椭球面元素归算至高斯平面高斯投影
《控制测量》第13讲将地面观测的方向值归算至高斯面概要
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，以中央子午线和 赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。 x x
500Km
B
xB
xA
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
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（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x 坐标都是正的， y 坐标的最大值（在 赤道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 =19 123 456.789m，该点位于 Y 6 带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是： 首先去掉带号，再减去500000m,最后得 =376 543.211m。
地图投影的方式
等角投影——投影前后的角度相等，但长度和面积有变形； 等距投影——投影前后的长度相等，但角度和面积有变形; 等积投影——投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。
第8章 椭球面元素归算至高斯平面——高斯投影
（2）分带投影
高斯投影 6 带：自 0 子午线起每隔经差 6 自西向东分带，依次编号 1,2,3,…。我国 6 带中央子午线的经度，由75 起每隔 6 而至135 , 共计 L 0 表示，它 11带（13～23带），带号用 n表示，中央子午线的经度用 6 n 3,如下图所示。 们的关系是 L 0
x
x
500Km
B
xA
xB
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x坐标都是正的，y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位于19带 内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首 先去掉带号，再减去500000m,最后得 y =-376 543.211m。
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8.2
正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图a为椭球面，图b为它 在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点P1和 P2，投影后为P1′ p2 dS 和 ，其坐标均已注在图上， 为大地线的微分弧长，其方位角为 。 A 在投影面上，建立如图 b所示的坐标系， 的投影弧长为 。 ds dS
8.3 高斯平面直角坐标系与大地坐标系
1 高斯投影坐标正算公式
（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标 L, B ，求该点 L , B ( x , y )的坐标变换。 在高斯投影平面上的直角坐标 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为（l ,B）及（-l ,B），式中 l为椭球面上 P点的经度与中央子 l LL 午线( L 0 ) 的经度差： , P点在中央子午线之东, l 为正，在 0 , y) 和 P 西则为负，则投影后的平面坐标一定 为 P x , y ) 。 1(x 2(
高斯投影计算
确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
高斯投影及计算
x y y 2 - 1= y
C
2dδ
ε 2
2dδ
δ21
dξ
B
dδ dσ
DA
Tδ12
1
y
x B′
y A′
B dδ
A dδ
η
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 二、方向改正计算 • 方向改正——正形投影后，椭球面上大地线投影
到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正δ。 • 适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式
2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面， 然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进 行平差计算，求解各点的平面直角坐标。
高斯投影计算内容
归算
解算
椭球面
大地坐标
高斯投影 坐标公式
两
种
地面观测数据
方
高斯直角 平面坐标
法
归算
椭球面
高斯平面
归算
解算平面三角形
平差计算
高斯投影计பைடு நூலகம்内容
Vy 2 项。
项y，4m
西(Cauchy)—黎曼(Riemann)条件，式中，f代 表任意解析函数。
x iy f (q il)
高斯投影坐标计算
• 高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x， y）
• 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B， L）
高斯投影坐标计算
大地经度L是从起始子午面开始起算的 起始子午线作为投影的中央子午线
上式的计算精度为0.1″。
椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
• 三、距离改正计算
• 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投
影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
椭球面元素归算至高斯平面详解
长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
AB E A m AB EA
有关投影的基本知识（了解）
• 1、地图投影的概念
在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集 间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就 是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应 关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地 球表面上的经纬线网表示到平面上。由于地球椭球体表面 是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时 首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即 把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这 种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所 以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或 褶皱的平面。
S
UTM与高斯投影的异同：
（1）UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。 （2）UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形 规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m＝1的地方 是在割线上，实际上是一个圆，处在正负1°40′的位置，距离中央经线大 约180km。 （3）UTM投影在中央经线上，投影变形系数m＝0.9996，而高斯投影的 中央经线投影的变形系数m＝1。 （4）UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用6°分带。但起始的1带 是（e174°－e180°），所以，UTM的6°分带的带号比高斯的大30。 （5）很重要的一点， 高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是： XUTM=0.9996 * X高斯 YUTM=0.9996 * Y高斯 这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。
[知识点及学习要求]
1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
第8章 椭球面元素归算至高斯平面——高斯投影
高斯投影 3 带：它的中央子午线一部分同 6 带中央子午线重合，一部 L表示 3 带中 分同 6 带的分界子午线重合，如用 n 表示3 带的带号， 下图所示。我国 3 带共计22带 央子午线经度，它们的关系L3 n （24～45带）。
（3）高斯平面直角坐标系
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午 线和赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。
x
x
500Km
B
xA
xB
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x坐标都是正的，y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位于19带 内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首 先去掉带号，再减去500000m,最后得 y =-376 543.211m。
（4）计算公式
N N 2 3 2 2 4 x X 2sin B l 4sin B cos B ( 5 t 9 ) l 2 2 N N N 2 2 3 5 2 4 5 y cos B l 3B ( 1 t ) l cos B ( 5 18 t t ) l 5 6 120
—称柯西-黎曼条件：
x q x l y l y q
平面正形投影到椭球面上的一般条件：
第八章将地面的测量元素归算至高斯
、 表示垂线偏差在子午圈、卯酉圈的分量，则：
1 ( sin A cos A)tg1
说明：δ的量值很小，只有一、二等三角测量 （或导线）才进行此项改正。
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2.标高差改正
这是一项由照准点的高度而引 起的改正。 产生的原因：由于A、B两点 的法线不共面。如果B点高出 椭球面，照准面就不能通过B 点法线同椭球面的交点。 解决方法：进行标高差改正：
投影改正；
弧化弦改正。
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习题
已知数值：
D=34884.181m， B1=30°33′， A12=129°35′， H1=3930.35m， H2=3879.54m。 常数值：
a=6378245m e2=0.00669342
e′2=0.00673852 求解：RA=6371440m
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小结
将地面上的方向观测值归算至椭球面需加入
三项改正（即三差改正）：
标高差改正；
垂线偏差改正；
截面差改正。
将地面上的长度归算至椭球面一般需加入：
倾斜改正；
椭球面上任意一点A，其大地坐标为（L，B）， 投影后在平面上有一对应点a，其平面坐标为 （x，y）
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8.4 高斯投影的分带
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8.4.1 为什么要分带
控制测量复习及答案
作业：1．电磁波测距仪有哪些分类方法？各是如何分类的?电磁波测距仪的分类1）按测程分：短程（小于3km）、中程(3-15km)、远程(大于15km)。
2）按传播时间t 的测定方法分：脉冲法测距、相位法测距。
3）按测距仪所使用的光源分：普通光源、红外光源、激光光源。
4）按载波数分：单载波（可见光、红外光、微波），双载波（可见光，可见光；可见光，红外光），三载波（可见光，可见光，微波;可见光,红外光,微波）5）按反射目标分：漫反射目标（非合作目标），合作目标（平面反射镜，棱镜），有源反射器（同频载波应答机，非同频载波应答机）。
2．为什么电磁波测距仪一般都采用两个以上的测尺频率？利用单一频率能否进行距离测量？为什么？用两个或三个测尺频率，其中一个精测尺频率，用它测定待测距离的尾数部分，保证测距精度。
其余的为粗测尺频率，用它测定距离的概值，满足测程要求。
利用单一频率只能测距离的尾数部分，因测相精度只能达千分之一，距离有多值性。
作业：1.高程测量的方法高程测量的方法：水准测量、三角高程测量、GPS高程测量、气压高程测量、液体静力水准测量2.高程基准面就是地面点高程的统一起算面。
由于大地水准面所形成的形体——大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。
3.水准原点用作国家高程控制网起算的水准测量基准点。
为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，必须建立稳固的作为传递高程的起算点，这个固定点称为水准原点。
4.1956年黄海高程系统与1985国家高程系统的异同点我国的水准原点网建于青岛附近，其网点设置在地壳比较稳定、质地坚硬的花岗岩基岩上，水准原点网由主点——原点、参考点和附点共6个点组成。
1956年黄海高程基准:水准原点的高程为72.289m1985国家高程基准：水准原点的高程为72.260m。
5.高程系统有哪些？我国采用哪个？有正高高程系统、正常高高程系统、力高高程系统和大地高程等系统。
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
高斯正形等角投影
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
方向改化
（2）方向改化计算公式
• 球面角超公式为：
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
• 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
• 式中
ab
2R2
ym (xa
xb )
ba
2R2
ym (xa
xb )
ym
1 2
( ya
yb
)
，为a、b两点的y坐标的自然平均值
第三部分
距离改化
距离改化
1、距离改正数
距离改化计算 S
• 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平 面上相应的弦线长度
• 如图所示，设椭球体上有两点 P1, P2 及其大地线S，在高斯投影 面上的投影为 P1P2 长度为s；连接 P1, P2 两点的直线距离为D；
Nf
y2
y
tan B f
1
3N
3 f
(1
t
2 f
2 f
)
上式计算精度可达1“ 如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：
Nf
yt f
y 2
3N
3 f
t
f
(1
t
2 f
2 f
)
y 15N
5
5 f
t
f
(2
5t
2 f
3t
4 f
)
第二部分
方向改化
方向改化
（1）方向改化分析
• 方向改化值 ab ：椭球面上大地线AB方向改
将椭球面上的元素化算至高斯平面
一、平面子午线收敛角计算公式
2、公式推导
1）由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角γ的公式
x
tan r
d d
x y
l y
l
条件：B=常数，dB=0
由高斯投影正算公式，可以得到：
第10页/共31页
经整理得平面子午线收敛角计算公式
sin B l 1 sin B cos2 Bl3(1 3 2 2 4 )
A
3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上 的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方 向的曲率改化即方向改化来实现的。
第7页/共31页
▪椭球面三角系归算到高斯投影面的计算
4) 将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯 平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化Δs 实现的。
因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐 标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项 计算工作。
3、什么是高斯投影坐标正、反算？
4、高斯投影必须满足以下三个条件
(1)中央子午线投影后为直线，两侧的投影对称于中央子午线
(2) (3)投影具有正形性质，即正形投影条件 y x , x y
l q l q
5、高斯投影坐标正算推导思路
• 由第一个条件可知：
x m0 m2l 2 m4l 4
• 由第三个条件可知：
▪ 当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将 各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐 标的邻带换算。
第8页/共31页
§4.9.5-7 将椭球面上的元素化算至高斯平面 一、平面子午线收敛角计算公式
1、平面子午线收敛角的定义 过某点的子午线切线与坐标纵轴 正向之间的夹角 计算平面子午线收敛角的意义：
A
椭球面元素归算至高斯平面(高斯投影)-93页文档资料
17 /47将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离 改正和子午线收敛角等项计算工作。
5.2 高斯投影坐标正反算
第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（x、y）;
1 2
第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B, L）。
3 4
一、高斯投影坐标正算公式
5
6
7 8
高斯投影必须满足以下三个条件：
5 /4均7 大于l。
(7)离中央子午线愈远，长度变形愈大。
3、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º
1 2
进行投影分带。
3 4
6º带自首子午线开始，
5 按6º的经差自西向东分成
6 7
60个带。
8 9
3º带自1.5 º开始，按3º
10 的经差自西向东分成120个
带。
6 /47
高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
1高890 斯其中投他央子影子午午面线线上和和：平赤行道圈分均别变为为直曲线线ON。'及OE ' ，
P'N'是PN的投影，P' P 1'是PP1的投影； P'的直角坐标为（x,y）； 14/4因7 是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。 三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边
6
2 f
8
2 f
t
2 f
垂足纬度。 其值由子午线
2弧2 /长47计算公式反
算求得
5.3 高斯投影坐标计算的实用公式
1. 正算实用公式
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
23 /47
大地测量学作业
⼤地测量学作业名词解释1.岁差地球绕地轴旋转，可以看做巨⼤的陀螺旋转，由于⽇、⽉等天体的影响，类似于旋转陀螺在重⼒场中的进动，地球的旋转轴在空间围绕黄极发⽣缓慢旋转，形成⼀个倒圆锥体，其锥⾓等于黄⾚交⾓23.5度，旋转周期为26000年，这种运动称为岁差2.章动⽉球绕地球旋转的轨道⽩道对于黄道约5度的倾斜，使得⽉球引⼒产⽣的转矩的⼤⼩和⽅向不断变化，从⽽导致地球旋转轴在岁差的基础上叠加18.6年的短周期圆周运动，振幅9.21秒，这种现象称为章动。
3.极移地球⾃转轴除了岁差和章动外，还存在相对于地球体⾃⾝内部结构的相对位置变化，从⽽导致极点在地球表⾯上的位置随时间⽽变化，这种现象称为极移。
时间系统基准计量依据恒星时以春分点为参考点的地球⾃转世界时以太阳为参考点的地球⾃转历书时、⼒学时地球公转原⼦时、卫星定位系统时间原⼦钟（物质内部原⼦运动特征为基础）世界协调时原⼦钟+闰秒4.⼤地基准⽤以代表地球形体的旋转椭球，建⽴⼤地基准就是求顶旋转椭球的参数及其定向（椭球旋转轴平⾏于地球的旋转轴，椭球的起始⼦午⾯平⾏于地球的起始⼦午⾯）和定位（旋转椭球中⼼与地球中⼼的相对关系）5.天球以地球质⼼为中⼼，以⽆穷⼤为半径的假想球体称为天球6.⼤地经度⼤地坐标系中，点P的⼦午⾯与起始⼦午⾯所构成的⼆⾯⾓L，叫做P点的⼤地经度。
7.⼤地纬度P点法线Pn与⾚道⾯的夹⾓B，称为P点的⼤地纬度。
8.参考椭球具有确定参数（长半轴和扁率），经过局部定位和定向，同某⼀地区⼤地⽔准⾯最佳拟合的地球椭球9.总地球椭球满⾜地⼼定位和双平⾏条件，在确定地球参数时能使它在全球范围内与⼤地体最密合的地球椭球。
10.地⼼坐标系以总地球椭球为基准（1）地⼼空间直⾓坐标系原点O与地球质⼼重合，Z轴指向地球北极，X轴指向格林尼治平均⼦午⾯与地球⾚道的交点，Y轴垂直于XOZ平⾯构成右⼿坐标系。
（2）地⼼⼤地坐标系地球椭球的中⼼与地球质⼼重合，椭球⾯与⼤地⽔准⾯在全球范围内最佳符合，椭球的短轴与地球⾃转轴重合（过地球质⼼并指向北极），⼤地纬度为过地⾯点的椭球法线与椭球⾚道⾯的夹⾓，⼤地经度为过地⾯点的椭球⼦午⾯与格林尼治的⼤地⼦午⾯之间的夹⾓，⼤地⾼为地⾯点沿椭球法线⾄椭球⾯的距离。
控制测量学椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算7.4.1 概述由于高斯投影是正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。
为了在平面上利用平面三角学公式进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。
控制网归算到高斯平面上的内容有：（1）起算点大地坐标的归算——将起算点大地坐标),(B L 归算为高斯平面直角坐标),(y x 。
（2）起算方向角的归算。
（3）距离改化计算——椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平面上相应的弦线长度。
（4）方向改计算——椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应的弦线方向值。
7.4.2 方向改化（1）概念如图所示，若将椭球面上的大地线AB 方向改化为平面上的弦线ab 方向，其相差一个角值ab δ,即称为方向改化值。
（2）方向改化的过程如图所示，若将大地线AB 方向改化为弦线ab 方向。
过A ,B 点，在球面上各作一大圆弧与轴子午线正交，其交点分别为D ,E ，它们在投影面上的投影分别为ad 和be 。
由于是把地球近似看成球，故ad 和be 都是垂直于x 轴的直线。
在a ,b 点上的方向改化分别为ab δ和ba δ。
当大地线长度不大于10km ，y 坐标不大于l00km时，二者之差不大于0.05"，因而可近似认为ab δ=ba δ。
（3）计算公式 球面角超公式为：2)()(2b a b a y y y x R+-''=''ρε适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-''-=-''=)(2)(222b a m bab a m ab x x y R x x y Rρδρδ式中)(21b a my y y +=，为a 、b 两点的y 坐标的自然的平均值。
7.4.3 距离改化（1）概念如图所示，设椭球体上有两点21,P P 及其大地线S ，在高斯投影面上的投影为21,P P ''及s 。
计算器计算高斯投影坐标程序的编辑与应用
计算器计算高斯投影坐标程序的编辑与应用摘要本文主要介绍多功能计算器计算高斯投影坐标程序串的编辑和应用,此文对广大贫困地区的广大工程技术人员一定有所裨益和帮助。
关键词高斯投影;正算反算;程序串;应用高斯投影,又称高斯-克吕格投影,也称横轴椭圆柱等角投影,就是将椭球面元素归算至高斯平面,其计算过程虽然比较复杂,随着计算机技术广泛使用,尤其是微型计算机技术和多功能函数计算器技术的广泛应用,解决这类数学问题,已是非常容易,本文将围绕多功能计算器讨论解算高斯投影坐标问题,电子计算机等计算内容不与涉及,虽然多功能计算器内存低,但若将其计算公式在一定的范围内进行适当的化简就可取代计算机而进行相同精度的计算,多功能计算器其优势为体积小,轻便,计算简捷,价格低等(200~500元/台)。
1 高斯投影正反算公式1.1 高斯投影正算即由大地坐标(B、L),计算平面坐标(x、y)(本文采用克拉索夫基斯椭球参数),正算公式如下:B为纬度,L为经度,N:卯酉圈曲率半径。
该公式的计算精度,即平面坐标可达0. 001m1.2 高斯投影反算即由平面坐标(x,y)计算大地坐标(B,L)(采用克拉索夫斯基椭球参数)。
反算公式如下:该公式的计算精度,即大地坐标可达0.0001″2 高斯投影坐标程序串编写由于多功能电子计算器内存一般较小,为利用实际内存,减少字节量输入,本文只把大地坐标(B、L)或平面坐标(X、Y)数据互列函数,其他除了所求平面坐标(X、Y)或大地坐标(B、L)外,其它均设为过渡函数,按要求分配到计算器的各个子程序中(考虑到计算器的功能和字母表示的意义,各个不同字母所表示的字符串的意义不同)。
2.1 高斯投影坐标正算程序串2.2 高斯投影坐标反算程序串3 高斯投影坐标计算程序的应用(以CASIO-fx-4500PA为例)3.1 正算已知B=31°04′41.68″L=111°47′24.90″求得x=3439978.970Y=19575412.872。
第17次课椭球面元素归算至高斯平面
6 Rm
2
3 2 ym m tm ( x2 x1 )(2 y1 y 2 ) ( y2 y1 ) y m 2 3 Rm Rm
6 Rm
2
3 2 ym m tm ( x2 x1 )(2 y 2 y1 ) ( y 2 y1 ) y m 2 3 Rm Rm
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
4、椭球面三角网归算到高斯平面的计算内容 x
N
D12
A12 S12 P 1 ( B1 , L1 )
T12
12
P 1 ( x1 , y1 )
13
o
① P P 1 ( B1 , L1 ) 1 ( x1 , y1 )
已知数据归算:
A12 S12
y
④ 12 , 13 , 21, 23
o
y
T12 12 (1 L1 ) sin 1 1 12
四、距离改正 Distance correction
1、长度比公式 proportion of length
x 2 y ) ( )2 G l m 2 2 l 2 2 r N cos B (
长度变形
② ③
T12 D12
观测数据归算:
二、方向改正 Direction correction
1、定义
definition
椭球面上两点间的大地线方向，归算到高斯投影平面上相应两点间 直线方向所加的改正，也称曲率改正。
2、公式推导 Formula derivation
近似公式:适用于三、四等大地测量计算
二、方向改正
计算：由大地坐标或平面坐标计算。
[16][ch6][椭球面元素归算至高斯平面1]28页PPT
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x
地子午线）北端所指的方
向，即指向椭球北极的方
向。
真方位角：高斯投影平面
上过某点的真北方向与大
地线投影线的夹角。
o
y
一、椭球面三角网归算至高斯平面
2、坐标北方向与坐标方位角
坐标北方向：高斯平面上 x 过某点平行于纵坐标轴的 直线北端所指的方向。
坐标方位角：高斯平面上
过该点的坐标北方向与某
一直线方向的夹角，从坐
ta ns iB n l1s iB n c o 2B (s1t23 22 4)l3
3 1s iB n c o 4B (s24t22t4)l5
15 令 taγnx,则 γarcxtaxn1x31x5
35
l sB [ i 1 n l 2 3 c 2 2 B o ( 1 3 s 2 2 4 ) l 1 4 c 4 4 B 5 o ( 2 t s 2 )]
二、方向改正
2、公式推导 近似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1"
近1似公式：适用于三、四等三角测量计算0.1" P2(y1 y2)(x2 x1)
ym(x2 x1)
ym(x2 2Rm2
x1)
ym(x2 x1)
2Rm2
3 6 0 3 怎么 6 计1 0 算 2 ？21
1221
产生原因：除中央子午线 以外所有子午线投影后都 是曲线。
计算：由大地坐标（B，L） 或平面坐标计算。
x y由tyxX aN n大7γcN N ff212地oN (2(dqdq0sB sc,坐yx,slli))onilB n标5B sB ccN （6(o5oc5B sB B s，o1(36sl8LtB 221）( 15 2计tN4t84t 2算s2 1 in平4tB422c)面)ll63o子53sB 8午(25t线2)tl收25敛9角204.004)1l"4
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测绘工程系
5.1 高斯投影概述
1 一、长度比
2 3 4 5 6 7 或者 8 9
10
2 /4 长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。
7
二、高斯投影的基本概念
高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。
1 2 3 4
高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯 (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克 吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高
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2
3
4
5
6
7
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（4）确定平面三角形各边坐标方位角a。
10
16 /4 7
（5）确定平面三角形各边长。
2、将椭球面三角系化算到高斯 投影面的主要内容
(1)高斯投影坐标计算
1 将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；根
2 3
据（x,y）反算（B,L）。
4(2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算
长)，且曲线都凹向纵坐标轴;
1、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析
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4
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6
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9
10
（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必
须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；
（2）根据始点P的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正
15 /4
算公式；
7 （3）反算公式；
1、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析
5
斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”。
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7
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9
10
3 /4 7
1、高斯投影的原理
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，
分别进行投影。
高斯投影平面
1
2
3
N
4
5 6
中 央 子
7 8
午 线
赤道
c
9
赤道
10
S
4 /4 7
2、高斯投影的特点
(1)中央子午线投影后为直线，且长度不
变。
x
(12)除中央子午线外，其余子午线的投影
1
由下式计算：
2 3 4
N int( L) 1 6
5 6
若已知某点的经度为L，则该点所在3º带的带
7 号按下式计算：
8
9
10
n L（四舍五入）
3
9 /4 7
4、高斯平面直角坐标系的建立
x轴 — 中央子午线的投影
1
2 y轴 — 赤道的投影
3
4 原点O — 两轴的交点
5
6 7
注：X轴向北为正，
赤道
5 /4均大于l。
7
(7)离中央子午线愈远，长度变形愈大。
3、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º
1 2
进行投影分带。
3 4
6º带自首子午线开始，
5 按6º的经差自西向东分成
6 7
60个带。
8 9
3º带自1.5 º开始，按3º
10 的经差自西向东分成120个
带。
6 /4 7
高斯投影带划分
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
4
例：20带中央子午线的经度为：
5 6
L。＝6º× 20－3º＝117 º
7
8 9
10
按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
L。=3ºn （n为3º带的带号）
例：120带中央子午线的经度为
8 /4
L。＝3º× 120＝360 º
7
若已知某点的经度为L，则该点的6º带的带号N
（1）第19带
9 （2）L。=6º×19-3º=111˚
10 （3）y＝367622.380-500000＝-132377.620m，在西侧）
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
12 /4 7
三、椭球面三角系化算到高斯平面
1 2 3 4 5 6 7 椭8 球面内（中央子午线ON，赤道OE） 1➢90三起角始网点PPK大T地M坐Q：标（B,l），l=L-L0，
L、L0分别为P和轴子午线的大地经度； 13➢➢➢/74起PPCP始1为为边垂过P直KP点于=S平中；行央起圈子始，午边P线的1的点大大的地地大方线地位，坐角C标A点（PK大B；地,l =坐0）标；（B0,l =0）；
➢ X为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。
三、椭球面三角系化算到高斯平面
1 2 3 4 5 6 7
格网。保证了控制点间的互相应用，地图的顺利拼接和使用。
例：有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622．380m，
1 （1）该点位于6˚ 带的第几带？
2 3
（2）该带中央子午线经度是多少？
4 （3）该点在中央子午线的哪一侧？该点距中央子午线
5 6
和赤道的距离为多少？
7 8
5 边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。
1
2
3
4
5
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3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午
线重合，减少了换带计算。
工程测量采用3 º带
7 /4 7
特殊工程可采用1.5 º带或任意带
按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度
1 为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
2 3
L。=6ºN－3º （N为6º带的带号）
8 9
y轴向东为正。
10
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
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中央子午线
由于我国的位于北半
球，东西横跨12个6º带，
1 各带又独自构成直角坐
2 标系。
3
4
故：X值均为正，
5 6
而Y值则有正有负。
789为冠了以免带出号现。负这的种横坐坐标标称， 为在 国横 家坐 统标 一上 坐加 标上 。500 000m。此外还在坐标前面再
10 例如：有一点Y = 19 123 456. 789m，该点位在19°带内，其相对于中央
子午线的坐标y=376 543. 211m。
为了把各带联成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一
11 /46°带向东加宽30'，向西加宽15’或7.5‘. 7 这样在带边缘，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里
高8 斯投影面上：
1➢90 中央子午线和赤道分别为直线ON '及OE ' ， 其他子午线和平行圈均变为曲线。
➢ P'N'是PN的投影，P' P 1'是PP1的投影； ➢ P'的直角坐标为（x,y）； 14➢/4因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。 ➢7 三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边
2 3
均为凹向中央子午线的曲线，并以中
平行圈
4 央子午线为对称轴。投影后有长度变
5 形。
(763)赤道线投影后为直线，有长度变形
赤道
O
y
(84)除赤道外的其余纬线，投影后为凸向
9
10
赤道的曲线，并以赤道为对称轴。
子午线
(5)经线与纬线投影后仍然保持正交。 (6)所有长度变形的线段，其长度变形比 中央子午线