1-4 工程电磁场分析的数理基础-4 电磁场的基本定理
电磁场工程数学基础教学大纲
电磁场工程数学基础教学大纲《电磁场工程数学基础》课程教学大纲课程代码：030732035课程英文名称：Electromagnetic Field Engineering Mathematics Foundation课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：电类各专业大纲编写（修订）时间：2017.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是电类专业的一门重要的技术基础课。
电类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特定范围和条件下的体现,分析电磁现象的定性过程和定量计算方法是电类各专业学生掌握专业知识和技能的基础之一,因而电磁场课程所涉及的内容，是合格的电类专业本科生所应具备的知识结构的必要组成部分。
不仅如此，电磁场理论又是一些交叉领域的学科生长点和新兴边缘学科发展的基础。
因此，学习这一课程不仅为学习专业课程准备了必要的基础知识，而且将对培养学生严谨的科学学风、科学方法以及抽象的思维能力、创新精神等，都起着十分重要的作用。
通过本课程的学习，学生应从整体上掌握电磁场的基本概念、基本属性、基本理论和基本分析方法，了解电磁场边值问题的表述以及数值计算方法，了解电磁场的主要应用领域及其原理，训练分析问题、归纳问题的科学方法，培养用数学工具分析问题，解决问题的能力。
为后续课程的学习和解决工程电磁场问题打下良好的基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求本课程在普通物理和工程数学的基础上，主要研究电磁场与电磁波的基本属性，运动规律，与物质的相互作用及其应用等，包括电磁场的数学物理基础、电磁场中的基本物理量和基本实验定律、静电场分析、静电场边值问题的解析法、稳恒磁场等部分。
每个部分根据教学内容要求再分若干章节，循序渐进，便于学生学习掌握。
通过本课程教学，培养学生具有运用场的观点定性分析和定量计算工程电磁场问题的初步能力，具体应达到下列要求：1. 使学生对电磁场的基本概念、基本理论、基本分析方法和电磁场的能量和力效应等内容能够有比较全面的认识和正确的理解与掌握, 并了解物质的基本电磁性质和电磁场理论的一些应用，具有初步的应用能力；能对工程中一些基本交变电磁现象进行解释。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
![工程电磁场分析的数理基础2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e65f27995901020206409c52.png)
– 在S上应用等效原理的第一形式可：散射场可等效为由S上的等效 源在均匀介质中产生的场。
– 这组等源满足 Jms=E×n Jes=n×H 由于金属体表面的切向电场为零，因而上面的等效磁流源为零。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
– 故散射场可只用等效电流J表达出 Es=ZL(J) Hs=K(J)
面波。故A=A(q, f)是方位角的函数，即天线有方向性。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
（二）自由空间中Maxwell方程的解 --波方程解的导出
• 在洛仑兹规范下， • 矢量位的矢量姆霍兹方程为
• 标量位标量姆霍兹方程为
• 在某些正交坐标系下，矢量姆霍兹方程可简化为 标量姆霍兹方程 （三个）
工程电磁场分析的数理基础2[1]
• 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的 值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯 一的。
工程电磁场分析的数理基础2[1]
• 任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的 散度施加约束条件。
• 规范的选择原则：
– １）唯一地确定相应的位函数值， – ２）可简化相应的位函数方程。
• 通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如 下的洛仑兹规范：
工程电磁场分析的数理基础2[1]
平面波
在均匀、各向同性区域，直角坐标系中的波方程的基本解 为均匀平面波。 平面波的简单表达式为
式中
工程电磁场分析的数理基础2[1]
如略去时间因子，即用复矢量表示，则平面波电场为
由Maxwell方程，可得平面波磁场的表达式
相对于传播方向，均匀平面波的电场、磁场只有横向分量， 因此称为横电磁波或TEM波。
• 用相同的方法或电磁对偶原理可求出等 效磁流产生的电磁场为
电磁学四大基本定律
电磁学四大基本定律电磁学四大基本定律1、磁感应定律（法拉第定律）磁感应定律是指磁感应量与电流强度成正比，只有电流存在时，才能引起磁感应量。
这个定律被发现者法拉第于1820 年提出，故称法拉第定律：当一磁感应源（比如电流）引起一磁感应效应时，磁感应量H（磁感应强度）等于磁感应源的电流强度I的乘积：H=K × I其中K是一个系数，不同的情况K的值是不同的，这取决于磁场建立的介质及介质中磁性物质的种类和数量等。
2、电磁感应定律（迪瓦茨定律）电磁感应定律是指当一磁场和一电流交叉存在时，一电动势便会被产生，其大小与交叉面积及其形状有关，只有在磁场和电流都存在时，才能引起电动势。
该定律由迪瓦茨于1820 年提出，因此称为“迪瓦茨定律”：当一磁场与一电流交叉存在时，交叉面积上的电动势U 与磁场强度H和电流强度I的乘积成正比：U=K × H× I其中K是一个系数，取决于磁场建立的介质及介质中磁性物质的种类和数量等。
3、电流螺旋定律（麦克斯韦定律）电流螺旋定律是指电流在一磁场中的线路是螺旋状的。
该定律亦由法拉第提出，故称法拉第定律：当一电流在一磁场中传播，其线路同时会被磁场以螺旋状把电流围绕其方向线而改变。
该电流的方向与磁场强度和螺旋线圈数成反比：I ∝ --1/N其中N是螺旋线圈数（又称为电磁感应系数），表示电流的方向与每一圈半径r的变化方向保持一致。
4、等效电势定律（高斯定律）等效电势定律是指磁场的强度可用电势的梯度来表示，即：H= -V这个定律于1835 年由高斯提出，因此称为“高斯定律”：如果一磁场中只有一点源（比如电流）分布，磁场强度H可以用电势梯度的向量（由电势的变化率组成）来表示。
因而磁场的强度H可用电势梯度的公式来表示：H= -V其中V是电势，是导数的简写。
工程电磁场知识点总结
工程电磁场知识点总结工程电磁场是电磁学中的一个重要分支，涉及到电磁场的产生、传播和应用等方面的知识。
在工程领域中，我们经常会遇到电磁场的问题，因此了解和掌握工程电磁场的知识是非常重要的。
本文将以工程电磁场知识点为主题进行总结和讨论。
一、电磁场的基本概念电磁场是由电荷和电流所产生的一种物理场。
在电磁场中，存在着电场和磁场。
电场是由电荷产生的，具有电荷的静电力和静电场。
磁场是由电流产生的，具有电流的磁力和磁感应强度。
二、电场的性质和特点电场具有以下几个基本性质和特点：1. 电场的强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
电场强度的单位是伏/米。
2. 电场是矢量场，具有方向性。
电场的方向指向正电荷运动方向相反的方向。
3. 电场具有叠加性。
当存在多个电荷时，它们产生的电场可以进行叠加。
4. 电场中的电势能与电荷的位置有关，电势能的变化量等于电荷在电场中的移动所做的功。
三、磁场的性质和特点磁场具有以下几个基本性质和特点：1. 磁场的强度与电流成正比，与距离的平方成反比。
磁场强度的单位是特斯拉。
2. 磁场是矢量场，具有方向性。
磁场的方向由电流的方向决定，遵循右手螺旋规则。
3. 磁场具有叠加性。
当存在多个电流时，它们产生的磁场可以进行叠加。
4. 磁场中的磁能与磁体的位置和磁矩有关，磁能的变化量等于磁体在磁场中的移动所做的功。
四、电磁场的相互作用电场和磁场是相互关联的，它们之间存在着相互作用。
根据法拉第电磁感应定律和安培环路定理，当电磁场发生变化时，会产生感应电动势和感应电流。
这种相互作用是电磁感应和电磁波传播的基础。
五、电磁场的应用工程电磁场的应用非常广泛，涉及到电力、通信、雷达、医疗器械、电子设备等众多领域。
其中几个典型的应用包括：1. 电力传输和变换。
电磁场在电力系统中起着重要的作用，可以实现电能的传输和变换。
2. 通信和无线电。
电磁场在通信系统中用于信息的传输和接收，包括无线电、微波、红外线等。
3. 雷达和导航。
工程电磁场 第1章 电磁场的数学基础
《工程电磁场》
第1章 电磁场的数学基础
1
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数
1.4 场的可视化描述
1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
《工程电磁场》
1.1 场的概念及其分类
《工程电磁场》
《工程电磁场》
标量及其乘积运算
两个标量a与b相乘，标量参数之间可用
“
”号、“ • ” 号或什么符号也不加，
都代表二者之间的倍数关系，即
，
a b a b ab
《工程电磁场》
矢量及其表示方法
《工程电磁场》
一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。
=
，
= + + =
ex
ey
ez
A B Ax Ay Az
Bx B y Bz
9. A ( B C ) B (C A) C ( A B )
10. ( A B )C A( B C )
11. A ( B C ) ( A B ) C
Ԧ )
——不随空间变化的时变场 φ(t) , (t
第1章 电磁场的数学基础
1.1 场的概念及其分类
1.2 正交曲面坐标系
1.3 矢量代数1.4 源自的可视化描述1.5 场的梯度、散度、旋度
1.6 场论分析常用定理
1.7 电磁场麦克斯韦方程组与场论
电磁场基本定理
电磁场基本定理电磁场基本定理是在基本电磁学中的核心定理，它把从处理电磁场的四个基本方程式中衍生出来的许多定理聚集起来，它在电磁学理论研究，分析和设计电磁学设备方面都起到了重要作用。
历史上，电磁场基本定理是由英国物理学家彼得布拉克马斯克首先提出的，其它著名的物理学家如哈勃也证明了这一定理。
电磁场基本定理指出，在一个二维场中，电磁场会满足以下公式：（E+B)=0其中，E表示电场（Electric Field），B表示磁场（Magnetic Field），表示对电场和磁场进行矢量分量的求和。
这表明，在某一点处，电场和磁场的矢量分量之和为零。
另外，电磁场基本定理还指出，只要场内存在闭合的电流，就可以认定满足以下公式：×(E+B)=0以上公式表明，在任何一点处，电场与磁场叉乘之和为零。
同时也可以看出，电流断开之后，磁场不能随时间变化，也就是说，磁场不会改变方向。
电磁场基本定理是物理学家们探索电磁场的最基础理论，是探索电磁学和电磁物理学的有力工具。
电磁场基本定理是传统电磁学理论模型的根基，它可以用来了解电磁场的性质、变化规律和规律，以及其他与电磁场相关的研究。
首先，电磁场的研究需要通过研究电磁场的宾夕法尼亚方程来确定电磁场的性质。
宾夕法尼亚方程也可以用于描述电磁场的密度及其变化，它定义了该场中电磁场的强度及其变化规律，从而探究了电磁场影响物理现象的原因和过程。
其次，电磁场基本定理也可以用来分析电磁场的空间表达以及电磁场与特定物体或热体的相互作用。
通过这些分析，可以证明电磁场受外界物体的影响而发生改变，从而推导出电磁波的传播以及外界介质的电磁性质。
此外，电磁场基本定理还可以用来研究电磁场的变换及其相关理论，推导出电磁场变换的规律，从而为电磁学方面的实验研究提供更多信息。
比如，实验研究可以通过观察电流的变化来观察电磁场的变化，这样可以更为准确地观察电磁学微观现象。
最后，电磁场基本定理还用于分析电磁学装置的设计方案，为科学研究提供依据，根据研究成果来设计、建造和调试电磁设备。
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律
麦克斯韦方程组电磁场的基本定律麦克斯韦方程组被誉为电磁学的基石，它是电场和磁场之间相互作用的数学描述。
通过这组方程，我们可以了解电磁场的本质及其基本行为。
本文将详细介绍麦克斯韦方程组的四个方程以及它们的物理意义。
一、麦克斯韦方程组的引入麦克斯韦方程组由19世纪物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦于1864年首次提出。
他基于法拉第电磁感应定律和库仑定律，将电场和磁场统一起来，形成了这组方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
这四个方程共同描述了电磁场的生成、传播和相互作用。
二、麦克斯韦方程组的四个方程1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布规律。
它表明电场线从正电荷出发，经过电场中的介质，最终到达负电荷。
高斯定律的数学形式为：∮S E·dA = ε0∫V ρdV其中，S表示任意闭合曲面，E表示电场强度，dA表示曲面元素的面积，ε0为真空中的介电常数，ρ为电荷密度，V表示包围电荷体积。
2. 高斯磁定律高斯磁定律描述了磁场的分布规律。
与高斯定律类似，高斯磁定律指出磁场线无法孤立存在，它们必然会形成闭合回路。
高斯磁定律的数学表达式为：∮S B·dA = 0其中，S表示闭合曲面，B表示磁场强度，dA表示曲面元素的面积。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场变化产生的感应电场。
根据这个定律，当磁场的磁感线与一个闭合电路相交时，电路内将会产生感应电动势。
法拉第电磁感应定律可以用如下方程表示：∮C E·dl = -d(∫S B·dA)/dt其中，C表示闭合回路，E表示感应电场，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面。
4. 安培环路定律安培环路定律描述了磁场中的电流分布规律。
根据这个定律，一个闭合回路上的磁场的环路积分等于通过该回路的电流总和的倍数。
安培环路定律的数学形式为：∮C B·dl = μ0(∫S J·dA + ε0∫S E·dA/dt)其中，C表示闭合回路，B表示磁场强度，dl表示沿闭合回路的微元弧长，S表示以闭合回路为边界的任意曲面，J表示电流密度，μ0为真空中的磁导率。
工程电磁场数值分析(基本理论)
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场的标量位 在无电流区域 引进磁标量位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇× H = 0
H = −∇ϕm
∇ ϕm = 0
2
如果存在电流，可以将 H 分解为：H = H s + H m 其中
∇ × Hs = J
∇ × Hm = 0
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅D = 0
∇⋅B = 0
∇ × H = J = σ E + Js
∂A ∇ × ∇ × A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
∂Β ∇× E = − ∂t
Js是外加电流密度。
∂A ∇ ⋅ ( + ∇ϕ ) = 0 ∂t
∂A ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A + µσ ( + ∇ϕ ) = µ J s ∂t
E = −∇ϕ
∇× E = 0
ρ ∇ ϕ=− ε
2
除一些特殊的情况（如气体放电等领域）外，静电场中的 电荷通常并不以ρ的形式存在于空间中，而是以面电荷的方式 存在于不同媒质的交界面上，而且通常是难以测量的，因此 并不以显式出现在方程中。所以通常求解的是拉普拉斯方程。 作为产生电场的源的“电荷”隐含在边界条件中。
∇⋅D = ρ
4. 电磁场中的位函数
恒定磁场、矢量磁位
∇⋅B = 0
∇×H = J + ∂D ∂t
∇×E = −
∂Β ∂t
∇⋅B = 0
B = ∇× A
∇× H = J
∇⋅ A = 0
∇2 A = −µ J
第一篇 工程电磁场数值分析的数理基础
其中，在以下特殊情况下，上述的单矢量偏微分方程为： （１）理想介质（γ ＝０）中的电磁波方程为
H 2 2 ( 2 ) E 0 t
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 四、场矢量的微分方程
（２）良性导电媒质介质（γ >>ω ε ）,得涡流方程（扩散和 热传导方程）
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.2~1.3 电磁场的正、逆问题的数值分析
何为正问题？逆问题？
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.2~1.3 电磁场的正、逆问题的数值分析
正问题 ： 已知场源、边界、媒质 场量
给定场的计算区域、各区域的材料组成和特性，以及激励源 的特性，求场域中的场量随时间、空间的分布规……
(４) 时谐电磁场中的涡流方程（相量形式的扩散或热传导方程）
H E 2 ( j ) 0 B
E 0
2 2
(５) (５)
没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程）
没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）
H B 2 ( ) 0 t E
(３)时谐（周期时变）电磁场中的齐次波动方程（齐次亥 姆霍兹方程）
H ( ) 0 E
2 2
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 四、场矢量的微分方程
B l E dl S t dS
B dS 0
S
S
D dS q
积分形式
第一讲
电磁场的特性及其数学模型
１.４~1.１１ 电磁场及数学模型 一、麦克斯韦方程组
电磁场中的基本物理量和基本实验定律非常经典易懂
R R
q2
r Rr r'
0
为真空中介电常数。0
1
36
109
F
/
m
第二章 电磁场的基本规律
电场：在电荷周围形成的一种物质。 对处于其中的电荷产生力的作用，称为电场力。 用电场强度矢量 E 表示电场的大小和方向。
电场强度的定义： E
实验证明：电场力大小与电荷所在位置电场强度大小成正比， 即
体电荷密度 s (r ) 的定义： 在面电荷上，任取面积元 S ，其中电荷量为 q
则
s (r )
lim
S 0
q S
dq dS
q S s (r )ds
第二章 电磁场的基本规律
3、线电荷密度
线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。
线电荷密度 l (r ) 的定义： 在线电荷上，任取线元 l ，其中电荷量为 q
体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。
体电荷密度 (r ) 的定义：
在电荷空间V内，任取体积元 V ，其中电荷量为 q
则 (r ) lim q dq
V 0 V dV
dq (r )dV
q V (r )dV
第二章 电磁场的基本规律
2、面电荷密度
面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。
第二章 电磁场的基本规律
第2章 电磁场的基本定律
2.1 电荷守恒定律 2.2 真空中的 静 电场的基本规律 2.3 真空中的 恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流 2.6 麦克斯韦方程组 2.7 电磁场的边界条件
第二章 电磁场的基本规律
技能培训专题工程电磁场讲义第一章
技能培训专题工程电磁场讲义第一章第一章入门概述1.1 工程电磁场的定义和意义工程电磁场是研究电磁现象在实际工程中的应用问题的学科，其包括电磁场的产生、传输、辐射、作用及其与其他物理现象的相互作用等方面的内容。
工程电磁场的应用范围非常广泛，如电力系统、通信系统、雷达系统、电磁兼容等领域都是工程电磁场的应用领域。
1.2 工程电磁场的基本概念电磁场是指由电荷或电流所产生的电场和磁场以及它们之间的相互作用。
电场和磁场分为静电场和静磁场和交变电场和交变磁场。
其中，静电场和静磁场是指电荷和电流不随时间变化，而交变电场和交变磁场是指电荷和电流随时间变化。
1.3 工程电磁场的数学描述工程电磁场的数学描述是通过一组方程来完成的，它们包括麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程。
其中麦克斯韦方程组是电磁场的基本方程，它描述了电场和磁场的产生，传输和作用。
洛伦兹力方程是描述带电粒子运动时受到电磁场力作用的方程。
1.4 工程电磁场的计算方法工程电磁场的计算方法分为解析方法和数值方法。
解析方法包括解析解法和半解析解法，它们常常基于对电磁场方程的数学分析进行求解。
数值方法则通过对电磁场的离散化求解，其中常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和时域有限差分法等。
1.5 工程电磁场的应用工程电磁场应用非常广泛，其中包括电力系统、通信系统、雷达系统、电子系统以及电磁兼容等领域。
在电力系统中，工程电磁场可用于估算高压输电线路附近的电场和磁场强度，以评估对周边环境和生态环境的潜在危害。
在通信系统中，工程电磁场可用于优化通信信号的传输质量和覆盖区域，以保证通信的可靠性和稳定性。
在电磁兼容领域中，工程电磁场可用于解决电子产品之间相互干扰和影响的问题。
1.6 工程电磁场中的注意事项在工程电磁场的计算和应用过程中需要注意以下事项：（1）要注意电磁场的安全性，防止人员和周边环境受到电磁辐射的危害；（2）要充分考虑电磁场的相互作用和复杂性，避免过度简化和假设，保证模型的准确性和可靠性；（3）应充分利用计算机技术和模拟分析手段，以提高计算效率和精度，加快问题的解决；（4）在实际应用中应充分结合相关标准和法规，遵循规范和要求，确保应用的合法性和准确性。
1-4 工程电磁场分析的数理基础-4 电磁场的基本定理
• 建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁 场的解答。
• 因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程 的直接积分。 • 建立S-C方程，需用矢量格林定理。
21
计算电磁学基础
ˆ. 令P E , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
• 从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与 包围该场域边界上的场之间的关系。
3
计算电磁学基础
(2) 斯托克斯定理
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
– 任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。
• 如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场， 因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问 题。
9
计算电磁学基础
6、物理场的相似性
• 工程电磁场问题，可根据内存规律性相似的基本特征， 即数学意义上的微分方程的相似性，来考虑更广泛的 工程和物理问题。
– 如果只关心S外的场，那么可将此问题等效 成一个只有在S上有源的规则问题，此问题 的解与原问题的解在S外是一样的。 – 下面主要介绍三种等效形式。
E,H E,H 源
n
S
15
计算电磁学基础
E,H
n 零场强 Jms
• 第一种等效形式。
– 假设S内的场为零，S上有一组等效源Jes和Jms，它们满足
电磁场的数学基础
I J ds
J
ds
S
S
ds
points out from the surface
？
一个内外半径分别为a和b，长度L（L》b）的同轴电缆， U0 ， 已知，在加有电压U0时，其泄漏电流密度为 J e c b ln 问该电缆的漏电阻有多大？P.120
[2] 电位移矢量 D （magnetic field induction） 磁场强度 H （ magnetic intensity）
电位移矢量 D E B 磁场强度 H C/m2
A/m
1.1.3 媒质的电磁性能参数
反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数 (F/m) 反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率 (1/m=S/m) 反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率 (H/m)
方向：正电荷运动的方向 i di A/m 2 大小： J lim S n 0 S dS n n
？
如果体电流密度f(x,y) A/m2穿过一个圆形截 面，问穿过该面的总电流有多大？
i
s
f ( x, y ) ds
K 面电流密度 surface current density
量 长度 质量 时间 电流 单位 米 千克 秒 安培 缩写 m kg s A
第一章 电磁场的数学物理基础
1.2 电磁场的数学基础—矢量分析
物理量的分类
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量 温度 T 能量 W 距离 L 时间 t
2. 矢量：有大小又有方向的物理量
F
v
B
E
3. 张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量
14工程电磁场分析的数理基础4电磁场的基本定理
电导体 Jes
S
– 假设S内为理想电导体，从而保证S内的电场为零。
– 这题样一只样需。S上的等效磁流源Jms来保证S外的场与原问
– 即由边界连续性条件可知，此等效问题S外的电场 在边界S的切向上与原问题是一样的。
– 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。
– 这样原问题就等效成一个理想电导体上等效磁流源 产生场的问题。
E
a
(ra
)
Jb
Eb (rb ) J a
这就是洛仑兹互易定理的数学表达式。
由上式可知，第一个源在第二个源处产生的场Ea对JB的反应 等于第二个源在第一个源点处产生的场Eb对Ja的反应。因此 发射机和接收机可以互相交换，而使接收的响应不变。
13 计算电磁学基础
8、等效原理
• 等效原理是唯一性定理的直接应用。如 镜像电荷。
1.10 电磁场的基本定理
1、标量场、矢量场和张量场 标量场：温度场、质量场、电位… 矢量场：速度场、重力场、电场、磁场… 张量场：惯量张量（转动惯量）、电四极张量、电磁场张量…
1 计算电磁学基础
2、积分相关常用定理
(1) 高斯散度定理（公式）：
曲面积分与三重积分的关系
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数
• 建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁 场的解答。
• 因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程 的直接积分。
• 建立S-C方程，需用矢量格林定理。
21 计算电磁学基础
令P E, Q aˆ. 其中 e jkr / r,
aˆ为任意方向的单位矢量 , r为源点(x, y, z)和场点(x, y, z)间距离.
外一样。
1-4电磁场理论
n
u A 'n sin( n x ) sh( n b) a a n=1
a
12
还可以利用三角函数的正交性： ( sin kx sin nxdx 0，k , n 1, 2, 3, ..., k n) u A ' sin( n x ) sh( n b) E A ' sh( n b) a a a
1
2
泊松方程 拉普拉斯方程
当 =0时
2
2 0
2
—拉普拉斯算子
2 2 2 x y z
2 2 2
2
1.4.3 惟一性定理（Uniqueness Theorem)
惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定边界条件的
电位微分方程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
a
A 'n sin( n x sh n ) ( An' A C ) ( y n ) n a a n=1 由条件（4） u A 'n sin( n x sh n ) ) ( b a a n=1
电磁场基本定理
电磁场基本定理，根据麦克斯韦方程组导出的关于电磁场性质和表明几组电磁场之间关系的一些结论，这些结论是求解各种有源或无源电磁场边值问题的理论依据。
麦克斯韦方程组
在国际单位制中，
用假想的镜像源代替不同媒质的分界面对电磁场的影响，但只适用于诸如平面、球面等简单形状的分界面情况。
设自由空间被具有无限大平表面的理想导电
体所分割，该导体分界面的作用可用实际源在分界面对称位置上的镜像源来等效(图2)。
平行分界面的源J 或Jm分别有镜像-J 或Jm；垂直于分界面的源分别有镜像+J 或-Jm；ρ的镜像为-ρ，ρm的镜像为+ρm。
任意方向的J 或Jm可先分解成平行和垂直于分界面的两个分量，总的镜像等于每一个分量的镜像之矢量和。
这就将问题简化成在均匀无界媒质中由已知源（真实源和镜像源）求场的问题。
利用电磁场的对偶性，就可以得到图2所示的理想导磁体分界面的镜像。
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则经过推算可得 Ea (ra ) J Eb (rb ) J a b
这就是洛仑兹互易定理的数学表达式。
由上式可知，第一个源在第二个源处产生的场Ea对JB的反应 等于第二个源在第一个源点处产生的场Eb对Ja的反应。因此 发射机和接收机可以互相交换，而使接收的响应不变。
V
S
此即第一矢量格林恒等式。 将上式P和Q的位置交换，然后与上式相减，得
V
Q P P Q dV
S
ˆdS PQ Q P n
20
此即第二矢量格林恒等式。
计算电磁学基础
11、Stratton-Chu (斯特来顿-朱兰成)方程
18
计算电磁学基础
9、标量格林定理
格林第一定理
2 [ ( )]d V ( ) d S V s
令：
2 2 [ ( ) ]d V ( ) d S V s
上两式相减，则得格林第二定理
V
[ 2 2 )]d V ( ) d S
P( x, y, z), Q( x, y, z ), R( x, y, z)
在 上有一阶连续偏导数,则
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z 外
2
计算电磁学基础
divAdV A dS
V S
• 从数学上来看，利用高斯定理可以将矢量函数的面积 分转化成标量函数的体积分，或反之。
Q P x y d L Pdx Qdy , D
L B
A
E O
x P
y =1(x) b x
a
D
y dxdy L P( x, y)dx Q( x, y)dy Q
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 称为格林公式. 区域 D 的边界曲线 L 的正方向：当观察者沿 L 的某个 方向行走时 , 区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.
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计算电磁学基础
8、等效原理
• 等效原理是唯一性定理的直接应用。如 镜像电荷。 • “等效”是指：如果有两种不同（如分 布、大小、类型）的源在给定的区域内 产生相同的场，就称这两种源对该区域 的场解是等效的。
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计算电磁学基础
• 等效原理形式多种多样。如图，S是一虚 构的边界面，其内有源且介质非均匀， 其处无源且介质均匀。
Pdz Qdy Rdz
l
(rotA) dS Α dl
S
从数学上来看，利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。
从场观点来看，建立了区域中的场与区域边缘上的场的关系。
4
计算电磁学基础
y
y = 2(x) C D
(3) 格林公式
设 D 是以分段光滑曲线 L 为 边界的平面有界闭区域，函 数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具 有一阶连续的偏导数，则
计算电磁学基础
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注：表1-2考虑的是有场源（电流或电荷）存在区域之间的 类比关系，它归结为相同泊松方程的数学描述。
• 从表1-1和1-2所示的类比关系出发，也包括众所周知 的静电比拟关系。
11
计算电磁学基础
7、互易定理
互易定理是线性系统中可逆性在电磁学上的体现，它在理论 和实用上都非常重要。
从一般意义讲，互易定理是基于格林函数的互易性，即
7
计算电磁学基础
5、亥姆霍兹定理
• 若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有 界，源分布在有限区域V’中，则当矢量场的散度及旋度给 定后，该矢量场F(r)可以表示为
F r r A r
1 其中： r 4 F r V r r dV F r 1 A r dV V 4 r r
此即电场积分方程。
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计算电磁学基础
ˆ. 类似地, 令P H , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
可得
1 E x , y , z 4
1.10 电磁场的基本定理
1、标量场、矢量场和张量场 标量场：温度场、质量场、电位… 矢量场：速度场、重力场、电场、磁场… 张量场：惯量张量（转动惯量）、电四极张量、电磁场张量…
1
计算电磁学基础
2、积分相关常用定理
(1) 高斯散度定理（公式）：
曲面积分与三重积分的关系
设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数
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计算电磁学基础
E,H
磁场为零
n 磁导体 S Jms
• 第三种等效形式。
– 与第二种等效形式相似，只是将理想电导体换成理 想磁导体。 – 这样就可只需S上的等效电流源Jes来保证S外的场与 原问题一样。 – 由边界连续性条件可知，此等效问题S外的磁场在 边界S的切向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。 – 这样原问题便等效成一个理想磁导体上等效磁流源 产生场的问题。
– 如果只关心S外的场，那么可将此问题等效 成一个只有在S上有源的规则问题，此问题 的解与原问题的解在S外是一样的。 – 下面主要介绍三种等效形式。
E,H E,H 源
n
S
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计算电磁学基础
E,H
n 零场强 Jms
• 第一种等效形式。
– 假设S内的场为零，S上有一组等效源Jes和Jms，它们满足
S
Jes
– 任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。
• 如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场， 因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问 题。
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计算电磁学基础
6、物理场的相似性
• 工程电磁场问题，可根据内存规律性相似的基本特征， 即数学意义上的微分方程的相似性，来考虑更广泛的 工程和物理问题。
T
0
* 1 E(r , t ) H (r , t ) Re E(r ) H (r ) 2
6
计算电磁学基础
4、矢量场的惟一性定理
• 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界 上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的 矢量场被惟一地确定。 • 惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界 值（或称边界条件）惟一地确定 • 无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地 确定。
利用矢量格林恒等式，经过复杂推算，可得
1 E x , y , z 4
* 1 jJ J dV V 4
s
ˆH n ˆ E n ˆ E dS j n
பைடு நூலகம்
J ms E n J es n H
– 由边界连续性条件知，此等效问题中S外的场在边界S的切 向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律可知此问题与原问题的解在S外一样。 – 又因等效问题中S内的场为零，因而又可假设S内是均匀介 质，且与S外相同。 – 这样原问题便等效成一个S上一组等效源Jes和Jms在均匀介质 中产生场的问题。 – 这是一种常用的等效形式，又称为惠更斯原理。
– 各种物理场内在规律性的相似性，在共性上决定了完全相同 的数学描述。
• 基于场方程的相似性，表1-1列出了由标量位函数描 述的各类物理场（标量位场）的相似量。
• 注：表1-1所列类比关系是在场源区域外给出的，它归结为同一 10 拉普拉斯方程的数学描述。 计算电磁学基础
• 表1-2列出了平行平面场条件下静电场与由向量磁位 函数（A=Azez）描述的恒定磁场之间相似量的关系。
s
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计算电磁学基础
10、矢量格林定理
电磁理论中，格林定理的数学形式为
V
AdV
S
ˆdS A n
高斯定理
设矢量P和Q以及它们的一阶与二阶导数连续，则由格林定 理可得 ˆdS P Q dV P Q n V S ˆdS P Q P Q dV P Q n
• S-C方程将场源（电荷与电流、磁荷与磁流）和电场或 磁场通过一个积分方程联系起来。
• 建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁 场的解答。
• 因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程 的直接积分。 • 建立S-C方程，需用矢量格林定理。
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计算电磁学基础
ˆ. 令P E , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
• 从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与 包围该场域边界上的场之间的关系。
3
计算电磁学基础
(2) 斯托克斯定理
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
* 1 * jJ J dV V 4
s
ˆE n ˆ H n ˆ H dS j n
此即磁场积分方程。 因由美国J. A. Stratton和华人朱兰成建立，故也称为StrattonChu方程。 这个方程对散射计算有特别重要意义。