二次函数的应用课件——面积问题

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二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件

根据几何图形的特性，选择合适的二次函数模型来表示面积。
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量，利用二次函数的性质求圆的最大面积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量，然后根据二次函数的性质，找到使面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现在二次函数最值处，可以通过求导数或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所

二次函数的应用ppt课件

②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2；（3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案．题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和；（2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系；注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽度 AB 为（） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m

二次函数应用-几何图形的最大面积问题精品PPT课件

∵a＜0， ∴抛物线开口向下 C
Q1cm/秒B
∴ 当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是C，AD⊥BC， BC=160cm ,AD=120cm,
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
最值。
2。有取值范围的在端点或顶点处取最值。
自学教材20页 “动脑筋”
例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围。
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，
最大值是多少？
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时间：XX年XX月XX日
（四）课堂小结
1. 对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数的自变量的取值范围。
2. 用函数知识求解实际问题，需要把实际问题转化为数学问题再建立函数模型求解，解要符合实际题意，要注意数与形结合。
1.在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是( ) A.y=(60+2x)(40+2x)
（一）思前想后
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。（2）求函数y＝x2+2x－3 （0≤x ≤ 3）

二次函数的应用ppt课件

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
返回目录
◆ 名师导学 ◆
知识点最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

初中数学《二次函数图象中的面积问题》 PPT课件图文

连结BA、BC，求△ABC的面积。
（1）二次函数
y 1x2 4x6 2
(2) ∵该抛物线对称轴为直线
x

2

4 (
1)

4
2
∴点C的坐标为(4，0)
∴AC=OC－OA=4－2=2 ∴ S△ A B C1 2A C O B1 2266
变式1：
1、如图，已知二次函数 y1x2 bxc
（2）利用等量关系求出P点纵坐标
变式2：
1、如图，已知二次函数 y1x2 bxc 2
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）该函数图象与x轴的另一个交点为D，顶点为E，连接AE、DE，求写抛出物抛线物上线点上有P坐几标个使P得点 S使△得ADSP=△A3DSP=△A1D/E3。S△ADE。
分析：（1）同底三角形，面积之比就是高之比
（2）利用等量关系求出P点纵坐标
2、如图，已知二次函数图象过 A（-1，0） C（0，3），且对称轴为直线x=1
（1）求抛物线解析式，图象与x轴的另一个交点B及顶点D点坐标；
（2）求△DCB的面积。
变式1：
如图，已知二次函数图象过 A（-1，0） C（0，3），且对称轴为直线x=1
初显身手
1、如图，已知二次函数 y1x2 bxc 2
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。
(2010年宁波中考题)。
如图，已知二次函数 y1x2 bxc 2
的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，

二次函数应用几何图形的最大面积问题课件

对未来学习的思考和展望
深入学习二次函数和几何图形的基础知识，掌握更多解决实际问题的技巧和方法。
拓展学习领域，了解更多与数学相关的学科知识，如线性代数、微积分等，为解决更复杂的问题提供支持。
关注数学在实际生活中的应用，了解数学与其他学科的交叉点，培养跨学科解决问题的能力。
THANKS
的最大面积。
03
几何图形面积的最大值问题
几何图形面积最大值的求解方法
03
代数法
几何法
参数法
通过代数运算和不等式性质，求出几何图形面积的最大值。
利用几何图形的性质和特点，通过作图和观察，求出面积最大值。
引入参数表示几何图形，通过参数的变化和约束条件，求出面积的最大值。
面积最大值在二次函数中的应用
二次函数应用几何图形的最大面积问题课件
目录
• 二次函数与几何图形的关系 • 二次函数的最值问题 • 几何图形面积的最大值问题 • 实际应用案例分析 • 总结与思考
01
二次函数与几何图形的关系
二次函数图像的几何意义
01
二次函数图像是抛物线，其顶点是函数的极值点。
02
二次函数图像的对称轴是x=h ，顶点的纵坐标是k。
二次函数与几何图形面积最大值问题紧密相关，通过合理设定函数参数，可以找到几何图形面积的最大值。
在解决实际问题时，需要综合考虑多种因素，如几何图形的形状、大小和位置等，以及二次函数的参数和约束条件。
二次函数开口方向和顶点位置对几何图形面积的影响是关键，需要根据实际情况调整函数表达式，以获得最佳效果。
01
总结词
02
详细描述
矩形面积最大化
在给定长和宽的条件下，利用二次函数求矩形的最大面积。通过设定长和宽为二次函数的形式，并利用求导数的方法找到面积的最大值。

22.3.1二次函数与图形面积问题课件 2024-2025学年人教版数学九上

位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，
∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
知识讲解
(4) 当l是多少米时，场地的面积S最大？
（4）解：根据题意得S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当l=
b
30

15时，
2a
2 ( 1)
2
2
S有最大值 4ac b 30 225.
4a
4 ( 1)
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
随堂练习
2. 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与
随堂练习
4. 某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费用每平
方米1 000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1) 写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
知识点利用二次函数解决几何图形的最值问题
【例 2】用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为
x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果
不能，请说明理由．
知识讲解

《利用二次函数求几何面积的最值问题》PPT课件

夯实基础
5．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图象关于直线x ＝－2对称，且当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是 __－__4_≤_m_≤_－__2____．
夯实基础
6．已知一个直角三角形两直角边边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B ) A．25 cm2 B．50 cm2 C．100 cm2 D．不确定
整合方法
解：如图：设裁掉的正方形边长为x dm，由题意可得 (10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
整合方法 (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
夯实基础
7．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( D ) A．20 B．40 C．100 D．120
夯实基础
8．如图，在矩形 ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边 AD 上找一点
E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE 的长，当
剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 E 应选在( A )
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
探究培优
14．【中考·南宁】如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m. (1)用含a的式子表示花圃的面积．

二次函数与面积计算问题ppt课件

y
x＝m y＝x
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4
B
N
MN＝MP＋PN＝－m 2＋3m＋4
OP A
x
当m＝1.5时，S有最大值。
M
精选ppt课件
13
（西湖区2011学年第一学期期末测试）
如图，二次函数 yx2 b图x象c与轴x交于A,B两点
(A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M ，MAB为
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
S△ PCB=_______
(1,4) D E4E P (0,3) C
3
2
S△ ACP=_______ 1
(-1,0)
A
FF
O
(3,0)
B
2
在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），
B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点
的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物
请说明理由；
Py
P Q
C
(1)抛物线解析式为
y x2 -2x 3
Q(1,2)
B
A
O
x
P( 3 ,15) 24
精选ppt课件
11
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
y
P Q
C
B
A
O
练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，
将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

22.3 第1课时二次函数与图形面积问题课件(共21张PPT)

（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出此时的费
用.
解：(1)∵矩形的一边长为x m,∴其邻边长为(6-x)m,
∴S=x(6-x)=-x²+6x,其中0<x<6.
(2)∵ S=-x²+6x=-(x-3)²+9, ∴当x=3, 即矩形的一边长为
3 m时, 矩形面积最大, 为9 m², 此时设计费最多, 为9×
问题3 面积S关于的函数解析式是什
么？自变量的取值范围是什么？
自主探究
1.已知二次函数 y=x²+2x-3,在下列各条件下，当x取何值时，
y有最大值或最小值.
(1)x为全体实数； (2)-3≤x≤0;
(3)-10≤x≤-4.
(1)当x=-1时，y有最小值；无最大值.
(2)当x=-3时，y有最大值；当x=-1时，y有最小值.
（2）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标（1，-6），当
x=1时，y有最大值-6.
女排精神是永不言败，一排球运动员从地面竖直向上抛出一
排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：
s）之间的关系式是h=25t-5t2（0≤t≤5）.排球的运动时间是多
少时，排球最高？排球运动过程中的最大高度是多少？
6cm/s的速度沿A→D运动，直到两点都到达终点为止.设点P的运动时间为
t(s),△APQ的面积为S(cm²),则S关于t的函数图象大致是( C)
例2：某广告公司设计一个周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费
为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x m，面积为S .
（1）求S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
−
× −
= ,即最

二次函数与面积问题-面积ppt课件

15
拓展：用一段长30m的篱笆围成一个一边靠
墙的矩形菜园，墙长为14m，这个矩形的长、
宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积
是多少？
解：设与墙平行的边长为xm,则另一边为
30 x
m,矩
形的面积为ym2.则
2
y x(30 x)
14m
y

1
2
x2 15x
(0<x≤14)
2
墙菜园
∵a= 1 <0,∴y有最大值。
当
2
x
b

15
15 时，y取最大值
2a
2
(
1) 2
16
拓展：用一段长30m的篱笆围成一个一边靠
墙的矩形菜园，墙长为14m，这个矩形的长、
宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ y
112
14m
墙
菜园
0
14 15
x
根据问题的实际意义x=15不在自变量取值范围内，当0<x≤14时，图象在对称轴左侧，y随x的增大而增
(0<x<10)
= 102 25 4 (1)
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 97 1o
x
第例1:（原题：教材131页7题）用一段长30m的
一篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
类 18m，建立矩形面积与矩形一边长的函数关系
：式，并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、
靠墙
A
D
(0<x<10)
xy
B
C
6
(7)怎样设计才能使小兔活动范围最大呢？实质是求矩形生物园的面积最大值？

_二次函数的面积问题.1ppt

x=4
我收获了什么？还有什么疑惑？
伟大的成功和辛勤的劳动是成正比例关系的，有一分劳动，就会有一分收获。双手向上就是开口向上的抛物线。它告诉我们人生就如同抛物线，要一步一步向上努力，不要放弃，虽然道路弯曲，但最终定能看到广阔的天空。人生哲理，一切尽在函数中…
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别交x轴、y轴于A、B、C三点.

（3）已知点N为直线BC上方抛物线上的一个动点，
求出当△NBC面积的最大时点N的坐标. 作NE┴x轴于点E，交BC于M y=-x+3 y (0,3) c C A O y=-x2+2x+3 M E B (3,0)
N N
x
(3,0)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别交x轴、y轴于A、B、C三点.
若是S△ABD=2S△ABC呢？
(-1,0) A
o
D3
( 1 7 ,-3 )
B (3,0)
x
D2
( 1 7 ,-3 )
y=-x2+2x+3
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别交x轴、y轴于A、B、C三点.
（3）已知点N为直线BC上方抛物线上的一个动点，求出当△NBC面积的最大时点N的坐标.
y=-x+3 y (0,3) c C A O (3,0) y=-x2+2x+3 B (3,0)
N
x
我
能行
如图，有一个二次函数的图象，
y C OA B x
三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
乙：与轴两个交点A、B点的横坐标

二次函数的应用课件——面积问题