让初中学生利用几何画板学数学的一些尝试

让初中学生利用《几何画板》学数学的一些尝试王松萍计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给教育带来深刻的变化，教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法。

《全日制义务教育数学课程标准》指出，现代信息技术要“致力于改变学生的学习方式，使学生乐意．．并有更多的精力．．．、探索性．．．的数学活动中去”。

．．．．．投入到现实的《几何画板》是一个适用于几何教学的软件，它给人们提供了一个观察几何图形的内在关系，探索几何图形奥妙的环境。

它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。

《几何画板》操作简单，容易学，被誉为二十一世纪的动态几何。

我们学校把《几何画板》作为校本课程，学生进入初中后，我们利用十课时左右的时间教学生掌握《几何画板》中的简单作图、变换、度量等基本功能，我们让学生自己动手做课件、设计作品，试图利用《几何画板》帮学生学习数学，让学生更乐意学习数学，收到了意想不到的效果。

一、用《几何画板》设计图案，使学生更乐意投入到现实的数学活动中去在《全日制义务教育数学课程标准》中增加了能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计，能运用任意一个三角形、四边形或正六边形这几种图形进行简单的镶嵌设计。

并将这些内容贯穿在七年级到八年级的三册书中。

（北师大版《数学（七年级上册）》第四章《平面图形及其位置关系》第八节《图案设计》，《数学（七年级下册）》第五章《三角形》第三节《图案设计》，第七章《生活中的轴对称》第四节《利用轴对称设计图案》，《数学（八年级上册）》第三章《图形的平移与旋转》第四节《简单的图案设计》，第四章《四边形性质探索》第七节《平面图形的密铺》）图案设计丰富了学生对现实空间及图形的认识，发展学生的空间观念，并且它有很强的现实意义，在服装设计、家居装修等领域都要用到图案设计。

案例1：北师大《数学（八年级上册）》第四章《四边形性质探索》第七节《平面图形的密铺》中的“读一读”：用多边形及其组合可以拼成许多漂亮的密铺图案。

下面的图案是现实生活中大量存在的密铺图案的一部分。

欣赏这些图案，你能发现哪些多边形或其组合可以密铺。

……，你能利用几种多边形，通过组合进行密铺吗？我要求每位学生设计一个密铺的图案，但收到的作业质量不是很好，只有美术功底较好的学生的作品还算可以。

还发现学生用纸笔等传统工具，不是很乐意去完成图案设计作业。

于是我就想利用学生已经会用的《几何画板》，让他们完成图案设计的作业，没想到这一改，竟使学生完成的作业美不胜收，即使是数学功底不好的学生，也完成的相当出色。

以下是收集的一些同学的作品。

在这里，学生自由发挥，利用反射、旋转、图形组合及色彩搭配等各种方法，充分展示了自己对几何图形的阐述。

如最后一个图案，学生的灵感来自本节“随堂练习”第2题：利用习题3.7所得的“鱼”形图案能否进行密铺？“鱼”形图案是由正三角形剪拼得到的，用“鱼”形图案可以密铺得到漂亮的图案，用正三角形也一定行。

下图是它的操作步骤，在第一步画正三角形时要用到“旋转”，从第五步以后要用到“反射”，学生们在设计中体味到了“用数学”带来的快乐。

CACACACABBB拖动第三步图形中的任意一个点的位置，可以改变最终的图案（如下图），学生也体会到利用《几何画板》进行图案设计的快捷与便利。

B'C'B'C'A'A'二、运用《几何画板》开展探究，使学生更乐意投入到探索性的数学活动中去探究性学习是区别于直接接受性学习的学习形式，它是指学生在好奇心的驱使下，以问题为导向，有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动。

目前，信息技术在初中数学教学中的应用主要还停留在教师制作课件、学生接受学习的层面上。

《几何画板》给学生提供了一个探究的平台，能够快速的度量线段的长度和角的度数，利用图形中点的运动，能够更直观的让学生观察变化、产生猜想、验证结论。

用《几何画板》进行探究性学习使学生成为真正的主人，从而形成研究数学的积极态度。

案例2：北师大版《数学（八年级下册）》第六章A组复习题第1题：将正方形的四个顶点用线段相连，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个点连接起来）。

如图已知∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°，你能证明此时AB∥EF吗？学生对如何“研究发现．．．．，并非对角线最短，而是如图的连法最短”感兴趣，问我：“到底是怎么研究发现的？我们初中生也能通过研究发现吗？”DB'C'B'C'B'A'A'A'我建议学生利用《几何画板》试一试，为什么连接正方形四个顶点的线段数恰好是五条时长度和最小？点E 、F 为什么要摆在如图的位置？1、如果用四条线段连接，一定要过中心在正方形ABCD 所在平面上取一点M ，度量AM 、BM 、DM 、CM 的长度，计算它们的和，拖动M 点，观察长度和的变化情况。

m A M+m MB +m MD+m CM = 8.61 厘米m CM = 2.17 厘米m MD = 2.15 厘米m MB = 2.15 厘米m A M = 2.13 厘米拖动点M拖动点Mm A M+m MB +m MD+m CM = 8.84 厘米m CM = 2.02 厘米m MD = 2.84 厘米m MB = 1.50 厘米m A M = 2.49 厘米D CD C学生很快猜得M 为AC 和BD 的交点时，长度和最小（当正方形边长为3cm 时，长度和约为8.61cm ）。

这个猜测，很容易用“三角形两边之和大于第三边”加以证明(证明过程略)。

度量课本中图形中的线段和（当正方形边长为3cm 时，长度和约为8.32cm ）的情况，学生发现确实用五条线段连接比用四条要好。

用六条线段呢？2、六条线段的情况可以转化为五条线段通过多次尝试，学生发现，移动图中的Q 点，只引起两条线段长度PQ 、QC 的改变（移动O 点或P 点都会引起三条线段长度的改变），比较容易发现规律。

当O 、P 不动时，通过拖动点Q ，发现当P 、Q 、C 三点共线时，长度和最小，这个结论也可以用“三角形两边之和大于第三边”加以证明，从而发现，用六条线段连接的情况可以转化为五条线段连接的情况。

当用七条以上的线段连接正方形的顶点时，情况多种多样，非常复杂。

在学生们尝试的几种情况中，都能够用固定一些点，变动一个点的方法，化曲为直，m A O+m OD+m OP+m P B+m P Q+m QC = 8.61 厘米m QC = 1.28 厘米m P Q = 1.23 厘米m P B = 1.54 厘米m OP = 1.37 厘米m OD = 1.85 厘米m A O = 1.32 厘米拖动点 Q拖动点 Qm A O+m OD+m OP+m P B+m P Q+m QC = 9.13 厘米m QC = 1.57 厘米m P Q = 1.46 厘米m P B = 1.54 厘米m OP = 1.37 厘米m OD = 1.85 厘米m A O = 1.32 厘米DD变为线段数较小的情况。

本人认为，该问题的彻底解决，需要用到图论的知识，这是我的初中学生力所不能及的。

学生们在电脑上对各种情形进行尝试后，虽然没有列举出所有的情况，但已经确信用五条线段连接的情况比用六条以上的线段连接要好（指的是连接正方形四个顶点的线段总长度的最小值最小）。

下面只要研究用五条线段连接的情况。

3、结论是可以猜到的在五条线段连接正方形的四个顶点的情况中，学生们一时找不到观察的方向，是问题中的“如图已知∠DAE=∠ADE=30°，∠AEF=∠BFE=120°”给了他们灵感，要从角度方面观察，从而想到度量角度。

如图（1），F 点不动，拖动点E ，通过多次尝试，学生发现当∠AEF=∠DEF=∠AED 时，线段和较小（如图（2））。

如图（3），E 点不动，拖动点F ，发现当∠BFE=∠CFE=∠CFB 时，线段和较小（如图（4））。

重复以上两个步骤，经过若干次的逐步调整，∠AEF 、∠DEF 、∠DEF 、∠BFE 、∠CFE 、∠CFB 大致都是120°，此时线段和不再变小（这与计算机的计算精度有关）。

拖动点W拖动点XDDDAAA拖动点F （3）m ∠EFB = 137.33︒m ∠EFC = 112.30︒m ∠DEF = 120.75︒m ∠FEA = 120.46︒m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.37 厘米m FB = 1.50 厘米m CF = 2.18 厘米m FE = 1.17 厘米m ED = 2.02 厘米m AE = 1.50 厘米（4）m ∠EFB = 137.33︒m ∠EFC = 112.30︒m ∠DEF = 120.75︒m ∠FEA = 120.46︒m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.37 厘米m FB = 1.50 厘米m CF = 2.18 厘米m FE = 1.17 厘米m ED = 2.02 厘米m AE = 1.50 厘米（2）m ∠EFB = 120.46︒m ∠EFC = 120.07︒m ∠DEF = 112.06︒m ∠FEA = 129.16︒m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 8.34 厘米m FB = 1.56 厘米m CF = 1.95 厘米m FE = 1.30 厘米m ED = 2.02 厘米m AE = 1.50 厘米拖动点E （1）m ∠DEF = 145.96︒m ∠FEA = 59.10︒m AE+m ED+m FE+m CF+m FB = 9.32 厘米m FB = 1.50 厘米m CF = 2.18 厘米mFE = 1.39 厘米m ED = 1.55 厘米m AE = 2.70 厘米DCDCDCAA图（2）中的点E就是△ADF的费尔马点，但学生不知道这个结论。

事后我表扬了学生，“你们利用《几何画板》发现了法国大数学家费尔马发现的结论——费尔马点到三角形三个顶点距离和最小”。

学生们限于知识，还不能证明自己发现的结论，但通过在《几何画板》上的数学实验，学生们不再对课本上的说法“研究发现．．．．，并非对角线最短，而是如图的连法最短”感到奇怪，而是深深体会到：“我也可以研究发现．．．．”。

学生的探究活动也不是完美无缺的，学生们遗漏了用三条线段连接正方形的四个顶点的情况，最终学生也没有给出一个完整的证明。

但重要的是通过探究式活动培养了学生研究数学的自觉性和自信心，有些学生又对“用线段连接正三角形的三个顶点，连接正五边形的五个顶点，……，什么时候线段的长度和最小”开展了探究。