因式分解定理的应用
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因式分解定理的两个应用
刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731)
因式分解定理:用一次多项式x a -去除多项式()f x (()f x 表示关于x 的多项式)所得的余式是一个常数,这个常数等于()f a (当x a =时关于x 的多项式的值)。
推论:多项式()f x 能被x a -整除,则()0f a =;反之若()0f a =,则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成:如果x a =时,关于x 的多项式的值为零,那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。
利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。
例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +,则k =
分析:根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=,则k=2()b a b +
例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时,所得的余数是1,除以2x -时,所得的
余数是3,那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时,所得的余式是( )
A 。21x -
B 。21x +
C 。1x +
D 。1x -
(第12届初二第二试)
解:设32
()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++,由因式分解定理(1)1(2)3f f =⎧⎨=⎩ 解得21
p q =⎧⎨=-⎩,所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时,所得的余式是21x -。 例3.已知a ,b ,c 均为实数,且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。(1)求
4a c +的值。(2)求 22a b c --的值;(3)若 a ,b ,c 为整数,且1c a ≥> 试确定
a ,
b ,
c 的大小。
(第8届初二第二试) 解:(1)因为234(1)(4)x x x x +-=-+,所以1x -,4x +都能整除32
x ax bx c +++,所以
(1)0(4)0f f =⎧⎨-=⎩,即10641640a b c a b c +++=⎧⎨-+-+=⎩,整理得116464
a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩解得313b a =-,124c a =-,所以412a c +=,
(2)22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
(3)因为a ,b ,c 为整数且1c a ≥>,所以1241c a a =-≥>,所以2a =,再代入313b a =-,124c a =-中得4c =,7b =-.
例 4.(2007年全国初中数学联合竞赛题)已知a 是正整数,如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.
解:观察易知,方程有一个整数根11x =,将方程的左边分解因式,得
2(1)(18)560
x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦ 因为a 是正整数,所以关于x 的方程
2(18)560x a x +++= (1)
的判别式2(18)2240a ∆=+->,它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数.
设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数),则22(18)224a k +-=,即
(18)(18)224a k a k +++-=.
显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同,且1818a k ++≥,而224112256=⨯=⨯=⨯,所以
18112,182,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1856,184,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩或1828,188,a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26,a k =⎧⎨=⎩或0,10,
a k =⎧⎨=⎩ 而a 是正整数,所以只可能39,55,a k =⎧⎨=⎩或12,26.a k =⎧⎨=⎩
当39=a 时,方程(1)即257560x x ++=,它的两根分别为1-和56-.此时原方程
的三个根为1,1-和56-.
当12a =时,方程(1)即230560x x ++=,它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1,2-和28-.