质点运动学速度与加速度

由此可见，如知道运动方程 x=x(t)，则速度、 加速度等皆可求得。
直线运动
运动学的反问题
如果已知质点运动的加速度 ：
a a(t )
若再知道 t = 0 时刻质点的速度和位置 ： v(t 0) v0 x(t 0) x0
可以完全描述运动。 a(t ) dv / dt 利用： 可以解得：
路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到 t2 = t 时 刻所走过的轨迹长度 （标量） 质点从 t1 = t 到 t2 = t +△t 时 间间隔内所走过的路程
s s(t2 ) s(t1 )
由此可以定义平均速率：
s(t 2 ) s(t1 ) s w t1t2 t 2 t1 t
经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。
时间、空间和牛顿力学的绝对量
时间 ： 空间 ： 时间用以表述事物之间的顺序
空间用以表述事件相互之间的位形
在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔（长度）被认为 是绝对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存 在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为 欧几里德几何空间。
时间的测量 ：
任何具有重复性的周期过程或现象，都可以作为测量 时间的一种钟 （例如，太阳的升没表示天；四季的 循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过 程，如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子 的振动等等，也都可以用作测时的工具）
时间的测量 ：
1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定： 位于海平面上的铯原子的基态的两个超精细能级 在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为 1秒 = 9,192,631,770 T 这样的时间标准称为原子时
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
瞬时速度（简称速度）定义为：
v(t ) lim
t 0
r (t t ) r (t ) r dr lim t dt t 0 t
速度的数值大小（绝对值）称 为速率，由上式知：
v(t ) | v(t ) |
lim
t 0
r | r | s ds(t ) lim lim t dt t 0 t t 0 t
1983年10月在第十七届国际计量大会上规定： 米是光在真空中在1/299,792,458秒的时间间隔内所 传播的路程长度 光速：c = 299,792,458米／秒
最短的时间
目前物理学中涉及的最小的时间是10-43秒，称为 普朗克时间。普朗克时间被认为是最小的时间，比普 朗克时间还要小的范围内，时间的概念可能就不再适 用了。
r xi yj zk
其中i，j，k分别分别表示空间的三个坐标方向 （ x, y, z 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢。 参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用 不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这 一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。
轨迹和运动学方程
质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这 条曲线我们称之为轨迹。 轨迹可以利用曲线方程来描写。
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a(t ) lim v(t t) v(t ) v d v(t ) d 2 r(t ) lim t dt dt 2 t 0 t
t 0
在国际单位制中，加速度的单位是米/秒2，常用的 单位还有厘米/秒2 等。
§1.3
小结：
速度与加速度
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
在△t→0的极限情况下， △r的方向趋于轨迹曲线在点 1的切线 方向，且位移与路程两者的大小近似相等。这样，我们就得到一 个结论：瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向； 瞬时速度的大小，就是△t→0时平均速率的大小。
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
位移、路程与速度 2. 三维曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时 间间隔内的平均速度
r(t 2 ) r(t1 ) r v t1t2 t 2 t1 t
这个平均速度的定义表明，平 均速度是矢量。
r r(t2 ) r(t1 )
是在时间间隔 △t 内质点位置矢量的改变量，称为位 移矢量（简称位移）
用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量 精度要比秒表作时计提高 1010 倍，即误差下降到秒 表的 1010 之一
时间是测量得最准确的一个基本量
空间的测量 ：
长度是空间的一个基本性质
对长度的测量，在日常的范围中，是用各种各样 的尺，如米尺、千分尺、螺旋测微计等等。
空间的测量 ：
米： 规定为通过巴黎的自北极至赤道的子午线长度 的1/10,000,000 1875年起，决定改用米原器（截面呈“X”形的 铂铱合金尺）作为长度标准。由于这样规定的标准米 不易复制，精度又不高 1960年在第十一届国际计量大会上规定： 1米等于氪86原子的两个特定能级之间跃迁时所对 应的辐射（橙色谱线）在真空中的波长λ的 1,650,763.73倍。这样规定的米叫原子米
位移、路程与速度
质点在t1到t2时间间隔内的平均 速度 x(t 2 ) x(t1 ) v t1t2 t 2 t1
瞬时速度（简称速度）定义为：
v(t ) lim
t 0
x(t t ) x(t ) x dx(t ) lim t dt t 0 t
通常称平均速度的绝对值为平均速率。类似地，瞬时 速度的绝对值被称为速率。
t
位矢： r(t ) r0 路程：

t
t0
v(t )dt
x(t ) x t v (t )dt 0 t0 x t ds (t ) y (t ) y0 t v y (t )dt 2 2 2 0 v(t ) | v(t ) | v x (t ) v y (t ) v z (t ) t dt z (t ) z0 v z (t )dt t t0 2 2 2 s(t ) s(t0 ) vx (t) vy (t ) vy (t) dt
d 2 z (t ) (t ) a z (t ) z dt
曲线运动
运动的重要性质：
运动的独立性
运动的独立性 的实验演示
由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质 点的复杂的曲线运动时，其某方向的坐标、速度和加 速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关，即三个 方向相互无关。这种性质称为运动的独立性。（空间 独立性根源）
2. 速度
分量式： 速率： 其中：
v x (t )
v(t ) vx (t )i vy (t ) j vz (t )k
dy (t ) dx (t ) (t ) y (t ) v y (t ) x dt dt 2 2 2 1/ 2 ds(t ) dx dy dz v(t ) dt dt dt dt
速度、加速度是矢量，它具有矢量性 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一 定相同，它具有瞬时性 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不 同的，它具有相对性
• 人体能承受的最大 加速度为10g左右。 未受专业训练的一般 人只能承受2-3g左右。
§1.4
运动方程：
直角坐标系中运动的描述
譬如，曲线方程：
x2 y 2 R 2 z 0 就描写了在oxy平面上半径为R的圆周 运动的轨迹。 一般曲线方程可以表示成：
源自文库
f1 ( x, y , z ) 0 f 2 ( x, y , z ) 0
轨迹和运动方程
我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。 质点的位置关于时间的函数称为运动方程，知道了这 个方程等于知道了此质点运动的一切情况。质点的运 动方程可以表示成：
在国际单位制中，速度的单位是米/秒，常用的单位还 有厘米/秒、千米/小时等
加速度
1. 直线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间间隔内的平均加速度
a t t t v(t t ) v(t ) t
瞬时加速度（简称加速度）定义为：
a(t ) lim
t 0
r r(t )
当然，也可以用坐标系中 三个坐标分量来描述运动 x x(t ) y y (t ) z z (t ) 并有关系式
r(t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程
§1.3
1. 直线运动
速度与加速度
x x(t )
0
直线运动
平均速度： v x(t ) x(t0 ) t t t t0 瞬时速度： x(t t ) x(t ) dx(t ) v(t ) lim t dt t 0
右图表示的是质点做直线运动时的位置、 速度和加速度关于时间的图形。由图上可 见，当位置最大时，速度为零（此时曲线 的斜率为零），同样当速度最大时，其加 速度为零。
参考坐标系 ： 固定在参考物上的坐标架（简称参考系）
参考系 = 参考物 + 坐标架 + 钟
质点近似的相对性
对于某个物体，如果其
大小和自转对于所研究 的具体问题可以忽略， 则该物体可以近似为质 点。
质点和参考系
质点 的位置矢量 r（简 称位矢）的大小为OP 的长度，而方向从O指 向P。用这个矢量就完 全确定了质点P的位置
曲线运动
运动学的反问题 a(t ), v(t0 ), r(t0 ) 如果已知： 可以完全描述运动。
速度： v(t ) v 0 t a(t )dt
0
分量式：
v (t ) v t a (t )dt 0x t0 x x t v y (t ) v0 y t a y (t )dt 0 t v ( t ) v az (t )dt z 0z t 0
v(t ) dx / dt
t 0 t
0
v(t ) v0 a(t )dt
x(t ) x0 v(t )dt
s(t ) s0
t 0
| v(t ) | dt
曲线运动
1. 运动方程
r(t ) x(t )i y(t ) j z (t )k
x x(t ) y y (t ) z z (t )
§1.1
力学的研究对象
引 言
运动学： 研究物体运动的几何性质，而不研究引起物 体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨 迹等的描述和计算） 动力学： 研究受力物体的运动变化与作用力之间的 关系。（运动微分方程的建立和求解）
静力学： 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时 也研究力的一般性质和力系的简化方法等。 （平衡方程的应用和受力分析）
最小的长度
目前，物理学中涉及的普朗克长度约为10-35米， 被认为是最小的长度，意思是说，在比普朗克长度更 小的范围内，长度的概念可能就不再适用了。
牛顿力学适用范围：微米尺度— 天体尺度
§1.2
质点和参考系
质点 ：
参考物 ：
质点和参考系
突出了“物体具有质量”、“物体占有位 置” 为了研究运动，固定坐标系的物体
v z (t ) dz (t ) (t ) z dt
ds2 dx2 dy2 dz2
曲线运动
3. 加速度
a(t ) ax (t )i ay (t ) j az (t )k
分量式：
d 2 x(t ) (t ) a x (t ) x dt
d 2 y (t ) (t ) a y (t ) y dt
v(t t ) v(t ) v dv(t ) d 2 x(t ) lim t dt dt 2 t 0 t
加速度
2. 曲线运动
质点在 t1 = t 到 t2 = t +△t 时间 间隔内的平均加速度
a t t t v v (t t ) v(t ) t t
直线运动
瞬时速率：
ds (t ) w(t ) | v(t ) | dt
a t0 t
a(t ) lim
t 0
平均加速度：
瞬时加速度：
v(t ) v(t0 ) t t0
v(t t ) v(t ) dv(t ) d 2 x(t ) t dt dt 2