因式分解定理的应用

因式分解定理的两个应用

刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)

因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。

推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。

利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。

例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k =

分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b +

例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的

余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ）

A 。21x -

B 。21x +

C 。1x +

D 。1x -

（第12届初二第二试）

解：设32

()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =⎧⎨=⎩ 解得21

p q =⎧⎨=-⎩，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。 例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。（1）求

4a c +的值。（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定

a ，

b ，

c 的大小。

（第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32

x ax bx c +++，所以

(1)0(4)0f f =⎧⎨-=⎩，即10641640a b c a b c +++=⎧⎨-+-+=⎩，整理得116464

a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=，

（2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。

（3）因为a ，b ，c 为整数且1c a ≥>，所以1241c a a =-≥>，所以2a =，再代入313b a =-，124c a =-中得4c =，7b =-.

例 4.（2007年全国初中数学联合竞赛题）已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.

解：观察易知，方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得

2(1)(18)560

x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦ 因为a 是正整数，所以关于x 的方程

2(18)560x a x +++= （1）

的判别式2(18)2240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数.

设22(18)224a k +-=（其中k 为非负整数），则22(18)224a k +-=，即

(18)(18)224a k a k +++-=.

显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，而224112256=⨯=⨯=⨯，所以

18112,182,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1856,184,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1828,188,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26,a k =⎧⎨=⎩或0,10,

a k =⎧⎨=⎩ 而a 是正整数，所以只可能39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26.a k =⎧⎨=⎩

当39=a 时，方程（1）即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-.此时原方程

的三个根为1，1-和56-.

当12a =时，方程（1）即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.