专题08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系(原卷版)

专题08立体几何

第二十讲空间点线面的位置关系

2019年

1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，

M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

（1）证明：MN∥平C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．

5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.

（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；

（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．

7.(2019全国III文19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD 8.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD

的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

9.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，

（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；

（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；

（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

10.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

11.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

12.（2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；

（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．

13.（2019全国1文16）已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC

，那么P 到平面ABC 的距离为___________．

14.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；

（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．

15.（2019天津文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，

（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ；

（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；

（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.

16.（2019浙江8）设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则

A ．β<γ，α<γ

B ．β<α，β<γ

C ．β<α，γ<α

D ．α<β，γ<β

17.（2019浙江19）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，

1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.

（1）证明：EF BC ⊥；

（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.

2015-2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角

的正切值为

A ．

B ．

C ．

D 2．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．（2017新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在

棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是