勾股定理复习课
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北师大版八年级上册第一章勾股定理复习(教案)
-数据分析能力的培养：在分析勾股数的过程中，学生可能不知道如何系统地分析和归纳数据，从而找出勾股数的规律。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
举例：针对勾股定理证明的难点，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
-使用直观的图形和动画演示面积法的证明过程，让学生看到面积转化的直观效果。
-分步骤讲解证明过程，强调每一步的逻辑关系和数学意义。
-组织学生进行小组讨论，鼓励他们用自己的语言解释证明过程，加深理解。
其次，在新课讲授环节，我注重理论与实践相结合，通过具体的案例分析和实验操作，帮助学生加深对勾股定理的理解。这种教学方法取得了较好的效果，但我也注意到部分学生在理解证明过程时仍存在困难。因此，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生积极参与到课堂中，提高了他们的动手能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分小组在讨论过程中存在时间分配不均的问题。为了提高课堂效率，我需要在今后的教学中加强对小组讨论的引导和监督，确保每个学生都能充分参与到讨论中来。
-对于勾股数的性质，教师可以设计一些探索性的活动，如让学生尝试找出一定范围内所有的勾股数，通过实践活动发现勾股数的规律。
-在解决实际问题时，教师应引导学生如何从问题中抽象出数学模型，如何将现实问题转化为数学问题，并通过示例来演示解题步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量一块三角形的草地面积。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾勾股定理的奥秘。
-勾股定理的应用：学会将勾股定理应用于解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度或判断一组数是否为勾股数。
第一章勾股定理复习课教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-对于实际问题，教师需设计不同难度的题目，如斜边未知、一条直角边未知或者需要用到勾股定理的变形等，帮助学生克服在应用中遇到的困难。
-在证明难点上，教师应详细解释每种证明方法的思路，如几何拼贴法中如何通过面积相等来推导出勾股定理，代数推导法中如何利用平方差公式等。
-对于勾股数的创造性应用，教师可以通过提供不完整的直角三角形信息，让学生尝试用勾股数去补全信息，锻炼学生的思维能力和创新意识。
4.学生小组讨论环节，大家积极分享自己的观点和想法，有助于提高他们的表达能力和思维能力。但在今后的教学中，我需要关注每个学生的参与程度，鼓励他们大胆发表自己的见解，使讨论更加全面和深入。
5.总结回顾环节，学生对勾股定理的理解和掌握程度得到了巩固。但在今后的教学中，我应加强对学生的引导，帮助他们从多个角度理解和运用勾股定理，提高他们的综合运用能力。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一数学概念。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.导入新课环节，以生活中的实际例子引导学生思考，激发了他们的学习兴趣。然而，在今后的教学中，我应更加注重引导学生从实际问题中发现数学规律，提高他们的问题意识。
3.提升学生的数学建模素养，将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-对于实际问题，教师需设计不同难度的题目，如斜边未知、一条直角边未知或者需要用到勾股定理的变形等，帮助学生克服在应用中遇到的困难。
-在证明难点上，教师应详细解释每种证明方法的思路，如几何拼贴法中如何通过面积相等来推导出勾股定理，代数推导法中如何利用平方差公式等。
-对于勾股数的创造性应用，教师可以通过提供不完整的直角三角形信息，让学生尝试用勾股数去补全信息，锻炼学生的思维能力和创新意识。
4.学生小组讨论环节，大家积极分享自己的观点和想法，有助于提高他们的表达能力和思维能力。但在今后的教学中，我需要关注每个学生的参与程度，鼓励他们大胆发表自己的见解，使讨论更加全面和深入。
5.总结回顾环节，学生对勾股定理的理解和掌握程度得到了巩固。但在今后的教学中，我应加强对学生的引导，帮助他们从多个角度理解和运用勾股定理，提高他们的综合运用能力。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一数学概念。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.导入新课环节，以生活中的实际例子引导学生思考，激发了他们的学习兴趣。然而，在今后的教学中，我应更加注重引导学生从实际问题中发现数学规律，提高他们的问题意识。
3.提升学生的数学建模素养，将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
勾股定理的证明及应用(复习课)
2
B
X
X+0.5 A
勾股定理 一辆装满货物的卡车2.5m高，1.6m宽，要开进 具有如图所示形状厂门的某工厂，问这辆卡车能 否通过厂门？说明你的理由。 P 1 0.6 A B O 0.8 Q 2.3
2
勾股定理 如图,点A是一个半径为 ２５０ m的圆形森林公园的
中心,在森林公园附近有 B .C 两个小镇,现要在 B.C 两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两镇 连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问?请通过计算 说明此公路会不会穿过该森林公园.
A
勾股定理
变式一：如果电线杆的高度未知，现有一根一端固定在电线杆 顶端的钢缆，且钢缆长比电线杆长8米，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B的距离为12米，求电线杆的高度。 变式二：现有一根一端固定在电线杆顶端的钢缆，给你一把米 尺，你能测量出旗杆的高度吗？请你设计方案。
C
B
A
荷花问题
勾股定理
7.印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷 花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”， C 请用学过的数学知识回答这个问题。
勾股定理复习课 1、美丽的勾股树
勾股定理
2、拼图证明
勾股定理
赵爽弦图
勾股定理
c
b
a
印度婆什迦罗的证明
勾股定理
c b a
c2 = b2 + a2
直接观察验证
勾股定理
a2
a2 c2 b2 a 2 + b 2 = c2
总统法
勾股定理
a
b
勾股定理复习课件
h
1.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 ABD中，根据勾股定理 A’
BD AB AD 4 3 5
2 2 2 2 2 2
D’ B’
C’
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
BD'2 DD '2 BD 2 12 2 52 13 2 BD' 13(cm）。
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平 方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
选择: 直角三角形的两条直角边长为a,b, 斜边上的高为h,则下列各式中总能成立 的是 ( D )
A. ab=h
2
B. a +b =2h
2
2
2
1 1 1 C. + = a b h
1 1 1 D. 2 + 2 = 2 a b h
4.互逆命题与互逆定理的概念
无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13 , 17 , 5，20
4.勾股定理及其逆定理的应用
①勾股定理可以解决直角三角形当中一些
与边有关的问题（直角边、斜边、斜边上
的高、面积等）
②勾股定理的逆定理可以判断一个三角形
是否是直角三角形(此时先找到最长边,再
看看两较短边的平方和是否等于长边的平
本章知识框图:
实际问题
(直角三角形边长计算)
互逆 定理
由形到数
勾股定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理 的逆定理
题设
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2+b2=c2
2勾股定理2(经典题型)
（6）若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为cm。
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
勾股定理复习课5.13
三、常见问题枚举：
知识点3：勾股定理与其他定理的简单应用
⑸与逆定理
变式：已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm， AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求 四边形ABCD的面积。
A B C D
通过本堂课的学习，你弄懂了哪些知识？ 感受到了那些思想？还有什么困惑？
题设 结论
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2.用勾股定理进行计算 1.判断某三角形是否 2.证明与平方有关的问题 为直角三角形（3种） 3.解决实际问题 2.解决实际问题 联系 1.两个定理都与“三角形的三边关系a2+b2=c2”
E AA
E
B
B
DD
C
C
变式：如图所示，在 RTΔABC中，∠C=90°，DE 是斜边AB的垂直平分线， BC=8，AC=4，求BD
三、常见问题枚举：
知识点3：勾股定理与其他定理的简单应用
⑸与逆定理
例7：如图所示一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
三、常见问题枚举：
知识点3：勾股定理与其他定理的简单应用
⑶与角平分线
例5：在RTΔABC中，两直角边AB=6，BC=8， ∠BAC的角平分线交BC边于点D,则BD的长 为 .
A
M
B
D
C
三、常见问题枚举：
知识点3：勾股定理与其他定理的简单应用
⑷与线段垂直平分线
例6：如图所示，在ΔABC中，DE是AB的垂直 平分线，BD=5，DE=3，求AB
例2：在⊿ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，AC=8，BC=6，求CD
勾股定理复习课件
4
44
4
∴AC2+AD2=CD2, ∴∠CAD=90°．
12+（3）2=5. 44
∴S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AD·AC=12×1×34+12×3×54=94
第十七章 勾股定理
素养提升
专题一 方程思想——折叠问题
例 1 如图, 将一个长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠, 点 B 落在 点 E 处, AE 交 DC 于点 F, 已知 AB=4 cm, BC=2 cm. 求折叠后重合 部分(△ACF)的面积.
如图, 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
由勾股定理, 得 AB= AC2+BC2= 92+122=15.
根据等积法 12AC·BC=
12AB·CD,
则 CD=
36. 5
第十七章 勾股定理
专题二： 勾股定理的实际应用
例 3 如图, 在公路 l 旁有一块山地正在开发, 发现需要在 C 处进 行爆破. 已知点 C 与公路上的停靠点 A 的距离为 300 m,与公路上 的另一停靠点 B 的距离ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 400 m,且 AC⊥CB, 为了安全起见, 以爆 破点 C 为圆心, 250 m 为半径的圆内不得有人进入. 则在进行爆破 时, 公路 AB 段是否有危险？需要暂时封锁吗？
相关题 2 [广州中考]在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=9, BC=12, 则
点 C 到 AB 的距离是( A ).
A．356
B．1225
C．94
D．3 4 3
分析：
先根据题意画出图形, 再结合勾股定理求出直角三角形的斜边长, 最
第十七章 勾股定理 章末复习 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版八年级数学下册
巩固练习
1.如图，一个圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B点，请你算一算梯子最短需多少米？ （ 已知油罐 的底面周长是12米，高是5米）.
解：如图，将油罐侧面展开，
此时AB= 122 52 =13(m).
2.如图，已知在△ABC中，AB=17 ， AC=10 ， BC边上的高AD=8， 求：(1)BC边的长；(2)△ABC的面积.
A
思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？
1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
2.两个内角互余的三角形是直角三角形.
3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
A
勾股定理的逆定理
c
几何语言：∵a2+b2=c2， b
∴△ABC是直角三角形.
C
a
B
典型例题
S阴影=S△CAD-S△ABC
=
1 2
AC·AD-
1 2
AB·BC
=24
互逆命题
勾股定理
题设：一个三角形 是直角三角形.
勾股定理 的逆定理
题设：一个三角形 的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2.
结论：两条直角边的平 方和等于斜边的平方.
(a2+b2=c2)
结论：这个三角形 是直角三角形.
若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫 做互逆命题.
知识框图 勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边 长的数量关系
直角三角形的判定
复习回顾
回顾思考：
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三 角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明.
勾股定理复习课课件
B点最短路程是 25 .
20
15
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
A B 21 02521 2 5
B
A
5
5 A
6
8
B
64
8
6B
46
A B 2 6 2 9 23 6 8 1 1 1 7
A、120
B、121 C、132
D、123
6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 则三角形的面积为（B ） A、56 B、48 C、40 D、32
A x2+82=(16-x)2
x=6
16-x
BC=2x=12
8
SABC
1128B48 2
x
Dx
C
选择题
7．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三 边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
C 20 A
在Rt△ADC中，(1 0x)22 02(3 0-x)2
解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学 家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三 角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面
积分别为52和4，那么一个直角三角形的两
直角边的和等于 10 。
P
30° 100
M 160
A
Q
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子
，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
20
15
如图是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在
其内壁的A处（长的四等分点）处有一只壁虎，
B（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
A B 21 02521 2 5
B
A
5
5 A
6
8
B
64
8
6B
46
A B 2 6 2 9 23 6 8 1 1 1 7
A、120
B、121 C、132
D、123
6.等腰三角形底边上的高为8，周长为32， 则三角形的面积为（B ） A、56 B、48 C、40 D、32
A x2+82=(16-x)2
x=6
16-x
BC=2x=12
8
SABC
1128B48 2
x
Dx
C
选择题
7．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三 边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
C 20 A
在Rt△ADC中，(1 0x)22 02(3 0-x)2
解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学 家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三 角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面
积分别为52和4，那么一个直角三角形的两
直角边的和等于 10 。
P
30° 100
M 160
A
Q
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子
，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
勾股定理专题复习课
勾股定理可以用于计算直角三角形的面积。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
在此添加您的文本17字
总结词：计算错误
在此添加您的文本16字
详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
在此添加您的文本16字
总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
勾股定理全章复习公开课
第14章 勾伊洛中学 潘素萍
熟记勾股定理及其逆定理
能综合应用勾股定理及其 逆定理解决问题.
教学目标：
自主复习课本108页———125页；
思考:你学到了哪些知识？
设疑导学
a
b
c
勾股定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
拼图验证法
勾股定理的应用
勾股数
勾股定理的逆定理的应用
5 或
合作探究
问题一：如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部分△BFD的面积。
A
B
C
D
F
A′
4
8
x
8-x
3
5
归纳：
1
折叠出对称，勾股建方程！
2
合作探究
问题二：已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
∵a2+b2=c2
(3)
如果三角形的三边长为a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
C
A
B
a
b
c
第1题
1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积 (1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 则A=______个单位面积. (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 则C=______个单位面积.
C
A
B
a
b
c
A
测评反馈
1、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边落在AB边上,点C落在点E处，求CD的长。
熟记勾股定理及其逆定理
能综合应用勾股定理及其 逆定理解决问题.
教学目标：
自主复习课本108页———125页；
思考:你学到了哪些知识？
设疑导学
a
b
c
勾股定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
拼图验证法
勾股定理的应用
勾股数
勾股定理的逆定理的应用
5 或
合作探究
问题一：如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部分△BFD的面积。
A
B
C
D
F
A′
4
8
x
8-x
3
5
归纳：
1
折叠出对称，勾股建方程！
2
合作探究
问题二：已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
∵a2+b2=c2
(3)
如果三角形的三边长为a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
C
A
B
a
b
c
第1题
1.如图，字母A，B，C分别代表正方形的面积 (1)若B=225个单位面积,C=400个单位面积, 则A=______个单位面积. (2)若A=225个单位面积,B=81个单位面积, 则C=______个单位面积.
C
A
B
a
b
c
A
测评反馈
1、如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，折叠∠CBA，使BC边落在AB边上,点C落在点E处，求CD的长。
初中数学《勾股定理》复习课
B
A.20
B.10 C.14 D.无法确定
2
O
蛋糕
B
C
６
8
８
A
周长的一半
A
B
2.一根150cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
40 cm，30 cm，120 cm的长方体木箱中，露出木
箱的部分最短是多少？
探究新知
类型五：判断一个三角形是否为直角三角形
例1: 如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上
那么这个三角形是直角三角形
B
b
C
符号语言： 在△ABC中,
2+b2=c2
∵a
c
∴ △ABC 是直角三角形，
∠C=90°
a
A
在∆ABC中, a，b，c为三边长,若 c为最大边, 则∠C为三
角形最大角。
若a2 +b2=c2, 则∆ABC为 直角 三角形; ∠C为 直角
若a2 +b2>c2, 则∆ABC为 锐角 三角形; ∠C 为 锐角
∴AE2+ AD2= DE2, BE2+ BC2= EC2,
∴AE2+ AD2= BE2+ BC2,
设AE= ,则BE=AB-AE=(25- ),
∵DA=15km，CB=10km,
∴ 2+ 152=(25- )2 + 102;
解得: =10, ∴ AE= 10km ,
探究新知
类型七：勾股定理与最短距离问题
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要
在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距
离相等．
E站应建在A站多少km处？
A.20
B.10 C.14 D.无法确定
2
O
蛋糕
B
C
６
8
８
A
周长的一半
A
B
2.一根150cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
40 cm，30 cm，120 cm的长方体木箱中，露出木
箱的部分最短是多少？
探究新知
类型五：判断一个三角形是否为直角三角形
例1: 如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上
那么这个三角形是直角三角形
B
b
C
符号语言： 在△ABC中,
2+b2=c2
∵a
c
∴ △ABC 是直角三角形，
∠C=90°
a
A
在∆ABC中, a，b，c为三边长,若 c为最大边, 则∠C为三
角形最大角。
若a2 +b2=c2, 则∆ABC为 直角 三角形; ∠C为 直角
若a2 +b2>c2, 则∆ABC为 锐角 三角形; ∠C 为 锐角
∴AE2+ AD2= DE2, BE2+ BC2= EC2,
∴AE2+ AD2= BE2+ BC2,
设AE= ,则BE=AB-AE=(25- ),
∵DA=15km，CB=10km,
∴ 2+ 152=(25- )2 + 102;
解得: =10, ∴ AE= 10km ,
探究新知
类型七：勾股定理与最短距离问题
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要
在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距
离相等．
E站应建在A站多少km处？
勾股定理期末复习课件(公开课)
勾股定理
1：勾股定理的验证 2：求第三边 3：求斜边上的高 4：求面积 1：勾股数 2：逆定理(给出三边长度判断直角三角形）
第 一 章 股 股 定 理
勾股定理 逆定理
勾股定理 应用
1：折叠问题 2：最短路径问题
勾股定理： 如果用a,b,c表示直角三角形的两个直角边和斜 边，那么a2+b2=c2 B 变形： 2 2
例1：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距 离。
F
●
H
A
例2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长 为多少？
D1 A1 D A 4
．
C S3 A S1
S2 B
图3
变式1．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最 大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是_______
变式2：如图4，分别以Rt
ABC三边为边向外作三个 半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、
例1：在△ABC中， a : b : c 1:1: 确切形状是_____________。
2
，那么△ABC的
例2：如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13， 求四边形ABCD的面积.
例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm，• 长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处 （折痕为AE） D A (1)求BF的长； (2)求EC的长。
勾股定理复习课(第1和2课时)
3km
20s
V=S÷T
8.某考古员发现了一张文字叙述的藏宝图“他们登陆后先往东走 8千米，又往北走 2千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，再折向北 走到 图画出来(2)登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
过点B作BC⊥AC于C 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=6，BC=8 AB = 2 2 = 6 8 =10（千米） 答：登陆点A到宝藏点B的直线 距离是10千米。
D O
BD OD OB
B
在RtCOD中，由勾股定理得：
OD2 CD 2 OC 2
?
OD 21
即：21 3 2
分类思想
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是 直角边还是斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
六、最短路径
勾股定理的复习
第1课时
什么叫勾股定理？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2
注意：
1、直角三角形是前提。 2、谁是斜边要清楚。
1、勾股定理的公式变形
a2+b2=c2
A
a2=c2－b2
c
b2 =c2-a2
2
2
b C
a c b
2
B
b= c2-a2
2
a
c a b
勾股定理的证明
5.勾股定理的逆定理:
三角形的三边a,b,c满足 a2+b2=c2,则这个三角形是直角 三角形，较大边C所对的角是
直角.
6、特殊三角形的三边关系：
A
A b c
c
b
B
a
C
七年级数学上册 第十八章 勾股定理复习课件 新人教版(共10张PPT)
现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 又向西走了3km，再向北走9km，最后向东一拐，仅走1km就找到了出口B．你能帮他们计算出出口点B与入口点A的直线距离有多远吗？
(如直图角所三示角，形圆边柱长形计玻算璃) 容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上 如口图外是 侧一距个开机口器1c零m的件点示B意处图发，现∠一AC点D点=9食0°物是碎这屑种．零请件问合：格蚂的蚁一爬项到指食标物．处现的测最得近A路B＝线4是cm多，长B？C＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm， ∠一A长B方C=形90水°．池根的据长这、些宽条、件高，分能别否为知12道dm∠、AC4Ddm等、于39d0m°？，池中有一满池水．小亮把长度为14dm的金属棒放入水中，能否被完全淹没？说说
5.一长方形水池的长、宽、高分别 你的理由．
小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明.
为12dm、4dm、3dm，池中有一满池 如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
第十八章 勾股定理 (复习课)
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长ห้องสมุดไป่ตู้算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找一 个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成 立吗?请举例说明.
2.小亮想知道学校旗杆的高度．他发 如直图角是 三一角个形机三器边零的件长示有意什图么，关系∠A?C找D一=9个0°实是际这问种题零并件用合勾格股的定一理项解指决标.．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
(如直图角所三示角，形圆边柱长形计玻算璃) 容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上 如口图外是 侧一距个开机口器1c零m的件点示B意处图发，现∠一AC点D点=9食0°物是碎这屑种．零请件问合：格蚂的蚁一爬项到指食标物．处现的测最得近A路B＝线4是cm多，长B？C＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm， ∠一A长B方C=形90水°．池根的据长这、些宽条、件高，分能别否为知12道dm∠、AC4Ddm等、于39d0m°？，池中有一满池水．小亮把长度为14dm的金属棒放入水中，能否被完全淹没？说说
5.一长方形水池的长、宽、高分别 你的理由．
小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米； 如果一个命题成立,它的逆命题一定成立吗?请举例说明.
为12dm、4dm、3dm，池中有一满池 如图是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
第十八章 勾股定理 (复习课)
一、 本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长ห้องสมุดไป่ตู้算)
实际问题 (判定直角三角形)
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.直角三角形三边的长有什么关系?找一 个实际问题并用勾股定理解决.
2.已知一个三角形的三边,你能判断它 是否直角三角形吗?
3.如果一个命题成立,它的逆命题一定成 立吗?请举例说明.
2.小亮想知道学校旗杆的高度．他发 如直图角是 三一角个形机三器边零的件长示有意什图么，关系∠A?C找D一=9个0°实是际这问种题零并件用合勾格股的定一理项解指决标.．现测得AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，
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勾股定理复习课
学习目标：
1、进一步理解勾股定理的内容。
2、能熟练使用方程思想解决问题。
3、培养学生独立分析问题、解决问题的水平。
一、知识要点
1、勾股定理
____________________________________
2、勾股定理应用的条件：
____________________________________
二、巩固练习
填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
选择题
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7或25
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10
D、a=3,b=4,c=5
三、方程思想的使用
１、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题。
方程思想规律总结
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。
2、有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求： 1.CF=？ 2.EC=？
4(变式)、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求AE
当堂检测
1.一根旗杆高8m,断裂后旗杆顶端落于旗杆底端4m处，旗杆的断裂出距离地面（）米
2.以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分别是25和144，则斜边长是（）
3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC 的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2 D、60cm2 4．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（）
A、56
B、48
C、40
D、32
5.一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD。