数学分析3期末试题

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）

一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分）

1. 下列数项级数中收敛的是 （ ）

A. 211

n n

∞

=∑； B.

2

1n n

n ∞

=+∑； C. 1

1

n n ∞

=∑； D. 0

1

23n n n ∞

=++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ）

A. 1(1)n n n ∞

=-∑ B. n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1

sin n n n ∞

=∑

3.函数项级数1n

n x n

∞

=∑的收敛域是 （ ）

A. (1,1)-

B. (1,1]-

C. [1,1)-

D. [1,1]-

4.幂级数0

21n

n n x n ∞

=+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1

．2　．1 ．02

5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ）

2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥

6.点集11{,|}E n N n n ⎛⎫

=∈ ⎪⎝⎭

的聚点是 （ ）

A. (){0,0}

B.()0,0

C. 0,0

D.{}{}0,0

7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ）

A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则

z

x

∂∂等于 （ ） A.

()()u x v y x y ∂∂∂∂ B. ()()du x v y dx y ∂∂ C. ()

()du x v y dx

D. ()()u x v y x y ∂∂+∂∂

10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数.

二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分）

11. 若数项级数1

1n

p n n ∞

=-∑（）

绝对收敛，则p 的取值范围是 ；

12. 幂级数0(1)n n n x ∞

=+∑的和函数是 ；

13．幂级数2

01

(1)n n x n

∞

=-∑

的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________

17．函数y z x =，则

z

y

∂=∂ ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=

的方向导数是 ___________；

19．设cos sin x r y r ϕ

ϕ=⎧⎨=⎩，则 x x r y y r ϕϕ

∂∂∂∂=∂∂∂∂ ；

20．若22arctan

y x y x +=，则dy

dx

=______________________。 题号 一

二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100

得分 评卷人

得分

得分

三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题1

分，共10分）

21.绝对收敛的级数一定一致收敛； ( ) 22.条件收敛的级数实质上就是发散的级数； （ ） 23.变号级数一定条件收敛； （ ） 24.收敛的数值级数一定是有界的； （ ） 25.若P 是点集E 的界点，则一定有P E ∈； （ ） 26.点集E 的内点一定是E 的聚点； （ ） 27.若函数(,)f x y 在()00,x y 存在偏导数，且

0000(,)(,)

0f x y f x y x y

∂∂==∂∂，则()00,x y 是函数(,)f x y 极值点； ( ) 28. 若()'',xy f x y 和()'',yx f x y 都存在，则()()'','',xy yx f x y f x y =； （ ） 29.任何一个幂级数的收敛域都不是空集； （ ） 30.2R 中的有界无限点集E 至少有一个聚点 （ ） 四、计算题（请写出必要的步骤或过程，每题8分，共32分） 31.判断数项级数1821n

n n n ∞

=+⎛⎫ ⎪+⎝⎭

∑的敛散性；

32. 求函数22

sin()u x y xy =+的偏导数；

33.设函数2

ln(),,23u x y x ts y t s =+==+，求

,u u

s t

∂∂∂∂；

34. 求曲面2

22

x z y =-在点（2，-1,1）的切平面和法线；

五、证明题（请写出必要的步骤或过程，每题9分，共18分）

35. 证明 函数项级数2

0sin 1n nx

n

∞

=+∑

在R 一致收敛；

36.证明 方程(,)0x y F x y xy e e =+-=在点x=0的某邻域内确定一个隐函数

()y x ϕ=，并求'()x ϕ