高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题11数列C辑(原卷版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题11数列C辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}的通项公式为a n=√5[(1+√52)n−(1−√52)n], n=1,2,⋯.证明:存在无穷多个正整数m,使得a m+4a m−1是完全平方数.2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列a1,a2,a3,⋯满足:对任意正整数n，有a n(2S n−a n)=1，其中S n表示数列的前n项和证明:(1)对任意正整数n，有a n<2√n；(2)对任意正整数n，有a n a n+1<1.3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列{a n}:a1=7,a n+1a n=a n+2,n=1,2,3,⋯.求满足a n>42018的最小正整数n.4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}是等差数列，数列b n}满足b n=a n+1a n+2−a n2,n=1,2,⋯.(1)证明:数列{b n}也是等差数列；(2)设数列{a n},{b n}的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得a s+b t是整数，求|a1|的最小值.5．【2015高中数学联赛（第01试）】设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得{a i a j|1⩽i<j⩽4}={−24,−2,−32,−18,1,3}成立.求a1+a2+a3+a4的值.6．【2014高中数学联赛（第01试）】数列{a n}满足a1=π6,a n+1=arctan(seca n)(N∈n∗)，求正整数m，使得sina1,sina2,⋯,sina m=1100.7．【2012高中数学联赛（第01试）】已知数列{a n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有(a1+a2+⋯+a n)2=a13+a23+⋯+a n3，(1)当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3；(2)是否存在满足条件的无穷数列{a n}，使得a2013=−2012?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.8．【2011高中数学联赛（第01试）】已知数列{a n}满足：a1=2t－3(t∈R且t≠±1)，a n+1=(2t n+1−3)a n+2(t−1)t n−1a n+2t n−1(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若t >0，试比较a n+1与a n 的大小.9．【2010高中数学联赛（第01试）】证明：方程2x 3+5x －2=0恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{a n }，使得25=r a 1+r a 2+r a 3+⋯.10．【2009高中数学联赛（第01试）】已知p ，q (q ≠0)是实数，方程x 2－px +q =0有两个实根α,β，数列{a n }满足a 1=p ，a 2=p 2−q ，a n =pa n−1−qa n−2(n =3,4,⋯). (1)求数列{a n }的通项公式(用α,β表示)； (2)若p =1,q =14，求{a n }的前n 项和.11．【2007高中数学联赛（第01试）】设a n =∑1k(n+1−k)nk=1，求证：当正整数n ≥2时，a n+1<a n .12．【2006高中数学联赛（第01试）】将2006表示成5个正整数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5之和.记S =∑x i 1⩽i<j⩽5x j .问： (1)当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最大值?(2)进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有|x i −x j |⩽2，当x 1,x 2,x 3,x 4,x 5取何值时，S 取到最小值?说明理由. 13．【2005高中数学联赛（第01试）】数列{a n }满足：a 0=1,a n+1=7a n +√45a n2−362，n ∈N .证明：(1)对任意n ∈N ，a n 为正整数；(2)对任意n ∈N ，a n a n+1−1为完全平方数.14．【2002高中数学联赛（第01试）】如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k =0，1，2).记S n 为曲线P n 所围成图形的面积.(1)求数列{S n }的通项公式； (2)求lim n→∞S n .15．【2001高中数学联赛（第01试）】{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32(a<a 2)，又lim n→+∞(b 1+b 2+⋯+b n )=√2+1，试求{a n }的首项与公差.16．【2001高中数学联赛（第01试）】用电阻值分别为a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6(a 1>a 2>a 3> a 4>a 5>a 6)的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.17．【1999高中数学联赛（第01试）】给定正整数n 和正数M ，对于满足条件a 12+a n+12⩽M 的所有等差数列a 1,a 2,a 3,⋯，试求S =a n+1+a n+2+⋯+a 2n+1的最大值.18．【1993高中数学联赛（第01试）】设正数列a 0,a 1,a 2,⋯,a n ,⋯满足√a n a n−2−√a n−1a n−2=2a n−1(n ⩾2)，且a 0=a 1=1，求{a n }的通项公式.19．【1992高中数学联赛（第01试）】设n 为自然数，f n (x)=x n+1−x −n−1x−x −1(x ≠0,±1)，令y =x +1x.(1)求证：f n+1(x)=yf n (x)−f n−1(x),n >1. (2)用数学归纳法证明：f (x )={y n−C n−11y n−2+⋯+(−1)iC n−i ny n−2i+⋯+(−1)n 2(i =1,2⋯,n 2,n 为偶数)y n−C n−11y n−2+⋯+(−1)iC n−i ny n−2i+⋯+(−1)n−12C n+12n−12y (i =1,2,⋯,n−12,n 为奇数).20．【1990高中数学联赛（第01试）】n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11a 12a 13a 14⋯a 1n a 21a 22a 23a 24⋯a 2n a 31a 32a 33a 34⋯a 3n a 41a 42a 43a 44⋯a 4n ⋮⋮⋮⋮⋮a n1a n2a n3a n4⋯a nn， 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24=1,a 42=18，a 43=316，求a 11+a 22+a 33+a 44+⋯+a nn .21．【1989高中数学联赛（第01试）】已知a 1,a 2,⋯,a n 是n 个正数，满足a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n =1.求证：(2+a 1)(2+a 2)⋯(2+a n )⩾3n .22．【1989高中数学联赛（第01试）】已知对任意的n ∈N ，有a n>0，且∑a j 3n j=1=(∑a j nj=1)2.求证：a n =n.优质模拟题强化训练1．设a 1=1,a n =n 2∑1k2n−1k=1(n ⩾2).求证：（1）a n+1a n+1=n 2(n+1)2(n ⩾2)；（2）(1+1a 1)(1+1a 2)⋯(1+1a n)<4(n ⩾1).2．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 2=∑a i ni=1.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：∑√ka k2nk=1<3.3．已知数列{a n }中a 1=2,a n+1=(√2−1)(a n +2)，n =1,2,3,…. （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }中b 1=2，b n+1=3b n+42b n+3，n =1,2,3,…证明：√2<b n ⩽a 4n−3,n =1,2,3,⋯.4．已知数列{a n }满足a 1=94,2a n+1a n −7a n+1−3a n +12=0(n ∈N +).（1）记c n =a n −2，求数列{c n }的通项公式； （2）记b n =n 2n+1a n ，求使[b 1]+[b 2]+[b 3]+⋯+[b n ]⩽2019成立的最大正整数n 的值.(其中，符号[x ]表示不超过x 的最大整数)5．设正整数a 1, a 2, ⋯, a 10均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组a 1, a 2, ⋯, a 10的积a 1a 2⋯a 10的和.6．数列{a n }满足a 1=3,a 2=6,a n+2=a n+12+9a n(n ∈Z +).（1）证明：数列{a n }是正整数数列；（2）是否存在m ∈Z +，使得2109|a m ，并说明理由.7．设数列{a n }(n ∈Z +)的前n 项和为S n ，点(a n ,S n )在y =16−13x 的图像上.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求c 1=0，且对任意的正整数n ，均有c n+1−c n =log 12a n .证明：对任意n ≥2，总有13≤1c 2+1c 3+⋯+1c n<34.8．数列{a n }满足a 1=2，a n =a n−12an−2(n =3,4,⋅⋅⋅)，设a 2、a 5都是正整数，且a 5≤2010. 求a 5的所有可能值.9．设a 1=1，a n+1=√a n +n 2(n =1,2,⋅⋅⋅). （1）求证：[a n ]=n −1(n =2,3,⋅⋅⋅)；（2）求和：[a 12]+[a 22]+⋅⋅⋅+[a n 2]. 其中，[x]表示不超过实数x 的最大整数.10．设a n =2n ，n ∈N ∗，数列{b n }满足b 1a n +b 2a n−1+⋯+b n a 1=2n −n2−1，求数列{a n ⋅b n }的前n 项和.11．已知正数数列{a n }、{b n }满足对于任意的正整数n ，有a n+2=a n +a n+12,b n+2=b n 2+b n+1且a 1>1,a 2>1,b 1>1,b 2>1。

证明：（1）对于任意的正整数n(n≥2)有a n+2>a n 4；（2）从某一个正整数n 开始均有a n >b n 。