北师大版数学必修四第一章知识点总汇(可编辑修改word版)
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题[2]
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高中数学必修四 第一章知识点归纳第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类(正角、负角、零角和象限角)，正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k zββπα=+∈ ,弧度制,弧度与角度的换算,弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==,二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0）,那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
三：同角三角函数的关系式与诱导公式:1.平方关系：22sin cos 1αα+=2. 商数关系:sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变,符号看象限.正弦余弦正切第二、三角函数图象和性质基础知识：1、三角函数图像和性质1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
高中数学必修4(北师版)第一章1.8(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
π ) 的最小正周期，单调性，对称轴，对称中心． 3
π π π kπ π kπ 5π 时，解得 < 3x − < kπ + − <x< + (k ∈ Z) ．所以，函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ，即 x = 时，函数的对称中 ( − , + )(k ∈ Z) 上单调递增．当 3x − = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z)． 9 6
象． （2）将 y = 的图象．
1 sin x 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），从而得到 y = sin x 2 1 ，从而得到 y = sin 2x 的图 2
（3）将 y = sin x 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 象． 函数 y = 2 sin(
1 π x + ) 的图象是由函数 y = sin x 的图象怎样变换得到的？ 3 4 π π π 解：变换一：将 y = sin x 的图象向左平移 个单位，得到 y = sin(x + )，再将 y = sin(x + ) 4 4 4 1
π π , ) 内的图象．根据正切函数的周期 2 2 π π 性，我们可以把函数图象向左、向右连续平移，得出 y = tan x，x ∈ (− + kπ, + kπ) ， k ∈ Z 2 2
的图象，即正切曲线．
正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点， 然后在描点作图时要注意到，被 这五个点分隔的区间上的变化情况，在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在
(完整word版)北师大高中数学必修四知识点(非常详细)
北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限,就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ}4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算:π= 180 rad,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3）若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数）,半径为r ,则：弧长公式：r l ||α= ;扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数：（1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P （u ，v ), 那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ；u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 叫 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv 。
2019-2020学年北师大版数学必修四新素养同步讲义：第一章 1-2 角的概念的推广 Word版
姓名，年级：时间：§1周期现象§2角的概念的推广1．周期现象我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．2．任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．（2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图形正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角3.(1)在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．（2）象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角｛α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角{α｜k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°〈α<k·360°＋270°，k∈Z｝第四象限角{α｜k·360°＋270°〈α〈k·360°＋360°，k∈Z}(3轴线角角的集合表示终边落在x轴的非负半轴上的角｛α｜α＝k·360°，k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在x轴上的角｛α｜α＝k·180°，k∈Z｝终边落在y轴的非负半轴上的角{α｜α＝k·360°＋90°,k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上的角{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}终边落在y轴上的角｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z｝终边落在坐标轴上的角｛α｜α＝k·90°，k∈Z}(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．1．判断正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1）钟表的秒针的运动是周期现象．( ）(2）某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．（）（3）钝角是第二象限的角．( ）(4）第二象限的角一定比第一象限的角大．（）(5）终边相同的角不一定相等．( ）解析：（1）正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．（2)错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．(3）正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．（4)错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角,但100°<361°.(5)正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．答案：（1)√(2)×（3)√(4）×（5)√2．已知下列各角：①－120°;②－240°;③180°；④495°。
北师大高中数学必修四知识点非常详细
北师大高中数学必修四知识点非常详细1.函数函数是数学中非常重要的概念之一、函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，函数通常用公式表示，例如y=f(x)。
函数有多种形式，常见的包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2.直线与圆直线和圆是几何中的基本图形。
直线是由一系列点组成的，这些点在同一条直线上。
圆由一个固定点（圆心）和所有到该点距离相等的点组成。
直线和圆有许多重要的性质和定理。
3.平面向量平面向量是数学中的一种工具，用于表示空间中的有向线段。
平面向量有大小和方向，可以进行加法、减法、数乘等运算。
平面向量还可以用坐标表示，例如向量AB可以表示为AB=<x,y>。
4.三角函数三角函数是数学中的重要工具，用于研究角和周期现象。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数有一系列的性质和公式，可以用于求解各种数学问题。
5.导数与微分导数是微积分中的重要概念。
导数描述了函数在特定点处的变化率。
微分是导数的一种特殊情况，表示函数在特定点的小变化量。
导数和微分有许多重要的应用，例如求函数的极值、描绘函数的图像等。
6.不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分的两个重要分支。
不定积分是导数的逆运算，可以用来求解函数的原函数。
定积分表示函数在一些区间上的面积或曲线下的定积分函数值。
不定积分和定积分有许多重要的性质和定理，可以用于求解各种数学问题。
7.数列与数学归纳法数列是数学中一个重要的概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
数学归纳法是一种证明方法，常用于证明数学命题，特别适用于证明关于数列的命题。
8.排列与组合排列和组合是数学中的一个重要分支，研究对象是从给定集合中选择元素进行排列或组合的方法。
排列是有序选择元素，组合是无序选择元素。
排列和组合有许多重要的性质和公式，可以用于解决各种计数问题。
高中数学必修四第一章知识点必看
高中数学必修四第一章知识点必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些高中数学必修四第一章知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
高一数学必修四知识点总结第一章三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角.第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k第一象限角的集合为k360k36090,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是l.r1806、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3.1807、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，111Slrr2.228、设是一个任意大小的角，它与原点的距离是rr的终边上任意一点的坐标是x,y，则sin0，yxy，cos，tanx0.rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.10、三角函数线：sin，cos，tan.222211、角三角函数的基本关系：1sin2cos21sin1cos,cos1sin;2sintancossinsintancos,cos.tan12、函数的诱导公式：1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank.2sinsin，coscos，tantan.3sinsin，coscos，tantan.4sinsin，coscos，tantan.口诀：函数名称不变，符号看象限.5sincos，cossin.6sincos，cossin.2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.13、①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度，得到函数ysinx 的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数ysinx的图象.②数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度，得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横2坐标不变)，得到函数ysinx的图象.14、函数ysinx0,0的性质：①振幅：;②周期：2;③频率：f1;④相位：x;⑤初相：.2函数ysinx，当x-x1时，取得最小值为ymin;当x-x2时，取得值为ymax，则11x2x1x1x2ymaxyminymaxymin22，，2.yASinx,A0,0,T215周期问题2yACosx,A0,0,TyASinx,A0,0,TyACosx,A0,0,TyASinxb,A0,0,b0,T22yACosxb,A0,0,b0,TTyAcotx,A0,0,yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,TyAtanx,A0,0,T高一数学必修四线性回归分析知识点线性回归方程设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n 个点(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。
北师大版高中数学必修四详细知识点加例题解析
高中数学北师版必修四全册知识点含例题分析第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。
第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ} 4、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． （2）度数与弧度数的换算：π=180 rad ，1 rad '185730.57)180(=≈=π（3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则：弧长公式：r l ||α= ；扇形面积：2||2121r lr S α===5、三角函数:（1）定义:①设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α= v ; u 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=u ; 当α的终边不在y 轴上时，uv 做α的正切，记作tan α, 即tan α=uv . ②设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠ （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：第一象限全为正；二正三切四余弦.6()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．()()2sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()3sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．αsinx y ++ _ _ O x y + + _ _ αcos Oαtan x y++__ O()()4sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()5sin 2sin παα-=-，()cos 2cos παα-=，()tan 2tan παα-=-．口诀：函数名称不变，正负看象限．()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()7sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．sin y x =cos y x = tan y x =图 象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域值域： []1,1-当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：[]1,1-当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 值域：R既无最大值也无最小值周期性sin y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2π cos y x =是周期函数；周期为2,T k k Z π=∈且0k ≠； 最小正周期为2πtan y x =是周期函数；周期为,T k k Z π=∈且0k ≠；最小正周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识：（1）()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系：①振幅变换：x y sin = x A y sin =②周期变换：x y sin =x y ωsin =③相位变换：x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换：)sin(ϕω+=x A y ()sin x b ωϕ=A ++先平移后伸缩：函数sin y x =的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．先伸缩后平移：函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象整体向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕω图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍，纵坐标不变图象整体向上（）或向下（）个单位，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上（0>b ）或向下（0<b ）平移b 个单位，得到函数()sin y x b ωϕ=A ++．（2）函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA bx A y 的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 定义域：R值域：[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时，max y A b =+； 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时，min y A b =-+．周期性：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数；周期为ωπ2=T单调性：x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数； x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数． 对称性：对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭；对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：||a =．4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版
北师大高中数学必修四知识点非常详细修订版第一章函数的概念与性质1.1函数的概念1.2函数的基本性质函数的基本性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。
根据图像和函数表达式可以判断函数的性质。
第二章三角函数与解三角形2.1三角函数的概念与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义域和值域，以及图像和周期都有一定的规律。
2.2三角函数的运算三角函数之间可以进行各种运算，如加减乘除、复合函数、反函数等。
这些运算可以通过公式和性质来推导。
2.3解三角形解三角形是指根据给定的一些条件来确定三角形的各个角度和边长。
解三角形的方法有余弦定理、正弦定理、辅助角等。
第三章平面解析几何3.1向量的概念与运算向量是具有大小和方向的量，可以进行加减乘除等运算。
向量的基本性质有共线、共面、平行、垂直等。
3.2平面上的点与直线平面上的点与直线有一些基本的性质和关系。
可以使用两点式、点斜式、一般式等来表示直线。
3.3圆的概念与性质圆是由平面上与特定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆的中心、半径、切线、弦等都有特定的性质。
第四章导数与微分4.1导数的概念与性质导数表示函数在其中一点处的变化率。
导数的性质有加法性、乘法性、链式法则等。
4.2导数的计算可以通过定义法、基本导数公式和导数运算法则等方法来计算导数。
常见的导数有多项式函数、指数函数、对数函数等。
4.3微分与微分中值定理微分是导数的一种近似。
微分中值定理是指在区间内存在特定点，使得该点的斜率等于该区间上的平均斜率。
第五章积分5.1不定积分与定积分不定积分是指求解原函数的过程，定积分是对函数在给定区间上的面积（或弧长等）进行求解。
5.2积分的性质与基本公式积分具有线性性质、区间可加性以及换元积分法等。
常见的积分有多项式积分、三角函数积分等。
5.3定积分的应用定积分可以应用于计算曲线下面的面积、旋转体的体积、弧长、质量、质心等问题。
这些知识点是北师大高中数学必修四的核心内容，对学生的数学能力培养具有重要意义。
北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件
2sin 2 sin 2sin cos cos 2sin 2 sin 2sin 1 cos 1 2sin 1 sin tan
若 17 ，
6 1 1 则 f ( 17 ) 17 6 tan( ) tan(3 ) 6 6 1 1 3. 3 tan 6 3
三角函数的图像
对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，
主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等.
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的 方法化简求值.
【规范解答】f 2sin cos cos
2sin 2 sin( )
2sin cos cos
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用
(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
4
小的θ 值是( (A)
3 4
) (B)
4
(C)
4
(D)
3 4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中 绝对值最小的角α 是_______. 【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与
北师大版高中数学必修四知识点汇总
性 最小正周期为 2
最小正周期为 2
k 0 ；最小正周期为
奇
偶
奇函数
偶函数
奇函数
性
单
调 在 2k
, 2k
性
2
2
在 2k
,2 k k
上 在k
,k
2
2
-3-
k
上是增函数；在
是增函数； 在 2k ,2 k
k
上是增函数．
3
2k
, 2k
2
2
k
上是减函数．
对 对称中心 k ,0 k
称
性 对称轴 x k
k
2
k
上是减函数．
终边在 y 轴上的角的集合为
k 180 90 , k
终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k
3、与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合 { |
k 360 ,k Z }
4、弧度制：
（ 1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是
30
45 60 90 120 135 150 180
2
3
5
的弧度 0
6
4
3
2
3
4
6
sin
0
1 2
2
3
1
2
2
3
2
1
2
2
2
0
cos
1
3
2
1
2
2
2
0
1 2
2 2
3 2
1
tan
0
北师大版高中数学必修四第一章 三角函数.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章三角函数§1 周期现象课时目标1．理解周期现象的定义．2．把握周期现象的规律特征并能应用周期规律解释实际问题．从周期现象到周期概念：(1)观察钟表，分针指向12的位置表明是整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以________为一个周期；时针的运动周期当然是________．(2)地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转____圈的时间，即________．在日常生活、生产实践中，许多事物或现象每间隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象．这个相同的时间间隔就是________．一、选择题1．下列现象是周期现象的是()①日出日落②潮汐③海啸④地震A．①②B．①②③C．①②④D．③④2．如图所示是一个简谐振动的图像，下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0．7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0．1 s和0．5 s时的振动速度最大D．该质点在0．3 s和0．7 s时的速度为零3．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在________处．()A．8点B．10点C．11点D．12点4．今天是星期一，再过167天是( )A ．星期天B ．星期一C ．星期二D ．星期三5．设钟摆每经过1．8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A 点时开始计时，经过1分后，钟摆的大致位置是( )A ．点A 处B ．点B 处C ．O 、A 之间D ．O 、B 之间6．若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2二、填空题7．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________．8．游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20 min 转一圈，估算一下8 h 内最多有____人乘坐过摩天轮．9．已知f (x )是周期为3的偶函数，且f (1)＝2，则f (－10)＝________．10．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过34周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．三、解答题11．一个质点在平衡位置O 点附近振动．如果不计阻力，可将这个振动看作周期运动．它离开O 点向左运动，4秒后第1次经过M 点，再过2秒第2次经过M 点．该质点再过多少时间第4次经过M 点？12．2012年5月1日是星期二，问2012年10月1日是星期几？能力提升13．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012的值为( )x 1 2 3 4 5f (x ) 4 1 3 5 2A ．1B ．2C ．4D ．514．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________________________________________________________________________．第一章 三角函数§1 周期现象答案知识梳理(1)1小时 12小时 (2)一 一年 周期作业设计1．A 2．B 3．B4．A [∵167＝24×7－1，∴再过167天是星期一的前一天，即星期天．]5．D [经过0．45秒，钟摆到达O 点，经过0．9秒钟摆到达B 点，而1分＝59．4秒＋0．6秒＝33×1．8秒＋0．6秒，∵0．6秒介于0．45秒和0．9秒之间，∴钟摆的位置介于O 、B 之间．]6．A [∵函数f(x)的周期为5，∴f(x ＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1．]7．一月 8．768解析 4×8×24＝768．9．2解析 f(－10)＝f(－7)＝f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝2．10．丁 戊11．解 设由O 到A 所需时间为x ，则第一次经过M 点的时间2x ＋(x －1)＝4，得x ＝53，要使质点第4次经过M 点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T ＝203秒第4次经过M 点．12．解 按照公历记法，2012年5、7、8这几个月份都是31天，6、9月份各30天，从5月1日到10月1日过153天．从2012年5月1日到2012年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2012年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期二，这一天是公历2012年10月2日，故2012年10月1日是星期一．13．D [x 0＝5，x 1＝f(5)＝2，x 2＝f(2)＝1，x 3＝f(1)＝4，x 4＝f(4)＝5，x 5＝f(5)＝2，…，∴{x n }为周期数列，且T ＝4，x 2 012＝x 0＝5．]14．12解析 ∵f(1)＝14，令y ＝1得 f(x)＝f(x ＋1)＋f(x －1)，即f(x ＋1)＝f(x)－f(x －1)， ① ∴f(x ＋2)＝f(x ＋1)－f(x)， ② 由①②得f(x ＋2)＝－f(x －1)，即f(x ＋3)＝－f(x)，则f(x ＋6)＝f(x)． ∴该函数周期为6．∴f(2 010)＝f(6×335＋0)＝f(0)．令x ＝1，y ＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，∴f(0)＝12． ∴f(2 010)＝12．。
高中数学 第1部分 第一章 章末小结课件 北师大版必修4
1．周期现象及周期性 (1)周期现象：每隔一段时间会重复出现的现象． (2)周期性： ①周期函数：对于f(x)的定义域内的任一x，都有f(x＋T) ＝f(x)(T≠0)，T是它的一个周期．
②记住与周期有关的常见结论： a．若 f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期． b．若 f(x＋a)＝－ 1 ，则 f(x)为周期函数且 2a 是它
－π2时，ymin＝－1 ymin＝－1
无最值
周期性 周期 T＝2π 周期 T＝2π 周期 T＝π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
在[2kπ－π2，2kπ＋π2] 在[2kπ－π， 在每个区间 单调 上都是增加的；在[2kπ 2kπ]上都是增 (kπ－π2，kπ＋
3．弧度制 (1)角度与弧度的互化： 解决此类问题的关键是角度制与弧度制的互化关系：π rad ＝180°，再由公式1π80＝这这个个角角的的弧度度数数得： ①度数×1π80＝弧度数；②弧度数×1π80＝度数．
(2)弧长与扇形面积公式： ①弧长公式：l＝|α|r. ②扇形面积公式：S＝12lr＝12|α|r2，其中 l 为弧长，r 为圆的半径，α 为圆心角的弧度数．
加的；在[2kπ， 性 ＋π2，2kπ＋32π]上都是 2kπ＋π]上都是 π2)(k∈Z)上都
减少的(k∈Z)
减少的(k∈Z) 是增加的
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
轴对称图形，对
轴对称图形，对称
称轴方程是 x＝
中心对称
轴方程是 x＝kπ，k
高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B，当1x x =时，取得最小值为miny ；当2x x =时，取得最大值为maxy ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．sin y x= cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数函 数 性 质第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a aλλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a aλμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠baCBAa b C C -=A -AB =B共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
(北师大必修4)课件：本章知识梳理1
求出 a，b 的值；若不存在，说明理由．
解：f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，x∈π4，34π. ∵π4≤x≤34π，∴π2≤2x≤32π.∴23π≤2x＋π6≤53π.
∴－1≤sin2x＋π6≤
3 2.
设 f(x)的值域为[－3， 3－1]． (1)当 a>0 时，－2a× 23＋2a＋b＝－3，
－2a×－1＋2a＋b＝ 3－1. 解得ab＝ ＝1 ，3－5∉Q. ∴b 无解． (2)当 a＝0 时，f(x)＝b，不符合要求．
(3)当 a<0 时，－2a× 23＋2a＋b＝ 3－1， －2a×－1＋2a＋b＝－3.
解得ab＝＝－1. 1<0， ∴存在常数 a＝－1，b＝1 满足 a，b∈ Q，且使 f(x)的值域为[－3， 3－1]．
(2)将 y1 的图像向右平移 2 个单位得到 y2 的图像．
∴y2＝2sinπ4x－2＋π4＝2sinπ4x－4π. (3)由(2)知，y2 的周期 T＝2ππ＝8，频率 f＝T1＝18，
4
振幅 A＝2，初相 φ0＝－π4.
专题三：三角函数的性质 1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正 周期，求三角函数的周期一般要通过三角恒等变形化为y＝ Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k或y＝Atan(ωx＋φ)＋k的形 式．然后用公式求解，另外还可以观察分析图像利用图像求出 三角函数的周期．
求函数 y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间 及最大、最小值．
解：因为π3＋4x＋π6－4x＝π2，所以 cos4x－π6＝cosπ6－4x ＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.
从而原式就是 y＝2sin4x＋π3，这个函数的最小正周期为 24π，即π2.
(推荐)高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B，当1x x =时，取得最小值为miny ；当2x x =时，取得最大值为maxy ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 函数 性 质第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a aλλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a aλμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、baCBAa b C C -=A -AB =B()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
2020-2021学年数学北师大版必修4课件：第一章 三角函数 本章知识体系
cos(－274π)－sin(－274π)的值是( C )
A. 2
B．－ 2
C．0
2 D. 2
解析：cos(－ 247π )－sin(－ 274π )＝cos 274π ＋sin 274π ＝cos 34π ＋ sin34π＝－cosπ4＋sinπ4＝0，故选C.
专题三 三角函数的图像与性质
【例3】
数的周期．
4．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义
域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇
函数；当φ＝kπ＋
π 2
(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠
kπ 2
(k∈Z)
时，函数为非奇非偶函数．
5．求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0， ω>0)的单调区间时(若ω<0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变 成正值)，应把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调 性．
A．y＝tanx B．y＝cosx
C．y＝tan2x D．y＝|sinx|
【解答】 (1)相邻两条对称轴之间的距离为π2， 即T2＝π2，T＝π，∴ω＝2. 由f(0)＝ 3，得sinφ＝ 23， 而|φ|<π2，∴φ＝3π. (2)y＝tanx为T＝π的奇函数，且在(0，2π)上是增函数．
规律方法 1.正弦函数与余弦函数的图像具有轴对称性，y
【解答】 (1)原式＝
cos180°＋30°·cos－360°－60°·tan360°－30° tan360°＋30°·sin360°×2＋30°·cos360°×2＋180°
＝－ctaons3300°°··csions3600°°··co－s1ta8n03°0°
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一、角的概念的推广
1、与的终边
1、相同
2、在一条直线上
3、关于x 轴对称
4、关于y 轴对称
北师大版数学必修四第一章知识点总汇
= + 2k , k ∈ Z = + k , k ∈ Z = 2k -, k ∈ Z = (2k + 1)
-
, k ∈ Z
2、终边在
处的角的集合
x + := 2k ,(k ∈ Z )
x :
= k
,(k ∈ Z )
轴线角
=
k
(k ∈ Z ) 2
x - :
= (2k + 1)
, (k ∈ Z )
y + := + 2k
(k ∈ Z ) 2
y :
= + k
,(k ∈ Z )
2 y - :
= 3+ 2k
(k ∈ Z )
2
直线 y = x 上：=
+ k , k ∈ Z
4
3 直线 y = -x 上：= + k , k ∈ Z 4
一
2k < < + 2k
2 三
+ 2k < < 3+ 2k
2
二 + 2k < < + 2k 四
3+ 2k < < 2+ 2k
2
2
4、区域角(不包括边界)
（1） -
2+ 2k < <
3
+ 2k ,(k ∈ Z )
6
（2） + k
< <
4
+ k ,(k ∈ Z )
2
二、弧度制
3 -
2
0 5 4 270° 0
2 - 2
2 -
2 -1 2
7
4
360° 2 2
- 3
不存
在 2 -
2
1 -
2
1 2
2
2
5
6 225° 180° 3 -
3
-1
-1 2 -
2 3 2 315° 1、弧度的定义：在以单位圆为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。
l
弧度的公式：
=
2、角度与弧度的互化
180°＝
rad
（
为角的弧度数，l 为弧长, r 为半径）
r
360°＝ 2
rad
1° ＝
rad
1 rad ＝
180
180
3、角度与弧度的对应表
4、扇形的弧长及面积公式（
为角的弧度数，l 为弧长, r 为半径）
l = r
1 1
2 l 2 s = lr = r =
2 2 2
r = l
= l
r
三、单位圆与正、余弦，正切函数
1、正、余弦、正切函数的定义及关系： 1、单位圆中的定义：
设是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重
合，终边与单位圆 O 交于点 p(u,v),那么点 p 的纵坐标v 叫作角
的正弦函数，记作v = sin
；
3
1
3 3
正切
0 1 2
2 2
3 2
1
余弦
3
2
1
3 2
2 2 1 2
正弦
3 4 2 3 2 3 4 6 0
弧度
150° 135° 120° 90° 60° 45° 30 ° 0° 度
-1
不存在
1
1
点p 的横坐标 u 叫作角的余弦函数，记作u = cos；若≠+k,(k ∈Z )，v
叫作
角的正切函数，记作
v
u
一般定义：
2
u
= tan。
设是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，在角终边上任取一点
p (u , v ) ，设op =r, sin=v
1 , cos=
u
1 , 若≠+ 2k, (k ∈Z ),则tan=v1 。
1 1 1 1 r r
2 u
1
sin
2、正弦、余弦、正切的关系：tan=，
cos ≠+k,(k ∈Z )。
2
2、正弦函数、余弦函数、正切函数的符号：（一全正，二正弦，三两切，四余弦）
3、正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限sin（2kπ+α）
=sinα （k∈Z） cos（2kπ+α）=cosα
（k∈Z） tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）
cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z） sin（π+α）
=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα cot （－α）=－cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=
－tanα cot（π－α）=－cotα sin（2π－α）=－
sinα cos（2π－α）
=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sin（π/2+α）
=cosα cos（π/2+α）=—sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sin（π/2－α）
=cosα cos（π/2－α）
=sinα tan（π/2－α）
=cotα cot（π/2－α）
=tanα sin（3π/2+α）=
－cosα cos（3π/2+α）
=sinα tan（3π/2+α）=
－cotα cot（3π/2+α）=－tanα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=－sinα tan（3π/2－α）=cotα cot（3π/2－α）
=tanα。