数学建模培训

• 问题2： 石油总是越用越少。人们总是想 要了解油耗怎样随车速变化而变化。 • 当以低速率行驶时，汽油转换成能量的 效率不高；当以高速行驶时，作用在汽 车上的阻力会迅速增加。 • 似乎，存在一个或多个速率，当汽车以 该速率行驶时，一升汽油能够行驶的距 离最大。 • 识别问题：“速率”与“一升汽油能够 行驶的距离”的关系。
司机的反映 距离(英尺) 22 28 33 39 44 50 55 61 66 77
刹车距离(英尺) 18-22 25-31 36-45 47-58 64-80 82-103 105-131 132-165 162-202 237-295 20 28 40.5 52.5 72 92.5 118 148.5 182 266
0 2
0 23 0 7
1 8
1 48 1 15
2 24
2 73 2 33
3 56
3 98 3 61
4
5
6
7
110 192 308 464
4 5 6 7
123 148 173 198 4 99 5 6 7
147 205 173
今天的内容——迭代
• 例1：某人一开始存有1000美元，每月利 率为1%，该人既不再存款亦不再取款， n个月后1000美元积累成多少美元？
现实世界中的例子：
• 高速路上，车与车之间的安全距离。 • 在高速路上，车间距离通常满足这样的 准则：后车行驶到前车当前位置大概需 要两秒，请问该法则是否是一个好的法 则？ • 识别问题：我们想知道的是车速为v时， 两车间安全的刹车距离为多少？
速率（英 里/小时） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70
例子：丹麦天文学家布拉赫的发现
布拉赫耗费了毕生的精力收集了六大行星绕太阳公 转的周期p(单位：年)，以及行星轨道的半径长a （天文单位）,见下表： 行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星
a
p
0.383 0.723 1
0.241 0.616 1
1.524 5.203 9.539
1.881 11.86 29.45
• [摘要] • 摘要是一篇论文能否在众多论文中脱颖而出的 关键，好的摘要必须清楚的描述解决问题的方 法和显著的表达论文中最重要的结论。 • [问题的分析] • 分析问题，简述要解决此问题需要哪些条件和 大体的解决途径 • [模型假设] • 一个模型建的好与否，很大程度上取决于其 假设做的好不好。过烦的假设接近实际，但不 宜或者无法求解，过简的假设对实际的指导意 义又不够。总之，应当尽量合理。
利用比例性进行建模
• 定义：Y与X成比例，记为Y∝ X;
• • • • • • •
历史上著名的比例性： 虎克定律； 牛二定律； 欧姆定律； 波义尔定律； 爱因斯坦的相对论； 开普勒第三定律。
Βιβλιοθήκη Baidu
比例性建模例题：
• 问题1：考虑从不动的云层落下的雨滴的 终极速度。 • 识别问题：雨滴的终极速度和哪个变量 有关。
周期性让位于混沌。
横轴表示k的取值，纵轴表示迭代10000次后人口的数量
数学建模论文结构
1.论文题目； 2.摘要(此部分很重要)； 3.问题重述（若题目繁杂可简要叙述）； 4.基本假设（内容成败的关键）； 5.符号说明； 6.模型的分析、建立和求解(论文主要部分); 7.模型的推广、改进、评价等等； 8.参考文献；
长度
14.5 12.5 17.3 14.5 12.6 17.8 14.1 12.6
腰围
重量
9.8
27
8.4
17
11
41
9.8
26
8.5
17
12.5 9
49 23
8.5
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关于数据的处理
• 识别问题，确定了因变量y、自变量x， 并收集数据后，经常遇到y与x并不成线 性。 • 我们一直在研究y ∝x这样的模型，如果y 与x不成线性，该怎么办呢？
• 5一个人能跳多远？在1968年墨西哥城举 行的奥运会上，美国人比蒙把世界纪录 提高了10%，该纪录一直保持到1996年 奥运会。列出影响跳远距离的变量。
• 6 一家运输公司正在考虑用直升飞机在纽 约市摩天大楼之间运送人员。你被聘为 顾问确定所需直升飞机的数量。识别该 问题，运用模型构建的过程确定并收集 你所需要的数据。
数学建模竞赛主要用到的知识
• 1.微分方程等数学经典思想建模； • 2.概率统计建模，曲线拟合、假设检验等 经典概率统计思想； • 3.线性规划（运筹学）建模（主要用 Lingo软件来解决）。
2001年全国大学生数学建模竞赛题目
答卷用A4纸，论文题目和摘要写在第一页上，不能有其他任何标志。 从今年起，将提高摘要在整篇论文评阅中所占的权重。 全部题目（包括数据）可以从以下网址下载： www.csiam.edu.cn/mcm www.scicomput.com www.163.com网易教育频道
练习：归纳出问题，找出影响该问题的变量，有 些变量可以忽略，有些则不可以。
• 1 如何才能节约我们的一部分收入？ • 2 一位植物学家有兴趣研究叶子以及影响 叶子长成这种形状的各种支配力量。她 从白橡树底部剪下几片叶子，发现叶子 相当宽没有明显的锯齿形，但顶部的叶 子有明显的锯齿形，而且也不宽了。
1 .a n 1 a n 2, a1 1
2 .a n 1 a n 2, a1 1
3.a n 1 a n 3.2, a1 1.3
4 .a n 1 3 a n 4, a1 5
• 题目1.目前地球生存着60亿人，如果人类 像中国一样实行计划生育：一对夫妇生 一个孩子，那么理想中的下一代人数为 30亿，两个变一个。 • 题目2. 已知某城市2007-2009年每月接待 海内外游客人数如下表所示。请根据该 历史数据，建立预测模型并预测2010年 的每月游客人数。思考你的模型能否预 测上海世博会的游客人数。
• 问题3： • 关于钓鱼比赛。钓鱼比赛是根据钓到的 鱼的总重量来分出名次的。 • 出于保护的目的，垂钓俱乐部希望其会 员在钓到鱼后立即将鱼放生，那么怎么 确定钓到的鱼的重量呢？让海钓者在摇 晃的船中用秤来测量鱼的重量，这并不 很精确。 • 识别问题：根据某个容易测量的量来预 测鱼的重量。
长度 14.5 12.5 17.6 14.5 12.6 17.8 14.1 12.6 (英寸) 重量 27 17 41 26 17 49 23 16 (盎司)
爱因斯坦说：“想象力比知识重要。” 有想象力的人才能进行创造性劳动。想象力 和知识是天敌。人在获得知识的过程中，想 象力会消失。因为知识符合逻辑，而想象力 无章可循。 知识的本质是科学，想象力的特征是荒诞。
• 人的大脑一山不容二虎：在学龄前，想 象力独占鳌头，脑子被想象力占据。上 学后，大多数人的想象力将被知识驱逐 出境，成为知识渊博但丧失想象力终身 只能重复前人发现的知识的人。
• 3 不同大小的动物其特征也全然不同。小 动物比大动物叫声尖细，心跳较快且呼 吸次数多。另一方面，较大的动物的骨 骼比小动物的骨骼更为强健。较大动物 的直径和体长之比大于小动物的。 • 所以，当体格从小到大增加时，存在着 以 和动物尺寸的比例相应的规则的变化。
• 4 一位物理学家要研究光的性质。他想了 解光线从空气进入平滑的湖中，特别是 两种不同介质的交界处，光线的路径。
线性规划问题： 某房地产公司有水泥100个单位，木 材160个单位，玻璃400个单位，用来建 A,B两种建筑。建A需要水泥，木材，玻 璃各1，2，2个单位，售价100万；建B需 要水泥，木材，玻璃各1，1，5个单位， 售价150万。为获得最大利润，该公司应 该如何安排原料。
线性规划问题深入：
• 某公司有六个建筑工地要开工，工地位置和各工地水泥 用量，如下表所示，公司目前有两个临时存放水泥的料 场，坐标位置：A（5，1），B（2，7），日存储量各 20吨。试调度料场水泥的运输过程，使总的运输 （吨· 公里）数最优。如果放弃料场，应在何处建立料 场使运输成本最经济。
• 很少有人能让知识和想象力在自己的大 脑里共存，一旦共存，此人就是能进行 创造性劳动的成功人士了。在孩子童年 时，让其晚接触知识，有利于想象力在 孩子的大脑里安营扎寨，倘若孩子成为 想象力和知识并存的人，您就能给大师 当爹当娘了。
什么是数学建模
——数学建模的具体过程
两个世界
• 现实世界
观察到的行为或现象
• B题 公交车调度 • 公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公 交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民 出行状况、提高公交公司的经济和社会效益， 都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公 交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城 市某条公交线路的客流调查和运营资料(下略)
最初的想法：
• 建立目标：乘客满意度，公交公司满意度； • 这两个目标相互冲突； • 如何建立指标来描述两个满意度——想到了 排队论；同时在网上搜到了一篇专门讨论公 交车调度的论文；还想到了“大站快车”等 概念； • 编程模拟公交车营运过程：找到使“乘客满 意度，公交公司满意度”最大的调度方案。
数学世界
数学运算以及规则
在此基础上建立数学模型
数学结论
获取现实世界中某种行为的结论
现实世界的行为 验 证 观察后得到模型
现实世界的结论
解释
分析模型后，得 出结论
数学建模的具体步骤
• 1 识别问题； • 通常这是最困难的一步。现实生活中，没有人 会问你“1+1”等于几，你必须从大量的数据和 经验中搜索归纳出问题。 • 2 做出假设； • 识别问题后，接着要考虑什么事情影响了该问 题，把这些事情作为变量列出来，找出这些变 量的关系，自然地，模型也就建立出来了。 • 3 建立模型； • 4 验证模型；
2006年建模竞赛试题（艾滋病疗效） • 人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入 侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而 裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速 增加，导致AIDS发作。 • 目前有4种疗法治疗艾滋病 ，利用“附件” 的数据，预测继续治疗的效果，或者确 定最佳治疗终止时间 ，并评价4种疗法的 优劣。
关于第一题
对于取值不太大的k，通过多次迭代 发现不管初始值如何，最后结果总是稳 定的，而且稳定状态不依赖于初始值。 但当k超过3时，情况发生了变化， 稳定状态变为两个数值。 继续增大k到3.444…时，周期2的稳 定状态也不再出现，出现周期4循环。
关于第一题
当增大到3.56，周期又加倍到8； 到3.567，周期达到16，此后便是更 快速的32，64，128…周期倍增数列。 这种倍周期分岔速度如此之快， 以至到3.5699…就结束了，倍周期分 岔现象突然中断：
• 例2：“地高辛”是一种用来治疗心脏病的药。 医生对某位病人给出的处方：每日服用0.1毫克 的“地高辛”。此外，“地高辛”每日在人体 中有一半会代谢掉。请问，第n天病人体内残留 多少“地高辛”。
定 义 ： 当 a 1 a 时 ， 如 果 对 所 有 的 n 1 ，，， 有 a n a ， 2 3 4....
则 将 a 称 为 迭 代 式 a n + 1 f (a n )的 平 衡 点 。
• 例3：年金常常是为退休目的而规划的， 年金可以对现有的存款给付利息，而且 允许每月有固定的提款。考虑，月利率 为1%及月提款额1000美元的情形，给出 每月的剩余存款的迭代公式。
练习：如果有平衡点，求出平衡点并按稳定与不 稳定进行分类，并求出下面四个式子的通项公式。
2007年建模竞赛试题（中国人口预测）
• 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展 的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方 法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 • 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如， 老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡 村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参 考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新 的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对 中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要 指出你们模型中的优点与不足之处。
练习问题：
• 下表是美国一位老渔夫的打鱼收成。拟和数据之 间的关系，体会经验拟和的方法。
年份(年) 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 打鱼收成 15 （万磅） 25 27.5 27 28 29 65
构造均差表，得出结论。哪个可以用低阶多项式拟和？
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