使用爱因斯坦方程分析去游离过程中扩散和中和的关系
Einstein扩散方程的推导
液体中悬浮粒子的不规则运动及其扩散的关系假定：每一单个粒子所进行的运动，同其他一切粒子的运动都是无关的；同一个粒子在各个不同时间间隔中的运动，都必须被看做是相互独立的过程，只要我们设想所选取的这些时间间隔都不是太小的就行了。
我们在考查中引进时间间隔τ，它比起可观察到的时间间隔要小得多，但是，尽管如此，它所具有的大小还可以使一个粒子在两个相互衔接的时间间隔τ内所进行的运动被认为是相互独立的事件。
假设在一个液体中总共有n 个悬浮粒子。
经过时间间隔τ，单个粒子的X 坐标要增加∆，此处∆对于每个粒子都有一个不同的（正的或者负的）值，对于∆，某种频率定律成立；在时间间隔τ内经历了处于∆和d ∆+∆之间的位移的粒子数dn ，可由如下形式的一个方程来表示：()dn n d ϕ=∆∆，此处()1d ϕ+∞-∞∆∆=⎰， 而ϕ只是对于非常小的∆才不是零，并且满足条件()()ϕϕ∆=-∆我们现在要研究扩散系数是怎样依存于ϕ的，在此我们再一次限于这样的情况：每一单位体积的粒子数（即浓度）v 只同x 和t 有关。
设每一单位体积的粒子数为(,)v f x t =，我们要从粒子在时刻t 时的分布计算出在时刻t τ+时的分布。
由函数()ϕ∆的定义，不难得出时间t τ+时位于两个垂直于X 轴并具有横坐标x 和x dx +的平面之间的粒子数。
我们得到：(,)(,)()f x t dx dx f x t d τϕ∆=+∞∆=-∞+=⋅+∆∆∆⎰但是，既然τ很小，那么我们现在就可以置(,)(,)f f x t f x t tττ∂+=+∂ 此外，我们还可以按∆的幂来展开(,)f x t +∆：222(,)(,)(,)(,)2f x t f x t f x t f x t x x ∂∆∂+∆=+∆++∂∂ 我们可以把这个展开式带入积分中，因为只有很小的∆值才能对后者有所贡献（因为展开要求的），我们得到222()()()2f f f f f d d d t t x τϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞∂∂∂∆+⋅=∆∆+∆∆∆+∆∆+∂∂∂⎰⎰⎰在右边，由于()()x x ϕϕ=-，第二、四等各项等于零；而在第一、三、五等各项中，所有后一项都比前一项小得多。
化学反应中的颗粒运动和扩散
化学反应中的颗粒运动和扩散化学反应是物质变化的过程，其中发生的颗粒运动和扩散起着至关重要的作用。
本文将探讨化学反应中颗粒运动和扩散的相关原理和影响因素。
一、颗粒运动的基本原理在化学反应中，参与反应的颗粒如分子、离子或原子以不同方式运动，并与其他颗粒发生相互作用。
颗粒的运动表现出以下基本特征：1. 热运动：根据动能定理，颗粒的运动与其温度有密切关系。
颗粒温度较高时，其运动速度更快，反之亦然。
颗粒通过热运动，不断碰撞和相互转移动能，从而促使化学反应的进行。
2. 扩散运动：颗粒的扩散是指它们在空间中由高浓度区域向低浓度区域的运动。
扩散可以通过浓度梯度推动，也可以通过温度、压力和电场等外部因素的影响驱动。
颗粒的扩散运动使得各个反应物之间更容易接触和反应。
3. 碰撞频率：颗粒之间的碰撞频率与颗粒浓度、温度以及其分子质量等因素密切相关。
颗粒之间碰撞的频率越高，反应速率也会相应增加。
二、颗粒运动对反应速率的影响颗粒的运动对化学反应速率有着重要的影响。
以下是几个例子：1. 温度：颗粒在高温下的热运动速度更快，因此碰撞频率增加，有利于更多的有效碰撞。
根据活化能理论，反应速率约每升高10摄氏度，反应速率会加快约2倍。
2. 浓度：增加参与反应的颗粒浓度会增加碰撞频率，从而提高反应速率。
增加浓度可以通过增加反应物浓度或减小体积来实现。
3. 表面积：颗粒的细分和增加表面积会增加有效碰撞的机会，因此有利于提高反应速率。
将固体反应物粉碎或使用溶液代替固体反应物，可以增加反应表面积，从而加快反应速率。
三、颗粒扩散对反应速率的影响颗粒的扩散运动是化学反应中不可忽视的因素，它对反应速率产生以下影响：1. 距离：颗粒之间的距离越近，扩散越容易发生，从而加快反应速率。
因此，减小反应容器内的距离可以提高反应速率。
2. 浓度梯度：颗粒的扩散运动会沿着浓度梯度进行，即从高浓度区域向低浓度区域扩散。
浓度梯度越大，扩散速率越快，反应速率也相应增加。
爱因斯坦扩散定律
爱因斯坦扩散定律
爱因斯坦扩散定律是描述物质分子在溶液或气体中扩散的过程的基本定律之一。
这个定律说明了，分子扩散的速率与分子的尺寸、分子浓度、分子与溶剂分子之间的相互作用等因素有关。
根据爱因斯坦扩散定律，物质分子在溶液或气体中扩散的速率可以用下式表示：
D = kBT/6πηr
其中，D是扩散系数，k是玻尔兹曼常数，B是温度，T是时间，η是溶液或气体的黏度，r是分子的半径。
这个式子说明了扩散速度与温度成正比，与溶液或气体的黏度成反比，与分子半径平方成反比。
爱因斯坦扩散定律不仅在化学、物理学等领域中有重要应用，还被广泛应用于生物学、医学等领域中，例如用于描述细胞内物质的扩散、药物的吸收和扩散等。
总之，爱因斯坦扩散定律是描述物质分子扩散过程的基本定律之一，对于理解和应用物质扩散过程具有重要意义。
- 1 -。
材料科学基础第06章 扩散..
菲克第二定律 引出
如图所示设为单位面积A上 取dx的单元体，体积为Adx， 在dt的时间内通过截面1流入 的物质量为 而通过截面2流出的物质量 在dt时间内，单元体中的积有量为：
菲克第二定律 微分方程
在dt时间内单元体的浓度变化量
则需要的溶质量为
菲克第二定律 微分方程标准型
在一维状态下非稳态扩散的微分方程，即为 菲克第二定律的数学表达式，又称为扩散第二方 程。若扩散系数D为常数，方程可写成：
柯肯达尔(Kirkendall)效应
为了证实在代位扩散过程中存 在晶格数量的变化，Kirkendall在 1947做过如下实验，在Cu－30%Zn 的合金两边焊上纯铜，并在焊缝处 加入一些细的Mo丝作标记，如图所 示。 先测定标记之间的距离，放置在785℃下保温( 为加快扩散速 度 ) 。经过一天 (24hr) 后再测量，发现标记之间的距离缩短了 0.0015cm；经过56天后，标记之间的距离缩短了0.0124cm。
位错线附近的溶质原子的浓度高于平 均值；原子在位错中沿位错线的管道 扩散比晶体中的扩散快。
3 ．面缺陷 ：本身所处于较高的能
力状态，相应扩散激活能也就较低
影响扩散系数的因素
•其他因素
1．弹性应力场 可以加速尺寸大的原子向拉应力大处扩散，同
样加速尺寸小的原子向压应力大处扩散，这种扩散可以松弛应力， 但也能把原来的弹性应变部分的转化为不可恢复的永久变形 ( 塑 性变形 ) ，这种在应力作用下的扩散过程也是材料以蠕变方式发 生塑性变形的基本机制。
2．其他任何对粒子运动的力也都可能影响扩散，如电磁场对代
电粒子的扩散。
影响程度：温度－成分－结构－其它
第六节
反应扩散
• 反应扩散的概念 • 反应扩散的实例 • 反应扩散的主要特征
载流子的漂移扩散爱因斯坦关系式
公式推导
当v增大到一定值时，a=0，此时载流子做匀速运动，速度不再增大。
根据以上推导，得到爱因斯坦关系式：v=u√(2kT/m)，其中v为载流子速度，u为电 场迁移率，T为温度。
公式含义
爱因斯坦关系式表明了载流子 在电场中的运动速度与温度和
迁移率的关系。
当温度升高时，载流子速度 增大；当迁移率增大时，载
流子速度也增大。
该公式是半导体物理中的基本 公式之一，对于研究半导体器 件的性能和应用具有重要意义。
公式应用
1
爱因斯坦关系式可以用于计算半导体器件中的电 流和电压关系。
2
通过测量不同温度下的电流和电压数据，可以计 算出迁移率和温度系数等重要参数。
浓度
载流子浓度对漂移扩散的影响主要体现在费米能级和能级填 充上。在低浓度时，费米能级附近的能级较少，载流子容易 达到较高的漂移速度。
随着浓度的增加，费米能级附近的能级增多，载流子的平均 自由程减小，漂移速度降低。同时，浓度还影响扩散系数的 大小，浓度越高，扩散系数越大。
电场
电场对载流子漂移扩散的影响主要体现在电场对载流子的加速作用上。在电场的作用下，载流子获得加速度，导致其漂移速 度增加。
新理论的发展
要点一
量子力学与半经典理论的结合
在研究具有复杂能带结构的材料时，将量子力学与半经典 理论相结合，可以更准确地描述载流子的行为，为载流子 漂移扩散的研究提供更可靠的理论基础。
要点二
多尺度模拟方法
随着计算机技术的发展，多尺度模拟方法逐渐成为研究复 杂电子器件的有力工具，通过模拟不同尺度下的载流子行 为，可以更全面地理解载流子的漂移扩散过程。
100420--思考题
第二章 扩散 思考题1. 解释以下现象：（1） H 在ɤ-Fe 中的扩散激活能低于ɤ-Fe 中Fe 的自扩散激活能。
H 在元素周期表中的位置与铁相距很远，原子的尺寸相差很大，化学性质相差很大，它们形成固溶体点阵畸变就大，则降低原子迁移的势垒，从而D 加大。
（2） H 在α-Fe 中的扩散激活能低于H 在ɤ-Fe 的自扩散激活能。
2. 讨论扩散系数与浓度的关系，如何用Matano 方法得到扩散系数D(C)？3. 根据扩散方程的解，讨论菲克定律的应用，并示意给出他们的浓度分布曲线图。
（1） 稳定扩散流（2） 半无限长扩散偶（3） 非稳定扩散源4. 什么是短路扩散？有哪些理论处理方法？5. 导出扩散系数D 与原子跳动频率 的关系式（爱因斯坦方程），其物理意义是什么？6. 图2.1为A-B 系在温度T 1时的摩尔自由能成分图，假设一块成分为①的a 相和一块成分为②的b 相焊合在一起，以A 和B 原子在a 相和b 相中的化学势推测在T 1温度扩散时原子迁移的途径，说明这会导致扩散偶的摩尔自由能减小。
指出达平衡时两相的成分。
Fig.2.1第三、四章 思考题1.说明母相和生成相之间的界面能大小是如何影响形核临界半径和形核位垒的。
2.比较共格、半共格和非共格界面能的大小，并讨论非均匀形核的几率是如何随着界面类型变化的。
3.液固转变时温度对新相形核速度的影响表现出C 曲线的特点，说明其中反映的过冷度对形核能垒和原子可动性的作用机理。
4.常常用时间-温度-相变曲线（TTT 曲线）来表示固态相变时过程，说明此曲线的含义，讨论其实用意义。
5.讨论固液转变时生成的固相形态特征主要有哪些？它们的演变主要受到哪些因素控制？ 6.比较扩散型相变和无扩散型相变的主要特点，并从热力学的角度解释亚稳过渡相的形成。
7. 分析调幅分解的热力学条件。
A B X摩尔自由能 ②①G a G b第五章思考题1.讨论Landau理论和热力学理论在处理相变问题时各自的特点。
第11章扩散
二、逆扩散实例
逆扩散在无机非金属材料领域中也是经常见到的。如固溶体中有 序无序相变、玻璃在旋节区（Spinodal range）分相以及晶界上选择 性吸附过程，某些质点通过扩散而富集于晶界上等过程都与质点的 逆扩散有关。
1. 玻璃分相
在旋节分解区，由于 ，产生上坡扩散，在化学位梯度推动 2G / c 2 0 下由浓度低处向浓度高处扩散。
2. 晶界的内吸附
晶界能量比晶粒内部高，如果溶质原子位于晶界上，可降低体系总能 量，它们就会扩散而富集在晶界上。
3 .固溶体中发生某些元素的偏聚
在热力学平衡状态下，固溶体的成分从宏观看是均匀的，但微观上溶 质的分布往往是不均匀的。溶质在晶体中位置是随机的分布称为无序分布， 当同类原子在局部范围内的浓度大大超过其平均浓度时称为偏聚。
9
本征扩散：不含有任何杂质的物质中由于热起伏引起的扩散。
即仅仅由本身点缺陷作为迁移载体的扩散。空位来源于晶体结构
中本征热缺陷而引起质点的迁移。
非本征扩散：指非热能引起的扩散，例如由杂质引起的的缺陷
而进行的扩散。由于杂质引入引起的扩散。 （不等价杂质离子取
代造成晶格空位）
自扩散：一个原子通过仅有该原子组成的晶体的扩散，它是空
同理在 y ， z 方向流进的净物质增量分别为： J y J J z z dxdydz t J y dxdydz t y z 于是在t时间内整个体积元中物质净增量为：
J x J y J z J x J y J z t x y z dxdydz
§9.l 扩散的基本特点及扩散方程
一、 扩散的基本特点 ①固体中粒子扩散十分缓慢，速度很小； ②由热起伏提供扩散质点能量； ③扩散是远低于熔点以下即开始的； ④质点扩散要克服势垒； 图11-2 间隙原子扩散势场示意图 处于平面点阵内间隙位的原子， ⑤扩散具有各向异性。
第八章 扩散
第八章扩散在热起伏的过程中，晶体的某些原子或离子由于振动剧烈而脱离格点进入晶格的间隙位置或晶体表面，同时在晶体内部留下空位。
这些处于间隙位置上的原子或原格点上的空位并不会永久固定下来，它们将可以从热涨落的过程中重新获得能量，在晶体结构中不断地改变位置而出现由一处向另一出的无规则迁移运动。
这就是晶格中原子或离子的扩散。
扩散是晶体中发生物质输运的基础，研究固体中扩散的基本规律对认识材料的性质、制备和生产具有一定性能的固体材料均有十分重大的意义。
第一节扩散的宏观规律一.扩散现象在有浓度梯度存在时，由高浓度向低浓度形成定向物质流，这种现象就是扩散现象。
流体中的扩散具有很大的速率和完全的各向同性，而在晶体中扩散速率小，并且各向异性，这是由于晶体中存在周期性势垒，不同方向自由程不同。
二.菲克第一定律适用于稳定扩散过程，即扩散质点浓度分布不随时间变化的扩散过程。
设在扩散过程中，单位时间内通过单位横截面的质点数目（扩散通量）J正比于扩散质点的浓度梯度dc/dx，横截面积记为A，时间为dt，物质量为dm，所以，dm=-DAdtdc/dxJ=dm/Adt=-Ddc/dx负号表示扩散的方向与浓度梯度相反。
三.菲克第二定律菲克第二定律适用于不稳定扩散过程，即扩散质点浓度分布随着时间的变化而变化的扩散过程。
设一维扩散，选取一体积元，dN是dt时间内体积元中增加原子数，dc是dt时间内单位体积中浓度平均增量。
J（x）-J（x+dx）=dN/dt=dcdx/dt-dJ=dxdc/dtdc/dt=-dJ/dx 而J= -Ddc/dxψc/ψt=Dψ2c/ψx2设三维扩散：ψc/ψt=D（ψ2c/ψx2+ψ2c/ψy2+ψ2c/ψz2）四.扩散系数的测定五.扩散系数与温度的关系经验公式：D=D0exp（-Q/RT）温度升高，扩散系数变大。
第二节扩散的微观机构一. 扩散的本质扩散的本质是布朗运动。
对单个的质点来说，是偶然的无规行走。
第七章 扩散
若假设扩散体系具各向同性，且扩散系数D不随位置坐标变 化，则有： (11-6) 2c 2c 2c c
= D 2 2 2 x t y z
用途：适用于不同性质的扩散体系；
可用于求解扩散质点浓度分布随时间和距离而变化的 不稳定扩散问题。
对二定律的评价：
度的扩散距离
x = 1.04( Dt )1 / 2
，有更一般的关系：
图11-6 高斯误差函数曲线
x 2 = Kt
（11-14）
式中 K 为比例系数，这个关系式常成为抛物线时间定则。 可知在一指定浓度C时，增加一倍扩散深度则需延长四倍的 扩散时间。这一关系被广泛地应用于如钢铁渗碳、晶体管 或集成电路生产等工艺环节中控制扩散质浓度分布和扩散 时间以及温度的关系。
一般知识的掌握
●
D 大， 扩散速度快；
● 对于一般固体，20～50℃时，D 对应10-2 cm2/s～10-4 cm2/s
2. 菲克第二定律
考虑如图所示的不稳定扩散体系中 任一体积元dxdydz ，在t时间内由x 方向流进的净物质增量应为：
J x J x = J x dydzt ( J x dx)dydzt x J x = dxdydzt (11-3) x
设一多组分体系中，组分的质点沿x方向扩散所受到的力应等于 该组分化学位在x方向上梯度的负值： Fi = i / x (11-18)
相应的质点运动平均速度正比于作用力指示 Fi ：
Vi = Bi Fi = Bi i / x
（11-19）
式中比例系数为单位力作用下，组分质点的平均速率或称淌 度。显然此时组分的扩散通量等于单位体积中该组成质点数 和质点移动平均速度的乘积：
(1) 从宏观定量描述扩散，定义了扩散系数，但没有给出 D与结构的明确关系； (2) 此定律仅是一种现象描述，它将浓度以外的一切影响 扩散的因素都包括在扩散系数之中，而未赋予其明确的物 理意义； C (3) 研究的是一种质点的扩散(自扩散)； t (4) 着眼点不一样(仅从动力学方向考虑)。
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
5.3 非平衡载流子的扩散运动与爱因斯坦关系
5.3 载流子的扩散运动与爱因斯坦关系式n 适当波长的光照射样品的一侧，引起非平衡载流子由表面向内部扩散。
n 扩散运动是非平衡载流子的主要运动形式之一。
均匀掺杂的半导体，处于热平衡状态时，不产生扩散运动。
1. 一维平面扩散空穴扩散系数，表示在单位浓度梯度下，单位时间内通过单位面积的空穴数目；反映了非平衡少子扩散能力的强弱；()()p pd p x S x D dx∆=-扩散流密度空穴扩散流密度：扩散定律——单位时间由于扩散通过垂直于x 轴单位面积的载流子数。
（1）稳态扩散方程()()pp τx Δp dx x Δp d D =22空穴的积累率等于复合率：积累率复合率在恒定光照下，非平衡载流子的分布不随时间变化，形成稳定分布，这种情况称为稳定扩散。
()()()()2p p p p2Δx S x S x Δx dS x d Δp x limD Δxdxdx→-+=-=空穴的积累率为：p p p τD L =（2）稳态扩散方程的解，系数A 和B 要根据边界条件确定。
()ppL x L x BeAex Δp +=-①样品足够厚Δp (∞)→0Δp (0)=(Δp )0边界条件：解出：A=(Δp )0B =0()()pL x eΔp x Δp -=0空穴扩散长度非平衡载流子浓度浓度由降低到所经过的距离。
()0p ∆()ep 0∆反映了非平衡载流子因扩散而深入样品的平均距离。
空穴的扩散流密度：()()()pp ppD d p x S x D p x dxL ∆∆=-=具有速度的量纲称为空穴的扩散速度()ep 0∆pL可得到：②样品厚度为W ，且在另一端全部抽出若p W L <<()()01x Δp x p W ∆⎛⎫≈- ⎪⎝⎭()()()000p p p W ∆=∆⎧⎪⎨∆=⎪⎩边界条件：当样品厚度很薄时，非平衡载流子在样品内呈线性分布。
则:()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∆=∆p p L W L x W p x p sh sh 0扩散流密度：()()()p p p pD d p x S x D p S dxW∆∆=-==在晶体管结构中，基区宽度比扩散长度小得多，从发射区注入基区的非平衡载流子在基区的分布近似符合上述结果。
化学反应动力学中的传输过程和扩散
化学反应动力学中的传输过程和扩散在化学反应中，反应速率是一个非常重要的指标。
反应速率不仅与反应物的浓度有关，还与反应物之间的相互作用、形态、结构等相关因素有关。
其中，传输过程和扩散是影响反应速率的两个主要因素之一。
一、传输过程传输过程是指反应物从溶液中到达反应中心所需的时间。
传输过程影响反应速率，如果反应物到达反应中心的速度较快，则反应速率会相应变快。
传输过程主要包括两个方面：扩散和对流。
扩散是指物质在非静止介质中的自发传递，是由于分子或离子在热运动中碰撞和干扰产生的。
对流是指胶体或化学物质随流体的流动而运动，是由于液体发生流动的作用。
在传输过程中，有两个主要参数决定着它的速率，分别是扩散系数和对流速度。
扩散系数取决于分子尺寸、摩尔质量、扩散的温度和介质粘度等因素。
对流速度取决于流体运动的速率和介质的粘度等因素。
因此，传输过程的速率与环境、温度、压力等因素有关。
二、扩散扩散是指物体以无规则的、自发性的方式沿着浓度梯度，即质量浓度或分压差传播。
扩散的过程中，物质分子呈无序运动状态，沿排列不规则的路径移动，直到达到浓度相等的状态。
扩散系数描述了分子在介质中移动的速度，是一个反映传输过程的重要参数。
扩散系数与温度密切相关，通常随温度升高而增加。
扩散的速度还会受到介质粘度、分子尺寸和化学自发性等因素的影响。
扩散也是许多重要的化学反应过程中必要的阶段。
例如，氧化还原反应（如电池或燃料电池中），离子交换反应，水的传输，化学成分的传输以及许多光化学和生物化学反应等。
三、反应动力学由于化学反应中许多因素的复杂交织，定义反应的速率常常比较困难。
动力学是研究化学反应速率的科学，揭示了化学反应速率与反应物浓度和温度之间的函数关系。
反应速率常常受到扩散和传输过程的限制影响，因此在反应动力学中考虑这些因素尤为重要。
此外，反应物的形态和性质也会影响速率，例如，一些反应物形成含有特殊结构的物质，这些物质通常比反应物更不易扩散。
扩散
稳定扩散， 稳定扩散，是指扩散物质的浓度分布不随时间变化的扩散过程，使用菲克 第一定律可解决稳定扩散问题。
不稳定扩散， 不稳定扩散，是指扩散物质浓度分布随时间变化的一类扩散，这类问题的 解决应借助于菲克第二定律
扩散的推动力
一、扩散的一般推动力： 扩散的一般推动力： 根据广泛适用的热力学理论，可以认为扩散过程与其他物理化学过程一样，其发生 的根本驱动力应该是化学位梯度 根本驱动力应该是化学位梯度。一切影响扩散的外场（电场、磁场、应力场等） 根本驱动力应该是化学位梯度 都可统一于化学位梯度之中，且仅当化学位梯度为零，系统扩散方可达到平衡。
三、扩散机制和扩散系数
一、扩散的布朗运动理论 菲克第一、第二定律定量地描述了质点扩散的宏观行为，在人们认识和掌握扩散 规律过程中起了重要的作用。然而，菲克定律仅仅是一种现象的描述。 1905年爱因斯坦（Einstein）在研究大量质点作无规则布朗运动的过程中，首先用 统计的方法得到扩散方程，并使宏观扩散系数与扩散质点的微观运动得到联系。
图2 间隙原子扩散势场 示意图
二、菲克定律与扩散动力学方程
1855年德国物理学家 A·菲克（Adolf Fick）在研究大量扩散现象的基础之上，首先对 这种质点扩散过程作出了定量描述，得出了著名的菲克定律，建立了浓度场下物质 扩散的动力学方程 1．菲克第一定律： 菲克第一定律： 菲克第一定律 在扩散体系中，参与扩散质点的浓度c是位置坐标x、y、z和时间t的函数，即浓度因 位置而异，且可随时间而变化。在扩散过程中，单位时间内通过单位横截面的扩散 流量密度J（或质点数目）与扩散质点的浓度梯度成正比，即有如下扩散第一方程：
∂J x ∂J y ∂J z ∆J x + ∆J y + ∆J z = − ∂x + ∂y + ∂z dxdydz δ t
第7章-基本动力学过程-扩散
H
11
注意：
浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描述原子扩散能力的 基本物理量，并非常数，而是与很多因素有关，但与浓度梯度无关。
当浓度梯度等于0时，表明在浓度均匀的系统中，尽管原子的微观运动仍在进 行，但不会产生宏观的扩散现象，但仅适合于下坡扩散的情况。
H
12
如果三维方向扩散，则
：梯度算符
water
加入染料
部分混合
time
扩散的推动力：化学位梯度。
H
完全混合
2
（2）物质聚集状态与传质方式比较：
固体：扩散是传质的唯一方式。
H
3
（3）扩散的分类
异种粒子存在时，造
✓ 按浓度均匀程度分：
成浓度差
互扩散：有浓度差的空间扩散 自扩散：没有浓度差的扩散
下坡扩散
✓ 按扩散方向分： 顺扩散：由高浓度区向低浓度区的扩散
24
7.3当锌向铜内扩散时，已知在x点处锌的含量为2.5×1017个锌原子/cm3， 300 ℃ 时每分钟每mm2要扩散60个锌原子，求与x点相距2mm处锌原子的浓度。（已知 锌在铜内的扩散体系中D0=0.34×10-14m2／s ； Q= 18.81KJ／mol ／mol ）
扩散系数宏观表达式 D=D0exp(−Q/RT)，其中D0=0.34×10-14m2/s， Q=1.881×104J/mol R=8.314J/mol·K， T=300+273=573K
H
23
例2： 一个用来在气流中分隔氢的塑料薄膜，稳态时在膜的一侧氢
的浓度为0.025mol/m3，在膜的另一侧为0.0025mol/m3，膜的 厚度为100μm。穿过膜的氢的流量是2.25×10-6 mol/(m2×s)，计 算氢的扩散系数。
爱因斯坦关系式
1. 试由一维随机行走理论推导表面原子扩散的爱因斯坦公式。
答：一维随机行走理论：被吸附的表面原子扩散的形式为布朗运动（方向随机，各向同性）。
设每次跳跃的距离为d ，温度为T ，在一段时间下扩散净距离为x 。
因为布朗运动的方向随机，因此得到的x 是具有统计意义的值，并且由于各向同性，因此<x>=0.
但<x 2>却不等于0，推导过程如下：
设一段时间t 后，分子跳跃的次数为n （n=ft ，f 为跳跃频率），则 2212)(n d d d x +++=
j i n d d d d d 222221∑++++=
2nd =
2ftd =
扩散系数的定义：设表面距离为x 的两个区域内，分子浓度分别为C 和x dx
dC C ⋅+
，则单位时间，表面单位距离上扩散与逆向扩散的分子数分别为-xC/2t 和)(21x dx dC C x t ⋅+⋅。
因为定义为一维扩散，所以方向数为2。
相加得dx dC t x N ⋅=22。
定义扩散系数t
x D 22=， 则可得爱因斯坦关系式Dt x 22=。
与最初的公式对比可发现，若要使扩散系数为常数，则联立可得2
2fd D =。
3.5扩散现象的宏观规律
全不同,称为克努曾扩散或称为分子扩散。气体透过小孔的泻流就
属于分子扩散。 [例3.3.1] 两个容器的体积都为V，用长为L、截面积A很小（LA<<V）的水 平管将两个容器相联通，开始时左边容器中充有分压为P0的一氧化
碳和分压为P—P0的氮气所组成的混合气体，右边容器器中装有压
强为P的纯氮气，设一氧化碳向氮中扩散及氮气向一氧化碳中扩散 的扩散系数都是D，试求出左边容器中一氧化碳分压随时时间变化
x(t ) 0, x (t ) 0
2
爱因斯坦最早于1905年证明了
kT x (t ) 2 Dt , D 6 r
2
(3.15)
其中η为气体的黏性系数，r为布朗粒子半径，D为该布朗粒子在背
景气体中的扩散系数。
（3.13）式有很重要的应用，利用它来估算扩散所需时间特别方便 [例3.4] 在人的肺中，氧气通过扩散从肺内转移到毛细血管内，而 二氧化碳也从毛细管管转移到肺内，这两种转移都在肺泡内进行。
布朗粒子与气体分子本无本质区别，其轨迹均是无规则的折线。
无论是布朗粒子，还是与背景气体不同的另一种气体分子，只要
知道它们在背景气体中的扩散系数，就可知道其扩散的快慢，现 在我们以布朗粒子为例子以说明。若t=0时刻在空间某处0点积聚 了布朗粒子，现以某一布朗粒子作研究对象，则该粒子将等概率 地向空间任何方向运动。现以0点为原点，某方向作为x方向，设 经过t时间的位移在x方向上的投影为x(t)，显然
Diffusion phenomena
当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子 从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象。
实际的扩散过程都是较为复杂的，常和多种因素混杂在一
起。即使是一些我们见到的较简单的扩散例子，也是互扩 散．互扩散是发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均
扩散现象的宏观规律
扩散现象的宏观规律
当物质中粒子数密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从数密度高的地方迁移到数密度低的地方的现象称为扩散。
A B A, B：温度相同，压强相同，数密度相同。
一、自扩散与互扩散（self-diffusion and inter-diffusion）
互扩散:发生在混合气体中，由于各成份的气体空间不均匀，各种成份分子均要从高密度区向低密度区迁移的现象。
自扩散:这是一种使发生互扩散的两种气体分子的差异尽
量变小，使它们相互扩散的速率趋于相等的互扩散过程。
CO2(C12 , C14)
二、菲克定律（Fick ’s law ）
1855年法国生理学家菲克（Fick,1829-1901）提出了描述扩散规律的基本公式——菲克定律。
21m s
-⋅d d N n J D z =-d d M t d d z ρD:扩散系数（diffusion coefficient ） 同样，单位时间内气体扩散的总质量 与密度梯度 之间的关系 d d d d M D A t z ρ=-⋅ 粒子流密度：d d d d N n D A t z
=-单位:负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。
mn
ρ=
三、气体扩散的微观机理
扩散是在存在同种粒子的粒子数密度空间不均匀性的情况下，由于分子热运动所产生的宏观粒子迁移或质量迁移。
1. 应把扩散与流体由于空间压强不均匀所产生的流体流动区别开来——成团粒子整体定向运动所产生。
2. 以上讨论的都是气体的扩散机理，至于液体与固体，由于微观结构不同，其扩散机理也各不相同。
说明
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（思考题）1. 使用爱因斯坦方程分析去游离过程中扩散和中和的关系。
答：若半导体中非平衡载流子浓度不均匀，同时又有外加电场的作用，载流子要同时做扩散和漂移运动，类似于去游离过程中带电质点进行扩散和中和运动，迁移率是反映载流子在电场作用下运动难易程度物理量，而扩散系数反映存在浓度梯度时载流子运动难易程度。
电子（空穴）扩散电流密度电子（空穴）漂移电流密度
平衡时，不存在宏观电流，因此电场的方向必然使反抗扩散电流，是平衡时电子的总电流和空穴的总电流分别为0。
Jn=Jn 漂+Jn 扩=0
Jp=Jp 漂+Jp 扩=0
从而得到：
求导得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==q T k D q T k D n
n p p μμ（非简并情况下）爱因斯坦关系式 虽然D ，μ的关系是针对平衡载流子推导出来的，但实验证明对非平衡载流子同样成立，因为刚激发的非平衡载流子虽具有和平衡时的载流子不同的速度和能量，但由于晶格的作用，在比寿命短的多的时间内就达到了平衡。
由以上分析可以得到：
1、该关系适合于平衡，非平衡非简并情况；
2、非均匀载流子浓度会引起扩散；
3、由于载流子的扩散会导致自建场；
4、有电场存在则能带发生变化；
)exp()(00T k E E N x n F c c --= ⎪⎩⎪⎨⎧==ξ
μξμp P n n x qp J x qn J dx x dV T k q x n dx x dV T k q T k E x qV E N dx x dn c F c )()()(])(exp[)(00000=-+=
5、非简并情况下
q
T
K
D
D
p
p
n
n=
=
μ
μ
载流子的迁移率μ是表征载流子在电场作用下加速运动快慢的一个物理量，等于单位电场作用下的漂移速度：μ=vd/E[cm2/V-s]，E为电场[V/cm]，vd为平均漂移速度[cm/s]。
载流子迁移率的大小决定于在运动过程中遭受散射的情况：μ=qt/m，t是散射时间（等于散射几率的倒数，在简单情况下就是平均自由时间），m是有效质量，q为电子电荷。
注意：由于载流子的平均漂移速度是定向运动，是一它总是小于混乱的热运动速度。
（室温下载流子的热运动速度大约为107cm/s）。
浓度为n、迁移率为μ的电子，在电场E作用下，所产生的漂移电流密度为:j=nqμE，即漂移电流密度与载流子浓度成正比。
因此，多数载流子对漂移电流的贡献是主要的。
载流子的扩散系数D是表征载流子在浓度梯度驱动下、从高浓度处往低浓度处扩散运动快慢的一个物理量，等于单位浓度梯度作用下的粒子流密度，单位为[cm2/s]。
扩散系数为D的电子，在浓度梯度为dn/dx的驱动下，所产生的扩散电流密度为:j=qD(dn/dx)，即扩散电流密度与载流子浓度梯度成正比，而与载流子浓度本身的大小无关。
因此，即使是少数载流子，只要它具有较大的浓度梯度，则也可以尝试较大的电流。
Einstein关系:
因为载流子的迁移率和扩散系数都是表征载流子运动快慢的物理量，所以迁移率和扩散系数之间存在有正比的关系——Einstein关系。
载流子按能量分布的规律不同，则将得到不同的Einstein关系。
对于非简并半导体，载流子遵从Boltzmann分布，即可得到简单的Einstein 关系：D=(kT/q)μ；但是对于简并半导体，载流子遵从Fermi-Dirac分布，则将得到比较复杂的Einstein关系。
注意：载流子的扩散系数不同于杂质原子的扩散系数。
在半导体工艺中杂质原子的扩散因为关系着晶格热缺陷的形成，故与温度的系数很大——指数函数关系。
但是载流子的扩散完全是在浓度梯度驱动下、在热运动基础之上的一种定向运动（从高浓度处往低浓度处运动），当然与温度有关，不过与温度的关系较小；根据Einstein关系：D=(kT/q)μ，可见，载流子的扩散系数的温度关系在很大程度上决定于载流子迁移率的温度关系。
在室温下、当声学波散射起主要作用时，μ随着温度的升高而作3/2式地下降，这时D则与温度有平方根的反比关系（即D∝1 /√T）。
载流子的扩散系数与掺杂浓度的关系也可按照与温度的关系来进行分析。
即基本上也是决定于载流子迁移率的掺杂浓度关系。