2018高中数学(函数难题)

难点突破

一．选择题（共18小题）

1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）

C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）

2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）

A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）

C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列

C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列

4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．

例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）

A．48 B．60 C．96 D．120

5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6

6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）

A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1

7．已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）

A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1

8．四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在半径为的球上，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，当△PAB面积最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．8 B．C．D．4

9．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2﹣|NE|2=（）

A．2p2B．2p C．4p D．p

10．已知函数f（x）=ln+，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n﹣m的最小值为（）

A．1﹣ln2 B．ln2 C．2﹣3 D．e2﹣3

11．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足=，若M为△ABC边上的点，点P满足|，则|MP|的最大值为（）A．B．C．D．

12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（﹣x），当0≤x≤3时，f（x）=|x﹣2|；当x≥3时，f（x）=f（x﹣2），则函数y=f（x）﹣|ln|x||的零点个数是（）

A．1 B．2 C．4 D．6

13．已知SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，若三棱锥S﹣ABC的体积为1，则球O的表面积为（）

A．4πB．13πC．16πD．52π

14．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）

A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6

15．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA=，若=α+β，则α+β的最大值为（）

A．B．C．D．

16．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且对任意的不相等的实数x1，x2∈[0，+∞）有＜0成立，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围（）A．[，1+]B．[，2+]C．[，2+]D．[，1+] 17．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f （a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）

A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2

18．在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，=（）

A．B．C．9 D．﹣9

二．填空题（共12小题）

19．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是．

20．设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是．

21．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则

的最小值是．

22．在△ABC中，，△ABC的面积为3，M为边BC的中点，，且AC＞BC，则sin∠BAC=．

23．已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是．24．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．

25．在平面自角坐标系Oxy中，O为坐标原点，点A（0，4），B（0，2），平面向量，，满足（2﹣）（﹣）=0，则对任意t＜0的实数和任意满足条件的向量，|﹣t•﹣[ln（﹣t）﹣1]•|的最小值．26．在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，AC=，•的取值范围是．27．已知函数如果使等式

成立的实数x1，x3分别都有3个，而使该等式成立的实数x2仅有2个，则

的取值范围是．

28．设函数与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为．

29．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为．

30．若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）=0（λ∈R），则a8+λa9的最小值为．

三．解答题（共10小题）

31．已知函数f（x）=ln（x+1）．

（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；

（2）设函数g（x）=e x﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），

①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．

32．已知函数f（x）=e x﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；

（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．

33．已知函数f（x）=e x+lnx．

（1）求函数y=f'（x）在x∈[1，+∞）上的最小值；

（2）若对任意x∈[1，+∞）恒有f（x）≥e+m（x﹣1），求实数m的取值范围．

34．已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．