数学思想方法专题讲解降次法
数学思想方法专题讲解第二讲降次法
考点二：降次法降次法：解数学题时,把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
(一)直接代入降次:１。
已知2=1-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
2。
已知2330x x +-=,求代数式325310x x x ++-的值.3．已知2310-+=x x ，求代数式322372009x x x --+的值.4。
已知210a a +-=,求代数式4322343a a a a +--+的值。
（二)与方程的解有关的降次：1．已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.２．已知m 是方程2310x x -+=的根,求代数式42110m m -+的值。
3．已知m 是方程25350--=x x 的一个根,求代数式22152525----m m m m 的值。
４。
已知a 是方程2200910-+=x x 一个根，求22200920081-++a a a 的值。
(三)先变形，后降次：１．（处理根号)已知:x =,求代数式4323652x x x x --++的值。
2.（处理代数式）若2240a a --=, 求代数式()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦的值.(四)降次法解一元二次方程:1．已知()()22222230a ba b +-+-=,求22a b +的值。
2.用适当的方法解下列方程(这里也有降次哦）(1）224325440()()x x x ---+= (2)22142212()()()x x x +-=-+ﻫ。
数学思想方法专题讲解降次法
数学思想方法专题讲解降次法Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】考点二：降次法降次法：解时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：1．已知2=1-+x x ，求代数式3223++x x 的值。
2．已知2330x x +-=，求代数式325310x x x ++-的值。
3．已知2310-+=x x ，求代数式322372009x x x --+的值。
4．已知210a a +-=，求代数式4322343a a a a +--+的值.（二）与方程的解有关的降次：1．已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值。
2．已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式42110m m -+的值。
3．已知m 是方程25350--=x x 的一个根，求代数式22152525----m m m m 的值。
4．已知a 是方程2200910-+=x x 一个根，求22200920081-++a a a 的值。
（三）先变形，后降次：1．（处理根号）已知：x =，求代数式4323652x x x x --++的值。
2．（处理代数式）若2240a a --=， 求代数式()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦的值。
（四）降次法解一元二次方程：1．已知()()22222230a b a b +-+-=，求22a b +的值。
2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）（1）224325440()()x x x ---+= （2）22142212()()()x x x +-=-+。
降次——一元二次方程的解法课件(45页)
一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二 次方程，其步骤是：
（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为
x2 c . a
（2）根据平方根的意义，可知 当a、c异号时， c 0,方程的根是 a
c
c
x1
a , x2
; a
当a、c同号时， c 0,方程没有实数根；
a
当c
0时，
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得 可得
x 1 4 x 1 4
所以，原方程的根是
或x 1 4
x1 3, x2 5.
上面这种解法中，实质上 是把一个一元二次方程
“降次”，转化为两个一 元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
就直接因式分解，否则移项后先化成一 般式再因式分解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x;
(3) x2+9=-6x ;
(5)
x2 4
9
0
(2) (x -2)(2x -3)=6; (4) 9x2=(x-1)2
例2 解方程x2=2√2x－2 解 移项，得 x2 －43;(√2)2=0. ∴(x －√2)2=0, ∴x1=x2=√2
X=
=
Х1=
Х2=
（2）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=-4<0
∴此方程无实数解
（3）2x2-7x=0 解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=
数学思想方法专题讲解第二讲---降次法(最新整理)
考点二：降次法降次法：解数学题时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：1．已知，求代数式的值。
2=1-+x x 3223++x x 2．已知，求代数式的值。
2330x x +-=325310x x x ++-3．已知，求代数式的值。
2310-+=x x 322372009x x x --+4．已知，求代数式的值.210a a +-=4322343a a a a +--+（二）与方程的解有关的降次：1．已知是方程的一个根，求的值。
m 2250x x +-=32259m m m +--2．已知是方程的根，求代数式的值。
m 2310x x -+=42110m m -+3．已知是方程的一个根，求代数式的值。
m 25350--=x x 22152525----m m m m4．已知是方程一个根，求的值。
a 2200910-+=x x 22200920081-++a a a （三）先变形，后降次：1．（处理根号）已知：，求代数式的值。
x =4323652x x x x --++2．（处理代数式）若， 求代数式的值。
2240a a --=()()()211232a a a ⎡⎤+-+--÷⎣⎦（四）降次法解一元二次方程：1．已知，求的值。
()()22222230a b a b +-+-=22a b +2.用适当的方法解下列方程（这里也有降次哦）（1） （2）224325440()()x x x ---+=22142212()()()x x x +-=-+走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。
这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
九年级数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版知识精讲
初三数学第二十二章降次—解一元二次方程人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点： 1. 因式分解法解方程x 2－x ＝0．方程左边x 2－x 可以分解因式：x 2－x ＝x （x －1），于是： x ＝0或x －1＝0．所以x 1＝0，x 2＝1． 上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法． 2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤： （1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax ＋m ）（bx ＋n ）＝0的形式；（3）由ax ＋m ＝0或bx ＋n ＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x 2＝a （a ≥0）或（ax ＋b ）2＝c （c ≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x 2＋3x ＝0；（2）7x （3－x ）＝4（x －3）；（3）9（x －2）2＝4（x ＋1）2． 分析：（1）左边＝x （5x ＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x （3－x ）－4（x －3）＝0，找出（3－x ）与（x －3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x （5x ＋3）＝0， 于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35；（2）原方程化为7x （3－x ）－4（x －3）＝0， 因式分解，得（x －3）（－7x －4）＝0， 于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47；（3）原方程化为9（x －2）2－4（x ＋1）2＝0， 因式分解，得[3（x －2）＋2（x ＋1）][3（x －2）－2（x ＋1）]＝0， 即（5x －4）（x －8）＝0， 于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x 2－5x ＋2＝0； （2）（1－x ）（x ＋4）＝（x －1）（1－2x ）；（3）3（x －2）2＝x 2－2x ． 分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x ）与（x －1）的关系用因式分解法；（3）题中x 2－2x ＝x ·（x －2）用因式分解法．解：（1）a ＝2，b ＝－5，c ＝2， b 2－4ac ＝（－5）2－4×2×2＝9＞0， x ＝－（－5）±92×2＝5±34，x 1＝2，x 2＝12；（2）原方程化为（1－x ）（x ＋4）＋（1－x ）（1－2x ）＝0， 因式分解，得（1－x ）（5－x ）＝0， 即（x －1）（x －5）＝0， x －1＝0或x －5＝0， x 1＝1，x 2＝5；（3）原方程变形为3（x －2）2－x （x －2）＝0， 因式分解，得（x －2）（2x －6）＝0， x －2＝0或2x －6＝0， x 1＝2，x 2＝3． 评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a 2＋b 2）2－（a 2＋b 2）－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把（a 2＋b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2＋b 2）为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0．a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝12－4×（－6）×1＝25＞0， x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2．即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2， ∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3．评析：（1）本题求的是a 2＋b 2，而题中条件是关于a 2＋b 2的，把a 2＋b 2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a 2＋b 2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x 2＋7x ＋6的值与x ＋1的值相同时，x 的值为多少？（2）方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x 2＋7x ＋6＝x ＋1，解这个方程可得x 的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x 2＋7x ＋6＝x ＋1， x 2＋6x ＋5＝0，a ＝1，b ＝6，c ＝5，b 2－4ac ＝16＞0．所以x ＝－6±162，x 1＝－1，x 2＝－5，所以x 的值为－1或－5．（2）解方程x 2＋2x －8＝0， a ＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×（－8）＝36＞0， x ＝－2±362＝－1±3， x 1＝2，x 2＝－4．所以方程x 2＋2x －8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．例5. 用一根长40cm 的铁丝围成一个面积为91cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？分析：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由相等关系长×宽＝面积列出方程．解：设长为xcm ，则宽为（402－x ）cm ，由矩形面积等于91cm 2，得x ·（402－x ）＝91，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13．当x ＝7cm 时，402－x ＝20－7＝13（cm ）（舍去）；当x ＝13cm 时，402－x ＝20－13＝7（cm ）．当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm ），面积为102＝100（cm 2）．答：矩形的长为13cm ，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm 2．评析：有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm ，宽为7cm 较合适．例6. 解方程2（12－x ）2－（x －12）－1＝0．分析：因为（12－x ）2＝（x －12）2，如果把（x －12）看成一个整体，并设x －12＝y ，则原方程化为2y 2－y －1＝0，先求出y 的值，再反过来求x 的值． 解：设x －12＝y ，原方程化为2y 2－y －1＝0，a ＝2，b ＝－1，c ＝－1，b 2－4ac ＝9＞0，y ＝－（－1）±92×2＝1±34．y 1＝1，y 2＝－12．当y ＝1时，x －12＝1，x ＝32；当y ＝－12时，x －12＝－12，x ＝0．所以原方程的解是x 1＝32，x 2＝0．评析：本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x －12设为y 的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程） 一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s ＝40t －5t 2，问t ＝__________时，s ＝60． 二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x ，列方程为（ ）A ．x 2－2x －15＝0B ．x 2＋2x ＋15＝0C ．x 2－2x ＋15＝0D ．x 2＋2x －15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法： ①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元； ②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元； ③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①④ D ．①②③3. 在一块长12m ，宽10m 的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m 2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x ，则所列方程为__________． 反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x （x －1）＝0的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 0，－1 D. 0，12. 方程9（x ＋1）2－4（x －1）2＝0的正确解法是（ ） A. 直接开方得3（x ＋1）＝2（x －1）B. 化为一般形式13x 2＋5＝0C. 分解因式得[3（x ＋1）＋2（x －1）][3（x ＋1）－2（x －1）]＝0D. 直接得x ＋1＝0或x －1＝03. 解方程（5x －1）2＝3（5x －1）的适当方法是（ ） A. 直接开方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 4. 若实数x 、y 满足（x ＋y ＋2）（x ＋y －1）＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 1 B. －2 C. 2或－1 D. －2或1 5. 方程3x （x －2）＝0的解是（ ）A. x 1＝3，x 2＝2B. x 1＝0，x 2＝2C. x 1＝13，x 2＝2 D. x 1＝0，x 2＝－2*6. 若a 使得x 2＋4x ＋a ＝（x ＋2）2－1成立，则a 的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x 2＋x －1＝0，那么代数式x 3＋2x 2－7的值是（ ） A. 6 B. 8 C. －6 D. －8 **8. 已知（x ＋y ）（1－x －y ）＋6＝0，则x ＋y 的值为（ ） A. 2 B. －3 C. －2或3 D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是__________． 2. 方程（x －1）（x ＋2）＝2（x ＋2）的根是__________． *3. 方程 （x －1）（x ＋2）（x －3）＝0的根是__________． 4. 方程x （2x －1）＝3（2x －1）的根是__________．*5. 使代数式x 2＋x －2的值为0的x 的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x 2－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若b ＝a ＋c ，则这个方程必有一根为__________．三. 解答题1. 用因式分解法解下列方程：（1）（x －2）2－9＝0；（2）3y 2＋y ＝0；（3）2x （3x ＋2）＝9x ＋6；（4）（3x －1）2＝4（x ＋2）2．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x ）2＝2；（2）x 2＋8x ＝20；（3）3x 2＋2x －3＝0；（4）（x －1）（x ＋2）＝70．3. 试求使代数式（x －7）（x ＋3）的值比（x ＋5）大10的x 的值．4. 审查下面解方程（x －1）2＝2（x －1）的过程回答问题． 方程两边都除以（x －1）得x －1＝2， ∴x ＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．试题答案一. 选择题1. D2. C3. D4. D5. B6. C7. C8. C二. 填空题1. x 1＝0，x 2＝22. x 1＝－2，x 2＝33. x 1＝1，x 2＝－2，x 3＝34. x 1＝12，x 2＝3 5. x 1＝－2，x 2＝1 6. 0或72 7. 24 提示：方程的解为2或10，当x ＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x ＝10，三角形周长为24． 8. x ＝－1三. 解答题1. （1）x 1＝－1，x 2＝5；（2）y 1＝0，y 2＝－33；（3）x 1＝32，x 2＝－23；（4）x 1＝5，x 2＝－35． 2. （1）x 1＝5－28，x 2＝5＋28；（2）x 1＝2，x 2＝－10；（3）x 1＝－1＋103，x 2＝；（4）x 1＝8，x 2＝－9．3. 根据题意（x －7）（x ＋3）－（x ＋5）＝10，解得x 1＝9，x 2＝－4．4. 不对．当x －1＝0时，原方程成立，此时x ＝1；当x －1≠0时，两边同除以x －1得x －1＝2．即x ＝3．所以原方程的解是x 1＝1，x 2＝3．5. 设斜边长为x ，则两直角边分别为x －2，x －1．根据题意可得（x －2）2＋（x －1）2＝x 2，解得x 1＝1，x 2＝5．当x ＝1时x －2＝－1，x －1＝0，不符合题意舍去；当x ＝5时x －2＝3，x －1＝4，所以三角形的斜边长为5．。
《降次——解一元二次方程：配方法》教学设计
教学设计课题：《降次——解一元二次方程：配方法》《降次——解一元二次方程：配方法》教学设计教材人教版九年级数学上册第22.2节教学对象初三学生课时安排第2课时一、教材分析方程是刻画数量关系的重要数学模型，而一元二次方程是最基本的方程之一，所以我们必须掌握它的解法才能解决问题.对于一元二次方程解法，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，同时也是推导公式法的基础，具有承上启下的作用.配方法在代数式变形、二次根式化简、二次函数等知识中都有广泛应用. 本节课依据化未知为已知、特殊到一般的思想，遵循从简单到复杂的原则展开学习，有利于巩固一元二次方程相关知识、二次根式、平方根及完全平方公式等知识，也有利于发展学生的逻辑思维能力.二、学情分析学生要熟悉一元一次方程、平方根、完全平方公式以及刚刚学过的一元二次方程的概念和直接开平方法等基础知识，要了解“转化”等数学思想，需具备一定的自主、合作探究学习能力.本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要进行转化，即“配方”，对配方法的挖掘、验证和运用，学生理解起来有一定的困难．三、教学目标1.知识与技能(1)理解配方法及其解题思路；(2)能用配方法解数字系数的一元二次方程.2.过程与方法(1)通过探究配方法的过程，让学生体会将未知化为已知的数学思想，并培养学生的逻辑思维能力；(2)培养学生抽象概括的能力及解决问题的能力．3.情感态度价值观(1)学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，培养学生探索创新的科学精神，并体验数学的价值；(2)在探究配方法的过程中，培养学生数学的严谨性和科学性.四、教学重点与难点1.教学重点会用配方法解一元二次方程.2.教学难点配方法的探究、验证及灵活运用．五、教学方法与手段1.教学方法观察分析、引导探究，讨论交流．2.教学手段计算机，多媒体，PPT．六、教学过程设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）复习旧知(约３分钟)1.什么叫一元二次方程？其解法有哪些？2.下列哪些方程是一元二次方程？其余的是什么方程？（1）12=x（2）3962=++xx（3）362=+xx（4）532=+）（x（5）3622=+xx（6）362=+x（7）0962=++-xx3.请问你会解哪些方程？4.你会解的方程分别采用了什么方法？（1）、（2）、（4）是一元二次方程，都可以运用教师用多媒体展示问题，巡视并指导．学生思考后回答．巩固一元二次方程的概念、直接开平方法，为配方法解方程打下基础．通过不会解的一元二次方程唤起学生探求新知的强烈欲望、调动学生的积极性．直接开方法进行降次来解，(6)是一元一次方程.（二）导入新课讲授新知(约12分钟)1.请同学比较方程（3）与（2)，大家能否尝试着解方程（3）呢？请学生板演方程(3)的过程：解: 93962+=++xx1232=+）（x323±=+x323=+x，323-=+x3321-=x，3322--=x2.为什么方程两边都加9，能否为其它的数？教师引导探究．教师引导分析．学生思考．学生思考探究．让学生通过观察、对比分析，将新知转化为旧知，激起他们自主探究解决问题的欲望，体会未知化已知的思想．引出“配方法”，并让学生验证方法的合理性，体现了数学的3. 完全平方公式是什么？如何变为含未知数x 的形式？222)(2a b a b ab ±=+±变式为：222)(2m x m mx x ±=+±接下来做一做：22)6(12+=++x x x 22)(20-=+-x x x 22)(7+=++x x x 22)(32-=+-x x x教师引导探究．教师巡视指导．学生思考．学生做题．严谨性和科学性．通过字母的变换合理抽象出方法的一般性，达到分散难点、刺激学生思考的效果，也体现了从特殊到一般的思维过程．通过由易到难地设置了几个习题，让学生更深入4.什么是配方法？如何配方？你有什么收获？教师引导归纳．学生思考总结．地理解、掌握配方法．帮助学生养成归纳、概括思维的好习惯．（三)配方法的简单运用(约12分钟) 例1 解下列方程：（1）018-2=+xx（2）3622=+xx（3）0962=++-xx（4）xx6432=--分析：根据新课知识可以先变形为方程左边只有二次项和一次项，右边是常数项，再配方，最后用直接开平方法求解．教师引导分析讲解．学生思考，然后操练．层层深入地设计了不同形式与结论的典型例题，体现了从简单到复杂的思维过程，并呼应“复习旧知”中的问题，激起学生解决问题的欲望，问题：运用配方法解一元二次方程要注意什么？教师引导解题后反思、归纳．学生反思归纳．让学生体会配方法的威力．让学生养成解题后反思的良好习惯．（四）配方法的实际运用(约4分钟)例2要使一块矩形场地的长比宽多m6，并且面积为216m，场地的长和宽应各是多少？教师用计算机展示题目，并引导分析讲解．学生思考做题．让学生体会到配方法的实际应用价值，并建立起学生正确的数学观．（五）争做小老师(约6分钟)学生出题：４人一组，组内同学每人出一个一元二次方程，然后大家共同解．教师巡视指导，并用多媒体展示学生的作品．学生思考出题、做题．培养学生独立思考与合作交流的能力，为学生理解配方法是解一元二次方程的通法作铺垫．（六）配方法的综合运用(约５分钟) 例3证明：无论x为任何实数时，代数式136-2xx的值恒大于0．分析：证明代数式的值恒大于0，根据式子的特点联想实数的平方是非负数．教师引导分析讲解，并板书解题过程．学生思考做题．让学生真正理解配方法的本质，体会配方法的其它应用．（七）小结(约２分钟) 1.本节课的重点是什么？2.配方法的步骤是什么？3.数学方法的学习过程如何？问题→分析→提炼方法→拓展及运用教师引导回顾．学生思考归纳．帮助学生养成课后总结的习惯，从而达到“学一课带一片”的效果．（八）作业布置1.复习巩固所学内容；2.第34页的练习（基础题）；教师布置作业．学生认真记录．分层布置作业，使不同层次的(约１分钟) 3.挑选练习册的题（选做题）．学生得到不同的发展．七、板书设计降次—解一元二次方程：配方法第2课时一、配方法的定义三、例题四、练习例1二、配方法的步骤例2例3八、教学反思在教学过程中，我本着由简单到复杂的原则，依据将未知化已知的数学思想，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者、合作者和促进者，适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．。
降次--解一元二次方程说课课件
四、说过程
直接开平方法和配方法
说
过
公式法
程
因式分解法
直接开平方法解一元二次方程
和黎明 老师
说 课 流 程
（一）创设情境、提出问题 (二) 问题拓展、发展思维 (三) 共性探究、抽象概括 （四）实践新知、反馈调控 （五）反思评价、发展提高 （六）分层作业，拓展提高
（一）创设情境、提出问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林 用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒 子的全部外表面。你能算出盒子的棱长吗？
交流得出:
如果方程能化 x 2 p或 (mx n)2 p ( p 0) 的形式，
那么可得
x 或p mx n . p
这种直接开平方法解一元二次方程的本质都是“降次”.
设计意图：通过学生自己的观察、思考、归纳；从而 发现问题，有助于学生对直接开平方法应用的理解。
（四）实践新知、反馈调控.
问题5：以上三个方程在形式上有什么共同点？
结论（1）方程等号的左边是一个完全平方式， 右边是一个非负常数;
（2）这类方程都可以表示为 x2 p( p 0) 或 (mx n)2 p ( p 0) 的形式.
(三)共性探究、抽象概括
x2 25…① (2x 1)2 9 …② x2 6x 9 2 …③ 问题6：由问题5的结论，谈谈此类方程解法的特点.
解下列方程
① 2x2 8 0 ； ② 9x2 5 3 ；
③ ( x 6)2 9 0； ④ 3( x 1) 2 6 0；
⑤ x 2 4x 4 5； ⑥ 9x2 6x 1 4.
设计意图：通过这一组练习，加深学生对直接开平方 法的应用和掌握，同时深化对直接开平方解法方程的 理解。
③
九年级数学上册21.2降次—解一元二次方程一元二次方程的解法总析素材新人教版
一元二次方程的解法总析一元二次方程的基本解法包括:直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法。
直接开平方法和分解因式法，虽然简便，但并非所有的方程都可采用.配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦.而公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解，比配方法简单很多，但又不如直接开平方法和分解因式法快捷.那么，在解一元二次方程时,为了提高解题的速度和准确率，根据题目特点，如何选择适当的方法就值得我们来归纳总结一番。
下面就此结合具体实例进行阐述.一、直接开平方法例1:方程2(1)9x +=的解是( ）A ．2x =B ．4x =-C ．122,4x x ==-D ．122,4x x =-=解：两边开平方，得13x +=±∴122,4x x ==-故选C 。
小结：直接开平方法适合于解形如2()x m n +=（n ≥0)形式的一元二次方程.二、配方法例2：解方程22120x x --=解:在方程两边都加上21(一次项系数2-的一半的平方)，得222211120x x -+--=即 2(1)13x -=开平方,得1x -=∴1x -=或1x -=∴13x =23x =小结：用配方法解一元二次方程的关键是通过配成完全平方式的方法，将方程转化为2()x m n +=的形式,这中间，转化过程没有一定的程序。
配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程。
三、公式法例3:解方程2523x x +=解:移项,得23520x x --=∵3,5,2a b c ==-=-224(5)43(2)490b ac -=--⨯⨯-=>∴56x ±= 即 12x =213x =- 小结：公式法的意义在于，对于任意的一元二次方程,只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。
实际解题过程中，通常是在上述四种方法中的其它三种不很好解时，再选用公式法.四、分解因式法例4:解方程3(1)22x x x -=-解：变形，得3(1)2(1)x x x -=--移项，得3(1)2(1)0x x x -+-=∴(1)(32)0x x -+=∴10x -=或320x +=∴11x = 223x =- 小结：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来解。
人教版九年级上册数学教学设计《降次——解一元二次方程(4)》
【应用】
例：不解方程，判定方程根的情况
（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0 的情况进行分析即可．
过程
方法
从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。
情感
态度
价值观
继续体会由未知向已知转化的思想方法．
教学重点
理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况．
教学难点
用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的应用.
教学方法
讲练结合
教具准备
教学程序及教学内容
修订与完善
学校教学设计九年级数学
章课题
一元二次方程
主备教师
参备教师
授课教师
课题
21.2降次——解一元二次方程（4）
教
学
目
标
知识
技能
掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．
二、探索新知
【问题情境】
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在你把这个问题一般化，从求根公式的角度来分析来得出结论。
初中数学代数式求值,反复升次和降次是此类题的通用解法
代数式求值是初中数学中常见的问题，其中反复升次和降次是解决此类问题的一种通用方法。
首先，我们需要理解代数式求值的基本概念。
代数式是由数字、字母通过有限次的四则运算得到的数学式子。
求代数式的值就是将字母代入具体的数值，然后进行计算得到结果。
对于一些复杂的代数式，我们可以采用反复升次和降次的方法来简化计算。
具体来说，升次是指将代数式中的某项次数提高，而降次则是将某项的次数降低。
通过升次和降次，我们可以将复杂的代数式转化为更简单的形式，从而更容易地求出其值。
下面是一个具体的例子来说明如何使用反复升次和降次的方法来求代数式的值。
例题：求代数式 (a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 - 1) + 4a^2 的值，其中 a = 2。
分析：首先观察原式，我们可以发现其中包含平方和乘法运算，因此可以考虑使用完全平方公式进行化简。
解：原式 = (a^2 + 1)^2 - 4a(a^2 - 1) + 4a^2
= (a^2 + 1)^2 - 4a^2 + 4a + 4a^2
= (a^2 + 1)^2 + 4a
= (a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 - 2a)
= (a + 1)^2(a - 1)^2
当 a = 2 时，原式 = (2 + 1)^2(2 - 1)^2 = 9。
0 巧用“降次”思想
0 巧用“降次”思想作者：赵卫红来源：《学校教育研究》2017年第23期在初中阶段，解决数学问题，不仅要学好基础知识和基本技能，更重要的是掌握正确的思想方法和解题技巧。
如果说基础知识和基本技能是建造数学大厦的基础和砖瓦，那么数学思想方法就是建造大厦的工具和技术，是提高学生分析问题好和解决问题能力的基础，是提高学生创新精神的关键。
特别在有些求代数式值的问题如用常规解法比较麻烦，并且有些题还解不出来，如果恰当地运用方法进行变换，运用已知条件，能使运算简便。
在此与大家共同探讨一种重要的数学方法——“降次”，运用它解决某些数学问题往往会独特路径，“降次”在初中数学中的应用主要表现在二次方程上，特别在求一些代数式的值时，思路明显，过程简洁，一目了然，易于理解。
例1：设x1、x2是方程x 2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于（）（A）-4 （B） 8 （C） 6 （D）0剖析：此题由题意知：把x1代人x2+x-3=0中得出：x12+x1-3=0，移项得：x12=-x1+3后，运用x12=-x1+3进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次式加以表示，然后代入求值，思路清晰，过程简洁，一目了然。
解：因为x1、x2是方程x2+x-3=0的两个根，所以，x12+x1-3=0， x22+x2-3=0 ，∴x12=-x1+3 x22=-x2+3在等式 x12=-x1+3 两边乘以x得：X13=（-x1+3）x1=-x12+3x1=-（-x1+3）+3x1=4x1-3由根与系数的关系知：x1+x2=-1所以：x13-4x22+19=4x1-3-4（-x2+3）+19=4（x1+x2）+4=4×（-1）+4=0例2：已知：2x2-x=1，求代数式6x3+x2-5x+2001的值剖析：此题利用已知变形得：x2= （x+1）后，反复运用x2= （x+1）进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次表示，然后代入求解。
九年级上册数学 教案：22.2降次——解一元二次方程(2)
22.2降次——解一元二次方程（2）教学内容本节课主要学习运用配方法，即通过变形运用开平方法降次解方程。
教学目标知识技能探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．数学思考在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
解决问题渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．情感态度继续体会由未知向已知转化的思想方法．重难点、关键重点：用配方法解一元二次方程．难点：正确理解把ax x 2形的代数式配成完全平方式. 关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、 复习引入【问题】（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x 2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x 2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p ≥0）．如：4x 2+16x+16=（2x+4）2 【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识解答问题．【设计意图】复习直接开门平方法，解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式的方程，为继续学习引入作好铺垫．二、 探索新知【问题情境】要使一块矩形场地的长比宽多6 cm ，并且面积为16 cm 2，场地的长和宽分别是多少？【活动方略】学生活动：学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．考虑设场地的宽为x m ，则长为（x ＋6）m ，根据矩形面积为16 cm 2，得到方程x （x ＋6）＝16，整理得到x 2+6x －16＝0，对于如何解方程x 2+6x －16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x 2+6x 只需要再加上9就是完全平方式（x ＋3）2，因此方程x 2+6x =16可以化为x 2+6x ＋9=16＋9，即（x ＋3）2＝25，问题解决。
分解降次法
分解降次法
分解降次法呀，这可真是个挺有趣的数学小妙招呢。
你知道吗，在数学的世界里，有些式子看起来超级复杂，就像一团乱麻似的。
比如说那些高次的方程，看着就头疼。
这时候分解降次法就像一个小救星一样出现啦。
就好比你面前有个大怪兽，这个大怪兽就是那个复杂的高次式子。
分解降次法呢，就像是有魔法的宝剑，把这个大怪兽一点点分解成小怪兽。
比如说，一个二次方程，我们可以把它分解成两个一次方程。
这就像是把一个大麻烦分成了两个小麻烦，而小麻烦总是更容易解决的嘛。
我们可以把这个过程想象成拆礼物。
那个复杂的式子就是一个包装得很严实的大礼物，我们通过分解降次法，一层一层地剥开它的包装纸，最后看到里面简单的小零件。
这感觉可太酷啦。
而且呀，这种方法还很实用呢。
在生活中也能找到类似的感觉哦。
比如说你要整理一屋子乱七八糟的东西，你不会一下子去对付这一屋子的混乱，而是先把东西分成几类，再分别整理。
这和分解降次法是不是有点像呢？
在学习分解降次法的时候，可别觉得它很枯燥哦。
你就把它当成是一场小冒险，你是那个勇敢的探险家，去探索如何把那些复杂的式子变得简单。
有时候可能会遇到一点小挫折，就像在冒险中遇到了小陷阱，但是只要坚持一下，就会发现其实很简单的啦。
我还想起我刚开始学这个方法的时候呢，那真是一头雾水，就
像走进了一个大雾弥漫的森林里，根本找不到方向。
但是后来慢慢地理解了，就像是突然雾散了，看到了眼前美丽的风景一样。
所以呀，大家要是在学这个方法的时候遇到困难，可不要轻易放弃哦，它其实是很有趣又很有用的呢。
「初中数学」用AB组合思想理解一元二次方程的降幂解法
「初中数学」用AB组合思想理解一元二次方程的降幂解法
数学中，凡有复杂方程的地方，就有等价转化的思想在起作用。
我们对方称的任何变形，必须保证是同解变形，这样才能确保变化后的方程的解，也是原方程的解。
对方程进行同解变形，是解方程的必经之路。
这里特别讲一下一元二次方程的降幂解法。
AB组合思想
对于等式“AB=0”是否成立的讨论，需要考虑A=0和B=0是否成立。
分四种情况讨论：
① A=0,B=0时，AB=0成立
② A=0,B≠0时，AB=0成立
③ A≠0,B=0时，AB=0成立
④ A≠0,B≠0时，AB=0不成立
其中前三种情况合称“ A=0或B=0”。
一元二次方程的降幂
以下面方程为例：
一元二次方程举例
分解因式可得：（x+1）（x-6）=0
由上面的AB组合可得：“x+1=0 或 x-6 =0”
从而实现了方程的降幂。
等价性分析
上述进行方程降幂的过程中，套用了AB组合思想。
AB组合思想中的“ A=0或B=0”，包含了三种情况，其中“或”是个逻辑运算。
也就是说，我们使用这个逻辑运算，实现了三种情况的综合描述，关键是：这种描述是与三种情况分述等价的。
于是，我们就得到了一元二次方程的降幂解法。
降次解一元二次方程
5
D．（x-
2 3
）2=1，x1=
5 3
，x2=-
1 3
二、填空题
1．若 8x2-16=0，则 x 的值是_________．
2．如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次
方程的两根是________．
3．如果 a、b 为实数，满足 3a 4 +b2-12b+36=0，
那么 ab 的值是_______．
2
2
问题 2：设 x 秒后△PBQ 的面积等于 8cm2
则 PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1 x·2x=8
2
x2=8
根据平方根的意义，得 x=±2 2
审阅人： 年月日
教学设计（续页）
年月日
教学活动设计
补充内容
即 x1=2 2 ，x2=-2 2 可以验证，2 2 和-2 2 都是方程 1 x·2x=8 的两根，
补充内容
二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）
x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为 x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得 1+x=±1.2
即 1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，
7 方法 法、演示法 安排
拓展 延伸
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程．
板 书 设 计
教
用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，
降次——解一元二次方程
降次——解一元二次方程教学设计教学目标知识与技能：1．会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2．能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1．参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2．在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合教学媒体多媒体课时安排3课时教学过程设计第一课时一、复习引入请同学们解下列方程：（1）x2=4 （2）(x+3)2=9找两个学生回答这两个方程的解。
师总结强调：象这种通过直接开平方求得x的值的方法，实际上就是求x2=a（a≥0）这种特殊形式的一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法。
（2）对于形如“(x+a) 2=b (b ≥0)”型的方程，只要把x+a 看作一个整体，就可以转化为x 2=b (b ≥0)型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
（3）在对方程(x+3) 2=9两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种数学方法 此引入教师总结的要详细一点，这是为了让学生对这节课所学的知识首先有一个感性的认识，并且是对学生的一种提醒。
这两个方程也是以前学过的内容，根据平方根的知识就可以解决，这里要说明是一元二次方程的特殊形式。
二、新课讲解下面我们来看一个实际问题：问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生共同完成此题，教师要引导学生依据已有的知识列出方程，再比较引言中的例题解此方程。
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（1） （2）
数学思想方法专题讲解降次法
考点二：降次法
降次法：解时，把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到简化问题的目的，这叫降次法。
（一）直接代入降次：
1．已知代数式 的值。
4．已知 ，求代数式 的值.
（二）与方程的解有关的降次：
1．已知 是方程 的一个根，求 的值。
2．已知 是方程 的根，求代数式 的值。
3．已知 是方程 的一个根，求代数式 的值。
4．已知 是方程 一个根，求 的值。
（三）先变形，后降次：
1．（处理根号）已知： ，求代数式 的值。
2．（处理代数式）若 ，求代数式 的值。
（四）降次法解一元二次方程：
1．已知 ，求 的值。