春季第九讲：简单的数阵图

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学而思三年级奥数第9讲.数阵图进阶

把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46．把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20．数阵图进阶第九讲第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19．将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．第4级下·提高班·学生版将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40．把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．第4级下·提高班·学生版1．把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的数．把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．第4级下·提高班·学生版2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于27．3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于24．4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21．5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22．第4级下·提高班·学生版第4级下·提高班·学生版6. 把2，5，6，8，10，12，14，22这8个数分别填入下图中，使得每个大圆上的5个数的和都等于49．思维跳板——剪指甲小华的爸爸1分钟可以剪好5个自己的指甲．那么，他在5分钟内可以剪好几个自己的指甲呢？。

三年级春季班常规内容

4、市供热厂采用新技术后，在一周内的前3 天共节约用煤12.6吨，后4天平均每天节约用煤3.5吨。这一周平均每天节约用煤多少吨？
5、朝阳小学五年级有两个班，一班有51人，二班有49人，期中考试两个班全体同学的平均成绩是81分，已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高7分，那么二班的平均成绩是多少分？
热身挑战
阶梯闯关
例1：今天是9日星期三，本月26日是星期几？
例2：2000年1月5日是星期三，那么， 2000年2月3日是星期几？
例3：2019年的元旦是星期二，那么， 2019年元旦是星期几？
例4：今天是25日星期四，本月3日是星期几？
快乐练兵
练习一：2019年7月1日是星期五，那么， 2019年7月25日是星期几？
6、某农场前3天共收稻谷450公顷，后3天平均每天比前3天多收稻谷60公顷，这个农场这6天里平均每天收稻谷多少公顷？
7、三年级一班和二班的平均人数48人，二班和三班平均人数46人，一班比三班人数多几人？
第六讲：年月日
热身挑战
阶梯闯关
快乐练兵
思维导图 PK 大赛
生活大闯关：
1、今天是星期几？ 2、今天是几月几日？ 3、5天后是几月几日，星期几？ 4、7天过后是几月几日，星期几？ 5、14天过后是星期几？ 6、你的生日是星期几？ 7、每一个月的日期，最多有几排？最少有几排？
快乐练兵
练习一： 886×5= 25×36= 64×125= 13×5×125×4×8=
练习二：
13×13= 18×19= 15×18= 14×19=
练习三：
51×41= 31×71= 81×51= 41×81=
练习四：
11×1543= 76822×11= 11×892= 94267×11=

数阵图PPtPPT课件

数阵图
2021
1
例1. 把1--- 7这七个数填入下图,使每条线段上三个○内的数的和相等.
2021
2
和都等于己于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.
2021
3
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4
例3.把1---7这七个数填入下图中的7个○内, 使每条线段上三个数的和两个圆上的数的和都相等 .
2021
5
2021
2021
13
例8. 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、 3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.
2021
14
2021
15
6
例4．将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.
2021
7
2021
8
例5. 10个连续的自然数中从小到大的第三大的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是
______.
2021
9
例6. 将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内
2021
在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x 是多少？
2021
12

简单数阵图

简单数阵图一、知识点：一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图。

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。

二、典例剖析：1．辐射型数阵：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。

对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。

由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。

(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。

(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论。

例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见上图)。

随堂练习：1、将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.2、把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.2、封闭型数阵：例2:将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9.分析：因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ，这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。

数阵图

数阵图
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和
数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。

二年级第九讲简单的数阵图

第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。

图：辐射型，封闭型，混合型。

二、突破口的选择1.数比较多的地方。

2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。

三、方法1.尝试法（有序枚举）。

2.计算法：线和，数和，重叠部分。

●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。

★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。

练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。

例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。

★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。

练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。

例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。

★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。

练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。

例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。

★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。

练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。

例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。

★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。

一年级春季第九讲有趣的数阵图

第九讲有趣的数阵图
本讲主要通过学两种类型的数阵图，即辐射型和封闭型的，认识数阵图并找到解答数阵图的方法
一、一般数阵图
方法：由数多的入手想
例将1-16这十六个数分别填入下面的方框中，使横行、竖行、斜行的和都相等。

1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16
分析：先由数多的入手，即从对角线上的已知数求出和为34，然后按顺序求解就可以了。

二、辐射型数阵图
方法：（1）先填中间数（重叠数）
（2）尝试法：如果所填数是连续数，那么可以：
留头、留尾、留中间
剩下的数：小手拉大手
如果不是连续数，从小到大去尝试中间数即可
例把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入里，使每条
直线上的三个数相加的和都相等，你能做出几种答案，让我们一起试试吧！
分析：(1)先填重叠数，留头1，剩下的数小手拉大手分组，2和7,3和6,4和5.对应填入即可
（2）留尾7，1和6,2和5,3和4
（3）留中间4,1和7,2和6,3和5
三、封闭型数阵图
方法：（1）先填重叠数，封闭型往往有多个重叠数
(2)拆数法然后再观察
例上填上1-6，使每条线上的和为9
分析：可以看出有3个重叠数，是三角形三个角上的数，如果尝试，就不太好想，所以要拆数了，即把9拆成三个数的和，再拆的时候注意要按从小到大的顺序。

9=1+2+6=1+3+5=2+3+4
然后再去观察出现2次得数，即1,2,3.重叠数要填1、2、3即可，其它的数对应的填入即可。

拓展训练
把1-11这11个数填入图中的圆圈中，使每条直线上的三个数的
和是18
答案：中间填6。

第9讲-封闭型数阵图

第九讲：观察与发现（十）——封闭型数阵图一、训练目标知识传递：填写封闭性数阵图的方法。

能力强化：观察能力、分析能力、计算能力。

思想方法：观察思想、分析思想。

二、知识与方法归纳数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。

辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。

一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为M—N图。

辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=射线上各数之和×射线条数。

封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。

封闭型M—N图有M个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。

（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。

）解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上和。

三、经典例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

解：例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

解：例3、把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。

解：例4、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

解：例5、将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

解：例6、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

解：例7、将2～9这八个数分别填入下图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

五年级下册数学讲义-第九讲数阵图综合(解析版PDF)全国通用

二、复杂数阵图
【例 2】填数字 1~9，使线和为 14
B
C A
D
E
3×14 = 1+2 + 3 +…+ 9 - A
45 = 42 - A
A=3
B + D = 14 - 3 = 11
(2，9),(3，8),(4，7)
因为 C,E 最大为 9，所以 B,D 最小为 5
【例 3】填入数字 1~11，使得线和相等，其中 3，5 已填
B
5
D
17 6
C
2 84
A
3
只加上下两条直线，A+B=8
只加左右两条直线，C+D=8
同【铺 4】，试填
第1讲
40
2.综合
【铺 6】填数字：1~7，使各线段以及圆上的数字和相等
6
2
4
7
3
1
5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
4
723 16 5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
1 54 6
以上三图公式如下所示：
第1讲
38
5 2
7
1
3
6
4
A=7 K=14
【铺 2】填数字：1~6，使各线段上的数字和相等
A
1
65
B
C2 4 3
1+2+…+6+A+B+C=3K 21+A+B+C=3K A+B+C=6，9，12，15 K=9，10，11，12 试填 A+B+C=6，K=9 【铺 3】填数字：0~9，使各线段上的数字和为 18，求 A+B

有趣的数阵图

宝安奥数网培训——（下册）第九讲有趣的数阵图（一）（下册）第九讲有趣的数阵图（一）第九讲有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I 代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D 只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式：I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解： x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、 2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解：（A）图：中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.（B）图：中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法.（C）图：中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法.（D）图：中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.例4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示：根据题意，我们观察：因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，成下面三个算式：2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出：2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.x=19.即：解：（略）例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出：A=5、G=9，九个区域中数的总和为：（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为：15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E的和是：23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能：2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.解：例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下：A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即：2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是：2×2×3×3×5×5=900.解：例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能，用反证法.假设可以填成数阵图，观察发现：十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有5S=（1+2+3+…+10）×2，从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线，此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.。

一年级下数学思维训练奥数第9讲数阵图

第9讲数阵练习
1、填数，使横行、竖行的三个数相加都得11.
2、填数，使每条线上的三个数之和都得15.
3、在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.
4、要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？
5、在下面的○中填上适当的数，使每条线上的三个数相加都等于15.
6、在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是
12.
提高篇
1、把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等.
2、把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2.
3、把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12.。

一年级下数学思维拓展(奥数)第九讲-简单数阵

3 2 15
3 45 1
4
2
中间填1时，剩下的也可以分中间填5时，剩下的也可以分成两组和一样的组。3+4=2+5。成两组和一样的组。1+4=2+3。
2 + 3 + 10 =15 1 0
4 + 4 + 7 =15 4 7
7 + 3 + 5 =15 10 8
15 15
例2、在下图的空格中填上合适的数，使得横行、竖行的3个数相加都得8。
3 422
我们可以先算横行的数，也就是 4+2+（）=8。
3
然后我们再算竖行的数，也就是 3+2+（）=8。
1
234
5
哈哈，我知道了，1+5=6、 2+4=6。所以 1+5=2+4。
一个数都没有填的，我们就先找到给我们的这几个数的中间数。这五个数的中间数是谁呢？就将它填在中间。
找到中间数之后，我们就把剩下的数分成组，每组的2个数的和要想等。然后将它们相对填在空格就好啦！
例6、把1、2、3、4、5这5个数填入下图的空格中（每个数只能用一次），使横行、竖行3个数相等。
认一认
认识简单的数阵图（1）
4
6
3
9
1
4+6+3=13， 3+9+1=13。
一些数有规则地排成一定的图案，如十字形、三角形、人字形等，这样的数字阵叫做数阵图。
每行每列三个数的和都是（ 13 ）。
认一认
认识简单的数阵图（2）
5 721
3
7+2+1=10， 5+2+3=10。

简单的数阵图

简单数阵图传说四五千年前，我国黄河、洛水一带经常发生水灾。

大禹治水时，洛水中浮现出一只大乌龟，乌龟背上有9个数（如下图）：这是天给禹的启示，后来用自然数表示（如上图），叫做洛书，外国人称洛书为“中国方阵”。

由于“中国方阵”有许多有趣的现象，如每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等。

所以我们把这样的方阵图叫做幻方。

幻方和数阵是我国丰富的文化遗产之一，明朝程大位、清朝张潮等人，曾创造了丰富多彩的幻方和数阵图。

幻方曾使不少爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日由无锡一位中学教师发明的，这一个数字方阵，纵横排成1256行，任何一条线以及任何对角线各数和都是990693236。

幻方有许多构造方法，这里只简单介绍几种方法。

例1将1-9九个数字填在图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。

分析与解答1+2+3+……+8+9＝45，是三个横行或纵行数字之和。

因此，每一横行或纵行三个数字之和等于45÷3＝15。

1-9九个数字中，其中三个不同的数相加等于15，只可能是：9+5+1，9+4+2，8+6+1，8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3，6+5+4。

图中每一横行、每一纵行和每一条对角线的三角数必定是其中一个算式中的三个加数。

中心数有4条线红过，要求它能在四个算式中出现，除了5没有其他可选择。

又因为8、2、4、6各出现在三个算式中，所以这四个数应填在四个角上，这样每一格应填哪一个数就可以确定了。

8 1 63 5 74 9 2有罗伯法填幻方很简便，可以有几句话来概括罗伯法：1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

数阵是一种由幻方演变而来的数学图。

数阵可以分为辐射型和封闭型两种。

填数阵时一般先考虑正中间的数，顶角上的数。

例2将1-7七个数，分别填入图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆内的和相等。

小学数学数阵图

解题过程
边和X3 = a+b+c+d+e+f+g+2c 14X3 = 1+2+3+4+5+6+7+2c 42 = 28+2c 14 = 2c c= 7
2020/12/9
例1 （★★）
将1~7这七个数字，分别填入 2 图中各个 ○内，使每条线段上的三个 ○内数的和都等于 14。
1
6
7
5
4
3
先填入边和，直线上微调，满足圆圈。
【超常大挑战】(★★★★★)
a ,b ,c ,d ,e, f, g ,h ,I ,处分别填入1至9，如果每个圆环所填的数的和都相等，那么这个相等的和最大是多少？最少是多少？
a+e+i+c+g+2(b+d+f+h)=和×5 45+b+d+f+h=和×5 b+d+f+h最大时为6,7,8,9 此时和为15 b+d+f+h最小时为1,2,3,4 和为11 当和为15时无解，和为14有解最大为14，最小为11
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圈和X2=数字和+a+b 圈和X2=36+a+b 圈和等于21 a+b=6 则a 和b有两种可能1,5和2,4