2012年全国高考新课标1卷数学文科高考试题

2012年新课标1卷数学(文科)第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则（ ）A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B φ=2．复数32iz i-+=+的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --3．在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线112y x =+上，则这组样本 数据的样本相关系数为（ ） A ．－1B ．0C ．12D ．14．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．455．已知正三角形ABC 的顶点A （1，1），B （1，3），顶 点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部， 则z x y =-+的取值范围是（ ）A ．（13-，2）B ．（0，2）C ．（31-，2）D ．（0，13+）6．若执行右边和程序框图，输入正整数N （2N ≥）和 实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则（ ）A ．AB +为1a ，2a ，…，N a 的和B ．2A B +为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数C ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最大的数和最小的数否是是1k k =+B x=A x=结束输出A ，B ?k N ≥?x B <kx a =?x A >开始输入N ，1a ，2a ，…，N a1k =，1A a =，1B a =否是 否D ．A 和B 分别是1a ，2a ，…，N a 中最小的数和最大的数7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．158．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的 距离为2，则此球的体积为（ ） A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π9．已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．34π 10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．811．当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，22） B ．（22，1） C ．（1，2） D ．（2，2） 12．数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（ ）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830第Ⅱ卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________。

14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =___________。

15．已知向量a ,b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________。

16．设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C的对边，sin cos c C c A =-。

（1）求A ；（2）若2a =，△ABC,.b c18．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 求当天的利润不少于75元的概率。

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点。

（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

20．（本小题满分12分）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。

（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值。

A 121．（本小题满分12分） 设函数()2xf x e ax =--。

（1）求)(x f 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()'()10x k f x x -++>，求k 的最大值。

请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22． (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于F ，G 两点。

若CF ∥AB ，证明： （1)BC CD =； （2）BCD ∆∽.GBD ∆23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，3π）。

(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-。

（1)当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。

2012年全国卷文科数学答案 第I 卷（共60分）1.B 【解析】因为{|12}A x x =-<<，{|11}B x x =-<<，所以B A .故选择B 。

2.D 【解析】因为(3)(2)551(2)(2)5i i iz i i i -+--+===-++-，所以1z i =--，故选择D 。

3.D 【解析】因为112y x =+中，102k =>，所以样本相关系数0r >，又所有样本点（i x ，i y ）（i =1， 2，…，n ）都在直线112y x =+上，所以样本相关系数1r =，故选择D 。

4.C 【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==， 260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C 。

5.A 【解析】正△ABC 内部如图所示，A （1，1），B （1，3），C （13+，2）。

将目标函数z x y =-+化为y x z =+，显然在B （1，3）处，max 132z =-+=；在C （13+，2）处，min (13)213z =-++=-。

因为区域不包括端点，所以132z -<<，故选择A 。

6.C 【解析】由程序框图可知，A 表示1a ，2a ，…，N a 中最大的数，B 表示1a ，2a ，…，N a 中最小的数，故选择C 。

7.B 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为 底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ， AO ⊥底面BCD ， 因此此几何体的体积为11(63)3932V =⨯⨯⨯⨯=，故选择B 。

8.B 【解析】如图所示，由已知11O A =，12OO =，在1Rt OO A ∆中，球的半径3R OA ==，ODA所以此球的体积34433V R ππ==，故选择B 。

9.A 【解析】由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=。

由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A 。

10. C 【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =， 所以21612a -=，24a =，2a =， 因此C 的实轴长为24a =，故选择C 。

11.B 【解析】显然要使不等式成立，必有01a <<。

在同一坐标系中画出4xy =与log a y x =的图象。