 (3) 根据 (1) 与 (2) 计算矩阵 1 −2 1 的各种广义逆. 1 1 −2 38. 设 L, M 是 Cn 的子空间. 证明: (1) PL+M = (PL + PM )(PL + PM )† = (PL + PM )† (PL + PM ); (2) PL∩M = 2PL (PL + PM )† PM = 2PM (PL + PM )† PL . 39. 证明: A† = A(1,4) AA(1,3) . 40. 取 A1 , A2 分别为第 18 题的 (1) 和 (2), 并设 b1 = (1, 1, 0, 1)T , b2 = (1, 1, 2)T . 分别求出方程组 A1 x = b1 和 A2 x = b2 的通解. ) ) ( ( 2 1 2 −1 . 求 Ax = b 的最小范数解. ,b= 41. 设 A = −1 0 −1 0 ) ( ) ( 2 1 2 −1 . 求矛盾方程组 Ax = b 的最小二乘解. ,b= 42. 已知 A = 0 −1 −2 1 43. 证明推论 6.5.1. 44. 确定矩阵方程矩阵方程 AXB = 0 的通解, 并以此证明定理 6.5.6. 1 0 0 1 1 1 0 0 . 45. 设 A = 0 1 1 0 0 0 1 1 (1) 当 b = (1, 1, 1, 1)T 时, 方程组 Ax = b 是否相容? (2) 当 b = (1, 0, 1, 0)T 时, 方程组 Ax = b 是否相容? 若方程组相容, 求其通解和最小范数解; 若方程组不相容, 求其最小范数的最小二乘解. 46. 证明线性方程组 Ax = b 有解 ⇐⇒ AA† b = b. 这里 A ∈ Cm×n , b ∈ Cm . 47. 判断矩阵方程 AXB = C 是否有解, 有解时求其解, 其中

矩阵理论第二版课后答案(苏育才姜翠波张跃辉著) 科学出版社

习题一1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥−⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤⎢⎥−++⎣⎦，故由归纳法知 cos sin sin cos nnx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦。

（2）直接计算得4A E =−，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k rA A A A ==−，即只需算出23,A A 即可。

（3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋱⋱⋱，则，112211111 () n n n nn n n n n n n n nni i n inn i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C aa −−−−−=−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋯⋯⋱⋮⋱0n∑。

2．设1122 (1,0),0 a A P P a A E λλ−⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则由得21112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,不可能。

而由2112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P −，其中P 为任意满秩矩阵，而1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B −⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

注：2A E =−无实解，nA E =的讨论雷同。

3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2n 个未知数时线性方程AX −XA=0有2n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。

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5. 矩阵 A 与其共轭转置 A∗ 的矩阵范数有何联系? 可逆矩阵与其逆矩阵的矩阵范数有何联系? 线性变换与其伴随变换的范数有何联系?
6. 矩阵范数中次乘性的等号何时成立? 是否存在矩阵范数使得次乘性中的等号永远成立? 7. 能否在赋范线性空间中定义合理的角度? 研究 1- 范数和 ∞- 范数的单位圆中的几个角, 它们是直角吗?
2. 试举例说明矩阵 eAeB, eBeA 与 eA+B 可以两两不等. 又, 如果 eAeB = eBeA, 是否有 eAeB = eA+B?
3. 矩阵的勾股定理是否成立, 即是否有 cos 2A + sin 2A = I? 4. 公式 (A(t)2) = 2A(t)A (t) 正确吗?
4. 设 p 是素数, 有限域 F p = Z/pZ 的加法与乘法结构如何? 能否建立 F 2(或 F p) 上的线
性空间 (线性变换) 理论?
5. 实多项式空间 R[x] 与复数域 C 均是 R 上的线性空间, 它们的张量积是什么?
6. 设 V 是线性空间, σ ∈ EndV 是幂零 (幂等, 同构, 等) 变换. 设 U 是 σ 的不变子空间,
+
∂2 ∂z2
是 Laplace 算符.
波动方
程
∂2u ∂t2
=
c2∇2u
的全体解是否构成线性空间?
若
u
与时间
t
无关,
则波动方程变为 Laplace 方
程∇2u = 0. 该方程的全体解是否构成线性空间? 总结之.
4. 试给出基与基向量一个直观的解释.
5. 试给出过渡矩阵的一种直观解释.
1. 将内积的正定性条件去掉将如何? 是否这是无稽之谈? 2. 正交性概念是通常垂直概念的推广. Gram-Schmidt 正交化方法在立体几何中有何解释? 3. 试给出标准正交基的一个直观解释. 4. 由标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵有何特点? 5. 设 F = C 或 R. F 上的 n 元二次型全体是否构成 F 上的线性空间? n 维双线性型全体呢? 6. 试对 F 上的任意 m 维向量 x 与 n 维向量 y, 推广双线性型的概念. 这样的双线性型全体是否构成 F 上的线性空间? 7. 三阶度量矩阵的行列式有何几何解释? 8. 设 (•, •)i, i = 1, 2 是 n 维实线性空间 V 上的两个不同的内积, α, β ∈ V . 是否可
么 A 与 B 是否相似? 如果既交换 1、2 两行，又交换 1、2 两列, 则又如何? 4. 能否有某种办法衡量有相同特征值的矩阵与无相同特征值的矩阵的多少? 你认为哪种
多一些? 5. 能否有某种办法衡量可对角化的矩阵与不可对角化的矩阵的多少? 你认为哪种多一些?
1. 将线性空间的条件 (B4) 即 1 • α = α 改为 1 • α = 2α 将如何?
能 (α, β)1 = 0 但 (α, β)2 = 0 ? 是否可能 (α, α)1 < (β, β)1 但 (α, α)2 > (β, β)2? 一般地, 这两
个内积有何关系?
1
9. 试对 n 维实线性空间 V 上的双线性型讨论上题类似的问题?
第二章矩阵与线性变换
1. 两个子空间的并何时是子空间? 2. 两个向量张成的子空间的几何意义是什么? 3. 两个子空间的交, 并与和的几何意义分别是什么? 4. 实数域 R 作为实线性空间的所有子空间是什么? 作为有理数域上的线性空间呢? 5. 复数域 C 作为实线性空间的所有子空间是什么? 作为复数域上的线性空间呢? 6. 解释 3 阶矩阵 A 的四个子空间的几何意义和相互位置关系. 7. 设 F = C 或 R. 则 F 上的 n 元二次型全体构成 F 上的线性空间 (第一章第五节思考题 5 ). 全体半正定二次型是否是该线性空间的子空间? 全体不定二次型呢?
1. 试用正交分解理论解释勾股定理. 2. 试利用正交分解理论在空间中建立关于面积的勾股定理. 能否建立更高维的勾股定理? 3. 最优解何时唯一? 4. 如果在 R3 中定义“广义内积”(x, y) = x1y1 + x2y2 − x3y3, 则正交性有何变化? 是否存在非零向量 x 与自己正交?
1. 设矩阵 A ∈ Mn(Q), 且 A 的特征值均属于 Q. 是否存在可逆矩阵 P ∈ Mn(Q) 使
得 P −1AP 为 Jor(dan 标准形)? 将 Q 换成 Z 又如何?
2. 分块矩阵
AB BA
的 Jordan 标准形与 A, B 的 Jordan 标准形有何关系? 特征值有何
联系? 特别讨论 A = 0 与 A = B 的情形. 3. 仿照幂零矩阵相似的判别准则给出两个同阶矩阵相似的判别准则. 是否能够判断该准则
1. 试讨论非正规矩阵的谱分解的几何意义. 2. 设单纯矩阵 A 仅有一个非零特征值 λ, 则 A 的谱分解是什么? 3. 两个 n 阶矩阵 A 与 B 何时满足条件 AB = BA = 0? 4. 研究单纯矩阵的谱分解, 说明为什么不定义非单纯矩阵的谱分解.
3
1. 如果一个矩阵有 LU 分解, 它是否一定有 U L(即上三角在左, 下三角在右) 分解? 2. 设一个矩阵既有 LU 分解也有 U L 分解, 试比较正定矩阵的这两种分解在计算上的差异? 3. 半正定矩阵有无类似的 Cholesky 分解? 负定矩阵和不定矩阵呢? 4. 如果去掉对角元素均为正的条件, 正定矩阵的 Cholesky 分解是否具有唯一性? 5. 可逆矩阵未必有三角分解. 能否设计一种方法以比较有三角分解的可逆矩阵与没有三角分解的可逆矩阵的数量?
2. 线性空间的定义实际上没有用到每个非零元素均有逆元这个条件. 如何改造线性空间的
定义, 使其包括更多的系统, 比如包括通常加法和乘法下的整数集合 (去掉数域 F 中每个非零
元素均有逆元的条件将得到数环的概念)?
3. 设
u
=
u(x, y, z, t)
是未知函数,
c是常数,∇2 Nhomakorabea=
∂2 ∂x2
+
∂2 ∂y2
1. 设
Ui, Vj, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j
≤m
是线性空间.
描述
∑n Hom( ⊕Ui,
∑m ⊕Vi)
中的元素的
i=1
j=1
结构, 并以此给出分块矩阵的一个几何解释.
2
2.
√ Q( 2)
是有理数域上的 2 维线性空间.
它与
Q
及自身的张量积
(空间)
分别是什么?
3. 复数域 C 是实数域 R 上的 2 维线性空间. 商空间 C/R 是什么?
1. 若
lim
n→∞
AnBn
存在,
是否
lim
n→∞
An,
lim
n→∞
Bn
一定存在?
为什么?
2. 设 A, B 均幂收敛, A + B, AB 幂收敛吗?
1. eAeB = eBeA 成立的可能性有多大? 更一般地, 设 f (x) 是一个幂级数, 则 f (A)f (B) = f (B)f (A) 成立的可能性如何? 一般地, 如何比较与 A 可交换的矩阵的数量 (当然是无穷多个) 和与 A 不可交换的矩阵的数量?
设 σ¯ 是由 σ 诱导的 V /U 上的商变换, 问 σ¯ 是否也是幂零 (幂等, 同构, 等) 变换?
第三章矩阵的 Jordan 标准形
1. 实数域上的 Schur 三角化定理成立吗, 即每个实方阵是否可以正交三角化? 2. 是否每个矩阵都可以分块酉三角化, 即分块 Schur 三角化定理中的可逆矩阵是否可以加强为酉矩阵? 3. 设 A, B 为同阶方阵, 则由降幂公式知 AB 与 BA 有相同的特征多项式, 它们是否相似? 4. 特征多项式与最小多项式的商多项式有何意义? 5. 如果一个线性变换 σ 的特征值的模均小于 1, σ 有何特点? 6. 如果一个线性变换 σ 有一组正交的特征向量, σ 有何特点?
2. 初等变换的几何意义是什么? 3. 试给出满秩分解的一种直观意义.
1. 矩阵的特征向量和特征值有何直观意义? 2. 交换矩阵 A 的两行对其特征值与特征向量有何影响? 交换两列呢? 试总结之. 3. 如果同时交换矩阵 A 与 B 的相同两行 (比如同时交换第 1、2 行), 所得的矩阵相似, 那
第五章矩阵函数及其微积分
1. 在 R2 中, 中心在原点的非等边矩形是否可以是单位圆? 中心在原点的正三角形与双曲线呢?
2. 三角不等式中的等号何时成立? 是否存在范数使得三角不等式总是等式? 3. 两个范数的乘积是否仍是范数? (和的情形见习题 18.)
4. 内积可以诱导范数. 哪些 p- 范数可以诱导内积, 即定义 (x − y, x − y) = ||x − y||2? 哪些不能?
为直线? 空间 (即 R3) 中的线性变换能否将平面变为直线? 能否将抛物线变为直线或者椭圆? 3. 如何建立空间中的过原点的直线和平面上的过原点的直线之间的同构映射? 4. 试利用线性变换的观点解释矩阵的等价. 5. 以线性变换的观点解释列满秩与行满秩矩阵以及矩阵的满秩分解. 6. 设 V 是 1 维线性空间, 则 EndV 与 AutV 是什么? 特别, 什么是 EndR, AutR, EndC, AutC? 7. 有限维线性空间上的单线性变换就是满线性变换, 此结论对无限维线性空间成立吗? 8. 同构 R ∼= R∗ 与 R3 ∼= (R3)∗ 有何自然含义? 9. 设 V 是空间中满足 x + y + z = 0 的子空间, V 的对偶空间是什么?
与幂零矩阵相似的判别准则哪个更有意义?
1. 两个矩阵的和与积的 Jordan 标准形是否等于它们的 Jordan 标准形的和与积? 2. 如果 P 与 Q 均为 Jordan 标准形中的变换矩阵, 它们之间有何关系?