关于多维正态分布

关于多维正态分布

教材相关内容：第180页例3.4.12。2n =的情形，第141页二元正态分布。

性质1：（正态分布在可逆仿射变换下仍是正态分布） 设维随机向量

n (,)X N μΣ∼)，A 是n 阶实数可逆方阵，。则R n b ∈(,Y AX b A b

A A N μ′

=++∼Σ。

证明：注意到

1()x A Y b −=−，1()x A Y A b μμ−−=−−，

2det(')det()det()det(')det()det()A A A A A Σ=⋅Σ⋅=Σ⋅

所以，

11111()()

1(())|det |

1(())'(())2|1()'(')()2Y AX b X f y f y f A y b A A y b A y b A y b A A A y b A μμμμ+−−−−−==−×

⎛⎞

=−−−Σ−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞=

−−−Σ−−⎜⎟

⎝⎠1det |×

) 故(,Y AX b N A b A A μ′=++Σ∼。 教材相关内容：第162页例3.3.9。

性质2：（具有独立分量的正态分布随机向量，边缘分布） 设

1111

220,0X X N X μμ⎛⎞

Σ⎛⎞

⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Σ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

∼22其中X 是n 维随机向量，1X 是维随机向量，1n 2X 是维随机向量；，2n R i n i μ∈ii Σ是阶实数矩阵，。则i n 1,2i =ii Σ是对称正定矩阵，1X 与2X 独立，并且

(,)i ii i X N μΣ∼

，i 。

1,

2=证明：1、易见是对称矩阵，ii Σ1,2i =。

()111111112200000x x x x Σ

⎛⎞⎛⎞′′Σ=≥⎜⎟⎜⎟Σ⎝⎠

⎝⎠而且当且仅当。因此'11110x x Σ=10x =11Σ是对称正定矩阵。类似可证是对称正定矩阵。

22Σ2、对 ， 112200

Σ⎛⎞Σ=⎜

⎟Σ⎝⎠

自然有

11

11

11221220,det det det 0−−−⎛⎞

ΣΣ=Σ=⎜

⎟Σ⎝⎠

Σ⋅Σ

从而

121''1,121222

'1

11(,)(,)2

12X X i ii i i x f x x x x x x x −−=⎛⎞

⎛⎞=

−Σ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞=−⎜⎟

⎝⎠Π

Σ

易见 '1

1(),

1,2.2i X i i ii i f x x x i −⎛⎞=

−Σ⎜⎟⎝⎠=

从而

1212,1212(,)()()X X X X f x x f x f x =⋅

故1,2X X 独立，且(,)i i X N ii μΣ∼。

性质3：（正态分布随机向量的分量的独立化，正态分布的边缘分布仍是正态分布） 设

1111

2221,X X N X μμ⎛⎞

ΣΣ⎛⎞

⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

∼1222其中X 是n 维随机向量，1X 是维随机向量，1n 2X 是维随机向量；，2n R i n i μ∈ij Σ是n 阶实数矩阵，i 。记

i ×j n 1,2=111

22111

20Y I Y Y I −⎛⎞⎛⎞⎛⎞

==⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠

12X X 其中是阶单位矩阵。则

i I i n 1. 1

−⎞⎟，从而1Y 和2Y 独立。 111

1

221111222111120,0Y N μμμ−⎛⎞

Σ⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−ΣΣΣ−ΣΣΣ⎝⎠⎝⎝⎠

∼⎠2. (,)ii i i X N μΣ∼，1,2i =。

证明：根据性质1，

11

11

22111221

11111121111211211122211122122211111

2

2111122211112000,00,0Y I X Y Y I X I I I N I I I N μμμμμ−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞

ΣΣ⎛⎞−ΣΣ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΣΣ−ΣΣΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝

⎠

⎛⎞Σ⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΣΣΣ−ΣΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠∼

由性质2知，和独立，并且1Y 2Y 11111(,)X Y N μ=Σ∼。用类似的办法可以证明

22(,X N 22)μΣ∼。

这里使用的变量变换是从不独立（1,2X X 2H 可能不独立）到独立（构造出来的是独立的），而对正态分布随机向量的分量，独立与不相关是等价的（性质3），而不相关相当于几何上的垂直（关于空间上的内积），因此这本质上就是内积空间中向量组的Gram-Schmidt 正交化过程。这方法在教材第141页例

3.1.7、第149页例3.2.5、第174页例3.

4.9、第189页例3.

5.4中都有体现。另外，这里得到的结论对应教材第149页例3.2.5（二元正态的边缘分布）。

12,Y Y

性质1’：（正态分布在非退化仿射变换下的不变性，性质1的一般形式） 设n 维随机向量(,)X N μΣ∼，A 是m n ×阶实数方阵，rank A m =（即的行向量A 是线性无关的），。则Y A R m b ∈(,N A b )A A X b μ′=++Σ∼。

证明：因为是满行秩矩阵，所以A m n ≤。如果m n =，则是可逆矩阵，这时结论如b 中形式。

A 如果，则的个维行向量线性无关，我们可以将它们扩充为n 维空间的一组基，也就是说存在m n

B 使得

n n

A B ×⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 是可逆矩阵，由性质1，

'',(','),0'Y A b A b A A b A A A B X N A B N Z B B B B B A B B μμμμ⎛+⎞⎛+ΣΣ⎛⎞⎛⎞⎛⎞

⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+Σ=⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ΣΣ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝∼'⎞⎟⎠

') 由性质3知，它的一个边缘分布为(,Y AX b N A b A A μ=++∼Σ。

一个常用的结论（性质1’

的特例）

设12,,,n X X …X i 独立，2(,)i i X N μσ∼，1,2,,i n =…，，其中

12,,,,R n a a a b ∈…12,,,n a a a …不全为零。则

2222

111111(,n n n n n n a X a X b N a a b a a )μμσσ++++++ ∼ 。

证明：由独立性知，

112

,,1121()1(,,)()()2n n n i i X X n X X n i i x f x x f x f x μσ=⎛⎞

−==−⎜⎟⎝

⎠

∑… 即

21112(,,),n n n X X N μσμσ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟

⎜⎟⎜⎟′⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝

⎠…∼ ，

于是在性质5中取。因不全为零，故满行秩。于是应用性质1’就得到这个结论。 1(,...,)n A a a =12,,,n a a a …A 教材相关内容：第159页例3.3.6。