1-4 工程电磁场分析的数理基础-4 电磁场的基本定理
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计算电磁学基础
E,H
磁场为零
n 磁导体 S Jms
• 第三种等效形式。
– 与第二种等效形式相似，只是将理想电导体换成理 想磁导体。 – 这样就可只需S上的等效电流源Jes来保证S外的场与 原问题一样。 – 由边界连续性条件可知，此等效问题S外的磁场在 边界S的切向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。 – 这样原问题便等效成一个理想磁导体上等效磁流源 产生场的问题。
• S-C方程将场源（电荷与电流、磁荷与磁流）和电场或 磁场通过一个积分方程联系起来。
• 建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁 场的解答。
• 因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程 的直接积分。 • 建立S-C方程，需用矢量格林定理。
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计算电磁学基础
ˆ. 令P E , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
s
19
计算电磁学基础
10、矢量格林定理
电磁理论中，格林定理的数学形式为
V
AdV
S
ˆdS A n
高斯定理
设矢量P和Q以及它们的一阶与二阶导数连续，则由格林定 理可得 ˆdS P Q dV P Q n V S ˆdS P Q P Q dV P Q n
– 如果只关心S外的场，那么可将此问题等效 成一个只有在S上有源的规则问题，此问题 的解与原问题的解在S外是一样的。 – 下面主要介绍三种等效形式。
E,H E,H 源
n
S
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计算电磁学基础
E,H
n 零场强 Jms
• 第一种等效形式。
– 假设S内的场为零，S上有一组等效源Jes和Jms，它们满足
S
Jes
13
计算电磁学基础
8、等效原理
• 等效原理是唯一性定理的直接应用。如 镜像电荷。 • “等效”是指：如果有两种不同（如分 布、大小、类型）的源在给定的区域内 产生相同的场，就称这两种源对该区域 的场解是等效的。
14
计算电磁学基础
• 等效原理形式多种多样。如图，S是一虚 构的边界面，其内有源且介质非均匀， 其处无源且介质均匀。
V
S
此即第一矢量格林恒等式。 将上式P和Q的位置交换，然后与上式相减，得
V
Q P P Q dV
S
ˆdS PQ Q P n
20
此即第二矢量格林恒等式。
计算电磁学基础
11、Stratton-Chu (斯特来顿-朱兰成)方程
– 各种物理场内在规律性的相似性，在共性上决定了完全相同 的数学描述。
• 基于场方程的相似性，表1-1列出了由标量位函数描 述的各类物理场（标量位场）的相似量。
• 注：表1-1所列类比关系是在场源区域外给出的，它归结为同一 10 拉普拉斯方程的数学描述。 计算电磁学基础
• 表1-2列出了平行平面场条件下静电场与由向量磁位 函数（A=Azez）描述的恒定磁场之间相似量的关系。
Pdz Qdy Rdz
l
(rotA) dS Α dl
S
从数学上来看，利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。
从场观点来看，建立了区域中的场与区域边缘上的场的关系。
4
计算电磁学基础
y
y = 2(x) C D
(3) 格林公式
设 D 是以分段光滑曲线 L 为 边界的平面有界闭区域，函 数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具 有一阶连续的偏导数，则
P( x, y, z), Q( x, y, z ), R( x, y, z)
在 上有一阶连续偏导数,则
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z 外
2
计算电磁学基础
divAdV A dS
V S
• 从数学上来看，利用高斯定理可以将矢量函数的面积 分转化成标量函数的体积分，或反之。
利用矢量格林恒等式，经过复杂推算，可得
1 E x , y , z 4
* 1 jJ J dV V 4
s
ˆH n ˆ E n ˆ E dS j n
T
0
* 1 E(r , t ) H (r , t ) Re E(r ) H (r ) 2
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计算电磁学基础
4、矢量场的惟一性定理
• 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界 上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的 矢量场被惟一地确定。 • 惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界 值（或称边界条件）惟一地确定 • 无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地 确定。
则经过推算可得 Ea (ra ) J Eb (rb ) J a b
这就是洛仑兹互易定理的数学表达式。
由上式可知，第一个源在第二个源处产生的场Ea对JB的反应 等于第二个源在第一个源点处产生的场Eb对Ja的反应。因此 发射机和接收机可以互相交换，而使接收的响应不变。
G(r , r ) G(r , r )
式中r为场点，r’为源点。 上式的物理意义可描述为；A点的源在B点产生的场等同于 B点的源在A点产生的场。
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计算电磁学基础
假设在r=ra处的电流元Ja产生的场为Ea和Ha；在r=rb处的电流 元Jb产生的场为Eb和Hb，其中r为任意原点起算的位置矢量。
该关系称为亥姆霍兹定理。
8
计算电磁学基础
• 该定理再次表明，
– 无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定； – 有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。 – 若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。
• 它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系，或者说， 给出了场与源之间的定量关系。
J ms E n J es n H
– 由边界连续性条件知，此等效问题中S外的场在边界S的切 向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律可知此问题与原问题的解在S外一样。 – 又因等效问题中S内的场为零，因而又可假设S内是均匀介 质，且与S外相同。 – 这样原问题便等效成一个S上一组等效源Jes和Jms在均匀介质 中产生场的问题。 – 这是一种常用的等效形式，又称为惠更斯原理。
注：表1-2考虑的是有场源（电流或电荷）存在区域之间的 类比关系，它归结为相同泊松方程的数学描述。
• 从表1-1和1-2所示的类比关系出发，也包括众所周知 的静电比拟关系。
11
计算电磁学基础
Hale Waihona Puke Baidu
7、互易定理
互易定理是线性系统中可逆性在电磁学上的体现，它在理论 和实用上都非常重要。
从一般意义讲，互易定理是基于格林函数的互易性，即
18
计算电磁学基础
9、标量格林定理
格林第一定理
2 [ ( )]d V ( ) d S V s
令：
2 2 [ ( ) ]d V ( ) d S V s
上两式相减，则得格林第二定理
V
[ 2 2 )]d V ( ) d S
Q P x y d L Pdx Qdy , D
L B
A
E O
x P
y =1(x) b x
a
D
y dxdy L P( x, y)dx Q( x, y)dy Q
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 称为格林公式. 区域 D 的边界曲线 L 的正方向：当观察者沿 L 的某个 方向行走时 , 区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.
5
计算电磁学基础
3、坡印亭定理
• 瞬时电磁功率流密度： P(r , t ) E(r, t ) H (r, t )
• 复坡印亭矢量： • 平均功率流密度：
1 Pave (r ) lim T T
* P(r ) E (r ) H (r )
此即电场积分方程。
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计算电磁学基础
ˆ. 类似地, 令P H , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
可得
1 E x , y , z 4
计算电磁学基础
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E,H
电场为零
n 电导体
• 第二种等效形式。
S
Jes
– 假设S内为理想电导体，从而保证S内的电场为零。 – 这样只需S上的等效磁流源Jms来保证S外的场与原问 题一样。 – 即由边界连续性条件可知，此等效问题S外的电场 在边界S的切向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。 – 这样原问题就等效成一个理想电导体上等效磁流源 产生场的问题。
7
计算电磁学基础
5、亥姆霍兹定理
• 若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有 界，源分布在有限区域V’中，则当矢量场的散度及旋度给 定后，该矢量场F(r)可以表示为
F r r A r
1 其中： r 4 F r V r r dV F r 1 A r dV V 4 r r
计算电磁学基础
23
• 从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与 包围该场域边界上的场之间的关系。
3
计算电磁学基础
(2) 斯托克斯定理
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
– 任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。
• 如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场， 因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问 题。
9
计算电磁学基础
6、物理场的相似性
• 工程电磁场问题，可根据内存规律性相似的基本特征， 即数学意义上的微分方程的相似性，来考虑更广泛的 工程和物理问题。
* 1 * jJ J dV V 4
s
ˆE n ˆ H n ˆ H dS j n
此即磁场积分方程。 因由美国J. A. Stratton和华人朱兰成建立，故也称为StrattonChu方程。 这个方程对散射计算有特别重要意义。
1.10 电磁场的基本定理
1、标量场、矢量场和张量场 标量场：温度场、质量场、电位… 矢量场：速度场、重力场、电场、磁场… 张量场：惯量张量（转动惯量）、电四极张量、电磁场张量…
1
计算电磁学基础
2、积分相关常用定理
(1) 高斯散度定理（公式）：
曲面积分与三重积分的关系
设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数
计算电磁学基础
E,H
磁场为零
n 磁导体 S Jms
• 第三种等效形式。
– 与第二种等效形式相似，只是将理想电导体换成理 想磁导体。 – 这样就可只需S上的等效电流源Jes来保证S外的场与 原问题一样。 – 由边界连续性条件可知，此等效问题S外的磁场在 边界S的切向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。 – 这样原问题便等效成一个理想磁导体上等效磁流源 产生场的问题。
• S-C方程将场源（电荷与电流、磁荷与磁流）和电场或 磁场通过一个积分方程联系起来。
• 建立该方程后，通过各种方法求解积分方程得到电磁 场的解答。
• 因为不需要引用位函数，因此S-C方程也被称为场方程 的直接积分。 • 建立S-C方程，需用矢量格林定理。
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计算电磁学基础
ˆ. 令P E , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
s
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计算电磁学基础
10、矢量格林定理
电磁理论中，格林定理的数学形式为
V
AdV
S
ˆdS A n
高斯定理
设矢量P和Q以及它们的一阶与二阶导数连续，则由格林定 理可得 ˆdS P Q dV P Q n V S ˆdS P Q P Q dV P Q n
– 如果只关心S外的场，那么可将此问题等效 成一个只有在S上有源的规则问题，此问题 的解与原问题的解在S外是一样的。 – 下面主要介绍三种等效形式。
E,H E,H 源
n
S
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E,H
n 零场强 Jms
• 第一种等效形式。
– 假设S内的场为零，S上有一组等效源Jes和Jms，它们满足
S
Jes
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计算电磁学基础
8、等效原理
• 等效原理是唯一性定理的直接应用。如 镜像电荷。 • “等效”是指：如果有两种不同（如分 布、大小、类型）的源在给定的区域内 产生相同的场，就称这两种源对该区域 的场解是等效的。
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计算电磁学基础
• 等效原理形式多种多样。如图，S是一虚 构的边界面，其内有源且介质非均匀， 其处无源且介质均匀。
V
S
此即第一矢量格林恒等式。 将上式P和Q的位置交换，然后与上式相减，得
V
Q P P Q dV
S
ˆdS PQ Q P n
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此即第二矢量格林恒等式。
计算电磁学基础
11、Stratton-Chu (斯特来顿-朱兰成)方程
– 各种物理场内在规律性的相似性，在共性上决定了完全相同 的数学描述。
• 基于场方程的相似性，表1-1列出了由标量位函数描 述的各类物理场（标量位场）的相似量。
• 注：表1-1所列类比关系是在场源区域外给出的，它归结为同一 10 拉普拉斯方程的数学描述。 计算电磁学基础
• 表1-2列出了平行平面场条件下静电场与由向量磁位 函数（A=Azez）描述的恒定磁场之间相似量的关系。
Pdz Qdy Rdz
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(rotA) dS Α dl
S
从数学上来看，利用此定理可将面积分化为线积分，或反之。
从场观点来看，建立了区域中的场与区域边缘上的场的关系。
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y
y = 2(x) C D
(3) 格林公式
设 D 是以分段光滑曲线 L 为 边界的平面有界闭区域，函 数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具 有一阶连续的偏导数，则
P( x, y, z), Q( x, y, z ), R( x, y, z)
在 上有一阶连续偏导数,则
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dV x y z 外
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divAdV A dS
V S
• 从数学上来看，利用高斯定理可以将矢量函数的面积 分转化成标量函数的体积分，或反之。
利用矢量格林恒等式，经过复杂推算，可得
1 E x , y , z 4
* 1 jJ J dV V 4
s
ˆH n ˆ E n ˆ E dS j n
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* 1 E(r , t ) H (r , t ) Re E(r ) H (r ) 2
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4、矢量场的惟一性定理
• 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界 上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的 矢量场被惟一地确定。 • 惟一性定理表明，区域中的矢量场被其中的源及边界 值（或称边界条件）惟一地确定 • 无限大自由空间中的矢量场仅被其散度及旋度惟一地 确定。
则经过推算可得 Ea (ra ) J Eb (rb ) J a b
这就是洛仑兹互易定理的数学表达式。
由上式可知，第一个源在第二个源处产生的场Ea对JB的反应 等于第二个源在第一个源点处产生的场Eb对Ja的反应。因此 发射机和接收机可以互相交换，而使接收的响应不变。
G(r , r ) G(r , r )
式中r为场点，r’为源点。 上式的物理意义可描述为；A点的源在B点产生的场等同于 B点的源在A点产生的场。
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计算电磁学基础
假设在r=ra处的电流元Ja产生的场为Ea和Ha；在r=rb处的电流 元Jb产生的场为Eb和Hb，其中r为任意原点起算的位置矢量。
该关系称为亥姆霍兹定理。
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计算电磁学基础
• 该定理再次表明，
– 无限空间中矢量场被其散度及旋度惟一地确定； – 有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一地确定。 – 若该有限区域是无源的，则场仅决定于边界条件。
• 它给出了场与其散度及旋度之间的定量关系，或者说， 给出了场与源之间的定量关系。
J ms E n J es n H
– 由边界连续性条件知，此等效问题中S外的场在边界S的切 向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律可知此问题与原问题的解在S外一样。 – 又因等效问题中S内的场为零，因而又可假设S内是均匀介 质，且与S外相同。 – 这样原问题便等效成一个S上一组等效源Jes和Jms在均匀介质 中产生场的问题。 – 这是一种常用的等效形式，又称为惠更斯原理。
注：表1-2考虑的是有场源（电流或电荷）存在区域之间的 类比关系，它归结为相同泊松方程的数学描述。
• 从表1-1和1-2所示的类比关系出发，也包括众所周知 的静电比拟关系。
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计算电磁学基础
Hale Waihona Puke Baidu
7、互易定理
互易定理是线性系统中可逆性在电磁学上的体现，它在理论 和实用上都非常重要。
从一般意义讲，互易定理是基于格林函数的互易性，即
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计算电磁学基础
9、标量格林定理
格林第一定理
2 [ ( )]d V ( ) d S V s
令：
2 2 [ ( ) ]d V ( ) d S V s
上两式相减，则得格林第二定理
V
[ 2 2 )]d V ( ) d S
Q P x y d L Pdx Qdy , D
L B
A
E O
x P
y =1(x) b x
a
D
y dxdy L P( x, y)dx Q( x, y)dy Q
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 称为格林公式. 区域 D 的边界曲线 L 的正方向：当观察者沿 L 的某个 方向行走时 , 区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.
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计算电磁学基础
3、坡印亭定理
• 瞬时电磁功率流密度： P(r , t ) E(r, t ) H (r, t )
• 复坡印亭矢量： • 平均功率流密度：
1 Pave (r ) lim T T
* P(r ) E (r ) H (r )
此即电场积分方程。
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计算电磁学基础
ˆ. 类似地, 令P H , Q a 其中 e jkr / r , ˆ为任意方向的单位矢量, a r为源点( x , y , z )和场点( x, y, z )间距离.
可得
1 E x , y , z 4
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E,H
电场为零
n 电导体
• 第二种等效形式。
S
Jes
– 假设S内为理想电导体，从而保证S内的电场为零。 – 这样只需S上的等效磁流源Jms来保证S外的场与原问 题一样。 – 即由边界连续性条件可知，此等效问题S外的电场 在边界S的切向上与原问题是一样的。 – 根据唯一性定律得到此问题的解与原问题的解在S 外一样。 – 这样原问题就等效成一个理想电导体上等效磁流源 产生场的问题。
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5、亥姆霍兹定理
• 若矢量场F(r)在无限区域中处处是单值，且其导数连续有 界，源分布在有限区域V’中，则当矢量场的散度及旋度给 定后，该矢量场F(r)可以表示为
F r r A r
1 其中： r 4 F r V r r dV F r 1 A r dV V 4 r r
计算电磁学基础
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• 从场的观点来看，高斯定理建立了某一区域中的场与 包围该场域边界上的场之间的关系。
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计算电磁学基础
(2) 斯托克斯定理
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
– 任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。
• 如果已知矢量场的散度及旋度以后，即可求出该矢量场， 因此，矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问 题。
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计算电磁学基础
6、物理场的相似性
• 工程电磁场问题，可根据内存规律性相似的基本特征， 即数学意义上的微分方程的相似性，来考虑更广泛的 工程和物理问题。
* 1 * jJ J dV V 4
s
ˆE n ˆ H n ˆ H dS j n
此即磁场积分方程。 因由美国J. A. Stratton和华人朱兰成建立，故也称为StrattonChu方程。 这个方程对散射计算有特别重要意义。
1.10 电磁场的基本定理
1、标量场、矢量场和张量场 标量场：温度场、质量场、电位… 矢量场：速度场、重力场、电场、磁场… 张量场：惯量张量（转动惯量）、电四极张量、电磁场张量…
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计算电磁学基础
2、积分相关常用定理
(1) 高斯散度定理（公式）：
曲面积分与三重积分的关系
设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数