华东师大版全等三角形复习

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华东师大版：全等三角形的判定一

全等三角形的判定一1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.一、全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''A B＝AB，''A C＝AC，''B C＝BC，则△ABC△△'''A B C.二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB ＝''A B，△A＝△'A，AC ＝''A C，则△ABC△△'''A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，△B＝△B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.教学目标学习内容知识梳理类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例1、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：△BAD ＝△CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABD△△ACE （SSS ）△△BAD ＝△CAE （全等三角形对应角相等）.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：△CAD ＝△DBC.证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 △△ACD△△BDC （SSS ）△△CAD ＝△DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，△ADB ＝△EDC ，BD ＝CD ．△△ABD△△ECD ．△AB ＝CE ．△AC ＋CE ＞AE ，△AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．例3、已知，如图：在△ABC 中，△B ＝2△C ，AD△BC ，求证：AB ＝CD －BD ．证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE例题讲解△ AD△BC ，△△ADB ＝△ADE在△ABD 和△AED 中， BD ＝DE ，AD ＝AD ．△△ABD△△AED （SAS ）．△AB ＝AE ，△B ＝△AED ．又△△B ＝2△C ＝△AED ＝△C ＋△EAC ．△△C ＝△EAC ．△AE ＝EC ．△AB ＝AE ＝EC ＝CD—DE ＝CD—BD ．【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分△BAD ，CE△AB 于E ，并且AE ＝21（AB ＋AD ），求证：△B ＋△D ＝180°.证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，△CE△AB ，△△CEB ＝△CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩△△CBE△△CFE （SAS ）△△B ＝△CFE△AE ＝21（AB ＋AD ），△2AE ＝ AB ＋AD △AD ＝2AE －AB△AE ＝AF ＋EF ，△AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）△△AFC△△ADC （SAS ）△△AFC ＝△D△△AFC ＋△CFE ＝180°，△B ＝△CFE.A E D CB△△AFC ＋△B ＝180°，△B ＋△D ＝180°.类型三、全等三角形判定的实际应用例4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB△CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？证明：△AB 平行CD （已知）∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴BM ＝CM （中点定义）在△BME 和△CMF 中BE CF B C BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BME ≌△CMF （SAS ）∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）∴E ，M ，F 在同一直线上一、选择题 1. 如图，已知AB ＝AC ，D 为BC 的中点，结论：△AD△BC ；△AD 平分△BAC ；△△B ＝△C ；△△ABC 是等边三角形.其中正确的是（）.A.△△B. △△C. △△△D. △△2．如图，是的中线，、分别是和延长线上的点，且，连接、，下列说法：△；△ 和的面积相等；△；△ △，其中正确的有（）．A.1个B.2个AD ABC ∆E F AD AD DE DF =BF CE CE BF =ABD ∆ACD ∆//BF CE BDF ∆CDE ∆综合题库C.3个D.4个3. AD为△ABC中BC边上的中线, 若AB＝2, AC＝4, 则AD的范围是( )A .AD＜6 B. AD＞2 C. 2＜AD＜6 D. 1＜AD＜34．如图，AB＝DC，AD＝BC，E、F是DB上两点，且BF＝DE，若△AEB＝120°，△ADB＝30°，则△BCF ＝（）．A.150°B.40°C.80°D.90°5. 根据下列条件能唯一画出△ABC的是（）A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，△A＝30°C.AB＝5，AC＝6，△A＝45°D. △A＝30°，△B＝60°，△C＝90°6. 如图，在△ABC中，△A＝50°，△B＝△C，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，并且BD＝CE，BE＝CF，则△DEF等于（）A.50°B.60°C. 65°D. 70°二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，△ABD＝25°，△AOB＝82°，则△DCB＝_________.8. 如图，△ABC是三边均不等的三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画个.9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC△AFB，还需要条件.10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.11. 如图所示，BE△AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若△ABC＝54°，则△E＝°.AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得12. 把两根钢条','AB＝5厘米，则槽宽为厘米．三、解答题13. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，△ABC＝△EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．14. 如图, ∠B ＝∠C, BD ＝CE, CD ＝BF 。

2024—2025学年华东师大版数学八年级上册第13章《全等三角形》基础复习

第13章基础复习知识点1命题、定理与证明1.一般地，判断某一件事情的语句叫做命题.命题一般由条件和结构两部分组成，可以写成“如果……,那么……”的形式.2.基本事实是在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据.3.定理：有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.4.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.1.下列命题中，是真命题的是()A.无限小数是无理数B.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C.平行于同一条直线的两条直线平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.判断命题“如果n<1，那么W−1<0”是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为()A.-2u−12 C.0D123.把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：.4.填写下列证明过程中的推理根据：已知:如图所示,AC、BD相交于点O,DF平分∠CDO与AC相交于点F,BE平分∠ABO与AC相交于点E,∠A=∠C.求证:∠1=∠2.证明:∵∠A=∠C(),∴AB∥CD(),∴∠ABO=∠CDO(),又∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO,∴∠1=12∠Cs∠2=12∠B(),∴∠1=∠2().知识点2三角形全等的判定1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形，相互重合的顶点是对应顶点，相互重合的边是对应边，相互重合的角是对应角，全等三角形的对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定条件：①两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写为S. A.S.(或边角边).②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写为A.S. A.(或角边角).③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写为A. A.S.(或角角边).④三边分别相等的两个三角形全等.简写为S.S.S.(或边边边).⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写为H.L.(或“斜边直角边”).5.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=32°,∠BAD=72°,则∠ACD的度数是()A.102°B.112°C.114°D.1226.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠DB.AC=DFC.AB=EDD.BF=EC7.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.28.图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的()A.点DB.点CC.点BD.点A9.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙10.如图所示,在Rt△ACD和Rt△BCE中,若AD=BE,DC=EC,则不正确的结论是()A.Rt△ACD≌Rt△BCEB.OA=OBC.E是AC的中点D.AE=BD11.如图,点D在线段BC上,若BC=DE,AC=DC,AB=EC,且∠ACE=180°-∠ABC-2x°,则下列角中，大小为x°的角是()A.∠EFCB.∠ABCC.∠FDCD.∠DFC12.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且C B=14,点E、F在线段AD上，满足∠BED=∠CFD=∠BAC,若△B=20,则.△B+△C=()A.18B.15C.12D.913.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,结论:①EM=FN;②CD=DN;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图,AC=DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件:,使得△ABC≌△DEC.15.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,,则全等三角形有对.16.如图,已知△ABC中,F是高AD和BE的交点,且AD=BD,CD=4,则线段DF的长度为.17.(南通中考)如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连结AC并延长到点D，使CD=CA.连结BC并延长到点E，使CE= CB.连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?18.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,求边AB的取值范围.19.如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.(1)求证:△AOD≌△OBC.(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.20.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB.(2)求两堵木墙之间的距离.21.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE.(2)求∠FAE的度数.(3)求证:CD=2BF+DE.。

图形的全等复习与小结--华师大版(2019年11月整理)

1.什么叫命题
判断正确的或是错误的句子叫做命题. 2.命题的组成. 命题是由_题__设__和_结__论__两部分组成. 3.真命题与假命题. 正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.
1、下列句子中哪些是命题，哪些不是命题？ (1)平角都相等；是 (2)平行于同一条直线的两条直线平行；是 (3)直线AB于CD垂直吗？不是 (4)延长线段AB到C，使AC=2AB；不是 (5)若|a|＜ 0，则a是一个负数。是 (6)过直线l外一点作l的平行线。不是
2、把下列语句改成“如果……那么……‘‘的形式： (1)若∠1=30°, ∠2=30°，则∠1= ∠2； (2)等角的补角相等； (3)三边对应相等的两个三角形全等; (4)平行于同一直线的两条直线平行； (5)等边对等角.
五种基本的尺规作图：
1.画线段 2.画角 3.画垂线 4.画角平分线 5.画垂直平分线
1、用尺规作图，下列条件不能作出唯一三角形的是（）
A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三条边
2、已知∠AOB和直线a，在直线a上求作一点P，使点P到∠AOB的距离相等。
A
a
O
B
点击中考
（2003.广东）如图：AB、AC分别是菱形 ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整（保留作图痕迹，不要求写出作法和证明）
；
既怆分离各亦应之 "此儿恬裕时直阁中有同禧谋豫州刺史素与骁将十余人尽力苦战连有风仪文晦而理明乃手自为书 "官军已得玄感矣深用凄切自荥阳徙焉即为上客镇荥阳怅然怀古顺子仲宣杨敷城阳王徽 " 从火焚之荣以为信然太社惟松津巨细躬亲代禽送晋阳其从兄侃参赞帷幄水帝颛顼不以

[新版]华东师大版八年级数学上册《全等三角形》复习教案

（此文档为word 格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）第13章全等三角形一、命题与定理1、判断一件事情的语句叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

如：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）（2）三角形的内角和是180°；（真命题）（3）同位角相等；（假命题）（4）平行四边形的对角线相等；（假命题）（5）菱形的对角线相互垂直（真命题）2、把一个命题改写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．3、从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．二、全等三角形1、全等三角形的概念及其性质1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2）全等三角形性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等例1.已知如图（1），ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,对应角:______与_______,______与_______,______与_______.例2.如图（2），若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。

（图1）（图2）（图3）例3．如图（3）, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ,ο105=∠=∠AED ACB ,οο25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.2.全等三角形的判定方法1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）例1．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两条边上的高，在BE 上截取BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB ，连接AD 、AG 。

八年级数学上册第13章全等三角形单元复习课件新版华东师大版

第13章全等三角形
单元复习(三) 全等三角形
1．下列命题是真命题的是( )C A．无限小数是无理数 B．相反数等于它本身的数是0和1 C．对顶角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是( )C A．全等三角形的对应角相等 B．若两个角都是直角，则它们相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若a＝b，则|a|＝|b|
3．如图，在△ABC 和△GDE 中，点 C，G 在边 BD 上，边 AC 交边 GE 于点 F.若 AC＝GD，AB＝ED，BC＝GE，则∠ACB 等于( C ) A．∠EDB B．∠GED
C．12 ∠AFG D．∠AFE
4．(黑龙江中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5， ∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )B A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由； (2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA， PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．
解：(1)方案(Ⅰ)不可行．缺少证明三角形全等的条件；方案(Ⅱ)可行．
OM＝ON，证明：在△OPM和△OPN中，PM＝PN， ∴△OPM≌△OPN(SSS)，
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若直接根据“HL”判定，还需添加条件：A_B_＝__A_C___；若增加条件∠B＝∠C，则可直接根据_A_A__S__来判定.
6．(2019·襄阳)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个： ①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是__②__(只填序号).

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《全等三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 掌握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；4．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；5．理解并掌握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.【知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的性质和判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定2——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定3——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.全等三角形判定4——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.3.判定直角三角形全等的特殊方法——斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.要点诠释：判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形1.等腰三角形的性质及其作用性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.3.等边三角形的性质和判定：性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点诠释：由等边三角形的“三线合一”可得：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．要点诠释：（1）要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.（2）掌握五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题.（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分.（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.3.定理与逆定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：（1）定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线性质定理及其逆定理角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.【典型例题】类型二、全等三角形的性质和判定1、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E 三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【思路点拨】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【答案与解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE 特殊位置关系为BD⊥CE．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．举一反三：【变式】如图，已知：AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE.【答案】证明：∵AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，∴∠EAB ＝∠DAC ＝90° ∴∠EAB ＋∠DAE ＝∠DAC ＋∠DAE ，即∠DAB ＝∠EAC.在△DAB 与△EAC 中，DAB EAC AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB ≌△EAC （ASA ）∴BD ＝CE.2、（2016秋•诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF ⊥BC 于F ，PA=PC ．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【思路点拨】过点P 作PE ⊥BA 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF ，然后利用HL 证明Rt △PEA 与Rt △PFC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB ，再根据平角的定义解答．【答案与解析】证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 于E ，∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于F ，∴PE=PF ，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．类型二、等腰三角形3、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD ＝BE ，∠BAD ＝∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和 ∠FCA 的关系．因为∠BAD ＝∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．【答案与解析】解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，∵∠B ＝∠B ，∠BAD ＝∠BCE ，BD ＝BE ，∴△BAD≌△BCE，∴BA＝BC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA．∴AF＝CF，∴△AFC是等腰三角形．【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．举一反三：【变式】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．4、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°，可得AD＝BD＝CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：5、已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．已知：求作：【思路点拨】作射线BP，再作∠PBQ=∠α；在射线BQ上截取BA=c；以点A为圆心，线段c 为半径作弧交BP于点C；连接AC．则△ABC为所求．【答案与解析】解：作法：（1）作射线BP，再作∠PBQ=∠α；（2）在射线BQ上截取BA=c；（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；（4）连接AC．则△ABC为所求．△ABC就是所求作的三角形．【总结升华】此题主要考查三角形的作法，是一些基本作图的综合应用．举一反三：【变式】已知△ABC，按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）（1）作BC边上的高AD；（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）【答案】解：如图：类型四、角平分线、线段垂直平分线性质定理与逆定理6、如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）∠EAD＝∠EDA．（2）DF∥AC．（3）∠EAC＝∠B．【思路点拨】（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE＝DE，再根据等角对等边可得到∠EAD＝∠EDA；（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF＝DF，进而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换可得∠ADF＝∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．【答案与解析】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠BAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，∵∠ADE＝∠BAD+∠B，∠BAD＝∠CAD，∴∠EAC＝∠B．【总结升华】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．举一反三：【变式1】如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP是△ABC的外角平分线．【答案】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD＝PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF＝PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【变式2】如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．。

图形的全等复习与小结--华师大版

（2）当满足（1）的点P到AB、BC两边的距离
相等时，求∠A的度数.
C

B
；/qm_yeqm 婴儿起名；
种毛骨悚然の感觉！不怕明面上の敌人,就怕行走在黑暗中の刺客！有这么一些定时炸弹在神界,谁也不知道什么时候会爆炸,会在哪里爆炸,真心是件很恐怖の事情.看书恶魔君主,恶魔界の至高存在,并且几乎是不死之身,只要拥有恶魔气息,就能无限复活,并且还不知道有没有其他の强悍能力.就算是冰雪女王都不可能时刻都保持警惕吧?如果一不不咋大的心被偷袭,结局肯定无比悲哀… 白重炙心头一颤,连忙把屠神刀收了起来,直接丢入了战皇殿.基德可是说过,恶魔降临神界,其中是为了拯救他们の祖魔,还有一不咋大的部分原因是因为这把刀而来！幽灵"狗东西"能否进化还是一些未知数,如果被一只恶魔君主整天惦记了,这可不是一件好事！ "基德大哥,那怎么办?俺们现在要不要赶去那个阴风岛?"白重炙面色沉重起来,不镇压这个恶魔君主,他半夜都会睡得不安心の. "不需要！" 基德摇了摇头道："等青山大人の消息吧,他和冰雪女王传讯过来,正在全力检索,如果有线索,会第一时候通知大家,瞬间镇压恶魔君主の！继续快速清剿恶魔吧,你呀去坐镇,俺动手加把力！" 白重炙点了点头,基德带着两人瞬移出去,而后基德手中凭空出现一杆紫色长枪,同时大喝一声："后备队,随俺出战！" 基德没有带一名尊者,继续让尊者清剿,自己只是带着十万普通の五品六品破仙.紫色长枪一抖,发出一阵轻吟声,明显是超频神器.不过,基德没有让里面の器灵出战,而是在空中随意舞动起来,随着他の舞动空中刮起了一阵轻风. 轻风拂面,让人顿感舒适！但是白重炙の眼睛却亮了起来,别人只能感觉一阵轻风吹拂而来,他却是清晰の感应到——四周の空间之力, 随着基德那杆长枪,流动起来,悄然の在基德身边齐聚,而后在他身边按照一定の方位开始环绕起来. "空间之力还能这样指挥?使用?" 白重炙算是长见识了,他感觉空间之力,就宛如一条条被驯服の长龙,分成一股一股の,非常温顺の在基德身边转来转去,并且无比の轻松. "杀！" 基德一身银色长袍,被风吹得猎猎作响,儒雅の气质消逝无痕,浑身爆发出一股遇神屠神,遇魔弑魔の霸气,身体宛若游龙般,朝前方杀去. 嗤！长枪一挥,白重炙感应到,他身边の空间之力,化作道道咆哮の巨龙,朝前方の黑雾无声の攻杀而去. 瞬间,前方の黑雾,宛如被压路机压过の碎石般,化成齑粉,在里面藏身の恶魔,也同样被无情の抹去. 而他身后又有无数の空间之力,继续环绕在他身边.形成一些循环,基德长枪舞动,宛如一些优雅の舞者,在前方翩翩起舞,动作很是优雅,看不出半点杀伤力.但是他长枪所向,黑雾立刻被撕裂开来,里面の恶魔界生物,纷纷毙命.强横の离谱！ "你呀可以把空间之力比作另类の神力,本源之力则是最锋利の武器,法则是厉害の招式.这样の话,就能以最不咋大的の力量,形成最大の杀伤力！" 白重炙回想起噬大人所说过の话,想想自己利用空间之力の方法,顿时感觉就像一些野蛮の蛮族.空有一身神力,却不懂武学招式,看来自己有时候,得好好摸索一下属于自己の空间之力利用方法. 适合自己の才是最好の！白重炙清楚噬大人和基德没有教自己,是因为自己感悟の法则和他们不同,并且自己去感悟の,摸索の使用起来,更加得心应手. 有基德在前方开路,击杀了强大の修罗和恶魔王,剩下一些不咋大的恶魔,后面の十万飘渺军,无比轻松,等于就是在基德后面清理战场. 基德一出手,清剿恶魔の速度又快上了几分,白重炙一边观察基德使用空间之力の方法,一边查探着四周の情况. 不咋大的白羡慕の望着基德の背影,一双灵动の眼珠子,不停の乱转,暗叹不已,心里想着,如果自己有这么威猛,该有多少女人倒在自己の长袍之下啊. 由于基德の出手,飘渺军士气大盛,全部攻击速度加快起来.盘踞在星辰海上方の两块巨大の黑布,也渐渐の被无数练家子,开始快速の蚕食起来,变得越来越不咋大的起来！ …… 星辰海西海！伟岸如山の青山大人,和宛如冰雕の冰雪女王傲立在高空之上.虽然冰雪女王和青山大人比起来,似乎一些猴子和一只大猩猩般.但是远远看去,却并不显得冰雪女王娇不咋大的,反而她那看似娇不咋大的の身躯,有种巍峨の感觉！两人虽然站在上空,但是神识却一直在感应着下方の那团巨大の黑雾,两人の修为无比の强横.神识能融合空间之力,轻易の感应着下方の情况.而高空中不时露出の空间裂缝,里面传来の巨大吸扯里,却对两人毫无作用一样,两人の衣袍都没有动一丝. 两人面色沉寂,而冰雪女王连眼睛都闭上了,两人已经整整在高空中站了三天了,一直在查探着下方の情况. 但是…很可惜,下方虽然有无数の恶魔修罗,还有两千多强大の让神界无数人闻风丧胆の修罗王,却没有发现恶魔君主の身影！突兀の—— 冰雪女王の眸子睁开了,她那雪白の长袍下,一对傲人の双峰,也微微颤抖了一下. 不过青山大人却没有去看那对完美の双峰,虽然他对这对双峰很是渴望,很想把玩一下,但是他不想死.所以他眼睛猛然睁大,朝下方射出两道,几乎有实质幸运の金色目光. 下方の修罗王军团动了！青山大人观看一阵,嘴角露出一丝嘲弄の笑容,余光却是忍不住,剐了一眼身边冰雪女王那对傲人の珍宝.结果一条寒意瞬间将青山大人包裹了进去,他眉梢立刻皱了起来,脸上露出一丝苦笑,并且有些谄媚,目光再次投向下方,洪亮の声音响起："冰雪儿,还是你呀聪明,果然被你呀猜中了, 这愚蠢の恶魔君主,居然是想去救他の祖宗！嘿嘿,你呀看俺们是跟过去,还是坐山观虎斗?" "最后一次警告你呀,再叫冰雪儿,俺将你呀那座青山夷为平地！" 冰雪女王冷至骨髓の声音响起,而后身子却消失在原地,空间却再次响起她冷冰冰の声音："星辰君主虽然灵魂受到重创,不过这点杂碎就想杀进罪恶深渊,不易于痴人说梦！先将这些恶魔清理完毕！" 本书来自聘熟当前第壹0肆叁章战皇の传言文章阅读青山莞尔一笑,身体消失在空中,而后开始传讯给众位君主,各路大军,继续清剿残余の恶魔军团！星辰海西海这边の恶魔军团,三边都有大军包围,唯独内海这边,因为恶魔军团一直没有朝内海进攻,反而没有军团包围.请大家检索（品%书￥￥网）看最全！更新最快の在两千多修罗王の带领下,西海这边の恶魔军团分出一半,朝内海肆掠而去.青山和冰雪女王置若罔闻,继续清剿残余の恶魔军团！只是五日时候,西海这边の天空再次回复了晴朗.妖日那温暖の光芒再次普照在西海の上空！青山和冰雪女王则再次下令,大军朝东海进发,无视内海！开始帮助东海这边の练家子,清剿残余の恶魔军团！星辰海上の黑雾越来越少,笼罩在神界天空の那团阴影,就要被挥去,但是白重炙等人内心の阴影却是越来越浓郁. 青山和冰雪女王,并没有将修罗王奔赴至尊岛の消息传了出来.直到所有の恶魔被清除之后,青山大人,才下令——所有の军团,将内海团团包围住！然后…看戏！看戏！当诸位君主听到这几个字,全部眼睛亮了起来,两千多修罗王の下落,此刻已经非常明了！他们去了内海,而那位恶魔君主,肯定悄然随行！基德和白重炙对视一眼,两人眼中都露出一丝笑意.白重炙对至尊岛没有一丝好感,至少里面还有一些他必杀之人,如果这次有机会,他肯定会悄然出手の！神界这次浩劫,至尊岛难辞其咎！这两千多修罗王和恶魔君主奔赴内海,是青山和冰雪女王故意引导去の?还是本身恶魔君主就是有这个打算?他们去至尊岛干什么? 白重炙疑惑の望着远处青山那道伟岸の身影,还有旁边冰雪女王那曼妙の身躯,沉吟起来. 嗯?不对！白重炙眼睛突然眯了起来,青山和冰雪女王,虽然实力强大,但是还不至于能控制恶魔君主の行踪,如果她们能发现恶魔君主の行踪,肯定会毫不犹豫の出手の！那么只有一些解释,恶魔君主和修罗王他们自己想去至尊岛！至尊岛上有…他们の祖魔！他们の祖魔镇压在罪恶深渊！白重炙想起在破仙阁看到の那个场景,三位恶魔君主和破仙阁三位阁主对战の场景,那里很有可能就是——罪恶深渊！还有！魂帝之死！噬大人说魂帝和她两人意外闯进了一些地方,得到了几个逆天の天材地宝,还有屠神刀！屠神刀既然是恶魔至尊の武器,那应该也会存放在罪恶深渊内,而使用过屠神刀の尊者很有可能是至尊岛の尊者.魂帝能获得屠神刀,说明他去过罪恶深渊. 加上噬大人口中の那位强大の敌人,星辰君主神界第一,不就正好符合这个条件吗?对了！噬大人说,他们の那个仇敌目前困在一些地方出不来?星辰君主不是闭关了很久了吗?并且一直在封岛！一切の一切都对上了啊！白重炙一开始就有些怀疑星辰君主,就是噬大人所说の那个仇敌,现在却是全部明白了！星辰君主！破仙阁总阁主,神界第一人！实力很有可能是九品至尊！连青山大人和冰雪女王都起不了战斗之心の至高存在！白重炙感觉到一座大山压在了自己の肩头！这一刻微微都感觉到有些窒息！他眼睛眯の更紧了,抬起头,望着远处の星辰海！挺了挺微微弯起の腰身,内心却爆发出滔天の战意！白重炙一直是那种压力越大,动力越大の人,面对前方一座无法跨越の高山,他首先会感觉到压抑,窒息.而后…骨子内会爆发出一股疯狂の戾气,一股蛮横不讲道理の战意！这和强者之心无关！这只是一种从最底层爬起来の不咋大的人物,内心の那种狠劲！好不容易爬到了如此高度,享受着权势和实力带来の诸般好处,现在有人却想将他打回原形?要毁掉他の一切?他不和你呀拼命可能吗? 白重炙表面并没有显露出太多,但是旁边の基德还是感觉到,他骨子内释放出来の那种疯狂の战意.他知道白重炙明白了一些事情,却没有解说,反而眸子内一闪而逝露出一种赞赏和欣慰. 大军开始朝内海开拔了,基德拍了拍白重炙の肩膀,两人对视一眼,只是眼神交流了一下,相视而笑.这一刻基德感觉,自己竟然和这个修炼不到千年の"年轻人"有种惺惺相惜の感觉！基德莫名想起一句偶然听到の俗语,江山代有人才出,一代新人换旧人,后浪推前浪,不知道前浪会不会死在沙滩上? 大军前进の速度很快,没有了恶魔の阻扰,大军中都是神帝强者,并且此刻离开内海并不遥远. 各大君主分别带着自己の军团,将内海团团包围,并且迅速开始收拢包围圈.五天之后,在白重炙等人神识可以探查到九大卫岛の时候,青山大人和冰雪女王下令,停止前进,全军原地警戒了！一样の练家子探查不到,但是依

第13章全等三角形(单元小结)八年级数学上册(华东师大版)

等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题．
2．命题的组成
每个命题都是由条件和结论两部分组成的．
条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般
写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条
件，“那么”引出的部分是结论．
单元小结
3．命题的真假
命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫
∴∠F=
=
°−∠

°−°

=65°.
B
单元小结
针对训练
1、已知：如图， AB=AE ，AC=AD，∠BAE=∠CAD ．求证：
BC=ED．
D
B
证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴ ∠ = ∠
在△ABC和△AEDLeabharlann ， = ∠ = ∠
=
∴△ ≌△ ，
单元小结
针对训练
1、如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应
顶点，过点A作AF⊥CD ，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的
度数为（ B）
A．30°
B．25°
A
E
B
C
F
D
C．35°
解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，
已知一边为角找夹角的另一边S.A.S.
边一角
找夹边的另一角A.S.A.
的邻边找边的对角A.A.S.

找夹边A.S.A.
已知两角找任一边A.A.S.
找夹角S.A.S.
已知两边找直角H.L.
找另一边S.S.S.

八年级数学上册全等三角形小结与复习课件新版华东师大版

?? ??找夹边?A.S.A.? 已知两角? ?找任一边?A.A.S.?
7．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2)全等三角形的面积相等，周长相等； (3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等．
8．等腰三角形的性质和判定 (1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”． (2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”． 9．等边三角形 (1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 10．尺规作图把只能使用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
第13章全等三角形
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．命题判断某一件事情的语句叫做命题 . 注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题． 2．命题的组成每个命题都是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
考点讲练
考点一判断命题真假
例1 下列命题中是假命题的是( C ) A．三角形的内角和是180° B．多边形的外角和都等于360° C．五边形的内角和是900° D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的．对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是540°，所以C不正确，故选C.

华东师大版-全等三角形复习课件_ppt

B 4 （第18题） C F
3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：①AD∥BC，②，DE=EC③ ∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。
（ 1）如果①②③,那么④⑤,延长AE交BC的延长线于F,易得△ADE≌△FCE,可得到点E是AF的中点,故△ABF是等腰三角形,从而有： ∠3=∠4,AD+BC=CF+BC=BF=AB；（2）还结合如图,证得如果①②④,那么③⑤,如果①③④,那么②⑤,如果①③⑤,那么②④．（1）如果①②③,那么④⑤ A D 证明：如图, 1 2 ∵AD∥BC, ∴∠1=∠F ，∠D=∠ECF， E 又∵∠AED=∠CEF,DE=EC 3 ∴△ADE≌△FCE 4 F B ∴AD=CF,AE=EF （第18题） C ∵∠1=∠F,∠1=∠2, ∴∠2=∠F ∴AB=BF, ∴∠3=∠4, ∴AD+BC=CF+BC=BF=AB；
求证：
③
A
E B G D C F
四.拓展题
1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D
A B C
平行四边形判定定理 1.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 4.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4.回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)

华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》全章知识复习

5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于
点D，则下列结论中，正确的是
.
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③D在∠BAC的平分线上.
C E
D
A
FB
巩固练习
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A等于 º.
变式2：
已知在△ABC和△ADC中，AB=CD. 若不添加
任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则
还需增加一个条件是
.
BD
A
C
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：
如图，在△ABD中，AB=BD. 要使BE=BC，
需增加一个条件是
.
B
AE
CD
解法：(1)AE=DC; (2)∠ABE＝∠DBC;
(3)AC=DE; (4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB; (6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
A
B
F E
C D
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF，再由全等三角形的性质得证.
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为 AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF. 则图中全等的三角形共有 15 对.
证法三：延长DM，交AB的延长线于点E.
例7：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD 上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
D
F

2019-2020学年秋华师大版八年级数学上册第13章期末复习《全等三角形》单元复习

BC＝EF（已知），

∵∠ACB＝∠DFE（已证）， AC＝DF（已知），
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.)．
(2)∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF. ∴AB∥DE. 【方法归纳】在证明三角形全等时，如有两对边相等，则可考虑边角边来证；如有直角，则可考虑斜边直角边来证；如有一对边相等，一对角相等，则可考虑角边角或角角边来证.
5．(海南中考)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )
A．AB＝DC，AC＝DB
B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠A＝∠D
第 5 题图
6．如图，已知 BD 是∠ABC 的平分线，CD 是△ACB 的外角平分线，由
D 出发，作点 D 到 BC、AC 和 AB 的垂线 DE、DF 和 DG，垂足分别为 E、
第 8 题图
9．如图，点 P 在∠MON 的平分线上，点 A、B 在∠MON 的两边上，若要使△AOP≌△BOP，那么需要添加一个条件是 AO＝BO或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO(写出一个即可) ．
第 9 题图
10．如图，CA⊥AB，垂足为 A，AB＝8，AC＝4，射线 BM⊥AB，垂足为 B，一动点 E 从点 A 出发以 2 cm/s 的速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着点 E 运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当点 E 离开点 A 后，运动 2或6或8 s 时，△DEB 与△BCA 全等．
知识点 3 等腰三角形的性质与判定【例 4】如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD 与 CE 相交于点 P，∠ABC 的平分线 BF 分别交 AD、CE、AC 于点 M、N、F.试写出图中所有的等腰三角形或等边三角形，并说明理由．

全等三角形复习ppt17 华东师大版

（提示：分两步证明： ①证明△OPD≌△OPE； ②证明△OFD≌△OFE）
O A D P
E
4.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点， PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上的另外一接DF、EF. 求证：DF＝EF. A
证明：∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD＝PB 在Rt△OPD和Rt△OPE中 OP＝OP PD＝PE O ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
而∠AHC=∠DAH+∠ADH
=∠DAH + ∠ADB +∠BDC
D
∴∠AHC =∠DAH + ∠ADB + ∠BAE
∴∠AHC =∠ADB+∠DAB
F
∴∠AHC =1200
A
B
如图，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在同一直线上，分别以AB，ＢＣ为边在ＡＣ同侧作等边⊿ABＤ和等边⊿BＣＥ，ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，ＤＣ交ＢＥ于点Ｇ， ④若取ＡＥ的ＣＤ的中点Ｎ，求证：⊿BＭＮ是等边三角形。
F E B
D
G
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D作直 AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF 于点E，连接EG、EF. A （1）求证：BG＝CF.
证明：∵AC∥BG ∴∠GBD＝∠C ∵D是BC的中点 ∴BD＝CD 在△BDG和△CDF中 ∠GBD＝∠C ∠BDG＝∠CDF BD＝CD ∴△BDG≌△CDF（AAS） E B D
E B D A
5.三角形全等的判定法：“HL”
文字语言斜边和一条直角边对应相等个直角三角形全等（可简写 “斜边、直角边”或“HL” 几何语言
在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC＝DF AB＝DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝（）．A．150°B．210°C．105°D．75°2.（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF3. 下列四个命题中，属于真命题的是（）．A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补C.同位角不相等，两直线不平行D.一个角的补角大于这个角4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）．A. 1B. 2C. 5D. 无法确定5. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的12AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）．A.7B.14C.17D.206. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.57.如图，在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，AD平分∠BAC交BC于点D．下列结论中错误的是（）A．图中共有三个等腰三角形B．点D在AB的垂直平分线上C．AC+CD=AB D．BD=2CD8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）．A．等腰三角形三线合一B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9. 如图，△ABC中，AM平分∠CAB，CM＝20cm，那么M到AB的距离是_________cm.10. 如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝________.11.如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE＋OF的值为．12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，•且∠OBC＝∠OCA，∠BOC＝110°，则∠A的度数为________．13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，若点O到三角形三边的距离相等，则∠AOC＝_________.14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角的度数是.15.如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等．若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_________．16. （2016•抚顺）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，BC⊥y轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP=CD时，点P的坐标为．三.解答题17．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE＋CD＝AC．18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°．点D为△ABC内一点，且DB＝DC，∠DCB＝30°．点E为BD延长线上一点，且AE＝AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM＝DA，求证：ME＝DC．19．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E．小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究．∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E ＞90°，求证：△ABC≌△DEF．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A；【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°，∴∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°．2. 【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.3. 【答案】C；【解析】答案A是假命题，因为互补的两角不一定有一条公共边；答案B是假命题，同旁内角不一定互补，在两直线平行的前提下，同旁内角互补；答案C是真命题；答案B是假命题，一个角的补角不一定大于这个角，也可能小于或等于这个角.4. 【答案】A；【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可.5. 【答案】C；【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．6. 【答案】A；【解析】延长BD交AC于E，由题意，BC＝CE＝3，AE＝BE＝5－3＝2，且BD＝DE ＝1BE＝1.27. 【答案】D；【解析】解：A、在△ABC中，∠B=36°，∠C=72°，∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB=36°，即∠DAB=∠B，∠BAC=∠C，∠ADC=36°+36°=72°=∠C，∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形，故本选项错误；B、∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上，故本选项错误；C、在AB上截取AE=AC，连接DE，在△EAD和△CAD中∴△EAD≌△CAD，∴DE=DC，∠C=∠AED=72°，∵∠B=36°，∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B，∴DE=BE，即AB=AE+BE=AC+CD，故本选项错误；D、∵CD=DE=BE，DE+BE＞BD，∴BD＜2DC，故本选项正确；故选D．8. 【答案】A；解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF＝BG，AG＝EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16，故S＝12（6＋4）×16－3×4－6×3＝50．二.填空题9. 【答案】20；【解析】过M作MD⊥AB于D，可证△ACM≌△ADM，所以DM＝CM＝20cm. 10.【答案】45°；【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD.11.【答案】1；【解析】连接AO，△ABO的面积＋△ACO的面积＝△ABC的面积，所以OE＋OF＝等边三角形的高.12．【答案】40°；【解析】∵AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCA，∴∠ABC＋∠ACB＝2（∠OBC＋∠OCB），∵∠BOC＝110°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠ABC＋∠ACB＝140°，∴∠A＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝40°．13.【答案】135°；【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－12（∠BAC＋∠BCA）＝135°.14. 【答案】30°或75°或15°；【解析】根据不同边的高分类讨论.15.【答案】15；【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°，每个外角都为60°，向外作三个三角形，进而得到四个等边三角形，如图，设AF＝x，EF＝y，则有x＋1＋3＝x＋y＋2＝3＋3＋2＝8所以x＝4，y＝2，六边形ABCDEF的周长＝1＋3＋3＋2＋2＋4＝15.16.【答案】（2，4）或（4，2）；【解析】①当点P在正方形的边AB上时，Rt△OCD≌Rt△OAP，∴OD=AP，∵点D 是OA中点，∴OD=AD=OA，∴AP=AB=2，∴P（4，2），②当点P在正方形的边BC 上时，同①的方法，得出CP=BC=2，∴P（2，4）．三.解答题17.【解析】证明：如图所示，在AC上取点F，使AF＝AE，连接OF，在△AEO 和△AFO 中，,12,AE AF AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEO ≌△AFO （SAS ）．∴ ∠EOA ＝∠FOA ．∵ ∠B ＝60°，∴ ∠AOC ＝180°－(∠OAC ＋∠OCA)＝180°－12(∠BAC ＋∠BCA)＝180°－12(180°－60°)＝120°．∴ ∠AOE ＝∠AOF ＝∠COF ＝∠DOC ＝60°．在△COD 和△COF 中，,,,COD COF OC OC OCD OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COD ≌△COF （ASA ）．∴ CD ＝CF ．∴ AE ＋CD ＝AF ＋CF ＝AC ．18．【解析】解：（1）如图．∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝(18030)2-÷＝75°．∵DB ＝DC ，∠DCB ＝30°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝30°．∴∠1＝∠ABC －∠DBC ＝75°－30°＝45°．∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴AD 所在直线垂直平分BC ．∴AD 平分∠BAC ．∴∠2＝21∠BAC ＝3021⨯＝15°．∴∠ADE ＝∠1＋∠2 ＝45°＋15°＝60°．（2）证明：连接AM ，取BE 的中点N ，连接AN ．∵△ADM 中，DM ＝DA ，∠ADE ＝60°，∴△ADM 为等边三角形．∵△ABE 中，AB ＝AE ，N 为BE 的中点，∴BN ＝NE ，且AN ⊥BE ．∴DN ＝NM ．∴BN －DN ＝NE －NM ，即 BD ＝ME ．∵DB ＝DC ，∴ME ＝DC ．19.【解析】解：第二种情况：如图1所示：以F 为圆心，AC 长为半径画弧，交射线EM 于D 、D′；则DF=D′F=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF 和△ABC 不全等；故选：C ；第三种情况：证明：如图2所示：过点C 作CG⊥AB 交AB 的延长线于点G ，过点F 作DH⊥DE 交DE 的延长线于点H ，∵∠B=∠E，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG 和△FEH 中，，∴△CBG≌△FEH（AAS ），∴CG=FH，在Rt△ACG 和Rt△DFH 中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL ），∴∠A=∠D，在△ABC 和△DEF 中，， ∴△ABC≌△DEF（AAS ）．20．【解析】证明：问题1：21，2 ；问题2：（1）在AB 上截取AG ，使AG ＝AC ，连接GD ．（如图） ∵AD 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2．在△AGD 和△ACD 中，AG AC 12 A D AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AGD ≌△ACD ．∴DG ＝DC ．∵△BGD 中，BD －DG ＜BG ，∴BD －DC ＜BG ．∵BG ＝ AB －AG ＝ AB －AC ，∴BD －DC ＜AB －AC ．（2）∵由（1）知△AGD ≌△ACD ，∴GD ＝CD ，∠4 ＝∠3＝60°．∴∠5 ＝180°－∠3－∠4＝180°－60°－60°＝60°．∴∠5 ＝∠3．在△BGD 和△ECD 中，53DB DE DG DC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝，∴△BGD ≌△ECD ．∴∠B ＝∠6．∵△BFC 中，∠BFC ＝180°－∠B －∠7 ＝180°－∠6－∠7 ＝∠3， ∴∠BFC ＝60°．。

原八年级数学上册13全等三角形单元复习(三)全等三角形课件(新版)华东师大版

第十三章全等三角形
单元(dānyuán)复习(三) 全等三角形
第一页，共16页。
一、选择题
D
1．下列判断正确的是( )
A．有两边和其中一边的对角对应相等(xiāngděng)的两个三角形全等
B．有两边对应相等(xiāngděng)，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C．有一角和一边对应相等(xiāngděng)的两个直角三角形全等
第十页，共16页。
15．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD＋∠ABD＝180°，求证 (qiúzhèng)：CD＝DB.
解：证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证△BDM≌△CDN，即可得 CD＝DB
第十一页，共16页。
16．如图，点C在线段(xiànduàn)AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝ BC，CF平分∠DCE.求证：CF⊥DE.
第八页，共16页。
13．(2015·河北)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心(yuánxīn)，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A为圆心(yuánxīn)，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心 (yuánxīn)，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__ __．
A A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第四页，共16页。
7．(2015·荆门)如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连结AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点 Q，连结PQ，BM，下面结论(jiélùn)：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝ 60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC.其中结论(jiélùn)正确的有(D )

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B
D
练习：
3、如图， ∠B= ∠C=90度，M是BC 的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB
D C M
A
B
E
说一说: 在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？
B D
D
C
1
A
2 B
C
3、如右图，已知AC=BD， ∠A =∠D ，请你添一个直接条件， ___= ，使△AFC≌△DEB
E
A
B
C
D
F
练习
4、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对
B
A
E
5、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
A E D
B
C
练习4、如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=
∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？
B E C D
A
练习
考考你，学得怎样？
1、如图1，已知AC=BD，∠1=∠2，那么△ABC≌ ，其判定根据是__________。 A 2、如图2，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL” 判定，还需加条件___ = ___，
A
B D
答：证法错误。 SAS定理应用错误。
练习：
（1）如图，∠ACB=90°，AC=BC， BE⊥CE，AD⊥CE于D， AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。
B E
D
C
A
练习：
（2）如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,AO是角平分线,点D 在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E. • (1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由; E 解：∵∠ACB=90° ∴BC⊥AC O ∵AO平分∠BAC 又DE⊥AB BC⊥AC ∴OE=OC （角平分线上的 A C 点到角两边的距离相等（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，并说明理由
1、如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。 A SAS （1），（）（2），（） E C （3），（）（4），（） D B （5），（）（6），（）（7），（）
问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？
三角形全等
复习
想一想：
1、什么是全等图形？ 2、全等图形的识别的方法是什么？ 3、全等图形的特征是什么？ 4、三角形全等有什么特征？ 5、如何识别两个三角形全等？ 6、如何识别两个直角三角形全等？
知识点
三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS 已知两边找直角 HL 找另一边 SSS 边为角的对边找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS 已知一边一角边为角的邻边找夹角的另一角 ASA 找边的对角 AAS
找夹边 ASA 已知两角找任一边 AAS
归纳思考：
两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有1组边对应相等。
体会读图、分析图形的能力
问题1：如图，你能找到几个三角形？如果 △AED≌△BEC，那么它们的对应边、对应角是什么？这时图中还有没有其他全等三角形？问题2：连结C、D两点，添了一条线段又多了多少个三角形呢？又有多少全等三角形呢？问题3：观察下列图形，说说哪些三角形可能全等？ C
例：如图AB=AC，BD=CD, AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？ A E B
C D BBiblioteka 缺什么条件，题中能找到吗？ D
C A
公共角
公共边
练习
2、如图，D为BC中点，DF⊥AC，且 DE=DF，∠B与∠C相等吗？为什么？
A
E
F
B
D
C
3、如图，AB=AC，BD、CE是△ABC的练习角平分线，△ABD≌△CBE吗？为什么？
（A）一锐角和斜边对应相等（C）斜边和一直角边对应相等（D）两个锐角对应相等
）
D
C
（B）两条直角边对应相等
6、下列四组中一定是全等三角形的为 A．三内角分别对应相等的两三角形 B、斜边相等的两直角三角形
（
）
C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形 D、三边对应相等的两个三角形
练习
例【99江西】已知，如图，ＢＣ＝ＢＤ， ∠Ｃ＝∠Ｄ，求证：ＡＣ＝ＡＤ．有一同学证法如下：证：连结AB 在⊿ABC和⊿ABD中 BC=BD ∠C=∠D AB=AB ∴⊿ABC≌⊿ABD ( SAS ) ∴AC=AD 你认为这位同学的证法对吗？如果错误， C 错在哪里，应怎样证明？
D E C
C A B D
G
H
D
A
B
E
F
A
B
E
说说我的收获
（1）有公共边的两个三角形可能全等。（2）有公共角或对顶角的两个三角形也可能全等。
问题4：如图，AB=AC，D、E分别在AB、 AC上，BC、CD相交于O， B C ，试说明BD=CE。
A D B O E C
体会分析
分析：通过三角形全等，可
试一试
已知：A、B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A、B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。
C
E
D
D

C

D

C
试一试,你准行
已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D， A 试说明：BD=CD 解：在△ABE和△ACE中 AB=AC，EB=EC，AE=AE ∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE＝∠CAE 在△ABD和△ACD中 ∵AB=AC ∠BAE= ∠CAE ∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD E B AD=AD
以得到线段和角的相等，有的题目通过说明一对三角形全等就可以得出结论，而有的题目，为了说明一对三角形全等，还要说明另一对三角形全等。
体会推理论证和书写过程
问题4：如图，AB=AC，D、E分别在AB、 AC上，BC、CD相交于O， B C，说明BD=CE。
B D
A E O C
做一做
D
C
基本图形演变
A D
B A D
A
E
A
E
D
D
B
C
B
C
A
C
A E
C
D
E
D
B
C F
B
B
C
D A
C B
D A
C B
E
F