100以内的质数表和平方数
平方数的规律及以内的平方表
精心整理平方数的规律及100以内的整数平方表(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.,等..a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
(完整版)平方数的规律及100以内的平方表
(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到√n之间的所有质数是不是n的因子即可，超过√n的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<√2431<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=11×13×17.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
100以内整数的平方及其规律
平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n 型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b 例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744 用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744, 112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).1-20的平方数221-40的平方数341-60的平方数461-80的平方数581-100的平方数。
平方表立方表质数口诀除法表基础公式数学基
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
原数
平方
立方
4次方
5次方
6次方
7次方
8次方
9次方
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
4
16
64
256
1024
4096
16384
65536
262144
5
25
125
625
3125
15625
78125
14
196
64
4096
14
2744
64
262144
15
225
65
4225
15
3375
65
274625
16
256
66
4356
16
4096
66
287496
17
289
67
4489
17
4913
67
300763
18
324
68
4624
18
5832
68
314432
19
361
69
4761
19
6859
69
328509
5/6=0.833=83.3%
1/7=0.142857=14.3%
2/7=0.285714=28.5%
3/7=0.428571=42.8%
4/7=0.571428=57.1%
5/7=0.71425=71.4%
数论第05讲_100以内的质数(教师版)A4
一．质数与合数的概念1．只有1和它本身两个因数的数，称为质数。
2．除了1和它本身，还有其他因数的数，称为合数。
0和1既不是质数，与不是合数。
二．100以内的质数表1~100中的质数是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
1~100中有25个质数，74个合数，其中1既不是质数与不是合数。
质数中有且仅有一个偶数，那就是2。
重难点：熟悉100以内的25个质数，并且灵活应用奇偶性，解决偶质数的相关应用。
题模一：100以内质数表例1.1.1只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2、3、5、7,等．那么，比40大并且比50小的质数是___________，小于100的最大的质数是___________．【答案】41、43、47；97【解析】本题考查100以内的常见质数．例 1.1.2爸爸和儿子岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，且数字之和为13，又已知爸爸比儿子大27岁，则儿子是________岁．【答案】20【解析】13495867=+=+=+，只有67为质数，故年龄和为67．由和差问题易知儿子20岁．例1.1.3五个连续自然数，每个数都是合数且都不超过60，则这五个连续自然数的和最大是（）．A．170B．250C．280D．285【答案】【解析】小于60的质数有59、53、47、43、41、……，所以连续的五个自然数且都是合数，最大的是58、57、56、55、54，它们的和是5455565758280++++=．例1.1.4已知p为50以内的一个两位质数，且21p+也是质数，则满足条件的所有p的和是________．【答案】104【解析】50以内的两位质数是11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，满足条件的有11、23、29、41，和为11232941104+++=．例1.1.5有一类最简真分数满足以下条件：（1）分子与分母都是两位数的质数；（2）分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数．如1331就是满足上述条件的一个分数．那么满足数论第05讲_100以内的质数这两个条件的最简真分数有__________个，其中最大的一个是__________． 【答案】7997【解析】满足自身与其逆序数均为两位质数的有11；13、31；17、71；37、73；79、97．符合条件的最简真分数有有4个，最大的是7997． 题模二：偶质数性质与基本应用 例 1.2.1Let a 、b are prime numbers and the sum of these primes is 49．Then 11a b+=（ ）． A ．9449 B ．4994 C ．8645 D ．4586【答案】B【解析】根据奇偶性及2是质数中唯一的偶数易知两个质数分别为2和47，114994a b +=． 例1.2.2（1）两个质数的和是1999，那么这两个质数是多少？（2）若两个质数的差是35，那么它们的积是多少？【答案】（1）1997（2）74【解析】（1）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为199921997-=． （2）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为35237+=，它们的积是23774⨯=．例1.2.3三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？【答案】可能为（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）【解析】小于50的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、发现只有一 个偶数2，所以一定包含2，另外两个为奇数，且和为50,5047350437=+=+、503713503119=+=+、．例1.2.4若两个不同的质数m 、n 满足2319m n +=，那么m n +=__________．【答案】7或8【解析】满足条件的有2m =，5n =或5m =，3n =，所以78m n +=或．例1.2.5若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有__________组．【答案】11【解析】三个不同的质数的和是53，所以三个质数都必须是奇数．从最小的奇质数枚举如下：53374331337319315741511375172951929=++=++=++=++=++=++=++71729111329111923131723=++=++=++=++．共11组．例1.2.6三个数 p ， p + 3 ， p + 5 都是质数，它们的倒数之和是 ____ ． 【答案】5970【解析】可知p 一定是2，11159=25770++． 例1.2.7有6个数字a 、b 、c 、d 、p 、q ，满足abc bcd p q pq -=⨯⨯，c 和d 的奇偶性相同，且p 、q 、pq 都是质数，则abcd 最大是多少？【答案】9846【解析】c 和d 的奇偶性相同，故p q pq abc bcd ⨯⨯=-为偶数，p 、q 、pq 中必有偶数，只能是2p =，进而易得3q =，2323138abc bcd -=⨯⨯=．将问题转化为竖式，易知abcd最大是9846．例 1.2.8已知p 、q 为质数，并且存在两个正整数m 、n ，使得p m n =+，q mn =，则p qn m p q m n+=+_________． 【答案】313【解析】因为q mn =且q 为质数，所以m n 、中有一个为1．不妨设1m =，则q n =，1p m n q =+=+．又因为p 、q 为质数，故3,2,2p q n ===．代入得原式值为313． 题模三：质数与合数的应用提高例 1.3.1在1到100这100个正整数中，不能被2、3、5、7中任何一个数整除的数有__________个．【答案】22【解析】数论问题，不能被这些数整除的一定都是质数，1-100的质数去掉1、2、3、5、7还有22个．例1.3.2将正整数1，2，3，4，5，6，…，10000排成一行．若一个数不能表示成两个合数的和，则将此数划去．例如要划去1，但是因为844=+，8就不能划去．根据上面规定划掉所有能划掉的数之后，将剩下的数由小到大排列．这时从左数第2013个数是_______．【答案】2022【解析】从8开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从13开始的奇数可以拆成9+2n的形式（n 大于等于2），而1、2、3、4、5、6、7、9、11要划去，所以剩下的数列为8、10、12、13、14、15……，第2013项即为2022．例1.3.3小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数．”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数．”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方．”那么小明今年____________岁．（小明今年年龄小于31岁，且年龄均为整数岁）【答案】16【解析】设小红x 岁，年龄差y ，则小明x y +岁．由题意知x y -为质数①，2x y +为质数②，2x y +为质数③的平方即年龄和，年龄和可能为4，9，25，49．经验证，年龄差为7，小红今年9岁，小明今年16岁．例1.3.4四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？【答案】900【解析】设每个小三角形顶点上的数之和为x ，当计算题4个小三角形顶点上的数之和时，中间三个圆圈算了三次，减去两次后得到六个质数之和20，4220,10x x x -==，三个质数和为10，则这三个质数为2、3、5.六个圆圈分别填两个2、3、5.它们的积为900．随练1.1最小的质数是________，最小的自然数是________．【答案】2；0【解析】最小的质数是2，最小的自然数是0．随练1.2在31、37、51、57、71、77、91、97这8个数中，有几个合数？A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】在这8个数中，31、37、71、97是质数，51、57、77、91是合数，即一共有4个合数．正确答案是C．随练1.3三个连续自然数，每个数都是合数，则这三个连续自然数的和最小是（）．A．6B．27C．45D．720【答案】B【解析】列举可知，最小的三个数为8、9、10，所以这三个连续自然数的和最小是++=．891027随练1.4在20以内的质数中，加上2以后结果还是质数的，一共有（）个．A．8B．6C．4D．2【答案】C【解析】3、5、11、17符合要求，共4个．随练1.5两个质数的和是45，这两个质数的积是_______．【答案】86【解析】两质数必为一奇一偶，故一定有2，另一个为45243-=，两数之积为86．随练1.6从20以内的质数中选出6个，写在一个正方体的六个面上，使得两个向对面的和都相等，所选的6个数是________．【答案】5、7、11、13、17、19【解析】首先2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、11、13、17、19这7个数，从中选择6个相当于剔除一个，由于这7个数的和为75，是3 的倍数，而选出的6个数的和也是3的倍数，所以被剔除的那个数应该也是3的倍数，只能是3，所以选出的6个数分别是5、7、11、13、17、19．随练1.7三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．【答案】374【解析】三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇．考虑质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2．另外两个奇数是5和23或11和17．所以这三个质数的乘积是2523230⨯⨯=，乘积最大是374．⨯⨯=或21117374随练 1.8一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．【答案】11、13、17、31、37、71、73、79、97【解析】列出备选的两位质数，十位数字是2、4、5、6、8的就不用罗列了．、、、、、、、、、．11131719313771737997观察这些数，只有19颠倒过来后是合数：91713=⨯，排除19，剩下的质数、、、、、、、、都满足要求．111317313771737997作业11~100这100个自然数中质数有25个，合数有________个．【答案】74【解析】1~100中，25个质数之外的75个数中，只有1不是合数，其他的都是．所以有74个合数．作业2a是100以内最大的质数，b是100以内最小的质数，那么a b+=__________．【答案】99【解析】97a =，2b =，所以99a b +=．作业3五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是__________．【答案】130【解析】最小的连续五个合数是24、25、26、27、28，所以这五个连续自然数的和最小是130．作业4在横线上填入三个不同的质数，使等式成立________+________+________＝60，则共有________种不同的填法．【答案】3【解析】由奇偶性分析易知这三个质数必为2奇1偶，即必有2，只需将58表示为2个质数之和即可．5855311471741=+=+=+，共3种填法．作业5有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．【答案】17或71【解析】各位必为偶数．分别试验1、7和3、9，17或71满足要求．作业6两个质数的和是19，则这两个质数的积是______．【答案】34【解析】由奇偶性可知必有2，另一个为19217-=，两数乘积为34．作业7当p 和3p +5都是质数时，55p +=_______．【答案】37【解析】当p 和3p +5奇偶性不同，而且都为质数，那么较小的数必须为2，所以55p +=37．作业8已知正整数p 、q 都是质数，并且7p q +与11pq +也都是质数，求p 、q 的值．【答案】23p q =⎧⎨=⎩或32p q =⎧⎨=⎩ 【解析】若p 、q 均为奇数则7p q +为大于2的偶数，与其为质数矛盾，故p 、q 必有偶数，即为2．当2p =时，q 、14q +、211q +均为质数，且讨论得此三数被3除的余数各不相同，因此q 只能为3，此时另两个均为17，满足条件；当2q =时，p 、72p +、211p +均为质数，同理可得p 也只能为3，此时另两个数分别为23和17，满足要求．综上，23p q =⎧⎨=⎩或32p q =⎧⎨=⎩． 作业9张中中小朋友手中有四张卡片，分别写有1、2、3、4；张右右小朋友手中也有四张卡片，分别写着5、6、7、9，两位小朋友将卡片放在一起适当组合恰好形成四个不同的两位质数（卡片不重复使用，也不得有剩余），请将四个质数的和求出．答：_________【答案】190【解析】2只能和9配，为29．4只能和7配，为47．进而另两个为61、53，总和为190． 作业10（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？【答案】（1）35（2）2、7、31【解析】（1）39=+奇数偶数．偶质数是2，所以奇质数是39237-=．这两个质数的差是37235-=（2）40是偶数，如果写成三个数相加的形式则有两种情况，40=++偶数偶数偶数，或偶数奇数奇数，第一种情况显然是不可能的（质数中只有2是偶数）．40=++所以可以确定出三个质数中有一个一定是2，剩下两个奇质数的和是38．通过简单的枚举可得，只有73138+=符合题意．所以这三个质数分别是：2，7，31．n-（n为质数）作业11有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如21的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：2213-=就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A．4B．15C．127D．2047【答案】D【解析】可依次写出梅森数：2213-=，第二个梅森质数；-=，第一个梅森质数；32175-=，第四个梅森质数；11212047-=，第一个梅森-=，第三个梅森质数；7211272131合数．所以答案为D．也可以用排除法，梅森数一定为奇数，A选项排除．42115-=，4为合数，所以15不是梅森数，B选项排除．721127-=，127为质数，所以127为梅森质数，C选项排除．检验可知，D选项为梅森合数，所以答案为D．作业12在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是____________．【答案】5，13，17，29【解析】通过枚举法可得，5、13、17、29．作业13已知a,b,c只3个彼此不同的质数，若37+-最大是+⨯=，则a b ca b c___________．【答案】32【解析】223733132=⇒+=⇒=⇒=⇒+-=．c a b b a a b c作业14有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则A B-=__________．【答案】599【解析】由质数定义可知，质数只能写成1乘本身的形式，则说明三位数的三个数位上的数字有2个1，另一个为质数．则这样的三位数最大为711，最小为112，则-=-=．A B711112599作业15从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可能读的最大的数是________________．【答案】98567432【解析】设首位为9，旁边可为8，下一位最大为5……这样进行下去，最大为98567432．。
爱提分四年级第一阶数论第02讲
知识图谱-100以内的质数100以内质数表偶质数性质与基本应用质数与合数的应用提高数论第02讲_100以内的质数错题回顾100以内的质数知识精讲一．质数与合数的概念1．只有1和它本身两个因数的数，称为质数。
2．除了1和它本身，还有其他因数的数，称为合数。
0和1既不是质数，与不是合数。
二．100以内的质数表1~100中的质数是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
1~100中有25个质数，74个合数，其中1既不是质数与不是合数。
质数中有且仅有一个偶数，那就是2。
三点剖析重难点：熟悉100以内的25个质数，并且灵活应用奇偶性，解决偶质数的相关应用。
题模精讲题模一100以内质数表例1.1、只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2、3、5、7,等．那么，比40大并且比50小的质数是___________，小于100的最大的质数是___________．答案：41、43、47；97解析：本题考查100以内的常见质数．例1.2、爸爸和儿子岁数之和是一个两位数，这个两位数是一个质数，且数字之和为13，又已知爸爸比儿子大27岁，则儿子是________岁．答案：20解析：，只有67为质数，故年龄和为67．由和差问题易知儿子20岁．例1.3、五个连续自然数，每个数都是合数且都不超过60，则这五个连续自然数的和最大是（）．A、170B、250C、280D、285答案：解析：小于60的质数有59、53、47、43、41、……，所以连续的五个自然数且都是合数，最大的是58、57、56、55、54，它们的和是．例1.4、已知为50以内的一个两位质数，且也是质数，则满足条件的所有的和是________．答案：104解析：50以内的两位质数是11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，满足条件的有11、23、29、41，和为．例1.5、有一类最简真分数满足以下条件：（1）分子与分母都是两位数的质数；（2）分母正好是分子这个质数逆序排列所成的质数．如就是满足上述条件的一个分数．那么满足这两个条件的最简真分数有__________个，其中最大的一个是__________．答案：解析：满足自身与其逆序数均为两位质数的有11；13、31；17、71；37、73；79、97．符合条件的最简真分数有有4个，最大的是．题模二偶质数性质与基本应用例2.1、Let a、b are prime numbers and the sum of these primes is 49．Then （）．A、B、C、D、答案：B解析：根据奇偶性及2是质数中唯一的偶数易知两个质数分别为2和47，．例2.2、（1）两个质数的和是1999，那么这两个质数是多少？（2）若两个质数的差是35，那么它们的积是多少？答案：（1）1997（2）74解析：（1）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为．（2）通过奇偶分析易知两个质数必为一奇一偶，即一个为2，另一个为，它们的积是．例2.3、三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？答案：可能为（2，3,47）（2,43,7）（2,37,13）（2,31,19）解析：小于50的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、发现只有一个偶数2，所以一定包含2，另外两个为奇数，且和为50,、．例2.4、若两个不同的质数m、n满足，那么__________．答案：7或8解析：满足条件的有，或，，所以．例2.5、若三个不同的质数的和是53，则这样的三个质数有__________组．答案：11解析：三个不同的质数的和是53，所以三个质数都必须是奇数．从最小的奇质数枚举如下：．共11组．例2.6、三个数p，p + 3 ，p + 5 都是质数，它们的倒数之和是 ____ ．答案：解析：可知p一定是2，．例2.7、有6个数字a、b、c、d、p、q，满足，c和d的奇偶性相同，且p、q、都是质数，则最大是多少？答案：解析：c和d的奇偶性相同，故为偶数，p、q、中必有偶数，只能是，进而易得，．将问题转化为竖式，易知最大是9846．例2.8、已知p、q为质数，并且存在两个正整数m、n，使得，，则_________．答案：解析：因为且为质数，所以中有一个为1．不妨设，则，．又因为p、q为质数，故．代入得原式值为．题模三质数与合数的应用提高例3.1、在1到100这100个正整数中，不能被2、3、5、7中任何一个数整除的数有__________个．答案：解析：数论问题，不能被这些数整除的一定都是质数，1-100的质数去掉1、2、3、5、7还有22个．例3.2、将正整数1，2，3，4，5，6，…，10000排成一行．若一个数不能表示成两个合数的和，则将此数划去．例如要划去1，但是因为，8就不能划去．根据上面规定划掉所有能划掉的数之后，将剩下的数由小到大排列．这时从左数第2013个数是_______．答案：2022解析：从8开始往后的偶数可以拆成两个偶合数的和；从13开始的奇数可以拆成9+2n的形式（n大于等于2），而1、2、3、4、5、6、7、9、11要划去，所以剩下的数列为8、10、12、13、14、15……，第2013项即为2022．例3.3、小红、小明二人在讨论年龄，小红说：“我比你小，当你像我这么大时，我的年龄是个质数．”小明说：“当你长到我这么大时，我的年龄也是个质数．”小红说：“我发现现在咱俩的年龄和是个质数的平方．”那么小明今年____________岁．（小明今年年龄小于31岁，且年龄均为整数岁）答案：16解析：设小红岁，年龄差，则小明岁．由题意知为质数①，为质数②，为质数③的平方即年龄和，年龄和可能为4，9，25，49．经验证，年龄差为7，小红今年9岁，小明今年16岁．例3.4、四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？答案：900解析：设每个小三角形顶点上的数之和为，当计算题4个小三角形顶点上的数之和时，中间三个圆圈算了三次，减去两次后得到六个质数之和20，，三个质数和为10，则这三个质数为2、3、5.六个圆圈分别填两个2、3、5.它们的积为900．随堂练习随练1.1、最小的质数是________，最小的自然数是________．答案：2；0解析：最小的质数是2，最小的自然数是0．随练1.2、在31、37、51、57、71、77、91、97这8个数中，有几个合数？A、2个B、3个C、4个D、5个答案：C解析：在这8个数中，31、37、71、97是质数，51、57、77、91是合数，即一共有4个合数．正确答案是C．随练1.3、三个连续自然数，每个数都是合数，则这三个连续自然数的和最小是（）．A、6B、27C、45D、720答案：B解析：列举可知，最小的三个数为8、9、10，所以这三个连续自然数的和最小是．随练1.4、在20以内的质数中，加上2以后结果还是质数的，一共有（）个．A、8B、6C、4D、2答案：C解析：3、5、11、17符合要求，共4个．随练1.5、两个质数的和是45，这两个质数的积是_______．答案：86解析：两质数必为一奇一偶，故一定有2，另一个为，两数之积为86．随练1.6、从20以内的质数中选出6个，写在一个正方体的六个面上，使得两个向对面的和都相等，所选的6个数是________．答案：5、7、11、13、17、19解析：首先2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3、5、7、11、13、17、19这7个数，从中选择6个相当于剔除一个，由于这7个数的和为75，是3 的倍数，而选出的6个数的和也是3的倍数，所以被剔除的那个数应该也是3的倍数，只能是3，所以选出的6个数分别是5、7、11、13、17、19．随练1.7、三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积最大是__________．答案：374解析：三个数的和是偶数，可以是三个偶数，或者一偶两奇．考虑质数中只有2是偶数，可知一定是一偶两奇，且偶数是2．另外两个奇数是5和23或11和17．所以这三个质数的乘积是或，乘积最大是374．随练1.8、一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．答案：11、13、17、31、37、71、73、79、97解析：列出备选的两位质数，十位数字是2、4、5、6、8的就不用罗列了．观察这些数，只有19颠倒过来后是合数：，排除19，剩下的质数都满足要求．自我总结课后作业作业1、1~100这100个自然数中质数有25个，合数有________个．答案：74解析：1~100中，25个质数之外的75个数中，只有1不是合数，其他的都是．所以有74个合数．作业2、a是100以内最大的质数，b是100以内最小的质数，那么__________．答案：99解析：，，所以．作业3、五个连续的自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是__________．答案：130解析：最小的连续五个合数是24、25、26、27、28，所以这五个连续自然数的和最小是130．作业4、在横线上填入三个不同的质数，使等式成立________+________+________＝60，则共有________种不同的填法．答案：3解析：由奇偶性分析易知这三个质数必为2奇1偶，即必有2，只需将58表示为2个质数之和即可．，共3种填法．作业5、有一个质数是两位数，这两位上的数字相差6，则这个两位数的质数是．答案：17或71解析：各位必为偶数．分别试验1、7和3、9，17或71满足要求．作业6、两个质数的和是19，则这两个质数的积是______．答案：34解析：由奇偶性可知必有2，另一个为，两数乘积为34．作业7、当和+5都是质数时，_______．答案：37解析：当和+5奇偶性不同，而且都为质数，那么较小的数必须为2，所以37．作业8、已知正整数p、q都是质数，并且与也都是质数，求p、q的值．答案：或解析：若p、q均为奇数则为大于2的偶数，与其为质数矛盾，故p、q必有偶数，即为2．当时，q、、均为质数，且讨论得此三数被3除的余数各不相同，因此q只能为3，此时另两个均为17，满足条件；当时，p、、均为质数，同理可得p也只能为3，此时另两个数分别为23和17，满足要求．综上，或．作业9、张中中小朋友手中有四张卡片，分别写有1、2、3、4；张右右小朋友手中也有四张卡片，分别写着5、6、7、9，两位小朋友将卡片放在一起适当组合恰好形成四个不同的两位质数（卡片不重复使用，也不得有剩余），请将四个质数的和求出．答：_________答案：190解析：2只能和9配，为29．4只能和7配，为47．进而另两个为61、53，总和为190．作业10、（1）两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？（2）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？答案：（1）35（2）2、7、31解析：（1）．偶质数是2，所以奇质数是．这两个质数的差是（2）40是偶数，如果写成三个数相加的形式则有两种情况，，或，第一种情况显然是不可能的（质数中只有2是偶数）．所以可以确定出三个质数中有一个一定是2，剩下两个奇质数的和是38．通过简单的枚举可得，只有符合题意．所以这三个质数分别是：2，7，31．作业11、有一种数，是以法国数学家梅森的名字命名的，它们就是形如（n为质数）的梅森数，当梅森数是质数时就叫梅森质数，是合数时就叫梅森合数．例如：就是第一个梅森质数．第一个梅森合数是（）．A、4B、15C、127D、2047答案：D解析：可依次写出梅森数：，第一个梅森质数；，第二个梅森质数；，第三个梅森质数；，第四个梅森质数；，第一个梅森合数．所以答案为D．也可以用排除法，梅森数一定为奇数，A选项排除．，4为合数，所以15不是梅森数，B选项排除．，127为质数，所以127为梅森质数，C选项排除．检验可知，D选项为梅森合数，所以答案为D．作业12、在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是____________．答案：5，13，17，29解析：通过枚举法可得，5、13、17、29．作业13、已知a,b,c只3个彼此不同的质数，若，则最大是___________．答案：32解析：．作业14、有些三位数，它的各位数字的乘积是质数，这样的三位数最大的为A，最小的为B．则__________．答案：599解析：由质数定义可知，质数只能写成1乘本身的形式，则说明三位数的三个数位上的数字有2个1，另一个为质数．则这样的三位数最大为711，最小为112，则．作业15、从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可能读的最大的数是________________．答案：98567432解析：设首位为9，旁边可为8，下一位最大为5……这样进行下去，最大为98567432．。
(完整word版)平方数的规律及100以内的平方表
精心整理平方数的规律及100以内的整数平方表(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.精心整理精心整理(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×ab×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).精心整理。
100以内整数的平方及其规律
平方数得规律及100以内得整数平方表规律：（１)完全平方数得个位数字只能就是０,１，4,5,6,9、(没有2，3，7，8）两个整数得个位数字之与为1０,则它们得平方数得个位数字相同、（2)奇数得平方得个位数字就是奇数,十位数字就是偶数、(3）如果完全平方数得十位数字就是奇数,则它得个位数字一定就是6;反之，如果完全平方数得个位数字就是6，则它得十位数字一定就是奇数、(4)偶数得平方就是４得倍数；奇数得平方就是4得倍数加1、(5)奇数得平方就是8n+1型;偶数得平方为８n或８n＋4型、（6）完全平方数得形式必为下列两种之一：3n，３ｎ+1、(7)不能被５整除得数得平方为5n±1型,能被5整除得数得平方为5n 型、(８）平方数得形式具有下列形式１6n,16n＋１,16n+4,1６n+９、(9）完全平方数得各位数字之与得个位数字只能就是０,1，3,4，６,7，９、(没有２,5，8）（10）如果质数ｐ能整除a,但ｐ得平方不能整除a,则a不就是完全平方数、(11）在两个相邻得整数得平方数之间得所有整数都不就是完全平方数、（12）一个正整数n就是完全平方数得充分必要条件就是n有奇数个因数（包括1与ｎ)、一个数如果就是另一个整数得完全立方（即一个整数得三次方，或整数乘以它本身乘以它本身)，那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数,如０,1，8,27，64,125,216,３4３,512，729，１0０0等、如果正整数x，ｙ，ｚ满足不定方程ｘ2+y２＝ｚ2,就称x，ｙ，z为一组勾股数、x，y必然就是一个为奇数另一个为偶数,不可能同时为奇数或同时为偶数、z与z2必定都就是奇数、五组常见得勾股数:32+42=52；5２+12２=132；72+2４2=２52；82+1５２＝172;２０2＋212=29２９＋16=25；25+14４=１69；４9＋5７6=6２5; 64+2２5＝２89；４００＋44１＝84１记忆技巧：(ａ+b)2＝a2＋ｂ２＋2ａb （ａ－b)2=a2 + ｂ2 －2ab｜｜| ｜| ｜ａ×a ｂ×b 2×a×b a×a b×b 2×a ×b例：132＝（10＋3)2=102＋３2+２×10×3=1０0＋9+６0=169 882=(90-２)2＝902+2２－2×９０×2=８1０0＋4—36０=７７4４用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数得平方根所处得范围，在判定某个较大得数n就是不就是质数时可以缩小其可能因子得筛选范围，只需检查3到之间得所有质数就是不就是n得因子即可，超过得都不必检查了、例如,判定2431就是否为质数,因为４92=240１<2431〈25０0=50２,所以4９＜＜5０，2+4+3＋1＝10不能被３整除，２341得个位既非0又非5，故只需检查7到４7之间得所有质数能否整除2431即可，而53,59，61,6７……等更大得质数都不用检查了，实际上２４31=1117、③增加对数字得熟悉程度，比如16２=2５6=28，３22＝10２4＝2１0,６42=４096=２1２,另外一些特殊结构得数字应该牢记，如８8２=774４，ﻫ１12=12１,2２２=484,（1２1与484从左到右与从右到左瞧就是一样得)ﻫ１２２＝144,21２=４41,１３2=169,３12=9６1,(a左右颠倒后ａ2也左右颠倒）、1—2０得平方数221－40得平方数341-60得平方数461－80得平方数581-100得平方数。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及以内的平方表Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×a b×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及100以内的平方表(最新编写)
平方数的规律及100以内的整数平方表112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400212=441222=484232=529242=576252=625262=676272=729282=784292=841302=900312=961322=1024332=1089342=1156352=1225362=1296372=1369382=1444392=1521402=1600412=1681422=1764432=1849442=1936452=2025462=2116472=2209482=2304492=2401502=2500512=2601522=2704532=2809542=2916552=3025562=3136572=3249582=3364592=3481602=3600612=3721622=3844632=3969642=4096652=4225662=4356672=4489682=4624692=4761702=4900712=5041722=5184732=5329742=5476752=5625762=5776772=5929782=6084792=6241802=6400812=6561822=6724832=6889842=7056852=7225862=7396872=7569882=7744892=7921902=8100912=8281922=8464932=8649942=8836952=9025962=9216972=9409982=9604992=98011002=10000规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，n超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为n2431492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.×13×③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及以内的平方表
数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8).不是完全平方数a则a,的平方不能整除p但a,能整除p如果质数(10)．.在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数(11)n).和(包括1一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(12)或整数乘以它本身乘以它,一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方也叫做立方数，如,本身）,那么我们就称这个数为完全立方数.等0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000222.为一组勾股数+y就称=zx,y,z如果正整数x,y,z满足不定方程x ,2必定都是奇数. 和zx,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z五组常见的勾股数：222222222222222 +21 ；+4=58 ；5；+12+15=1320 ；7=17+24=253=299+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：22222 2 －2ab =a + b b + 2ab (a(a+b)－= ab) +| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b2222+2×10×3=100+9+60=169 13=10=(10+3)+3例：2222－2×90×2=8100+4=90－88+2=(90-2)360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的都不必检查之间的所有质数是不是n到,只需检查3的因子即可，超过的筛选范围22,所以=2401<2431<2500=50是否为质数，因为了.例如，判定243149<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非49<5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.28210，=1024=2=256=2 ，3216③增加对数字的熟悉程度，比如2122=7744, 另外一些特殊结构的数字应该牢记，如=4096=288 ,6422=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的11=121,22)22222).也左右颠倒a左右颠倒后=961,(a=169,31=441,13=144,2112．。
人教版小学数学小升初思维拓展(知识梳理+典题精讲+专项训练)专题3-质数与合数问题
专题3-质数与合数问题小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97。
2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数。
3、“1”这个数既不是质数也不是合数。
4、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q 就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数。
5、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n。
【典例一】五年级有47名志愿者，六年级有50名志愿者，如果每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，()这样分配。
A．五年级可以B．六年级可以C．五、六年级都可以D．都不可以【答案】B【分析】根据题意，每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，由此判断。
【解答】解：每个年级的志愿者都分成4组去义务劳动，每个组的人数都是奇数，可知4个奇数相加和为偶数，而47是奇数，50是偶数。
所以五年级不能这样分配，六年级可以这样分配。
故选：B。
【点评】此题考查了奇数和偶数的问题，要明确：奇数+奇数=偶数。
【典例二】猜猜我是谁．（1）“我”是一个两位数，且是偶数，十位上的数字与个位上的数字的积是30．“我”是（2）“我”是一个质数，我与其他任何一个质数的和都是奇数．“我”是．【答案】56；2。
平方数的规律及100以内的平方表讲解学习
平方数的规律及100以内的平方表平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625； 64+225=289； 400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及100以内的整数平方表(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2=a2+b2+2ab(a－b)2=a2+b2－2ab||||||a×a b×b2×a×ba×ab×b2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50,2+4+3+1=10不能被3整除,2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及100以内的平方表39543
规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数.五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625； 64+225=289； 400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到√n之间的所有质数是不是n的因子即可，超过√n 的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<√2431不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=11×13×17.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
平方数的规律及以内的平方表
平方数的规律及100以内的整数平方表规律：(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10，则它们的平方数的个位数字相同.(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数.(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数.(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.(7)不能被5整除的数的平方为5n±1型,能被5整除的数的平方为5n型.(8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8)(10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数.(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.(12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).一个数如果是另一个整数的完全立方（即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.如果正整数x,y,z满足不定方程x2+y2=z2 ,就称x,y,z为一组勾股数.x,y必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z2必定都是奇数. 五组常见的勾股数：32+42=52；52+122=132；72+242=252；82+152=172；202+212=2929+16=25；25+144=169；49+576=625；64+225=289；400+441=841记忆技巧：(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab| | | | | |a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b例：132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－360=7744用处：①训练计算能力，使计算更快更准确；②估计某数的平方根所处的范围，在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到之间的所有质数是不是n的因子即可，超过的都不必检查了.例如，判定2431是否为质数，因为492=2401<2431<2500=502,所以49<<50 ,2+4+3+1=10不能被3整除, 2341的个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可，而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了，实际上2431=1117.③增加对数字的熟悉程度，比如162=256=28，322=1024=210，642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如882=7744,112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a2也左右颠倒).。
小学思维数学讲义：质数与合数(二)-含答案解析
质数与合数（二）1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.。
模块一、偶质数2【例 1】 如果,,a b c 都是质数，并且a b c -=，则c 的最小值是_________【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，17题【解析】 本题考察的是最小的偶质数2，所以c 最小是2.【答案】2【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【考点】偶质数2 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。