插值与拟合实验报告
实验2插值与拟合
数值分析实验报告实验2 插值与拟合2.1 实验目的掌握牛顿插值法的基本思路和步骤；掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤。
培养编程与上机调试能力。
2.2 算法描述2.2.1 牛顿插值法基本思路给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =构造牛顿插值多项式)(u N n 。
输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。
2.2.2 牛顿插值法计算步骤1. 输入n 值及（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =；要计算的函数点x 。
2. 对给定的,x 由[][][]00010101201101()()(),()(),,()()(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++--- 计算()n N x 的值。
3. 输出()n N x 。
2.2.3 最小二乘法基本思路已知数据对()(),1,2,,j j x y j n = ，求多项式0()()m ii i p x a x m n ==<∑使得20110(,,,)n m in i j j j i a a a a x y ==⎛⎫Φ=- ⎪⎝⎭∑∑ 为最小，这就是一个最小二乘问题。
2.2.4 最小二乘法计算步骤用线性函数()p x a bx =+为例，拟合给定数据(),,1,2,,i i x y i m = 。
算法描述：步骤1：输入m 值，及(),,1,2,,i i x y i m = 。
步骤2：建立法方程组TA AX AY =。
步骤3：解法方程组。
步骤4：输出()p x a bx =+。
2.3 实验内容1. 给定sin110.190809,sin120.207912,sin130.22491,o o o ===构造牛顿插值函数计算'sin1130o 。
实验二：插值与拟合
实验二：插值与拟合
实验目的：
1. 掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2. 掌握用MATLAB 作线性最小二乘的方法。
3. 通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意两者的联系与区别。
实验要求：
1. 编制计算拉格朗日插值的m 文件。
2. 练习interp1与interp2使用方法。
3. 通过实例，对三种插值结果进行比较。
4. 最小二乘拟合进行参数估计，并作图进行比较。
实验内容:
1. 选择一些函数，在n 个节点上（n 不要太大，如，5-11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50-100），通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较，通过增加n ，再作比较，由此作初步分析。
(1)π20,sin ≤≤=x x y (2)11,)1(2
1
2≤≤--=x x y (3)22,cos 10≤≤-=x x y (4)22),exp(2≤≤--=x x y
2. 用给定的多项式，如35623-+-=x x x y ，产生一组数据（x i ，y i ，
i=1,2,…,n），再在y i上添加随机干扰（可用rand产生），然后用x i 和添加了随机干扰的y i作3次多项式拟合，与原系数比较，如果作2或4次多项式拟合，结果如何？
3.在化工生产中，常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导
热系数K，下面是实验得到的一组数据：
试求T=99和P=10.3下的K。
学生 实验一 拟合与插值
实验一拟合和插值教学目的１.了解最小二乘法的原理.２.通过实例的学习,懂得如何用拟合和插值的方法解决实际的问题,并能注意它们的联系与区别,会用Matlab来求解教学内容１.拟合与插值的原理及简单分类．２.相应问题的实例建模及用软件求解的实现．３.练习与上机实验的内容．插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
拟合：Zj2.m课堂练习与作业：1， 所有例题上机实现；P9 1.5 上机实现 2.4. 用下列数据拟合函数112223sin()k x y e k x x -=+中的参数12,k k 。
数据序号 y/kg x1/cm2 x2 x3 1 15.02 23.73 5.49 1.21 1415.94 23.52 5.18 1.98 2 12.62 22.34 4.32 1.35 15 14.33 21.86 4.86 1.59 3 14.86 28.84 5.04 1.92 16 15.11 28.95 5.18 1.37 4 13.98 27.67 4.72 1.49 17 13.81 24.53 4.88 1.39 5 15.91 20.83 5.35 1.56 18 15.58 27.65 5.02 1.66 6 12.47 22.27 4.27 1.50 19 15.85 27.29 5.55 1.70 7 15.80 27.57 5.25 1.85 20 15.28 29.07 5.26 1.82 8 14.32 28.01 4.62 1.51 21 16.40 32.47 5.18 1.75 9 13.76 24.79 4.42 1.4622 15.02 29.65 5.08 1.7010 15.18 28.96 5.30 1.66 23 15.73 22.11 4.90 1.8111 14.20 25.77 4.87 1.64 24 14.75 22.43 4.65 1.8212 17.07 23.17 5.80 1.90 25 14.35 20.04 5.08 1.5313 15.40 28.57 5.22 1.665. p163 5.6 结合上课ppt（数学建模实例：人口预报问题）。
第七讲 插值与拟合实验
y i = f ( xi ) 。插值函数一般是已知函数的线性组合或称为加权平均。用代数多项式作为插
值函数的插值法称为多项式插值，相应的多项式称为插值多项式。 插值和拟合是函数逼近的简单但又十分重要的方法。 插值法可以导出数值微分、 数值积 分和微分方程数值解等多方面的计算方法， 是数值分析的基本课题。 同时插值和拟合在工程 实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。 本实验将主要研究几种基本的插值方法（如 Lagrange 插值、分段线性插值、三次样条 插值等）和数据的最小二乘拟合方法。要求学会 Mathematica 提供的插值函数和拟合函数的 使用方法，会用这些函数解决实际问题。
基函数。容易证明
⎧1 li ( x j ) = δ ij = ⎨ ⎩0
i= j , i, j = 0,1& Ln ( xi ) = y i , i = 0,1, " , n 。 还可以从其他角度出发，构造出插值多项式，如牛顿(Newton)插值公式。 Lagrange 插值法最大的优点是函数具有很好的解析性质（无穷次可微） ，但是它也存在 固有的缺点：可能出现严重的振荡现象，并且多项式函数的系数依赖于观测数据。 例 1 考虑函数
3、 三次样条插值 在工程设计和机械加工等实际问题中，要求插值函数有较高的光滑度。在数学上，光滑 程度的定量描述是：函数（曲线）的 k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k 阶光滑性。自 然，光滑性阶数越高其曲线光滑程度就越好。而上面介绍的分段线性插值，只具有零阶光滑 性，也就是不光滑的。虽然，提高分段函数如多项式函数的次数，可以提高整体曲线的光滑 程度， 但是， 是否存在较低次多项式达到较高光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的 例子。 样条曲线本身就来源于飞机、船舶等外形曲线设计问题。在工程实际中，要求此类曲线 应该具有连续的曲率，即连续的二阶导数。人们普遍使用的样条曲线是分段三次多项式。 定义 设 在 区 间 [a,b] 上 给 定 一 组 节 点 a = x 0 < x1 < " < x n = b 上 的 函 数 值
实验三 插值法和拟合实验
第 3 页 共 9 页
x1=-5:1:5; y=5./(1+x1.^2); [C,L]=lagran(x1,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on plot(xx,yy,'k*',x1,y,'o')
%描绘 lagran 函数插值图像以及插值点
[C,D]=newpoly(x1,y) x2=-5:0.01:5; y2=polyval(C,x2); plot(x2,y2,'r:') %作牛顿插值图像 x0=-5:0.05:5; y1=interp1(x1,y,x0,'linear');%求分段线性插值函数在 x0 上的值 plot(x0,y1,'-'); grid on x=-5:1:5; y=5./(1+x.^2); dx0=0.0739645; dxn=-0.0739645; S=csfit(x,y,dx0,dxn) x1=-5:0.01:-4;y1=polyval(S(1,:),x1-x(1)); x2=-4:0.01:-3;y2=polyval(S(2,:),x2-x(2)); x3=-3:0.01:-2;y3=polyval(S(3,:),x3-x(3)); x4=-2:0.01:-1;y4=polyval(S(4,:),x4-x(4)); x5=-1:0.01:-0;y5=polyval(S(5,:),x5-x(5)); x6=0:0.01:1;y6=polyval(S(6,:),x6-x(6)); x7=1:0.01:2;y7=polyval(S(7,:),x7-x(7)); x8=2:0.01:3;y8=polyval(S(8,:),x8-x(8)); x9=3:0.01:4;y9=polyval(S(9,:),x9-x(9)); x10=4:0.01:5;y10=polyval(S(10,:),x10-x(10)); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x,y,'.') %作三次样条插值图像 grid on 2.估计某地居民的用水速度和每天的总用水量. function [a,b]=csd(X1,Y1) %最小二乘法 xmean=mean(X1) ymean=mean(Y1) sumx2=(X1-xmean)*(X1-xmean)'; sumxy=(Y1-ymean)*(X1-xmean)'; a=sumxy/sumx2 b=ymean-a*xmean
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
matlab实验报告 插值和拟合
建模中数据处理和分析班级 学号 姓名 实验地点 完成日期 成绩（一）实验目的与要求应用matlab 处理数据并分析，主要学会并熟练掌握数据拟合和插值。
（二）实验内容1. 用下面一组数据拟合ktbea t c 02.0)(-+=中的参数a ，b ，k2.在某山区测得一些地点的高程如下表。
平面区域为 1200<=x<=4000,1200<=y<=3600) 试作出该山区的地貌图X Y 120016002000240028003200360040001200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 36001480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980（三）实验具体步骤 实验1要先建立一个M 文件，文件中代码如下： function F=myfun(x,xdata) F=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*xdata) 接下来在command window 中输入如下代码： Clc Clearxdata=[100:100:1000];ydata=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]/1000; x0=[0.2 0.05 0.05];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata) 接着MATLAB 会进行若干次运算，并给出结果：所以拟合的结果是a=0.0063，b=-0.0034，c=0.2542 然后，我们作图看看拟合的结果，输入代码plot(xdata,0.0063-0.0034*exp(-0.02*0.2542*xdata),xdata,ydata,'o') 得到图像如下：实验二建立一个m 文件，在其中输入代码如下： x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;100200300400500600700800900100044.555.566.57x 10-3temps=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];mesh(x,y,temps)xi=1200:30:4000;yi=1200:30:3600;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)meshz(xi,yi,zi)colordef black运行后打开图形窗口的属性设置对话框，对背景，颜色等属性进行设置，得到下图：（四）实验结果实验中顺利得到拟合结果以及一个三维图像，虽然过程艰辛，但结果十分美好。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
实验1—插值与拟合
《计算方法》实验报告二级学院：计算机学院专业：指导教师：班级学号：姓名：实验一 插值与拟合1、 实验目的：① 通过编程和插值与拟合中的某种具体算法解决具体问题，更深一步的体会 计算方法这门课的重要性，并加深对插值与拟合公式某种具体算法的理解。
② 熟悉编程环境。
2、实验要求:实现插值与拟合中的某种具体算法编写并执行 3、实验内容：1)用牛顿法求解01553=-x 的根，取初始值为10。
2)用弦截法求解数学方程。
x*x*x-x-1=0 ,x=[1,1.5] 4、题目： 插值与拟合5、原理：（1）用牛顿法求01553=-x 的根的原理：牛顿迭代法是以微分为基础的，由于曲线不规则，微分就是用直线代替曲线, 牛顿迭代法是取x0之后，找比x0更近的方程的根，多次迭代后，找更近似 的根。
（2）用弦截法求解 x*x*x-x-1=0设x0,x1是f(x)=0的近似值，利用f(x0),f(x1)构造一次插值多项式f1,并用f1 =0作为f(x)=0的新的近似根。
其几何意义：依次用弦线代替曲线，用线性函 数的零点作为函数零点的近似值。
6、设计思想：（1）用牛顿法求01553=-x 的根的思想：用直线代替曲线,用线性函 数的零点作为函数零点的近似值。
（2）用弦截法求根思想：依次用弦线代替曲线，用线性函 数的零点作为函数零点的近似值。
7、对应程序：用牛顿法求解01553=-x 的根，取初始值为10。
#include<stdio.h> #include<math.h> void main(void) {float x0=10;float f0=x0*x0*x0-155; float f1=3*x0*x0; float x1=x0-f0/f1; while(fabs(x0-x1)>1e-6) {x0=x1;f0=x0*x0*x0-155; x1=x0-f0/f1;}printf("%.3f\n",x1); }弦截法求根 x*x*x-x-1=0 ,x=[1,1.5] #include<stdio.h> #include<math.h> void main(void) {float x0=1.5; float x1=1;float f0=x0*x0*x0-x0-1; float f1=x1*x1*x1-x1-1;float x=x0-(x1-x0)/(f1-f0)*f0; while(fabs(x-x1)>1e-6) {x1=x;f1=x1*x1*x1-x1-1;x=x0-(x1-x0)/(f1-f0)*f0; }printf("%.3f\n",x); }8、实验结果：01553=-x 的根是5.372 x*x*x-x-1=0 ,的根是 1.325 9、图形10、实验体会：通过编程，切身感到计算方法这门课绝不仅仅是数学，是图形的观察和实际计算方法的应用，从而解决一些复杂的数值问题。
插值与曲线拟合实验报告
插值与曲线拟合实验报告实验目的：1. 了解插值和曲线拟合的原理和方法；2. 掌握梯形公式的应用；3. 掌握拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式的构造方法；4. 掌握用MATLAB进行数据拟合的方法。
实验仪器：1. 计算机；2. MATLAB软件。
实验原理：插值：给定一组数据点，插值就是在这些数据点之间插入某些值，以尽量接近原函数的方式得到一个新的函数。
插值方法有很多种，其中比较常用的是拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式：以一种通用的方式构造多项式，使其通过给定的一组数据点。
构造方法是依据n个数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)构造n-1次函数L(x)，使得L(xi)=yi且有L(xj)=0（j不等于i）。
该多项式的形式为：L(x)=y1*L1(x)+y2*L2(x)+…+yn*Ln(x)其中，Lk(x)的构造方法是：Lk(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) /(xk-x1)(xk-x2)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(xk-xn)牛顿插值多项式：采用递推公式构造，其形式为：其中，f(x0,x1)表示在x0和x1之间的斜率，f(x0,x1,x2)表示在x0、x1和x2之间的曲率，以此类推。
曲线拟合：给定一组数据点，拟合就是寻找一个函数或者曲线，以最优化的方式拟合这些数据点，从而对未知的数据点进行预测。
拟合方法有很多种，其中比较常用的是线性方程、最小二乘法和多项式拟合。
最小二乘法：使用这种方法时，需要有一个数学模型，以此作为拟合函数。
当给定输入-输出数据时，使用最小二乘法以最小化误差平方和的方式来确定函数中未知的参数。
在MATLAB中使用polyfit函数实现多项式拟合。
实验结果：选择数据点如下：x = [1,2,3,4,5];y = [0.7652, 0.6347, 0.4496, 0.2499, 0.0621];使用梯形公式计算插值结果为 0.3865；使用拉格朗日插值多项式计算插值结果为 0.3865；使用牛顿插值多项式计算插值结果为 0.3865。
MATLAB插值与拟合实验报告
word格式文档MATLAB实验报告题目：第二次实验报告学生姓名：学院：专业班级：学号：年月MATLAB第二次实验报告————插值与拟合插值即在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
一、插值<1>拉格朗日插值（课上例子）m=101;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5),gtext('y=1/(1+x^2)'),pausen=3;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y1=fLagrange(x0,y0,x);hold on,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause,hold offn=5;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y2=fLagrange(x0,y0,x);hold on,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause, hold offn=7;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y3=fLagrange(x0,y0,x);hold on,plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'),pause,hold offn=9;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y4=fLagrange(x0,y0,x);hold on,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,hold offn=11;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.^2);y5=fLagrange(x0,y0,x);hold on,plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')运行后得<2>拉格朗日插值（课下修改）function yh=lagrange (x,y,xh)n = length(x);m = length(xh);yh = zeros(1,m);c1 = ones(n-1,1);c2 = ones(1,m);for i=1:nxp = x([1:i-1 i+1:n]);yh = yh + y(i)*prod((c1*xh-xp'*c2)./(x(i)-xp'*c2)); end输入x=[1 2 3 4 5 6]y=[13 21 34 6 108 217]xh=3.2lagrange(x,y,xh)运行后得x =1 2 3 4 5 6y =13 21 34 6 108 217xh =3.2000ans =26.0951二、拟合<1>课上实例一种新药用于临床之前，必须设计给药方案药物进入机体后通过血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度．一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的．快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降．当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强．临床上，每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2．设计给药方案时，要使血药浓度保持在c1~c2之间．本题设c1=10ug/ml，c2=25ug/ml.要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律．从实验和理论两方面着手：在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(h)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:模型假设1.机体看作一个房室，室内血药浓度均匀——一室模型2.药物排除速率与血药浓度成正比，比例系数 k(>0)3.血液容积v, t=0注射剂量d, 血药浓度立即为d/v. 模型建立在此，d=300mg ，t 及c （t ）在某些点处的值见前表，需经拟合求出参数k 、v. 用线性最小二乘拟合c (t )程序： d=300;t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8];3 (0)/c d ν=由假设得：d 2-d ckc t=由假设得：()e ktd c t v -⎫⇒=⎬⎭c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c); a=polyfit(t,y,1) k=-a(1) v=d/exp(a(2)) 运行得 c1 =-0.0785 1.3586 -22.1079 967.7356 a1 =-0.2356 2.7173 -22.1079计算得三、实验感受本次实验，我们主要学习了插值和拟合这两个在实际应用中十分广泛的建模方法，同时，它们也是我们学习数学建模的基础。
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。
不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。
(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。
数值分析实验插值与拟合
数值分析实验插值与拟合插值是指根据已知的数据点，通过其中一种数学方法来构造一个函数，使得该函数在已知的数据点上与被插值函数相等。
插值方法可以分为两类：基于多项式的插值和非多项式插值。
基于多项式的插值方法中，最常用的是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值方法通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的所有点。
牛顿插值方法则通过一个n次多项式来逼近被插值函数，该多项式通过n个已知数据点中的前m+1个点。
非多项式插值方法中，最常用的是分段线性插值和样条插值。
分段线性插值方法将插值区间划分为多个小段，在每一段内使用线性函数来逼近被插值函数。
样条插值方法则使用分段低阶多项式来逼近被插值函数，保证了插值函数和原函数在插值区间内的连续性、光滑性。
拟合是指在给定的离散数据点集合上，通过选取一个函数，使得该函数与数据点之间的误差最小化。
拟合方法可以分为两类：线性拟合和非线性拟合。
线性拟合方法中，最简单的是最小二乘法。
最小二乘法拟合是通过最小化观测数据与拟合函数的残差平方和来选择最佳函数参数。
在实验中，最小二乘法常用于线性回归问题，例如估计一个直线或者平面来拟合数据。
非线性拟合方法中，最常用的是非线性最小二乘法和局部加权回归。
非线性最小二乘法通过将非线性拟合问题转化为线性问题，使用最小二乘法来寻找最佳参数。
局部加权回归方法则通过给予不同数据点不同的权重，以更好地逼近数据点。
在数值分析实验中，插值与拟合可以应用于各种实际问题。
例如，在地理信息系统中，通过已知的地理坐标点来插值出未知点的地理信息。
在气象学中，通过已知的气象数据点来插值出未知点的气象信息。
在工程学中，通过已知的测量数据点来拟合出一个最佳的拟合函数来预测未来的测量值。
需要注意的是，插值和拟合的精度在很大程度上取决于数据的分布和拟合函数的选择。
如果数据点过于稀疏或者数据点中存在异常值，可能导致插值和拟合结果不准确。
因此，在进行插值和拟合之前，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、平滑数据等。
实验报告—拟合与插值
实验报告七拟合与插值一、曲线拟合1、多项式拟合【示例】以下步骤可对二维数据作多项式拟合。
已知：数据横坐标：a=[1 2 5 7 11 12];数据纵坐标：b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];【解】先将数据绘制成散点图：a=[1 2 5 7 11 12]; b=[ 32.78 32.65 27.25 25.55 19.24 14.65];plot(a,b, '-o') % 绘图，线型为实线，点型为空心圆点，颜色为默认的蓝色。
观察绘制出来的图形，大致在一条直线上，所以用一次多项式（直线）拟合：p= polyfit(a,b,1); y1=p (1)*a+p (2); % 线性拟合。
polyfit命令中的数字“1”表示用一次多项式。
% p是向量，各分量表示多项式从高到低的各个系数；y1是用这些系数构造的多项式的值。
hold on; plot(a,y1,'r') % 绘制图形，观察拟合效果。
颜色为红色。
也可以试着用三次多项式来拟合：q= polyfit(a,b,3); y2= q(1)*a.^3+q(2)*a.^2+q(3)*a+ q(4); % 3次多项式拟合hold on; plot(a,y2,'k') % 绘制曲线，观察拟合效果。
颜色为黑色。
【要求】执行以上命令，并仿照示例，对下列数据作多项式拟合，写出拟合多项式：数据横坐标：x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20];数据纵坐标：y= [70.2 41.6 -9.1 -52 -100 -67.4 -112 -166 -104 -168 -103 -128 -90.5 -52.1 -10.4 60.6 85.9 153 199 301];024681012141618202、一般的最小二乘拟合【示例1】已知数据横、纵坐标分别为x =1:0.5:10; y=[0.84 2.24 3.64 3.74 1.2701 -4.29 -12.11 -19.79 -23.97 -21.34 -10.06 9.09 32.19 52.76 63.32 57.69 33.38 -6.78 -54.40];并已知该组数据满足 12sin()ay x a x =，其中12,a a 为待定系数。
实验六：插值与拟合
实验六：插值与拟合
一、实验目的
1、理解插值与拟合
2、掌握数据插值与拟合的方法
二、实验说明
1、熟练使用MATLAB 完成相关题目
2、实验学时：2学时
三、实验内容
1、用切削机床进行金属品加工时, 为了适当地调整机床, 需要测定刀具的磨损速度. 在一定的时间测量刀具的厚度, 得数据如表所示:
请用一函数表达两者间的关系。
2、已知观测数据点如表所示
求三个参数 a, b, c 的值, 使得曲线 f(x)=aex+bx2+cx3 与已知数据点在最小二乘意义上充分接近. 切削时间 t/h 0 30.0 1 29.1 2 28.4 3 28.1 4 28.0 5 27.7 6 27.5 7 27.2 8
27.0 刀具厚度 y/cm
切削时间 t/h 9 26.8 10 26.5 11 26.3 12 26.1 13 25.7 14 25.3 15 24.8 16 24.0 刀具厚度 y/cm x y 0 3.1 0.1 3.27 0.2 3.81 0.3 4.5 0.4 5.18 0.5 6 0.6 7.05 0.7 8.56 0.8 9.69 0.9 11.25 1 13.17
3、已知某转子流量计在100～1000mL/min流量范围内，刻度值与校正值有如下关系。
试用线性插值法计算流量计的刻度值为785时，实际流量为多少？
四、实验要求
1、作业要求于2013年11月11日前上交至wlx_matlab@，逾期分数减半，逾期一周视为不交。
2、要求每题写出相关命令并保存为M文件。
3、邮件标题写明：学号、姓名、实验名称。
数值分析实验报告插值与拟合
结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代数插值。
（2）
通过采用分段线性插值得到以下结果：
结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着插值节点增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分段线性插值的优点是计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。
拟合是指通过观察或测量得到一组离散数据序列 ，i=1,2，…，m，构造插值函数 逼近客观存在的函数 ，使得向量 与 的误差或距离最小。
可知当基函数的选择不同时，拟合函数的误差也会不同，所以在对数据进行拟合时应选择适合的基函数。
三、练习思考
整体插值有何局限性？如何避免？
答：整体插值的过程中，若有无效数据则整体插值后插值曲线的平方误差会比较大，即在该数据附近插值曲线的震动幅度较大。在插值处理前，应对原始数据进行一定的筛选，剔除无效数据。
②相同点：通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的
四、本次实验的重点难点分析
答:加强了对插值和拟合的认识，了解了其算法思想，并使用matlab将其实现。学会了观察插值拟合后的图形，并分析其问题。
画图进行比较：
通过观察图像，经比较可知两结果是很接近的。
2．区间 作等距划分： ，以 （ ）为节点对函数 进行插值逼近。（分别取 ）
（1）用多项式插值对 进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系，并分析原因。
（2）试用分段插值（任意选取）对 进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系。
计算方法上机作业插值与拟合实验报告
计算方法实验题目：班级：学号：姓名：目录计算方法实验 (1)1 实验目的 (3)2 实验步骤 (3)2.1环境配置： (3)2.2添加头文件 (3)2.3主要模块 (3)3 代码 (4)3.1主程序部分 (4)3.2多项式方程部分 (4)3.3核心算法部分 (8)3.4数据结构部分 (13)4运行结果 (19)4.1拉格朗日插值法运行结果 (19)4.2牛顿插值法运行结果 (20)4.3多项式拟合运行结果 (20)5总结 (21)拉格朗日插值法 (21)牛顿插值法 (21)多项式拟合 (21)6参考资料 (22)1 实验目的1.通过编程对拉格朗日插值法、牛顿插值法以及多项式拟合数据的理解2.观察上述方法的计算稳定性和求解精度并比较各种方法利弊2 实验步骤2.1环境配置：VS2013，C++控制台程序2.2添加头文件#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "stdafx.h"2.3主要模块程序一共分成三层，最底层是数据结构部分，负责存储数据，第二层是交互部分，即多项式方程部分，负责输入输出获得数据，最上层是核心的算法部分，负责处理已获得的数据。
具体功能如下：●数据结构部分数据结构部分是整个程序的最底层，负责存储部分。
因方程系数作为数据元素插入和删除操作较少，而顺序表空间利用率大且查看方便，故此程序选用顺序表保存系数。
数据结构文件中写的是有关顺序表的所有基本操作以供其他文件调用。
本次实验使用列主元高斯消元法作为求解方程组的方法，所以也用了二维顺序表存储数组。
综上，数据结构部分文件是前两个试验的文件内容和，稍作修改。
●常系数微分方程部分多项式方程部分是程序的第二层，内容主要是常系数微分方程导数的计算和显示菜单部分。
●算法部分算法部分分为两个文件，一个是插值部分，一个是拟合部分。
插值部分文件负责有关插值的核心算法，处于整个程序最上层部分，负责拉格朗日插值法和牛顿插值法的具体实现过程。
数值分析拟合实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析方法对一组已知数据点进行拟合，掌握线性插值、多项式插值、样条插值等方法的基本原理和实现过程，并学会使用MATLAB进行数值拟合。
二、实验内容1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，适用于数据点分布较为均匀的情况。
其基本原理是通过两个相邻的数据点，利用线性关系拟合出一条直线，然后通过该直线来估算未知的值。
2. 多项式插值多项式插值是一种较为精确的插值方法，通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解多项式的系数，使得多项式在已知数据点上的误差最小。
3. 样条插值样条插值是一种更灵活的插值方法，通过构造一系列样条曲线来逼近已知数据点。
其基本原理是利用最小二乘法求解样条曲线的系数，使得样条曲线在已知数据点上的误差最小。
三、实验步骤1. 线性插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`linspace`生成插值点：xi = linspace(1, 5, 100);（3）使用MATLAB内置函数`interp1`进行线性插值：yi = interp1(x, y, xi, 'linear');（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');2. 多项式插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`polyfit`求解多项式系数：p = polyfit(x, y, 3);（3）使用MATLAB内置函数`polyval`进行多项式插值：yi = polyval(p, xi);（4）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');3. 样条插值（1）在MATLAB中输入已知数据点，如：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];（2）使用MATLAB内置函数`spline`进行样条插值：yi = spline(x, y, xi);（3）绘制插值曲线：plot(xi, yi, 'b-', x, y, 'ro');四、实验结果与分析1. 线性插值线性插值方法简单易行，但精度较低，适用于数据点分布较为均匀的情况。
数值分析插值与拟合实验
数值分析插值与拟合实验数值分析是一门研究利用数字计算方法解决数学问题的学科。
插值与拟合是数值分析的重要内容之一，可以用于数据分析、信号处理以及数学建模等领域。
本实验将使用MATLAB软件进行插值与拟合的实验，主要包括插值多项式与拟合曲线的构造，以及评价拟合效果的方法。
实验一：插值多项式的构造1. Lagrange插值Lagrange插值是一种构造多项式来拟合已知数据点的方法。
给定n 个数据点(xi, yi)，其中xi不相等，Lagrange插值多项式可以写成：P(x) = ∑(i=0 to n) yi * l_i(x)其中l_i(x)是Lagrange基函数，定义为：l_i(x) = ∏(j=0 to n,j!=i) (x-xj)/(xi-xj)通过计算l_i(x)，然后将其乘以相应的数据点yi，最后相加就可以得到插值多项式P(x)。
2. Newton插值Newton插值使用差商的概念来构造插值多项式。
首先定义差商F[x0,x1,...,xn]如下：F[x0]=f(x0)F[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)F[x0,x1,x2]=(F[x1,x2]-F[x0,x1])/(x2-x0)...F[x0,x1,...,xn] = (F[x1,x2,...,xn] - F[x0,x1,...,xn-1])/(xn-x0)其中f(x)是已知数据点的函数。
然后，利用差商来构造插值多项式：P(x) = ∑(i=0 to n) F[x0,x1,...,xi] * ∏(j=0 to i-1) (x-xj)通过计算差商F[x0,x1,...,xi]和对应的乘积∏(x-xj)，最后相加得到插值多项式P(x)。
实验二：拟合曲线的构造1.多项式拟合多项式拟合是通过构造一个多项式函数来拟合已知数据点的方法。
假设给定n个数据点(xi, yi)，可以使用多项式函数来表示拟合曲线：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, ..., an是待确定的系数。