因式分解定理的应用
因式分解的应用
因式分解的应用一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1、已知x+y=3，x2+y2-xy=4，那么x4+y4+x3y+xy3的值为分析：对x4+y4+x3y+xy3首先通过提取公因式转化为（x3+y3）（x+y），再通过立方和公式分解为（x+y）（x2+y2-xy）（x+y）．再将x+y、x2+y2-xy作为一个整体代入因式分解后的代数式即可求得结果．解答：解：∵x+y=3，x2+y2-xy=4，∴x4+y4+x3y+xy3，=x3（x+y）+y3（x+y），=（x3+y3）（x+y），=（x+y）（x2+y2-xy）（x+y），=32×4，=36．故答案为：36．点评：本题考查因式分解的应用、立方和公式、代数式求值．解决本题的关键是对所求的代数式x4+y4+x3y+xy3进行因式分解，再将x+y、x2+y2-xy作为一个整体代入求值．2、方程x2-xy-5x+5y-1=0的整数解是分析：原方程变形为：（x-y）（x-5）=1，根据整数的整除性得到x-y=1，x-5=1，或x-y=-1，x-5=-1；从而求得x，y的值．解答：解：原方程变形为：（x-y）（x-5）=1，∵x，y为整数，∴x-y=1，x-5=1，或x-y=-1，x-5=-1；∴x=6，y=5或x=4，y=5．故答案为：x=6，y=5或x=4，y=5．点评：本题考查了方程整数解的求法：把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的两个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解．3、已知a，b，c，d为非负整数，则ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d=分析：把等号左边的代数式分解因式，得出（a+b）（c+d）=1997×1，再求a+b+c+d═1997+1=1998．解答：解：∵ac+bd+ad+bc=（ac+ad）+（bd+bc）=a（c+d）+b（c+d）=（a+b）（c+d），1997=1997×1，∴（a+b）（c+d）=1997×1，∴a+b+c+d═1997+1=1998．点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．4、对一切大于2的正整数n，数n5-5n3+4n的最大公约数是分析：把所给的等式利用因式分解写成乘积的形式：n5-5n3+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．因为n-2、n-1、n、n+1、n+2是连续的五个正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，一个是4的倍数、一个是5的倍数，可知n5-5n3+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）一定是120的倍数，所以最大公约数为120．解答：解：n5-5n3+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．对一切大于2的正整数n，数n5-5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故答案为120．点评：主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解．5、已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，则x+y的值为分析：先把两个方程相加，得到关于（x+y）的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．解答：解：①+②得，x2+2xy+y2+x+y=42，∴（x+y）2+（x+y）-42=0，∴（x+y+7）（x+y-6）=0，∴x+y=-7或x+y=6，故答案为：-7或6．点评：本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．6、已知a、b、c满足a+b=5，c2=ab+b-9，则c=分析：首先将a+b=5转化为b=5-a，再将b=5-a代入c2=ab+b-9中，通过提取公因数-1、运用完全平方式可得到c2=-（a-2）2，根据非负数的性质，则可判断出c的值．解答：解：∵a+b=5∴b=5-a∴c2=ab+b-9=a（5-a）+5-a-9=-a2+4a-4=-（a-2）2∵根据非负数的性质∴-（a-2）2≤0又∵c2≥0∴只能是c2=-（a-2）2=0∴c=0 故答案为0点评：本题考查因式分解得应用、完全平方式．解决本题同学们特别注意的是根据非负数的性质，通过c2=-（a-2）2判断出c的取值为0．7、已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c=3，则（a+1）（b+1）（c+1）=分析：把每个等式的结果等于3，得到与（a+1），（b+1），（c+1）有关的值，进而代入所给代数式求值即可．解答：解：由题意得ab+a+b=3，∴（a+1）（b+1）=4，同理可得（b+1）（c+1）=4，（a+1）（c+1）=4，∴[（a+1）（b+1）（c+1）]2=4×4×4，∵a、b、c为正数，∴（a+1）（b+1）（c+1）=8．故答案为：8．点评：考查了代数式的求值，利用因式分解得到和所给代数式相关的值是解决本题的关键．8、整数a、b满足6ab=9a-l0b+303，则a+b=分析：先移项，然后将运用因式分解的知识将等式左边的式子分解成因式相乘的形式，从而利用数的整除思想得出答案．解答：解：∵6ab=9a-l0b+303，∴（3a+5）（2b-3）=288=25×32，又∵a、b都是整数，∴只有3a+5=25，2b-3=32成立，∴a=9，b=6，∴a+b=15．故答案为：15．点评：本题考查数的整除性，难度不大，关键是利用因式分解的知识，将未知数化成因式相乘的形式．9、已知a5-a4b-a4+a-b-1=0，且2a-3b=1，则a3+b3的值等于分析：观察a5-a4b-a4+a-b-1=0式子，可分解为（a-b-1）（a4+1）=0，那么必为a-b-1=0，根据已知a、b 还满足2a-3b=1．据这两式可解得a、b的值．那么再将a、b的值代入a3+b3即可求出结果．解答：解：∵a5-a4b-a4+a-b-1=0⇒（a5+a）-（a4b+b）-（a4+1）=0⇒a（a4+1）-b（a4+1）-（a4+1）=0⇒（a-b-1）（a4+1）=0 ∵a4+1＞0 ∴a-b-1=0 ①又∵2a-3b=1 ②由①②可得a=2，b=1，∴a3+b3=23+1=9．故答案为：9．点评：本题考查因式分解，解决本题的关键是通过因式分解将a5-a4b-a4+a-b-1=0转化为（a-b-1）（a4+1）=0，同时得到a-b-1=0．二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）10、已知724-1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（）A、41，48B、45，47C、43，48D、4l，47分析：利用平方差、立方和、立方差公式逐步把724-1分解因式，通过计算找到问题的答案．解答：解：724-1=（712+1）（76+1）（73+1）（73-1），=（712+1）（76+1）（7+1）（72-7+1）（7-1）（72+7+1），=（712+1）（76+1）×8×43×6×57，=（712+1）（76+1）×48×43×57，因此可被40至50之间的两个整数整除的数是48，43．故选C．点评：此题主要考查利用平方差、立方和、立方差公式分解因式，分解式要注意数的取值范围．11、已知2x2-3xy+y2=0（xy≠0），则xy+yx的值是（）A、2，212B、2C、212D、-2，-212分析：对等式两边同时除以x2，得(yx)2-3yx+2=0，解方程可得yx=1或2，即xy=1或12，即得xy+yx=2或2 12．解答：解：根据题意，2x2-3xy+y2=0，且x y≠0，故有(yx)2-3yx+2=0，即(yx-1)(yx-2)=0，即得yx=1或2，故xy=1或12，所以xy+yx=2或2 12．故选A．点评：本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．12、a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ac+bc=7，则a-c等于（）A、-2B、-1C、0D、1分析：此题能够利用因式分解的知识求得a的取值范围，再结合正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．解答：解：根据已知a2-ac+bc=7，即a（a-c）+bc=7，且a＞b，故化简可得a2＞7，a≥3，则a至少是3．不妨设a-c大于等于1，那么bc小于等于6．又a＞b，则b、c可能的组合是1、2；2、2 显然b=2，c=2，a=3是符合上式的．故选D．点评：此题能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．13、如果3x3-x=1，那么9x4+12x3-3x2-7x+2001的值等于（）A、1999B、2001C、2003D、2005分析：将3x3-x=1化简为3x3-x-1=0，整体代入9x4+12x3-3x2-7x+2001，提取公因式化简即可．解答：解：∵3x3-x=1，∴9x4+12x3-3x2-7x+2001，=3x（3x3-x-1）+4（3x3-x-1）+2005，=2005．故选D．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．14、已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值（）A、恒正B、恒负C、可正可负D、非负分析：从变形给定的代数式入手，对a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2进行因式分解，根据三角形三边关系判断各个因式的正负，再判断代数式的正负．解答：解：a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=（a4+b4+c4+2a2b2-2b2c2-2c2a2）-4a2b2=（a2+b2-c2）2-（2ab）2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）又a、b、c是一个三角形的三边∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0故选B．点评：本题考查因式分解的运用．解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．15、设a＜b＜c＜d，如果x=（a+b）（c+d），y=（a+c）（b+d），z=（a+d）（b+c），那么x、y、z 的大小关系为（）A、x＜y＜zB、y＜z＜xC、z＜x＜yD、不能确定分析：比较x、y、z的大小，只需判断x-y、y-z的符号．进一步将已知中x=（a+b）（c+d）、y=（a+c）（b+d）、z=（a+d）（b+c）代入化简，根据a＜b＜c＜d来判断代数式的符号即可．解答：解：∵a＜b＜c＜d，a-b＜0，a-c＜0，a-d＜0，b-c＜0，b-d＜0，c-d＜0，∵x=（a+b）（c+d），y=（a+c）（b+d），z=（a+d）（b+c），∴x-y=（a+b）（c+d）-（a+c）（b+d），=ac+ad+bc+bd-ab-ad-bc-cd，=ac+bd-ab-cd，=（ac-cd）+（bd-ab），=c（a-d）-b（a-d），=（a-d）（c-b）＜0，y-z=（a+c）（b+d）-（a+d）（b+c），=ab+ad+bc+cd-ab-ac-bd-cd，=ad+bc-ac-bd，=（ad-bd）+（bc-ac），=（a-b）（d-c）＜0，∴x-y＜0，y-z＜0，即x＜y，y＜z，∴x＜y＜z．故选A．点评：本题考查了因式分解，解决本题的关键是通过作差比较，这是一种常用的比较大小的方法．16、若x+y=-1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于（）A、0B、-1C、1D、3分析：将x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4提取公因式，转化为x3（x+y）+4x2y（x+y）+xy（x+y）+4xy2（x+y）+y3（x+y），将x+y=-1代入转化为-x3-4x2y-xy-4xy2-y3，再通过提取公因式，立方和公式、提取公因式，转化为（x+y）（x2-xy+y2）-4xy+xy，再将x+y=-1代入转化为（x2-xy+y2）+3xy，再运用完全平方式，转化为（x+y）2-3xy+3xy，将x+y=-1代入问题得解．解答：解：原式=x4+x3y+4x3y+x2y+4x2y2+4x2y2+xy2+4xy3+xy3+y4，=x3（x+y）+4x2y（x+y）+xy（x+y）+4xy2（x+y）+y3（x+y），=-x3-4x2y-xy-4xy2-y3，=-[（x3+y3）+4xy（x+y）+xy]，=-[（x+y）（x2-xy+y2）-4xy+xy]，=-[-（x2-xy+y2）-3xy]，=（x2-xy+y2）+3xy，=（x+y）2-3xy+3xy，=1．故选C．点评：本题考查提取公因式法因式分解、完全平方式、立方和公式．解决本题的关键是提取公因式，转化为（x+y）乘以xy各次的形式，逐步达到化简得目的．17、已知两个不同的质数p、q满足下列关系：p2-2001p+m=0，q2-2001q+m=0，m是适当的整数，那么p2+q2的数值是（）A、4004006B、3996005C、3996003D、4004004分析：先把两式相减，得到p+q=2001，故p、q为一奇一偶，再根据p、q为质数可知p、q中有一个为2，另一个为1999，再代入所求代数式进行计算即可．解答：解：两式相减，得（p-q）（p+q-2001）=0，∵p≠q，∴p+q=2001，而p、q为质数，∴p、q中有一个为2，另一个为1999．∴p2+q2=22+19992=3996005．故选B．点评：本题考查的是质数与合数、奇数与偶数，解答此题的关键是熟知在所有偶数中只有2是质数这一知识点．18、设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（）A、5814B、5841C、8415D、845l分析：首先将n3-n因式分解，转化为n（n-1）（n+1）．我们可推知n3-n的值是三个连续自然数的乘积．对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而n3-n的值必定是一个偶数．分析各选项，找出正确答案．解答：解：∵n3-n=n（n2-1）=n（n-1）（n+1）∴我们可见n3-n必为三个连续自然数的积由于三个连续自然数中必有一个为偶数，也就是说n3-n必为一个偶数只有A选项是一个偶数．故选A点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是首先对n3-n进行因式分解，自然自然找到三个连续自然数的乘积规律．三、解答题（共9小题，满分87分）19、（1）求证：8l7一279-913能被45整除；（2）证明：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：(24+14)(44+14)(64+14)(84+14)(104+14)(14+14)(34+14)(54+14)(74+14)(94+14)分析：（1）首先将8l7一279-913代数式转化成底数为3的幂，提取公因式326，此时出现差5，再将326分解成324与9的乘积，问题得解；（2）直接证明较难，因而采用反证法．假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差2（2n+1）=a2-b2．再分别就a+b、a-b是偶数讨论，与其已知相反；（3）观察(24+14)(44+14)(64+14)(84+14)(104+14)(14+14)(34+14)(54+14)(74+14)(94+14)式子，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得(x2-x+12)(x2+x+12)．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．解答：解：（1）∵8l7一279-913=328-327-326=326（9-3-1）=45×324，∴8l7一279-913能被45整除；（2）反证法：假设2（2n+1）能表示为两个整数的平方差即2（2n+1）=a2-b2=（a+b）（a-b），因为2（2n+1）是偶数，则a+b、a-b定有一个是偶数，若a+b是偶数，则a、b具有相同的奇偶性，则a-b也是偶数；同样的，若a-b偶，则a+b也偶，则（a+b）（a-b）能被4整除也就是说2（2n+1）能被4整除，即2n+1能被2整除，但这是显然不成立的，故原假设不成立，∴当n为自然数时，2（2n+1）的形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）∵x4+14= (x4+x2+14)-x2= (x2+12)2-x2= (x2-x+12)(x2+x+12)∴原式=(4-2+12)(4+2+12)(42-4+12)(42+4+12)(62-6+12)(62+6+12)(82-8+12)(82+8+12)(102-10+12)(102+10+12) 12×52(32-3+12)(32+3+12)(52-5+12)(52+5+12)(72-7+12)(72+7+12)(92-9+12)(92+9+12)= 102+10+12，= 11012．点评：本题考查因式分解的应用．解决（1）的关键是将原式通过因式分解转化为9×5×3n的形式；（2）的关键是采用反证法；（3）的关键得到x4+14= (x2-x+12)(x2+x+12)这一规律，运用规律代入原式约分化简求值．20、若a是自然数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明．分析：先把原式进行因式分解，再根据质数与合数的定义分a=0，a=1，a=2及a＞2四种情况进行讨论．解答：解：原式=（a4+6a2+9）-9a2=（a2+3a+3）（a2-3a+3），当a=0时，原式=9是合数；当a=1时，原式=7是质数；当a=2时，原式=13也是质数；当a＞2时，a2+3a+3＞1，a2-3a+3=（a-2）（a-1）+1＞1，这说明，此时a4-3a2+9可以分解为两个大于1的自然数的积，即它是合数．故当a=0或a＞2时原式的值是合数；当a=1或a=2时原式的值是质数．点评：本题考查的是质数与合数的概念及因式分解，熟知质数与合数的概念是解答此题的关键．21、求证：存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．分析：取k=4a2（a是自然数），分解整理n4+k，得到两个因式，进行判断，即可证明．解答：解：取k=4a2（a是自然数），n4+k=n4+4a2=n4+4a2n2+4a2-4n2a2=（n2+2an+2a2）（n2-2an+2a2）当a≥2时，这是两个大于1的自然数的乘积，因为a有无穷多个，所以k也有无穷多个．即存在无穷多个自然数k，使得n4+k不是质数．点评：本题考查因式分解的运用．22、某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得{m=12n=14①或{m=35n=37②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．23、已知b、c是整数，二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，求x=1时，x2+bx+c的值．分析：根据二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，我们可得到x2+bx+c也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的的一个因式．通过做差，就实现了降次，最高次幂成为2，与二次三项式x2+bx+c关于x的各次项系数对应相等，解得b、c的值．再将x=1、b、c代入求值．解答：解：∵二次三项式x2+bx+c既是x4+6x2+25的一个因式，也是3x4+4x2+28x+5的一个因式，∴所以也必定是x4+6x2+25与3x4+4x2+28x+5差的一个因式，而3（x4+6x2+25）-3x4+4x2+28x+5=14（x2-2x+5），∴x2-2x+5=x2+bx+c，∴b=-2，c=5，∴当x=1时，x2+bx+c=1-2+5=4．点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是通过作差，实现了降次，再根据两代数式相等必是x的各次项系数对应相等．24、按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．分析：仔细阅读扩充新数规则：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．根据此规则运算即可．（1）起始数是1和4原数产生新数应取数第一次扩充1、4 1×4+1+4=9 4、9第二次扩充4、9 4×9+4+9=49 9、49第三次扩充9、49 9×49+9+49=499 49、499（2）首先通过一般归纳得出，新数c用a、b表示的一般式子c+1=（a+1）m•（b+1）m+1．进一步验证新数1999能否表示成2m×5m+1的形式，其中m取自然数．解答：解：（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三数取9和49，就得到扩充三次的最大数为499．（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），取数b、c可得新数d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）2-1，即d+1=（a+1）（b+1）2，同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）2-1，e+1=（a+1）2（b+1）3第四次扩充：49×499+49+499=24999＞1999，即第三次得到的新数为499，第四次得到的新数为24999，故1999不可以通过上述规则扩充得到．点评：做好本类题目的关键是要根据表达式与文字规则，弄清给定数值字符间蕴含的加减乘除运算关系．如本题中的按照规则c=ab+a+b，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作．25、计算下列各题：（1）(2×5+2)(4×7+2)…(1994×1997+2)(1×4+2)(3×6+2)…(1993×1996+2)；（2）20003-2×20002-199820003+20002-2001．分析：（1）由于n（n+3）+2=n2+3n+2=（n+1）（n+2），利用这个公式把题目可以变为(3×4)•(5×6)•(7×8)…(1995×1996)(2×3)•(4×5)•(6×7)…(1994×1995)，然后约分即可求解；（2）设a=2000，那么原式= a3-2a2-(a-2)a3+a2-(a-1)，然后把分子、分母分解因式、约分即可求解．解答：解：（1）∵n（n+3）+2=n2+3n+2=（n+1）（n+2），∴(2×5+2)(4×7+2)…(1994×1997+2)(1×4+2)(3×6+2)…(1993×1996+2)= (3×4)•(5×6)•(7×8)…(1995×1996)(2×3)•(4×5)•(6×7)…(1994×1995)= 19962=998；（2）设a=2000，那么原式= a3-2a2-(a-2)a3+a2-(a-1)= (a-2)(a2-1)(a+1)(a2-1)= a-2a+1= 19982001．点评：此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．26、已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，求n的值．分析：从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积（也可从整除的角度看），故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．解答：解：∵n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=（n2+6n+10）（n2-6n+10），∵n2+6n+10≠1，而n4-16n2+100为质数，∴n2-6n+10=1，即|（n-3）2=0，解得n=3．故答案为：3．点评：本题考查的是质数的定义，即质数就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数．27、（1）求方程6xy+4x-9y-7=0的整数解；（2）设x、y为正整数，且x2+y2+4y-96=0，求xy的值．0分析：（1）原方程变形为：（2x-3）（3y+2）=1，根据题意有2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，即可求出方程的整数解．（2）原方程变为：（y+2）2=100-x2≥0，而x、y为正整数，得到x为1到10之间的数，并且100-x2为完全平方数，所以x=6或8，然后求出对应的y的值，最后计算xy．解答：解：（1）原方程变形为：（2x-3）（3y+2）=1，∵原方程有整数解，∴2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，解得x=2，y=- 13（舍），或x=1，y=-1；所以原方程的解为：x=1，y=-1；（2）原方程变为：（y+2）2=100-x2，∴（y+2）2=100-x2，≥0，∴x2≤100，∴x=1，2，…10．而100-x2是完全平方数，∴x=6或8．∴当x=6，（y+2）2=100-x2=64，解得y=6，所以xy=6×6=36；当x=8，（y+2）2=100-x2=36，解得y=4；所以xy=8×4=32．点评：本题考查了方程整数解的求法：把方程进行变形，使方程左边分解为含未知数的两个式子，右边为常数，然后利用整数的整除性求解．。
第三讲 因式分解的应用(含答案)-
第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。
因式分解的数学方法
因式分解的数学方法因式分解的数学方法要想能在综合性较强的几何题目中能灵活应用，就必须要熟记啦。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
店铺为大家整理了数学公式：因式分解的方法，方便大家查阅。
一、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).二、运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.【例】a+4ab+4b =(a+2b)三、分组分解法把一个多项式适当分组后，再进行分解因式的方法叫做分组分解法。
用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此选择合理选择分组的方法，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).四、拆项、补项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的基本性质及应用
因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。
因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。
这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。
2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。
这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。
3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。
例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。
这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。
4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。
这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。
5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。
最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。
最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。
6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。
在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。
在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。
除此之外，因式分解还有其他的一些应用。
例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。
在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。
在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。
因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。
因式分解降幂排列
因式分解降幂排列因式分解和降幂排列是代数中的两个重要概念，它们在多项式简化、解方程和证明定理等领域有着广泛的应用。
以下是对因式分解和降幂排列的详细介绍。
一、因式分解因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
换句话说，如果一个多项式可以写成几个较小多项式的乘积，那么这个多项式就被称为可因式分解的。
因式分解的目标是将一个多项式简化为几个因子的乘积形式。
因式分解的基本步骤如下：1. 提取公因子：找出多项式中所有项的公因子，并将它提取出来。
2. 应用平方差公式：如果多项式可以表示为两个平方项的差，那么可以使用平方差公式进行因式分解。
3. 应用完全平方公式：如果多项式可以表示为两个完全平方项的和或差，那么可以使用完全平方公式进行因式分解。
4. 应用立方差公式：如果多项式可以表示为两个立方项的差，那么可以使用立方差公式进行因式分解。
5. 应用其他特殊公式：还有一些其他的特殊公式，如差平方公式、和差公式等，也可以用于因式分解。
因式分解的应用非常广泛，它可以用于简化多项式表达式，也可以用于解方程和证明定理。
例如，通过因式分解可以将一个二次方程转换为两个一次方程，从而更容易找到解。
二、降幂排列降幂排列是将一个多项式的项按照幂次从高到低的顺序重新排列的过程。
换句话说，如果一个多项式中的项按照幂次从高到低的顺序排列，那么这个多项式就被称为降幂排列的。
降幂排列的目标是将一个多项式的项按照幂次重新排列，以便更容易进行计算和分析。
降幂排列的基本步骤如下：1. 确定最高幂次：找出多项式中所有项的最高幂次。
2. 按照幂次从高到低排列：将多项式中的项按照幂次从高到低的顺序排列。
3. 合并同类项：在排列过程中，将所有相同幂次的项合并。
降幂排列的应用也非常广泛，它可以用于简化多项式的计算，也可以用于求解方程和证明定理。
例如，通过降幂排列可以将一个多项式转换为更容易计算的形式，从而更容易找到解。
三、因式分解和降幂排列的关系因式分解和降幂排列虽然有不同的目标和步骤，但它们之间有着密切的关系。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解定理
因式分解定理定义（不可约多项式）：数域 P 上次数 \ge 1 的多项式p(x) ，若不能表示成数域 P 上的两个次数比 p(x) 要低的多项式的乘积，则称为数域 P 上的不可约多项式注：一个多项式是否不可约是依赖于系数域的（ x^{2}+1 ）命题：不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f(x) 之间只可能有两种关系，或者 p(x)|f(x) 或者 (p(x),f(x))=1定理：如果 p(x) 是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x),g(x) ，由 p(x)|f(x)g(x) 一定能推出p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x)证：若p(x)|f(x) ，那么结论已经成立. 若 p(x)\nmidf(x) ，则由不可约多项式的定义知 (p(x),f(x))=1 ，由定理如果 (f(x),g(x))=1 ，且 f(x)|g(x)h(x) ，则f(x)|h(x)推出 p(x)|g(x)注：利用数学归纳法，这个定理可推广为：若不可约多项式p(x) 整除一些多项式f_{1}(x),f_{2}(x),…,f_{s}(x)的乘积 f_{1}(x)f_{2}(x)…f_{s}(x)，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个定理（因式分解及唯一性定理）：数域 P 上每一个次数 \ge 1 的多项式 f(x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积，所谓唯一性是指，若有两个分解式 f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)…p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)…q_{s}(x)，那么必有 s=t ，并且适当排列因式的次序后有 p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x), \i=1,2,…,s，其中c_{i}(i=1,2,…,s)是一些非零常数证：先证分解式的存在，对 f(x) 的次数作数学归纳法.n=1时，一次多项式不可约，故结论成立设 \partial f(x)=n ，并设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立若 f(x) 是不可约多项式，结论是显然的，不妨设 f(x) 不是不可约的，即有 f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x) ，其中f_{1}(x),f_{2}(x) 的次数都低于 n . 由归纳假设 f_{1}(x) 和 f_{2}(x) 都可以分解到数域 P 上一些不可约多项式的乘积. 把 f_{1}(x),f_{2}(x) 的分解式合起来就得到 f(x) 的一个分解式由归纳法原理，结论普遍成立下证明唯一性. 设 f(x) 可以分解成不可约多项式的乘积f(x)=p_{1}(x)...p_{s}(x) . 若还有另一个分解式f(x)=q_{1}(x)...q_{t}(x) ，其中 q_{i}(x)(i=1,2,...,t) 都是不可约多项式，于是f(x)=p_{1}(x)...p_{s}(x)=f(x)=q_{1}(x)...q_{t}(x) \ \ \ \ \ (1)对 s 作归纳法. 当 s=1 ， f(x) 是不可约多项式，由定义必有 s=t=1 ，且 f(x)=p_{1}(x)=q_{1}(x) . 现设不可约因式的个数为 s-1 时已证，由 (1) ，p_{1}(x)|q_{1}(x)...q_{t}(x) ，因此 p_{1}(x) 必能除尽其中的一个，不妨设 p_{1}(x)|q_{1}(x) ，因为 q_{1}(x)也是不可约多项式，所以有 p_{1}(x)=c_{1}q_{1}(x) ，在(1) 式两边同时消去 q_{1}(x) ，就有p_{2}(x)...p_{s}(x)=f(x)=c_{1}^{-1}q_{2}(x)...q_{t}(x) . 由归纳假设，有 s-1=t-1 ，即s=t ，并且适当排列次序之后有 p_{2}(x)=c_{2}'c_{1}^{-1}q_{2}(x) ，即 p_{2}(x)=c_{2}q_{2}(x) ，p_{i}(x)=c_{i}(x)q_{i}(x), \ i=3,...,s ，这就证明了分解的唯一性定义（标准分解式）：在多项式 f(x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使其成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约多项式合并. 于是 f(x) 的分解式成为f(x)=cp_{1}^{r_{1}}(x)p_{2}^{r_{2}}(x)...p_{s}^{r_{s}} (x) ，其中 c 是 f(x) 的首项系数，p_{1}(x),p_{2}(x),...,p_{s}(x) 是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 r_{1},r_{2},...,r_{s} 是正整数，这种分解式称为标准分解式.。
多元多项式的因式分解定理证明方法
多元多项式的因式分解定理证明方法多元多项式的因式分解定理是多项式代数中的基本概念和重要定理之一。
它的证明方法可以通过多种途径来进行，本文将以详尽的方式探讨多元多项式的因式分解定理的证明方法，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
一、多元多项式的因式分解定理：定义和基本概念我们来回顾一下多元多项式的基本概念。
多元多项式是指由多个变量和它们对应的指数幂次构成的代数表达式。
一个三元多项式可以表示为：P(x, y, z) = aₙₙₙₒₙ + aₙₙₙₒₙ₋₁x + aₙₙₙ₋₁ₒₙy + aₙₙₙ₋₁ₒₙ₋₁x₂ + ... + a₀₀₀₀₃z³ + a₀₀₀₄z⁴其中，aₙₙₙₒₙ表示系数，x, y, z 表示变量，指数幂次表示变量的次数。
多元多项式的因式分解定理认为，任意一个多元多项式都可以被表示为若干个因式的乘积形式，其中每个因式是一个完全不可约的多项式，即无法再被进一步因式分解。
而证明这一定理的方法有多种，其中比较常见和基础的方法是使用代数学中的最小多项式和因式分解原则。
二、最小多项式的引入和应用为了证明多元多项式的因式分解定理，我们首先引入最小多项式的概念。
最小多项式是指一个多项式在某个域上的多项式环中的最小次数的首一多项式，且这个多项式的根就是所考虑的多元多项式。
我们假设有一个多元多项式P(x, y) = x²y + xy² + x + y，则它在域K[x, y] 上的最小多项式可以表示为：f(x, y) = (x - α)(y - β)(y - γ) - f(α, β)其中，α, β, γ 是多项式 P(x, y) 的根。
接下来，我们使用最小多项式的概念来推导多元多项式的因式分解。
我们注意到最小多项式根的一些性质：1. 最小多项式的次数是整数，且至少为1。
2. 最小多项式是唯一的，即对于同一个多元多项式，它在某个域上的最小多项式是唯一的。
根据这些性质，我们可以将多元多项式 P(x, y) 分解为若干个最小多项式的乘积形式。
因式分解-余式定理
因式分解1 —余式定理整系数多项式f (x)除以(x -a)商为q(x)，余式为r，则f (x)二(x -a) q(x) r。
因式定理如果多项式f (a) = 0，那么多项式f (x)必定含有因式(x -a)。
反过来，如果f (x)含有因式(x —a)，那么，f (a) =0。
余式定理当一个多项式f(x)除以(x-a)时，所得的余数等于f(a)。
〖例题〗当f (x^ x2 x 2除以(x -1)时，余数f (1) = 12T • 2 = 4推论2当一个多项式f (x)除以(mx「n)时,所得的余数等于f (丄)。
m2〖例题〗求当f (x) =9x 6x-l除以(3x 1)时所得的余数。
1 12 1解: f( ) =9 ( )26 ( ) -7 =-83 3 3〖例题〗设f (x)以(x -1)除之，余式为8,以(x2 x 1)除之的余式为(7x 16)，求(x3 -1)除之的余式为多少？(全国港澳台华侨联合招生考试题)解：根据题意，得f (1) =8 ........... ( 1)f(x)=(x2 x 1)g(x) 7x 16 (2)3 2又T X「1 =(X「1)(X x 1)设f(x) =(x3 -1)f(x) a(x2 x 1) 7x 16f (1) = a(x2 x 1) 7x 16 =8 ....................... ( 3)解得a - -5所以余式为-5x2 2x 11 o综合除法与余数定理3 x -1 一般的竖式除法x 2 3x25^7综合除法是用简便的方式表达：-72-5 商式为3x T，余式为—5o2求多项式3x • 5x - 7除以x 2，所得的商和余式。
〖余数定理〗：多项式f(x)除以X _a所得的余数等于f(a)〖因式定理〗：如果多项式f(x)能被X - a，亦即f(x)有一个因式X - a，那么f(a)=O。
反之，如果f(a) = °, 那么X _a必为f(x)的一个因式。
第五节因式分解定理
如果 f (x) 还有另一个分解式 f (x) = q1(x) q2(x) … qt(x) , 其中 qi(x) ( i = 1 , 2 , … , t ) 都是不可约多项式, 于是 f (x) = p1(x) p2(x) … ps(x) = q1(x) q2(x) … qt(x) . (1) 我们对 s 作归纳法. 当 s = 1 ， f (x) 是不可约 多项式，由定义必有 s=t=1, 且 f (x) = p1(x) = q1(x) .
外就没有了. 反过来，具有这个性质的次数 1 的 多项式一定是不可约的. 由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或 者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 事实上，如果 ( p(x) , f (x) ) = d(x) ，那么 d(x) 或者是 1 或者是 cp(x) (c 0) . 当 d(x) = cp(x) 时，就有 p(x) | f (x) . 不可约多项式有下述的重要性质.
2. 性质
定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于
任意的两个多项式 f (x) , g(x) ，由 p(x) | f (x) g(x) 一 定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) .
证明 如果 p(x) | f (x) ，那么结论已经成立.
如果 p(x) | f (x) ，那么由以上的说明可知 ( p(x) , f (x) ) = 1 . 于是由 即得 p(x) | g(x) .
(2) , (3) , (4) 合起来就是所要证的结论.
证毕
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基 本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项 式的方法. 实际上，对于一般的情形，普遍可行的 分解多项式的方法是不存在的. 在多项式 f (x) 的分解中，可以把每一个不可约 因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式合并. 于是 f (x) 的分解式为
因式分解方法大全
因式分解方法大全因式分解是将一个多项式或一个整式写成若干个因子相乘的形式的运算。
因式分解方法主要分为以下几种：1.公因式提取法：对于一个多项式，如果其中各项都有一个公因式，则可以将这个公因式提取出来，然后再将剩下的部分进行因式分解。
例如，对于多项式4x^2+2x，可以提取出公因式2x，得到2x(2x+1)。
2.分组分解法：当多项式中的各项无公因式，但可以进行分组后，使得每组的各项有一个公因式时，可以采用分组分解法。
例如，对于多项式x^3+x^2+x+1，可以将其分组为(x^3+x)+(x^2+1)，然后再对每组进行公因式提取，得到x(x^2+1)+1(x^2+1)，最终得到(x+1)(x^2+1)。
3.平方差公式：平方差公式是一种特殊的因式分解形式。
如果一个多项式形如a^2-b^2，则可以使用平方差公式进行因式分解，即a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x^2-4，可以进行因式分解为(x+2)(x-2)。
4. 完全平方公式：如果一个多项式形如a^2 + 2ab + b^2，则可以使用完全平方公式进行因式分解，即a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2、例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，可以进行因式分解为(x + 2)^25. 三项完全平方差公式：如果一个多项式形如a^3 + b^3，则可以使用三项完全平方差公式进行因式分解，即a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)。
例如，对于多项式x^3 + 8，可以进行因式分解为(x +2)(x^2 - 2x + 4)。
6.因式定理：因式定理是一种常见的因式分解方法，根据因式定理，如果多项式P(x)中存在一个因子x-a，则P(a)=0。
利用因式定理，可以通过寻找多项式的零点来进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+3x+2，我们希望找到一个数a，使得P(a)=0，即(a^2+3a+2)=0，在解方程a^2+3a+2=0时，可以得到两个解a=-1和a=-2，从而可以进行因式分解为(x+1)(x+2)。
因式定理与余式定理
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
2012专题：因式定理与因式分解
专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有：如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式
因式分解方法：因式定理综合除法分解因式因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q 互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
可能出现的因式为x1,x2,x4
∵f(1)0,f(1)0
但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=(x-2)(x2-2x+2)
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x(x-2)2+(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，。
多项式的因式分解知识点总结
多项式的因式分解知识点总结多项式的因式分解是数学中的重要内容之一。
通过将多项式分解为较简单的因子，我们可以更好地理解和运用多项式在代数运算中的性质。
本文将对多项式的因式分解进行知识点总结。
一、因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个较简单的因式相乘的形式的过程。
常见的多项式的因式分解包括线性因式、二次因式和高次多项式的因式分解。
二、线性因式分解线性因式是指次数为1的因式，其表达形式为$(x-a)$，其中a为常数。
对于形如$f(x)=ax+b$的一次多项式，若存在一个实数a使得$f(a)=0$，则多项式$f(x)$可被$(x-a)$整除，即$f(x)$可以写成$(x-a)$与一个次数较低的多项式的乘积形式。
三、二次因式分解二次因式是指次数为2的因式，其表达形式为$(x-a)(x-b)$，其中a 和b为常数。
对于形如$f(x)=ax^2+bx+c$的二次多项式，若其可以被二次因式$(x-a)(x-b)$整除，则多项式$f(x)$可以进行二次因式分解。
四、高次多项式的因式分解高次多项式的因式分解相对较为复杂，在一般情况下需要通过观察多项式的类型和使用适当的方法进行分解。
常见的高次多项式的因式分解方法包括公因式提取法、配方法、短除法和因式定理等。
1. 公因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以通过提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=3x^3+9x^2+6x$，可以提取公因式得到$f(x)=3x(x^2+3x+2)$，然后再对$(x^2+3x+2)$进行二次因式分解。
2. 配方法：对于特定形式的多项式，可以通过选取合适的配方方式将其因式分解。
例如，对于多项式$f(x)=x^2+5x+6$，可以使用常见的配方法$(x+2)(x+3)$进行因式分解。
3. 短除法：短除法是一种用于高次多项式的因式分解的方法。
通过逐步将多项式除以已知的因式，从而逐步缩小多项式的次数，最终得到完整的因式分解。
因式分解
因式分解（factorization）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“－”号,使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数) ⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分 x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6)应用因式定理：如果f（a）=0,则f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2.证明：对于任何数x,y,下式的值都不会为33x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。
因式定理的应用
利用長除法，
3x2 ? 5x ? 2 3x ? 1 9x3 ? 12x2 ? 11x ? 2
先找出一個 f(x) 的因式。
9x3 ? 3x2
15 x2 ? 11x
15 x2 ? 5x? 6来自 ? 2? 6x ? 2
你能完成因式分解 9x3 + 12x2 – 11x + 2 嗎?
步驟 2 : 利用因式定理，找出因式。
f(1) = (1)3 – 3(1)2 – 4(1) + 12 =6? 0
f(–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 4(–1) + 12 = 12 ? 0
f(2) = (2)3 – 3(2)2 – 4(2) + 12 =0
? x – 2 是 f(x) 的因式。
因式定理
x – 1 不是 f(x) 的因式。
x + 1 不是 f(x) 的因式。
當 f(1)、f(–1)、 f(2)、 …、f(–12) 其 中一個值等於零時， 我們便可停止運算。
步驟 3 : 進行長除法
x2 ? x ? 6 x ? 2 x3 ? 3x2 ? 4x ? 12
x3 ? 2x2 ? x2 ? 4x ? x2 ? 2x ? 6x ? 12 ? 6x ? 12
課堂研習
因式分解 f(x) = x3 + 3x2 – 13x – 15。
–15 的因數為 : ? 1, ? 3, ? 5, ? 15
? f(1) = 13 + 3(1)2 – 13(1) – 15 = –24 ? 0
f(–1) = (–1)3 + 3(–1)2 – 13(–1) – 15 = 0
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因式分解定理的两个应用
刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)
因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。
推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。
通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。
反之亦然。
利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。
例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k =
分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b +
例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的
余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ）
A 。
21x -
B 。
21x +
C 。
1x +
D 。
1x -
（第12届初二第二试）
解：设32
()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =⎧⎨=⎩ 解得21
p q =⎧⎨=-⎩，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。
例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。
（1）求
4a c +的值。
（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定
a ，
b ，
c 的大小。
（第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32
x ax bx c +++，所以
(1)0(4)0f f =⎧⎨-=⎩，即10641640a b c a b c +++=⎧⎨-+-+=⎩，整理得116464
a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=，
（2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
（3）因为a ，b ，c 为整数且1c a ≥>，所以1241c a a =-≥>，所以2a =，再代入313b a =-，124c a =-中得4c =，7b =-.
例 4.（2007年全国初中数学联合竞赛题）已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.
解：观察易知，方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得
2(1)(18)560
x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦ 因为a 是正整数，所以关于x 的方程
2(18)560x a x +++= （1）
的判别式2(18)2240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数.
设22(18)224a k +-=（其中k 为非负整数），则22(18)224a k +-=，即
(18)(18)224a k a k +++-=.
显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，而224112256=⨯=⨯=⨯，所以
18112,182,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1856,184,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1828,188,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26,a k =⎧⎨=⎩或0,10,
a k =⎧⎨=⎩ 而a 是正整数，所以只可能39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26.a k =⎧⎨=⎩
当39=a 时，方程（1）即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-.此时原方程
的三个根为1，1-和56-.
当12a =时，方程（1）即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.。