一次函数和二次函数的图像与性质
高一数学一次函数和二次函数
即有k=m-2
解得，
0, 并且1-2m
0
m2
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能够灵活机动，只轻轻一转，就“轻而易举”地打开了锁。对于一般的事物、问题而言，这里的“心”是指事物的关键之处、问题的症结所在；对于人的思想、情感而言，“心” 是指隐秘之处的思想和情感。“铁棒”天生不是开锁的料，只会砸“锁”、撬“锁”。我们可以把它理解为没有抓住事物的关键或问题的症结，不讲科学、不讲技巧的蛮干。它也想开锁，只是采用的方式不正确，可见解决问题应追求合理的途径。参考拟题：开锁的启示、科学方法与科学 精神。 ? 25.阅读下面的文字，根据要求作文。 非洲加纳的库马西有一所寄宿学校。一天早上，一位老师走进教室，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，你们看到什么了？”学生们齐声回答：“一个黑点。” 老师说：“不对！你们再看看，难道你们谁也没看到这是 一张白纸吗？”接着，老师语重心长地说：“在今后的生活中，你们可不要这样看人看事物啊！” 老师关于这张“白纸”的教导，一直铭刻在一个当时年仅17岁的学生的脑海深处。当年的这位学生就是现在的联合国秘书长科菲?安南。 请以“白纸与黑点”为话题写一篇文章。题目自拟， 文体自选，立意自定，不少于800字。 ? [写作提示]在这个硝烟不断，危机纷起，恐怖分子无孔不入，时刻都有意想不到的灾难发生的世界里，身为联合国秘书长的安南先生时时体味当年老师关于“白纸与黑点”的谆谆教诲，仍然乐观地看到这张虽有许多“黑点”的“白纸”的美丽。其 实，我们也常常遇到这样被染上了“黑点”的“白纸”。比如患过错误的同志，比如有许多毛病的同事……我们应该认真品味这位非洲老师的“黑点与白纸”的故事，从中领悟这样的道理：看人应当首先看“一张白纸”，即看人的主流，看人的优点，对别人的身上的“黑点”应当懂得宽 容、包涵，求同存异，不要只注意别人的“黑点”而刻意挑剔甚至吹毛求疵。 ? 26.阅读下面的文字，根据要求作文。 ? 比，是人人皆有的心态，所不同的是比的内容和方法因人而异：有的比吃比穿、比车比房，有的比成就、比贡献。比，又是我们认识事物的常用方法，拿中国古代的 文明和其他国家比，我们会比出自豪和勇气。拿我们现在的科技与发达国家比，我们比出了落后和清醒。但是，并不是人人都会正确运用比的。 请以“比”为话题，写一篇文章，文体自定，文题自拟，不少于800字。 ? [写作提示]这是一种提示性的话题作文，提示语中列举了一些常见 的“比”的内容和“比”的方法，目的是为了打开同学们的思路。你完全可以从中选择你熟悉的内容来写，但是也不必拘泥于提示的方面，还可以在更广阔的领域寻觅“比”的新鲜内容。但是值得注意的是：选择可比的事物必须是同一范畴的事物，要通过现象或形式异同的比较，概括出 可比点来；罗列差异不是目的，目的是通过差异来说明问题，所以，重点要放在对问题的分析上。 ? 27.阅读下面的文字，根据要求作文。 ? 一天，上帝带着一个教士来到地狱，教士发现地狱中的人们围着一口盛满粥的大锅端坐着。虽然他们每人都有一把长柄勺子，但由于勺柄太长， 他们谁也无法将食物送到自己的嘴里去，只能挨饿。上帝又带着教士来到天堂，这里的人们看上去既快乐又满足，虽然他们也是围着一口大锅，每人手里也拿一把长柄勺子。上帝见教士迷惑不解，便对他说：“难道你没看出来这里的人都学会喂对方了吗？” 请以“合作”为话题，写一 篇作文，所写内容必须在这个话题范围之内。 立意自定，题目自拟，写一篇不少于800字的议。 [写作提示] “合作”即互相配合做某事或共同完成某项任务。随着科学技术的突飞猛进和信息社会的高度发展，合作显得越来越重要。因为科技越发达，分支科学越繁多，社会分工就越精细， 而个人的智力、知识面是有限的，因此，加强合作，取长补短，优势互补，已越来越成为时代的要求。论重点应放在“为什么要进行合作”上，用摆事实，讲道理的方法来明合作的必要，可以引用名言阐述合作的必要，也可以举例明合作带来的各种好处，还可以从反面明不合作带来的弊 端，要用辩的方法，分析要全面，理由要充足，最后还要指出解决问题的办法，即合作的途径。如写议，论角度有“合作是成功的土壤”“合作是人类生存的必需”“个人离不开集体”“团结互助才能由弱变强”“协作就是力量”“团队精神”“优势互补、共同发展”等。 ? 28.阅读下 面的文字，按要求作文。 水，滋润万物，是生命之源； 暴雨倾盆，江河泛滥，也会带来灾难。 水，看似柔弱，却能把坚石滴穿； 汇成洪流，更可穿峡破谷，一往无前。 水，演绎出多少可歌可泣的故事， 流淌着古往今来多少悲欢…… 请以“水的联想”为题，写一篇文章。除诗歌外， 文体自选，不少于800字。 [写作提示]本题主要考查学生的联想、想象能力。具体的写作思路有：根据作文材料的提示，写水既可滋润万物、孕育生命，也会吞噬生灵、造成灾难；或者由水“能把坚石滴穿”“更可穿峡破谷”，阐发水的力量及水的精神；或者由人不能没有水，自然不能 没有水发挥开来，呼唤保护水资源。联想水的其他特点，比如，自己活动，并能推动别人的，是水；经常探求自己方向的，是水；以自己的清洁洗净他人的污浊，有容清纳浊的度量的，是水；能蒸发为云，变成雨、雪、雾，或凝结成晶莹如镜的冰，但不论变化如何，仍不失其本性的，还 是水……然后找到人与水的相似点，构思成篇。 ? 29.阅读下面一则材料，按要求作文。 林语堂先生说：中国人的脸，不但可以洗，可以刮，还可以争，可以留，有时好像争面子是人生的第一要义，甚至可以倾家荡产而为之。对此，你或许也有一些认识或经历。请以“面子”为话题， 写一篇文章，不少于800字，题目自拟，文体自选。 ? [写作提示]中国人爱争面子，在国人看来，面子是人们身份的标志，有面子是才干的表现。面子关系着人的尊严、荣誉。但是，为了面子而不顾实际，为了形象而不顾人的死活，却是当前某些人的一种通病。 面子关乎人们的尊严、 荣辱，当然要讲，特别是在大是大非面前，要面子就是讲尊严。但是，面子不等于虚荣心，不能“死要面子活受罪”，更不能为了所谓的政绩而劳民伤财、弄虚作假。有时候，勇于暴露自己的缺点，恰恰是给自己争来了面子。我们要的是表里如一、形式内容相统一的面子。 30.阅读下面 一则材料，按要求作文。 “美国宗教精神病学基金会”创始人之一的伯兰特医生曾录下他与几位患有不同程度心理疾病的病人的谈话，通过研究，他发现这些人总在不停地重复这类话：“如果当时那样多好”“只要我再如何如何，就不会如何如何”。他由此告诫人们说：“这些想法就 像毒药，它们会使你患上心理疾病。你必须学会说‘下次再来’。因为这句话指向未来，指向新的一天，它会让你受伤的心痊愈，会带给你健康的心灵。” 请以“着眼未来”为话题写一篇文章，自拟题目，自定文体，不少于800字。 [写作提示]“着眼未来”这个话题是要人们学会正确 对待现实生活中的各种困境、挫折等问题，学会摆脱不良情绪，拥有健康快乐的人生。它其实是在倡导一种积极乐观的人生态度。考生可据此展开联想：或儒或道，或穷或达、或成或败……人生其实不外乎积极有为和消极避世两种，在考虑选材时不必受“心理疾病”这个概念束缚，这样 难度就会减小。如果选取的视角新颖，对社会现象、现实人生的评判独特，自然会写出不一般的文章来。 ? 31.阅读下面材料，请以“人的价值”为话题写作文，立意自定，文体自选，题目自拟。不少于800字。 一个年轻人对智者说：“老师，我觉得自己什么事也干不好。没有人看重我， 我该怎么办呢？” 智者从手指上脱下一枚戒指交给年轻人说：“你到集市上把这枚戒指卖了，无论如何不能少于1个金币。” 年轻人到了集市上，到处兜售戒指，但没人肯出1个金币。 年轻人说：“老师，对不起，我没能达到你的要求。也许我可以卖到两个或3个银币，但我觉得那不应 该是这枚戒指的真正价值。” “年轻朋友，你说得太对了。”智者笑着说，“你再去一趟珠宝店，问他能出多少钱，但不要真卖戒指，问完价格你再带戒指回来。” 珠宝商仔细看了看戒指后说：“告诉你的老师，如果他想卖戒指，我最多可以给他58个金币。” “58个金币！”年轻人 惊呼。“对。”珠宝商说，“如果不着急的话，我可以出70个金币……” 年轻人兴奋地跑回去，将发生的一切告诉智者。智者说：“你就像这枚戒指，珍贵、独一无二，只有专家才能真正判定你的价值。你怎能期望生活中随便一个人就能发现你真正的价值呢。”智者说着将戒指套回手 上，“我们所有人都像这枚戒指，珍贵，独一无二；不过，我们进入生活的市场后却希望毫无经验的人肯定我们的价值。” [写作提示]人们都希望自己的价值被肯定，但几乎也都希望被别人肯定，特别是由此自己的感情就被别人左右了，直到自己终生一事无成，这是可悲的。人首先应 该有自知之明，清楚自己的能力和努力方向；然后排除干扰，一往无前。有掌声的人生是美丽的；没有掌声的人生，只要自觉无悔，也是美丽的。 32.阅读下面材料，根据要求作文。 那是上世纪70年代的一场比赛。 在比赛进行到第14个回合时，拳王阿里已经筋疲力尽，濒临崩溃，到了 如有一片羽毛落在他身上也能让他轰然倒地的地步。但阿里仍竭力保持坚毅的表情和势不低头的气势。这时，拳坛另一猛将弗雷泽支持不住，放弃了。裁判当即宣布阿里获胜，阿里再次获得“拳王”的美誉。 获胜的阿里还没走到台中央，便眼前一黑，双腿无力地跪倒在地。弗雷泽见此 后悔莫及。 这次比赛的结果告诉我们：很多人的失败，不是败在技术、智力和能力，而是败在意志力的丧失和最后一刻的自我放弃。 瞬间的放弃，导致了心中永恒的伤痛，生活中这类事例或教训难道还少吗？请以“瞬间与永恒”为话题写一篇作文。立意自定，文体自选，题目自拟，不 少于800字。 [写作提示]这一话题可以从两方面理解：其一，瞬间可以成就永恒。例如，“神六”上天的瞬间，航天员庄重而灿烂的微笑留在了历史的永恒之中。其二，瞬间也可以毁灭永恒。如果弗雷泽最后一刻没有坚持住，将给人们留下永远的遗憾。作文时应
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
一次函数与二次函数的性质及其像
一次函数与二次函数的性质及其像一次函数和二次函数在数学中扮演着重要的角色。
本文将探讨一次函数和二次函数的性质以及它们的像。
我们将首先介绍一次函数，然后转向二次函数，并详细讨论两者的相似之处和不同之处。
一、一次函数（线性函数）一次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于零。
一次函数的图像是一条直线，直线的斜率为a，截距为b。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距则表示了直线与y轴的交点。
一次函数的性质：1. 直线的斜率决定了函数的增减性。
当斜率大于零时，函数单调递增；当斜率小于零时，函数单调递减。
2. 零点是一次函数的特殊点，即f(x) = 0的解。
零点表示函数与x轴的交点，也就是函数的根。
3. 一次函数的图像是一条直线，因此没有曲线部分。
4. 一次函数的像是一条直线。
二、二次函数（抛物线函数）二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数，且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，抛物线可能开口向上（a>0）或向下（a<0），具体取决于二次函数的开口方向。
二次函数的性质：1. 抛物线的顶点是二次函数的特殊点，即顶点的横坐标为 -b/2a。
顶点表示抛物线的最高或最低点。
2. 当二次函数的a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的轴对称线是与抛物线关于该线对称的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 二次函数的像是一条抛物线。
一次函数与二次函数的相似之处：1. 一次函数和二次函数都是多项式函数的特殊形式。
2. 一次函数和二次函数都是连续函数，其图像没有间断。
3. 一次函数和二次函数的像都可以用解析式表示。
一次函数与二次函数的不同之处：1. 一次函数是一条直线，而二次函数是一条抛物线。
2. 一次函数的最高次幂是1，而二次函数的最高次幂是2。
3. 一次函数的图像没有曲线部分，而二次函数的图像有曲线部分。
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性质的结合.doc
《初中数学》二次函数与一次函数图像与性
质的结合
在学完二次函数之后或者在中考复习时，经常会碰到下面类型的题:
(一次函数与二次函数的系数中有相同字母)
类型一:给你一个一次函数(二次函数)的图像，判断二次函数(一次函数)图像的位置。
做法:由已知函数的图像判断出系数字母的符号，再看这些字母在另一个函数中的作用，并据此判断出函数图像的位置。
类型二:判断在同一个坐标系中一次函数和二次函数的位置关系。
做法:四个选项可以一个一个看。
先根据一次函数的位置判断未知字母的符号，再对应到二次函数图像上，对应的上，就对；对应不上，就错。
第二题，因为两个函数解析式中只有m这一个未知数，故可以根据m＞0和m＜0分成两种情况判断。
不用一个一个去看了。
第二种类型是常考的。
当学习完反比例函数后，还会有一次函数、二次函数和反比例函数两两结合或三者结合。
做法大同小异。
一次函数与二次函数图像共存及其性质
相关
a、b同号 a、b异号
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c 0 与y轴交于正半轴
c
与y轴交点的纵坐标c c
0 0
与坐标轴交于原点 与y轴交于负半轴
学以致用：
函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）
的图象可能是（C ）
y
y
y
y
1
x o
× A．
1
ox
× B．
o
x
√C．
1
0 0
从左往右上升 从左往右下降
b
与y轴
交
点
的
纵
坐
标
b b
0 0
与y轴交于正半轴 与坐标轴交于原点
b 0 与y轴交于负半轴
二次函数的一般式：y ax2 bx ca 0
二次函数的图像是一条抛物线
a
抛物线开口方向
a a
0 0
开口向上 开口向下
b
与对称轴x
b 2a
二次项系数a
ox
× D．
{ a>0→一次函数上升 + 二次函数开口向上
a相同 a<0→一次函数下降 + 二次函数开口向下
一次函数中常数项是1 →直线与y轴交于 正半轴(0,1) 二次函数中常数项是1 →抛物线与y轴交于正半轴(0,1)
新人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》 §22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像及性质
一次函数与二次函数 图像及其性质
学校：潮州市高级实验学校 授课者：谢骏
知识回顾：
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0) 一次函数的图像是一条直线
二次函数和一次函数知识点
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
一次函数二次函数反比例函数的增区间
一次函数、二次函数和反比例函数是数学中常见的函数类型，它们在图像的增减性质上有着不同的特点。
本文将针对一次函数、二次函数和反比例函数的增区间进行详细分析和比较。
一、一次函数的增区间一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数且a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，它具有以下特点：1. 如果a大于0，表示直线向上倾斜，那么函数的增区间为整个实数集(-∞,+∞)；2. 如果a小于0，表示直线向下倾斜，那么函数的增区间为空集∅。
一次函数的增区间要么是整个实数集，要么是空集，取决于直线的斜率a的正负性。
二、二次函数的增区间二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线，它具有以下特点：1. 如果a大于0，表示抛物线开口朝上，那么函数的增区间为实数集中与顶点的横坐标相等的点构成的单点集{x| x=x0}。
其中，顶点的横坐标x0=-b/2a；2. 如果a小于0，表示抛物线开口朝下，那么函数的增区间为整个实数集(-∞,+∞)。
二次函数的增区间要么是单点集，要么是整个实数集，取决于抛物线开口的方向和顶点的横坐标。
三、反比例函数的增区间反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k为非零常数。
反比例函数的图像是一条对称于第一象限和第三象限的双曲线，它具有以下特点：1. 当k大于0时，函数的增区间为区间(0,+∞)；2. 当k小于0时，函数的增区间为区间(-∞,0)。
反比例函数的增区间取决于常数k的正负性，当k为正时增区间在正半轴，当k为负时增区间在负半轴。
总结：一次函数、二次函数和反比例函数的增区间分别与直线的斜率、抛物线开口的方向和对称轴的正负相关。
对于一次函数和二次函数而言，其增区间可以通过其一般形式中的参数a的正负性来确定，而对于反比例函数，其增区间可以通过函数的常数k的正负性来确定。
通过本文的分析和比较，读者可以更加清晰地理解一次函数、二次函数和反比例函数在增区间上的不同特点。
二次函数与一次函数
二次函数与一次函数二次函数和一次函数是高中数学中的常见函数类型。
本文将从图像、性质和应用三个方面介绍二次函数和一次函数。
一、图像1. 二次函数的图像二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以分为三种情况：情况一：a > 0时，抛物线开口朝上。
此时抛物线的顶点是最小值点。
情况二：a < 0时，抛物线开口朝下。
此时抛物线的顶点是最大值点。
情况三：a = 0时，二次函数退化为一次函数。
2. 一次函数的图像一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为实数且k ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
二、性质1. 二次函数的性质（1）顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
其中f(x)为二次函数。
（2）对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
（3）开口方向：二次函数开口方向由系数a的正负决定。
（4）最值：当抛物线开口朝上时，最小值点为顶点；当抛物线开口朝下时，最大值点为顶点。
2. 一次函数的性质（1）斜率：斜率k表示直线的倾斜程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为0时，直线平行于x 轴。
（2）截距：截距b表示直线与y轴的交点，当x=0时，函数值为b。
三、应用1. 二次函数的应用（1）物体抛体运动：考虑到重力的作用，物体在抛体运动中的轨迹可以由二次函数的图像表示。
（2）开口朝上的喷水池：喷水池的喷水高度可以用二次函数来描述，根据喷水池的造型可以确定二次函数的系数。
2. 一次函数的应用（1）成本与效益分析：通常情况下，成本与效益之间呈线性关系，可以用一次函数进行建模与分析。
（2）人口增长预测：根据过去的人口数据可以用一次函数对未来的人口增长进行预测。
综上所述，二次函数和一次函数在数学中具有重要地位。
一次函数反比例函数二次函数图像及性质
一次函数图象与性质
y=kx+b b≠0)
一
次
函
图象
数
y
b
ox
y
y
y
ox
b
b
o
x
ox
b
k,b的符号
k>0 b>0
k>0
k<0
b<0
b>0
k<0 b<0
（
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
增减性
y随x的增 大而增大
y随x的增 y随x的增 大而增大 大而减少
y随x的增 大而减少
大大不过 四
知识的综合运用：
课外探索与交流：
在同一坐标系中，函数 y
k1 x
和y=k2x+b的
图像大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条 件？说明理由。
A
B
C
D
二次函数的图像 及性质
什么是二次函数
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
3.将直线
y
1 2
x
3向
下
平移
5
个单位可得
直线 y 1 x 2 2。
4.直线y=-x+1与直线y=kx+3平行,则k= -1 .
小结
告诉大家本节课你的收获！ 1.会画:用两点法画一次函数的图象 ２.会求:一次函数与坐标轴的交点
知识小结
1.一次函数y=kx+b的图象是直线 ，我们称它为直线y=kx+，b 它可以看做由直线y=kx平移∣__b_∣_个单位长度而得到。 当_b_>__0__时，向上平移；当__b_<__0_时，向下平移。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
在工程学中，反比例函数、一次函数和二次函数可以用来描 述各种工程问题的数学模型，如结构优化、路径规划等。利 用这些函数的性质和图像，可以进行工程设计和优化，提高 工程质量和效率。
感谢您的观看
THANKS
顶点
二次函数的顶点坐标为 $left(frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
04
图像特征
01
02
03
04
形状
二次函数的图像是一条抛物线 。
位置
根据 $a$、$b$、$c$ 的取值 ，抛物线的位置会有所不同。
与坐标轴的交点
令 $y = 0$ 可求得与 $x$ 轴 的交点，令 $x = 0$ 可求得
05
函数图像比较
图像的平移与伸缩
平移
函数图像在平面直角坐标系中的位置可以通过平移来改变。对于一次函数和二次函数，图像可以沿x轴或y轴进 行平移，而对于反比例函数，图像可以沿原点进行平移。
伸缩
函数图像的形状可以通过伸缩来改变。对于一次函数，图像的伸缩表现为斜率的改变；对于二次函数，图像的 伸缩表现为开口大小或方向的改变；对于反比例函数，图像的伸缩表现为离原点的远近。
单调性
反比例函数
反比例函数的单调性取决于其定义域。在每个象限内，反比例函数都是单调的，但在整个 定义域内不是单调的。
一次函数
一次函数的单调性取决于其斜率。当斜率大于0时，函数在整个定义域内单调递增；当斜 率小于0时，函数在整个定义域内单调递减。
二次函数
二次函数的单调性取决于其二次项系数的正负和对称轴的位置。当二次项系数为正时，函 数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；当二次项系数为负时，函数在对称轴 左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的定义域：全 体实数R
添加标题
添加标题
二次函数：y=ax^2+bx+c
添加标题
添加标题
一次函数与二次函数的值域：根据 系数和常数项而定
一次函数与二次 函数的图像
一次函数的图像
一次函数图像是一 条直线
斜率表示函数图像 的倾斜程度
截距表示函数图像 与y轴的交点
二次函数的定义
二次函数的一般
形
式
为
y=ax^2+bx+c，
其中a、b、c为
常数且a≠0
二次函数的图像 是一个抛物线， 其顶点坐标为(b/2a, f(-b/2a))
二次函数的最值 或极值点为x=b/2a，此时y取 得最大或最小值
二次函数的对称 轴为x=-b/2a， 对称轴两侧的函 数值相等
函数表达式的形式
一次函数具有连续性，即当x在 定义域内取值时，y值连续变化
二次函数的性质
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0向上开口，a<0向下开口。 二次函数的对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。 二次函数与x轴交点为令y=0，解得x的值。
性质的比较
二次函数的应用
预测未来一段时间内的销售 情况
描述经济增长Βιβλιοθήκη 下降的趋势计算最优化问题，例如最大 利润或最小成本
确定最佳的存储或投资策略
应用场景的比较
一次函数的应用场景：线性关系问题，如速度、时间、距离等计算。
二次函数的应用场景：抛物线形状问题，如物体运动轨迹、桥梁拱形设计等。
一次函数与二次函数的应用比较：二次函数的应用场景更广泛，但一次函数在实际生 活中更为常见。
一次函数和二次函数的性质与图象
一次函数和二次函数的性质与图象Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】 【知识点精析】1. 一次函数定义：形如)0(≠+=a b ax y 的函数叫一次函数。
一次函数图象：斜率为a ，在y 轴上截距为b 的直线。
一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。
2. 二次函数（1）定义：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数。
（2）图象：抛物线，对称轴：abx 2-=，顶点)442(2a b ac a b --，，开口方向a>0向上；a<0向下。
（3）二次函数的基本性质 <1>二次函数的三种表示法：n x x a y x x x x a y c bx ax y +-=--=++=20212)();)((;<2>当a>0，f(x)在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令)(210q p x +=若p ab<-2，则M q f m p f ==)()(， 若02x a b p <-≤，则M q f m a bf ==-)()2(，若q a b x <-≤20，则m a bf M p f =-=)2()(，；若q ab ≥-2，则m q f M p f ==)()(，特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即2x 项的系数是否为零，必要时加以讨论。
（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。
（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。
【解题方法指导】例1. （1）设x 、y 是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（ ）A. 4112-B. 18C. 8D. 43剖析：由0)6(4)2(2≥+--=∆a a ，得2-≤a 或3≥a 。
二次函数的性质与图像分析
二次函数的性质与图像分析二次函数是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和图像特征。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质和图像分析，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来回顾一下二次函数的定义。
二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，其形状和方向由a的正负决定。
一、二次函数的性质1. 首先，二次函数的最高次项是二次项，因此它是一个二次多项式。
这意味着函数的图像是光滑的，没有突变或断裂点。
2. 二次函数的导数是一个一次函数，即它的斜率是一个常数。
这意味着二次函数的图像是一个曲线，没有拐点或尖点。
3. 二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
4. 二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，它是对称轴上的一个点。
顶点的坐标可以通过求解二次函数的导数为零来确定。
5. 二次函数的零点是函数与x轴相交的点，也就是函数的解。
零点可以通过求解二次函数的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
二、二次函数的图像分析1. 首先，我们来讨论二次函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上；当a小于零时，二次函数的图像开口向下。
这是因为a的正负决定了二次函数的导数的正负，从而决定了抛物线的凹凸性。
2. 其次，我们来研究二次函数的顶点和对称轴。
对称轴的方程可以通过求解二次函数的x坐标为零的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
顶点的坐标可以通过将对称轴的x坐标代入二次函数来确定。
3. 最后，我们来讨论二次函数的零点。
零点可以通过求解二次函数的方程ax^2 + bx + c = 0来确定。
如果方程有两个不同的实根，那么二次函数与x轴有两个交点；如果方程有一个重根，那么二次函数与x轴有一个交点；如果方程没有实根，那么二次函数与x轴没有交点。
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
一次函数和二次函数的图像与性质
一次函数的图像与性质练习1、一次函数y=2x-1的图象大致是（ ）2、函数y ＝k （x －k ） （k ＜0 )的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A 、（0，－2） B 、（1.5，0） C 、（8, 20） D 、（0.5，0.5）。
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的 符号是( )(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<07、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P 的坐标为____，点P 到x 轴的距离为_______，点P 到y 轴的距离为______。
8、如图，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式ax+b<0的 解集是9、点P （a,b ）点Q （c,d ）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a<c ，则b 与d 的大小关系是____10、知一次函数图象经过（3, 5）和（－4，－9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值。
二次函数的图像与性质①一般式：y ＝ax ＋bx ＋c （a≠0）； ②顶点式：；①开口方向：当a>0时，开口向上；当②顶点坐标：；③对称轴方程：；值越小，开口越大；，单调减区间为（－∞，），单调增区间为（，＋∞），单调减区间为（，＋∞），单调增区间为（－∞，）A ．y=x 2+3x －5B ．y=－2x 2C ．y=2x 2+3x －5D ．y=2x 22、若直线y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x －m ）2+1的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x 轴交于A （－2，0），B 两点，则B 点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．（4，0） 4、抛物线y=2（x+3）（x －1）的对称轴是（ ）A ．x=1B ．x=－1C ．x=12 D ．x=－2 5、已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点（a ，－14）和（－a ，y 1），则y 1的值是_______．6、如图所示，抛物线y=－x 2+5x+n 经过点A （1，0），与y 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．7、如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线421+=x y 的图象与该二次函数的图象交 于A 点(8,8)，直线与x 轴的交点为C ，与y 轴的交点为B ． （1）求这个二次函数的解析式与B 点坐标；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A B ，不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于D 点，与x 轴交于点E ．设线段PD 的长为h ，点P 的横坐标为t ，求h 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段AB 上是否存在点P ，使得以点P 、D 、B 为顶点的三角形与BOC △相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．。
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一次函数的图像与性质
练习
1、一次函数y=2x-1的图象大致是（ ）
2、函数y ＝k （x －k ） （k ＜0 )的图象不经过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A 、（0，－2） B 、（1.5，0） C 、（8, 20） D 、（0.5，0.5）。
O
x
y
O
x y O
x
y
y
x
O
Ａ．
B ．
C ．
Ｄ．
4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( )
A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的 符号是( )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
7、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P 的坐标为____，点P 到x 轴的距离为_______，点P 到y 轴的距离为______。
8、如图，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式ax+b<0的 解集是
9、点P （a,b ）点Q （c,d ）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a<c ，则b 与d 的大小
关系是____
10、知一次函数图象经过（3, 5）和（－4，－9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值。
y
0 x
二次函数的图像与性质
1、二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。
2、二次函数的解析式：
①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
②顶点式：；
③零点式（两根式）：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx ＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。
3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.
4、二次函数的图像的性质：
①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；
②顶点坐标：；
③对称轴方程：；
④开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；
⑤单调性：若a>0，单调减区间为（－∞，），单调增区间为（，＋∞）；若a<0，单调减区间为（，＋∞），单调增区间为（－∞，）；
5、三个“二次”的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1、x2是函数y＝ax2＋bx ＋c（a≠0）的两个零点，也是对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（或<0）的解集的端点。
练习
1、与抛物线y=－1
2
x2+3x－5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）
A．y=x2+3x－5 B．y=－
2x22x C．y=
2
x2+3x－5 D．y=
2
x2
2、若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x－m）2+1的顶点必在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x轴交于A（－2，0），B两点，则B点坐标为（）
A．（1，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）
4、抛物线y=2（x+3）（x－1）的对称轴是（）
A．x=1 B．x=－1 C．x=1
2
D．x=－2
5、已知抛物线y=x2+x+b2经过点（a，－1
4
）和（－a，y1），则y1的值是_______．
6、如图所示，抛物线y=－x 2+5x+n 经过点A （1，0），与y 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以
AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．
7、如图已知二次函数图象的顶点为原点， 直线42
1
+=
x y 的图象与该二次函数的图象交 于A 点(8,8)，直线与x 轴的交点为C ，与y 轴的交点为B ． （1）求这个二次函数的解析式与B 点坐标；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A B ，不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次
函数的图象交于D 点，与x 轴交于点E ．设线段PD 的长为h ，点P 的横坐标为t ，求h 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB 上是否存在点P ，使得以点P 、D 、B 为顶点的三角形
与BOC △相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x A
B
C
D
P
O
E。