2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十四)理科数学试题

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2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为( ) A. {}2 B. {}3C. {}2,3D. {}0,2,3【答案】D 【解析】【分析】求出11,32M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由{|1}P x ax ==，P M ⊆，可得P ∅=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由此能求出a 取值集合．【详解】211{|6510},32M x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，{|1}P x ax ==，P M ⊆，P ∅∴=，13P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或12P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，0a ∴=或3a =或2a =．a ∴的取值集合为{}0,2,3．故选D ．【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题． 2.若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1B. 1-C. 16D. 16-【答案】C 【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．【详解】∵复数()()()()12212221422255ai i ai a ai i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=．故选C ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.4.在区间上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“12x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A. 123p p p<< B.231p p p<<C. 312p p p<< D.321p p p<<【答案】B【解析】【详解】因为,[0,1]x y∈，对事件“12x y+≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y-≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p<<．（1）（2）（3）考点：几何概型．5.已知数列{}n a的首项为1，第2项为3，前n项和为n S，当整数1n>时，()1112n n nS S S S+-+=+恒成立，则15S 等于 A. 210 B. 211C. 224D. 225【答案】D 【解析】【分析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n 项和公式，计算结果，即可．【详解】结合()1112n n n S S S S +-+=+可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，所以()12121n a n n =+⋅-=-，所以1529a =所以()()11515152911522522a a S ++⋅===，故选D ．【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n 项和计算方法，难度中等． 6.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（） A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7.已知椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则PBQF k k 的取值范围是（）A. 33044⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， B. ()3004⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭，， C. ()()101-∞-，，D. ()()001-∞⋃，，【答案】D 【解析】【分析】椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11,PB PB PA QF QF PA k k k k k k =-=-⋅，设(2cos )Q θθ，求出223(1cos )4cos 2cos 2QF PAk k θθθ-⋅=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.【详解】椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，右焦点(1,0)F ，点P 圆224x y +=上且不同于,A B ，11,1,,PB PB PA PB PA QF QF PAk PA PB k k k k k k k ∴⊥⋅=-∴=-=-⋅，设(2cos )Q θθ，223(1cos )2cos 22cos 14cos 2cos 2QF PAk k θθθθθθθ-⋅=⋅=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，222242222(1)14213(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=⋅=+⋅--- 1111,210,12t t t -<<-<-<<--，(,1)PBQFk k ∈-∞且不等于0. 故选:D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.8.已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A. tan tan x y >B. ()()22ln 2ln 1x y +>+ C.11x y> D. 33x y >【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数函数的性质分析可得x ＞y ，据此结合函数的单调性分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是掌握并利用常见函数的单调性．9.若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A. ()+∞B. (1,)+∞C. [1,)+∞D. )+∞【答案】D 【解析】【分析】求得()(cos sin )xf x e x x a =--'，把函数的单调性，转化为cos sin 0x x a --≤在区间(,)22x ππ∈-上恒成立，即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得()(cos sin )xf x e x x a =--'，若()f x 在区间(,)22ππ-上单调递减，则cos sin 0x x a --≤在区间(,)22ππ-上恒成立，即cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，令()cos sin sin(),(,)422h x x x x x πππ=-=-∈-，则3(,)444x πππ-∈-，故sin()4x π-的最大值为1，此时42x ππ-=，即4πx =-，所以()h x ，所以a ≥D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调及其应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中转化为转化为cos sin ,(,)22a x x x ππ≥-∈-恒成立，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12F F 、，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，且2PO PF =,则双曲线的离心率为( )A.1B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题意知，1290F PF ∠=︒，三角形2POF 为等边三角形，从而可以得到122PF PF c a -=-=，即可求出离心率．【详解】由题意知，1290F PF ∠=︒，212PO OF OF PF c ====，三角形2POF 为等边三角形，则1PF =，2PF c =，则122PF PF c a -=-=，解得1c a ==，1，答案为A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属于基础题．11.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（）A. cos 2y x =B. cos2x y =-C. 3sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 28y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由直线斜率求出周期，从而得ω，直线与x 轴的交点是函数()f x 的零点，由此可求得ϕ，最后由图象变换可得结论．【详解】直线3402x y ππ+-=的斜率为4k π=-，∴242T π=，T π=，22πωπ==，直线3402x y ππ+-=与x 轴交点为3(,0)8π，根据对称性，此点是()f x 的零点． ∴33()sin(2)088f ππϕ=⨯+=，又2πϕ<，∴4πϕ=，∴()sin(2)4f x x π=+． ∴将()f x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为sin[2()]cos 284y x x ππ=++=．故选：A ．【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象与性质，考查三角函数图象变换，解题时注意正弦函数的“五点法”，求三角函数的解析式、性质常常与这五点联系起来．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：① ② ③ ④图①是底面直径和高均为1的圆锥；图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是（） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】A 【解析】【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求. 【详解】几何体T 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为1x ，切线对应的横坐标为2x()()2,2f x x f x x '==，()12k f '∴==切线为()121y x -=-，即21y x =-，2121,2y x y x +∴==横截面面积2221s x x ππ=-()2211=42y y y ππ⎡⎤+-⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦图①中的圆锥高为1，底面半径为12，可以看成由直线21y x =+绕y 轴旋转得到横截面的面积为2212y s x ππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A 项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.261()(21)x x x-+的展开式中4x 项的系数为__________．【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：()621x +的展开式为：()66616622rrr r rr T C x C x ---+==，当62r -=，4r =时，644642416260T C xx --+==，当65r -=，1r =时，6116154162192T C x x --+==，据此可得：展开式中4x 项的系数为60192132-=-.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．14.在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C成等差数列，b =则ABC∆面积的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由A 、B 、C 成等差数列可得3B π=，然后根据正弦定理可得2sin a A =，2sin c C =，在此基础上求得ABC ∆的面积后再根据三角变换可得ABC S ∆=)6A π-+再根据锐角三角形求得62A ππ<<，于是可得面积的取值范围．详解：∵ABC ∆中A 、B 、C 成等差数列， ∴3B π=．由正弦定理得2sin sin sin sin3a cb A C B π====，∴2sin ,2sin a A c C ==， ∴132sin 3sin sin 3sin sin()23ABC S ac B ac A C A A π∆====-23133331cos 23sin (cos sin )sin cos sin sin 22222422A A A A A A A A -=+=+=+⋅ 33333sin 2cos 2sin(2)444264A A A π=++=-+， ∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<． ∴52666A πππ<-<， ∴1sin(2)126A π<-≤， ∴33333sin(2)22644A π<-+≤，故ABC ∆面积的取值范围是333(,]．点睛：（1）解决三角形中的范围问题的常用方法：①利用余弦定理并结合基本不等式求解；②结合正弦定理将问题转化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式后根据三角函数的有关知识求解．（2）解答本题时容易出现的错误时忽视“锐角ABC ∆”这一条件，从而扩大了角A 的范围．15.如图所示，已知直线AB 的方程为1x y a b+=，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段AB 相切，||AB c =，则两圆半径r =__________（用常数,,a b c 表示）．【答案】()2()c a b c a b +-+ 【解析】【详解】分析：由题得△CDM ∽△BAO ，得2b x r a y r r b a c----==，再利用等式的性质得到两圆半径r . 详解：如图所示，作CM ⊥DM,CE ⊥AB,由△CDM ∽△BAO,得2,.CM DM CD b x r a y r r OB OA AB b a c----==∴== (2)2(),.2()a b x y r a b c r c a b c r a b a b c a b +-+++-+-∴==∴=+++ 故答案为()()2c a b c a b +-+ 点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何选讲，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到2b x r a y r r b a c----==的化简，这里利用到了合比的性质，(2)2.a b x y r a b c r a b a b c+-+++-==++ 16.已知两平行平面αβ、间的距离为3A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC 与平面β交线为CE ，取CE AB = ,则0//,4,60AB CE CE ECD =∠=0112343sin 60 6.32A BCD A CDE V V --==⨯⨯⨯⨯=三､解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.在ABC ∆中，边a b c 、、所对的角分别为、、A B C ，sin sin sin 23sin a A b B c C C a B +-= （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的中线CD 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值【答案】（1）3C π∠=（2）面积的最大值为33【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan C 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2，结合基本不等式可求ab 43≤，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）∵由已知及正弦定理可得：22223a b c ab +-=C ， ∴由余弦定理可得：22232a b c cosC sinC ab +-==，即3tanC =∴由C ∈（0，π），可得3C π=．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：224423ab a b ab ab -=+≥≤，（当且仅当a ＝b 时，等号成立），即1143322323ABC S absinC =≤⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，三角形中线长定理主要表述三角形三边和中线长度关系，定理内容为：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍，属于中档题．18.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥,3AB =，2BC =，1AC =.(1)求证：AB AD ⊥；(2)设E 是BD 的中点，若直线CE 与平面ACD 的夹角为30︒，求四面体ABCD 外接球的表面积.【答案】（1）见解析；（2）12π.【解析】试题分析：(1)利用线面垂直的判断定理结合题意(2)利用题意首先求得外接球的半径，然后利用球的表面积公式计算表面积即可.试题解析：(1)由平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥，得DC ⊥平面ABC ，AB CD ∴⊥又由3AB =2BC =，1AC =，得222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥故AB ⊥平面ADC ，所以AB AD ⊥（2）取AD 的中点F ，连接EF ，则EF BA //,因为AB ⊥平面ADC EF ∴⊥平面ADC连接FC ,则30ECF ︒∠=，23CE EF AB ∴===又90BAD BCD ︒∠=∠=，所以四面体ABCD 的外接球的半径3R CE ==故四面体ABCD 的外接球的表面积=24312ππ=（向量解法酌情给分）. 19.已知过抛物线()2:20E x py p =>焦点F 且倾斜角的60直线l 与抛物线E 交于点,M N OMN ∆的面积为4．（I ）求抛物线E 的方程；（II ）设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为,A B 直线AB 与直线,OP y 轴的交点分别为,Q R 点,C D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．【答案】（I ）24x y =；（II ）()22,2±-．【解析】试题分析：（I ）抛物线焦点为(,0)2p F ，写出直线l 方程，与抛物线方程联立，消元后可得1212,x x x x +，其中1122(,),(,)M x y N x y ，可再求出原点O 到直线l 的距离d ，由12S MN d =求得p ，也可由1212S x x OF =-求得p ；（II ）首先设出点坐标，设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数几何意义得出两切线方程，代入P 点坐标，从而得直线AB 方程为240tx y -+=，从而可得,R Q 坐标，得QR 的长，而要使CPD ∠最大，则,PC PD 与圆R 相切，这样可求得sin2CPD ∠，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．试题解析：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-所以)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,442OMN p d S MN d p ∆=====， 2p ∴=，抛物线方程为24x y =（II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==，则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为222x y x y =-，把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+= ()0,2R ∴由240{2tx y y x t -+=-=得2244{84Q Q t x t y t -=+=+，r RQ ∴====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠===≤，等号当t =± ∴当()2P ±-时，所求的角CPD ∠最大．综上，当CPD ∠最大时点P的坐标为()2±-点睛：在解析几何中由于OMN ∆的边MN 过定点F ，因此其面积可表示为1212S OF x x =-，因此可易求p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II ）小题中如能发现OP AB ⊥则知OP 是圆R 的切线，因此CPD ∠取最大值时，,PC PD 中一条与PO 重合，另一条也是圆的切线，从而易得解．另解：（I ）依题意，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l的方程为2p y =+；由2{22p y x py =+=得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p ∆=+=>+==-124x x p -==， 2121422OMN S OF x x p p ∆=-==⇒=，抛物线方程为24x y =．（II ）设()221212,2,,,,44x x P t A x B x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24x y =得2,'42x x y y ==，则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即21111242x x x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为222x y x y =-，把P 代入可得112222{22x t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=()0,2R∴由240{2tx yy xt-+=-=得2244{84QQtxtyt-=+=+，()()()22222222216822444Q Qttr RQ x yt tt⎛⎫∴==+-=+-=⎪+⎝⎭++，注意到OP AB⊥2284tPQt+∴=+，2222tan2822RQ tCPD tPQ t t∠∴==≤=+当且仅当28t+即22t=±时等号成立．20.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）23. 【解析】试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是 ()10.0160.004100.25+⨯==，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果. 试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为： ()0.0280.030.0160.004100.78+++⨯=；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()10.0160.004100.25+⨯==，用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为15，现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：223141255125P C ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭；（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占13，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，()023********C C P C ξ⋅=== ()1136291811362C C P C ξ⋅==== ()2036293123612C C P C ξ⋅====ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ 15112012362123=⨯+⨯+⨯=. 21.设函数()ln x f x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若()f x 是0,上的增函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若22ea ≥，证明：()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a 的最小值，由此得到a 的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0x a x x ->，令()e ln x a F x x x=-，求出()F x 的导数，对x 分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：（Ⅰ）()()e 1ln x f x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln e x x g x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e1ln x g x x x -⎛⎫=-'- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减；故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11e g =，所以1e a ≥，即a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）()0f x >⇔ e ln 0xa x x->. 令()e ln xa F x x x=-（0x >），以下证明当22e a ≥时，()F x 的最小值大于0. 求导得()()21e 1xa x F x x x='-- ()211e x a x x x ⎡⎤=--⎣⎦. ①当01x <≤时，()0F x '<，()()1F x F ≥ e 0a =>；②当1x >时，()()21a x F x x ='- ()e 1x x a x ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，令()()e 1x x G x a x =--，则()e x G x '= ()2101a x +>-，又()222e G a =- 2e 20a a-=≥，取()1,2m ∈且使()2e 1m a m >-，即22e 1e 1a m a <<-，则()()e 1m m G m a m =-- 22e e 0<-=，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000e ln x a F x x x =-，且()()0000e 01x x G x a x =-=-，即()000e 1x x a x =-，故()0001ln 1F x x x =--，因为()()02001101F x x x =--<-'，故()0F x 是()1,2上的减函数. 所以()()02F x F >= 1ln20->，所以()0F x >. 综上，当22ea ≥时，总有()0f x >. 点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法.第一问由于已知函数在区间上单调递增，故其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数.分离常数后可求得a 的取值范围.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 经过点()0,1P ，倾斜角为6π.在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4sin ρθ=.（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）；曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=；（2）3．【解析】【详解】试题分析：（1）先根据直线参数方程标准式写直线l 的参数方程，利用y sin ,x cos ρθρθ==化简极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入圆方程，再根据参数几何意义化简11PA PB+，最后根据韦达定理代入化简求值试题解析：（1）直线l的参数方程为0611162x tcos y tsin t ππ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩(t 为参数）.即直线l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）； ∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，∴224x y y +=，即()2224x y +-=，故曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得230t t --=，显然>0∆, ∴2121,3l t t t t +==-, ∴123PA PB t t ⋅==，12t t PA PB +=-==∴113PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 23.已知函数()|1|f x x =+（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M（2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.【答案】(1){1M x x =<-或 }1x >；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平方，因式分解转化为证明()()22110a b -->，最后根据条件221,1a b >>确定()()22110a b -->成立.【详解】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<.当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，∴1x <-；当112x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-，无解；当12x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >. 综上所述，{1M x x =<-或}1x >.（2）∵()()()1111f a f b a b a b a b --=+--++--+=+≤，要证()()()f ab f a f b >--成立，只需证1ab a b +>+，即证221ab a b +>+，即证222210a b a b --+>,即证()()22110a b -->.由（1）知，{1M x x =<-或}1x >，∵a b M ∈、，∴221,1a b >>，∴()()22110a b -->成立.综上所述，对于任意的a b M ∈、都有()()()f ab f a f b >--成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。

天一大联考海南省2021-2022学年高三一诊考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．12．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．33．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．25．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1476．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（） A ．1211e e r R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 7．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（）A B ．-3 C ．3D ．5-38．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%9．设复数z ＝213ii-+，则|z |＝（） A ．13B ．23C ．12D ．2210．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．140D ．12011．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 12．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（） A ．2B ．153C ．163D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A2.已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.3.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（） A. 1i + B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.4.已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞【答案】B 【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m =单调递增，且[,1]y m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（） A. sin y x = B. ln y x =C. xy e =D. 3y x =【答案】A 【解析】【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y ＝e x 时，y ′＝e x ＞0恒成立，不满足条件；当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件；故选A ．考点：导数及其性质.6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=（） A. 725 B. 15C. 15-D. 725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos（2x+π6）=sin（2x+2π3）的图象，即曲线C2，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数π()k k Zϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Zϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x Rωϕ=+∈是偶函数π()k k Zϕ⇔=∈.8.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.9.已知F为抛物线2:4C y x=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,l l，直线1l与C交于A B、两点，直线2l与C交于D E、两点，则|||||AB DE+的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A 【解析】【分析】根据12l l ⊥，要使|||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1时，取得最小值.【详解】解法一：如图所示因为12l l ⊥，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线2l 的斜率为1，又直线2l 过点()1,0，所以直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，12124,4y y y y +==-，所以()212121222111148DE y y y y y y k k=+-=++-=，所以|||||AB DE +的最小值为16. 故选：A解法二：设AB 为(1)y k x =-，DE 为1(1)y x k=--．分别代入抛物线方程得：2222(24)0k x k k -++=⋯（1），22(24)10x k x -++=⋯（2）．由于21234242()2()44482416AB DE x x x x k k+=+++++=+++>=+⨯=．此时2244k k=，1k =或1k =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系，弦长公式等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）． A. 1- B. 32e -- C. 35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减，所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A. 3 B. 22C. 5D. 2【答案】A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________.【答案】79- 【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=cos cos βα=-=，所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=- 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .14.已知函数f （x ）＝23,12,1x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)2x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是__ 【答案】﹣4716≤a ≤2 【解析】【分析】先求画出函数()f x 的图像，然后对2y x a =+的图像进行分类讨论，使得2y x a =+的图像在函数()f x 的图像下方，由此求得a 的取值范围.【详解】画出函数()f x 的图像如下图所示，而,22222xa x a x y a x a a ⎧+≥-⎪⎪=+=⎨⎛⎫⎪-+<- ⎪⎪⎝⎭⎩，是两条射线组成，且零点为2x a =-.将2x y a =+向左平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程22x y a y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简得2240x ax -+=，令判别式24160a ∆=-=，解得2a =.将2xy a =+向右平移，直到和函数()f x 图像相切的位置，联立方程223x y a y x x ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎩消去y 并化简得2302x x a -++=，令判别式()14304a ∆=-+=，解得4716a =-.根据图像可知47,216a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如y ax b =+函数的图像，是,0b a ⎛⎫-⎪⎝⎭引出的两条射线. 15.设抛物线22{2x pt y pt==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32则p 的值为__________． 6 【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则2A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以262CEFCEAS S==92ACFAECCFESSS=+=所以132922p ⨯=6p =【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．16.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值（II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ，＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2，（Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18. 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．【答案】(1)取出1球为红球或黑球的概率为3.4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为11.12【解析】试题分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的球是红球或黑球，根据古典概型和互斥事件的概率公式得到结果；（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球，满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球，根据古典概型公式得到结果试题解析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的球是红球或黑球共有9种结果，∴概率为．（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的基本事件是从12个球中任取一球共有12种结果；满足条件的事件是取出的一球是红球或黑球或白球共有11种结果，∴概率为．即取出的1球是红球或黑球的概率为；取出的1球是红球或黑球或白球的概率为．考点：等可能事件的概率19.（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）7 .【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值7试题解析：（1）由题设可得，ABD CBD ≌△△，从而AD DC =. 又ACD 是直角三角形，所以=90ADC ∠︒. 取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则DO ⊥AC ,DO =AO . 又由于ABC 是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB 中，222BO AO AB +=.又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=. 所以平面ACD ⊥平面ABC .（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故()()311,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设(),,n x y z =是平面DAE 的法向量，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,310.2x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩可取3⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n .设m是平面AEC的法向量，则m ACm AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，，同理可取()0,1,3=-m.则7cos,⋅==n mn mn m.所以二面角D-AE-C的余弦值为7.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n互补或相等，故有cos cos,m nm nm nθ⋅==.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20.如图，已知抛物线2x y=.点A1139-2424B⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22⎛⎫⎪⎝⎭＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA?PQ的最大值【答案】（I）（-1，1）；（II）2716.【解析】试题分析：本题主要考查直线方程、直线与抛物线位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．满分15分．（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为12x-，再由1322x-<<，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达||PA与||PQ的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k=--+求解||||PA PQ⋅的最大值．试题解析：（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA1)2x +1)k +， |PQ2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．21.已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（Ⅲ）若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21-21ax x n<+- 【答案】（Ⅰ）当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：（1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. （2）当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x =-'，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即，则0()()()F x f x f x -'''=由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（Ⅲ）证明：不妨设12x x ≤，由（Ⅱ）知()()20()g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x'，可得202.a x x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（Ⅱ）知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111()()()h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以11112(11)111n n n Cn n ---=+≥+=+-=，故1102n nx -≥=，所以2121ax x n-<+-. 考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.11,23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）被曲线cos ,3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）所截得的弦长.【答案】2 【解析】【分析】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得到直角坐标方程，然后将11,22x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义求弦长.【详解】由cos ,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩消去θ得2213y x +=，将11,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2213y x +=并整理得：220t t -=，解得120,2t t ==，所截得的弦长为122t t -=【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.设0,0x y >>，已知1x y +=，求2223x y +的最小值. 【答案】65【解析】【分析】根据柯西不等式的性质求解.【详解】由柯西不等式得()()222222231x yx y ⎡⎤+⋅+≥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以226235x y +≥，当且仅当23x y =，即32,55x y ==时，取等号.所以2223x y +的最小值为65【点睛】本题主要考查柯西不等式的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(十四)数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(){}2|lg 34A x Z y x x =∈=-++，{}|24xB x =≥，则A B =（）A. [)2,4B. {}2,4C. {}3D. {}2,3【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 【详解】由2340x x -++>得2340x x --<，则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞. 从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知()5tan 12απ-=，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.513 B. 513-C.1213D. 1213-【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式由()5tan 12απ-=得到5tan 12α=，由3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭易得cos α，再由sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解.【详解】因为()5tan tan 12απα-==，所以12sin cos 213παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭. 故选：D .【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.下列四个命题中，正确的有（）①随机变量ξ服从正态分布()1,9N ，则()()1023P P ξξ-<<=<< ②0x R ∃∈，003sin cos 2x x +=③命题“x R ∀∈，220x x --<”的否定是“x R ∃∈，220x x --≥” ④复数123,,z z z C ∈，若()()2212230z z z z -+-=，则13z z =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】①根据10ξ-<<与23ξ<<是否关于1μ=对称判断；②根据sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭判断；③根据含有一个量词的否定的定义判断；④根据121z z -=，23z z i -=消去2z 判断；【详解】①因为10ξ-<<与23ξ<<关于1μ=对称，故正确；②因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，故错误；③因为命题“x R ∀∈，220x x --<”是全称命题，所以其否定是“x R ∃∈，220x x --≥”，故正确；④当121z z -=，23z z i -=时，131z z i -=+，故错误；故选：B .【点睛】本题主要考查命题判断真假，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.已知在等比数列{}n a 中，0n a >，2224159002a a a a +=-，539a a =，则2020a =（）A 10103 B. 10093 C. 20193 D. 20203【答案】C 【解析】【分析】设公比为q ，根据2224152900a a a a ++=，利用等比数列的性质得到2224242900a a a a ++=，则2430a a +=，再与539a a =，联立求得2q ，2a ，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为q ，因为2224152900a a a a ++=所以2224242900a a a a ++=，则2430a a +=，所以()22130a q+=，又539aa =，所以2339a q a =，得29q =，则23a =，所以()10092018210092019202022393a a q a q ===⨯=，故选：C .【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算及其性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.如图所示，是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）A. (1243π+B. 20πC. (2043π+D. 28π【答案】B 【解析】【分析】根据三视图中可知，该几何体为一个圆锥和同底的圆柱拼接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱的一个底面面积的和.圆锥的底面半径为2，高为23可由1S rl π=求得圆锥的侧面积，圆柱的高2h =，底面半径2r，可得圆柱的侧面面积22S rh π=，圆柱底面面积23S r π=，再求和即可.【详解】从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱的一个底面.圆锥的底面半径为2，高为34，所以圆锥侧面18S rl ππ==，圆柱的高2h =，底面半径2r，所以圆柱的侧面面积228S rh ππ==，圆柱底面面积234S r ππ==，所以几何体的表面积为12320S S S S π=++=. 故选：B.【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 6.2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（）A. 40B. 50C. 60D. 70【答案】B 【解析】【分析】根据频率分布直方图得到[)9,11的频率，再由该频率与样本容量的积为25求解. 【详解】依题意，得[]12(0.050.050.15)25n -⨯++⨯=，解得50n =. 故选：B .【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，还考查了识图和运算求解的能力，属于基础题.7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.8.已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则22z x y =+的最大值为（）A.252B.254C.258D.1259【答案】D 【解析】【分析】根据实数x，y满足205y xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，画出可行域，再由22z x y=+表示坐标原点与可行域内点距离的平方，找到最优点求解.【详解】根据实数x，y满足205y xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，画出可行域为AOB（内部及其边界），其中55,22A⎛⎫⎪⎝⎭，510,33B⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0O，22z x y=+表示坐标原点与可行域内点距离的平方，所以点510,33B⎛⎫⎪⎝⎭与点O距离最大，所以22max510125339z⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.9.已知两个夹角为3π的单位向量a，b，若向量m满足1m a b--=，则m的最大值是（）A. 31 B. 31 C. 2 D.621【答案】B【解析】【分析】设31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为符合题意的两个向量，得到a b +，再根据1m a b --=表示以a b +的坐标为圆心，1为半径的圆求解. 【详解】如图所示：设31,2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为符合题意的两个向量，则()3,0a b +=，即()3,0C，而1m a b --=，则m 的终点在以C 为圆心，1为半径的圆上，从而当m 的终点在点()31,0D 处时，m 最大，且max31m=，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的几何意义的应用，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.10.已知抛物线22y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点F 作直线与此抛物线交于A ，B 两点，若0FA QB ⋅=，则AF BF -=（）A. 3B. 2C. 4D. 6【答案】B 【解析】【分析】设直线AB ：12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由0FA QB ⋅=得112211,,022x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩联立，将韦达定理代入上式，然后利用抛物线的定义由1222p p x AF BF x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭求解. 【详解】设直线AB ：12x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ， ∵1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴由0FA QB ⋅=得112211,,022x y x y ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()12121211024x x x x y y +--+=，① 由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2210y my --=，∴121y y =-，∴()21212144y y x x==，代入①得122x x -=，∴1212||222AF BF p p x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=-= ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，定义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.将函数sin 2y x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图像，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（） A. ,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B. ,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】由平移变换易得()()sin 2f x x ϕ=-，根据()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有222232πϕππϕ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，又()0f x =得到2k x πϕ=+，根据()f x 的最大负零点在区间5,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则有512212πππϕ-<-<-，两个取交集. 【详解】将函数sin 2y x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()()sin 2f x x ϕ=-，又因为()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222232πϕππϕ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得124ππϕ≤≤，又()0f x =时2k x πϕ=+，所以最大负零点为2πϕ-，所以512212πππϕ-<-<-，解得51212ππϕ<<，综上124ππϕ<≤. 故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A. (,)e +∞B. 2(,2)e eC. 2(2,)e +∞D. 22(,2)(2,)e e e +∞【答案】C 【解析】【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分（共90分）.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.二项式83x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】252 【解析】【分析】先得到83x ⎫-⎪⎭展开式的通项公式，再令x 的次数为零求解.【详解】83x ⎫⎪⎭展开式的通项84831883(3)rr r r r rr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭，令840r -=，得2r，所以()22383252T C =-=.故答案为：252【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______.【答案】2【解析】【分析】根据A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，求得点(),0A a -与点(),0F c 的中点，从而求得点P 的坐标，代入双曲线方程求解.【详解】由题知点(),0A a -与点(),0F c 的中点,02c a -⎛⎫⎪⎝⎭也是点()0,B b 与点P 的中点，所以点P 的坐标为(),c a b --，又点P 在渐近线by x a=-上，所以()bb c a a-=--， ∴2c a =， ∴2e =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15.定义在R 上的函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()121f x f x f x -+=+，()124f =，则()2020f =______.【答案】35【解析】【分析】根据()()()121f x f x f x -+=+，可推知()f x 是周期函数，然后再结合()124f =求解.【详解】因为()()()121f x f x f x -+=+，所以()()()()()()()()11121411211f x f x f x f x f xf x f x fx ---+++===-++++，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()()20204f f =，由已知可得()()()1234125f f f -==+，所以()320205f =. 故答案为：35【点睛】本题主要考查函数周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.如图，矩形ABCD 中，23AB =，2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为______；当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的半径R =______.【答案】 (1). 1 (2). 536【解析】【分析】易知当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，此时DN ⊥平面ABCD .DN 为几何体的高，设AM x =，则DN x =，且023x <<，再由V三棱锥D-MNQ13△=⋅MNQ S DN 求解，当三棱锥D MNQ -体积最大时，三棱锥D MNQ -是正三棱柱的一部分，则三棱柱MNQ EDF -的外接球即是三棱锥D MNQ -的外接球，设点G ，H 分别是上下底面正三角形的中心，则线段GH 的中点即是三棱柱MNQ EDF -的外接球的球心O 求解.【详解】当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，这时DN ⊥平面ABCD .设AM x =，则DN x =，且023x <<，则V 三棱锥D-MNQ ()211112(23)233323△⎡⎤=⋅=⨯⨯-=-+⎢⎥⎣⎦MNQ S DN x x x x ，当3x =时，三棱锥D MNQ -体积最大，且max 1V =.此时3MB =，3DN =， ∴2MQ NQ ==， ∴MNQ △为等边三角形，∴当三棱锥D MNQ -体积最大时，三棱锥D MNQ -是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ EDF -的外接球即是三棱锥D MNQ -的外接球，设点G ，H 分别是上下底面正三角形的中心，∴线段GH 的中点即是三棱柱MNQ EDF -的外接球的球心O ，∴1322OH DN ==，又∵MNQ △是边长为2的等边三角形，∴233HQ =， ∴三棱柱MNQ EDF-外接球的半径22536R OQ OH HQ ==+=. 故答案为：1；536.【点睛】本题主要考查几何体体积的最值和球的组合体问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.如图，CM ，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN =120°，现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米）（1）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；（2）已知AB =12，记∠ABC =θ，试用θ表示观景路线A -C -B 的长，并求观景路线A -C -B 长的最大值．【答案】（1）10；（2）3. 【解析】【分析】（1）利用a 、b 、c 成等差数列,且公差为4,可得44a b c b =-⎧⎨=+⎩,利用余弦定理即可求b 的值；（2）利用正弦定理,求出AC 、BC ,可得到观景路线A -C -B 为AC BC +是关于θ的函数,求出最大值即可【详解】解：（1）∵a 、b 、c 成等差数列,且公差为4,∴44a b c b =-⎧⎨=+⎩,∵∠MCN =120°，∴2222cos c a b ab MCN =+-⋅∠,即()()()2224424cos120b b b b b +=-+--°, ∴b =10（2）由题意,在ABC ∆中,sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠,则()AC BC 12==sin sin120sin 60θθ︒︒-,∴83AC θ=,()8360BC θ=-．,∴观景路线A -C -B的长()()6060y AC BC θθθ=+=+-=+．．,且060θ<<．．, ∴θ=30°时,观景路线A -C -B 长的最大值为【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边,考查正弦定理的应用,考查三角函数的最值问题,考查运算能力18.为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过6000元商品顾客可以参与抽奖活动现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品，从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台检测它们充满电后的工作时长相关数据见下表（工作时长单位：分）（1）根据所提供的数据，计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差；（2）从乙品牌被抽取的6台扫地机器人中随机抽出3台扫地机器人，记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不低于220分钟的台数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）平均数210（分）；方差8003（2）分布列和数学期望详见解析【解析】【分析】（1）根据平均数和方差公式求解.（2）X 的可能取值为：0，1，2，3，分别求得相应的概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）2201802102202002302106x +++++==甲（分），22222221(220210)(180210)(210210)(220210)(200210)(230210)6s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲8003=；（2）0,1,2,3X =，3611(0)20P X C ===，1233369(1)20C C P X C ===，2133369(2)20C C P X C ===，3611(3)20P X C ===， X 的分布列为： X123P120 920 920 120∴19913()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查平均数和方差和离散型随机变量的分布列和期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 211，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得13BC =，结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，可求解. 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥．又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，13,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=，假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，1,,222EM λλ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，11∴=2693850λλ-+=．即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =．【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.20.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为e .点()1,e 在椭圆E 上，点(),0A a ，()0,B b ，AOB 的面积为32，O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，且1219k k ⋅=-，证明：OMN 的面积是定值，并求此定值.【答案】（1）2219x y +=（2）证明见解析；定值为32【解析】【分析】（1）根据点()1,e 在椭圆E 上，点(),0A a ，()0,B b ，AOB 的面积为32，得到22222211e a bc e a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩求解.（2）分直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x t =（33t -<<且0t ≠），直接求得M ，N 的坐标求解.当直线l 的斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y ，直线l ：()0y kx m m =+≠，与2219x y +=联立，得到m ，k 的关系，再利用弦长公式求得MN ，以及原点O 到直线l 的距离，代入12△=⨯⨯OMN S MN d 求解. 【详解】（1）由已知得22222211e a bc e a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴21b =，又1322AOBS ab ==△，∴3a =，∴椭圆E ：2219x y +=. （2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x t =（33t -<<且0t ≠），代入2219x y +=，得2219t y =-，则21221199t k k t -==-=-，∴292t =，则1322OMNS t =⨯=△，当直线l 的斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y ，直线l ：()0y kx m m =+≠，代入2219x y +=，得()2229118990k x kmx m +++-=，∴()()()22222(18)4919936910km k m k m ∆=-+-=-+>，1221891km x x k +=-+，21229991m x x k -=+，()()221212122121291999kx m kx m y y k m k k x x x x m ++-+=⋅===--，∴22912k m +=，满足>0∆，12M N x =-=又原点O 到直线l的距离d =，∴12OMN S MN d =⨯⨯=△32==，为定值.综上，OMN 的面积为定值，定值为32. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.21.设函数()2ln f x x ax x =-+.(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间. (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---.【答案】（1）3a =，()f x 的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）a >【解析】【分析】（1）求导数()f x '，由题意可知1x =为方程()0f x '=的根，求解a 值，即可.再令导数()0f x '>，()0f x '<，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数()f x 存在两个极值点，等价于方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，则>0∆，即可.()()2121f x f x x x --变形整理为2121ln ln 2x x a x x --+-；若证明不等式()()212142f x f x ax x a >---，则需证明2121ln ln 4x x x x a ->-，由1202a x x +=>变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，则()()21ln 1t h t t t -=-+，求函数()h t 的取值范围，即可证明.【详解】（1）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>1x =时，()f x 取得极值.()0,31f a ∴'==.()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==解()0f x '>得102x <<或1x > 解()0f x '<得112x << ()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）()()221,0x ax f x x x-+'=>()f x 存在两个极值点∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根.212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>a ∴>()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->- 即212121ln ln 2x x x x x x ->-+不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+ ()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增. ()()10h t h ∴>=2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立.()()212142f x f x ax x a ∴>---成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题.请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值. 【答案】（1）2221cos ρθ=+（2）43 【解析】【分析】（1）先将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简即可.（2）根据题意得到射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，利用极径的几何意义得到OA ，OB ，建立模型，利用基本不等式求解.【详解】（1）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程：2212y x +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得22(sin )(cos )12ρθρθ+=，化简得C ：2221cos ρθ=+.（2）由题意知，射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，∴1OA ρ==2OB ρ==∴OA OB ==⋅22241cos 1sin 32αα=+++≥，当且仅当221cos 1sin αα+=+，即4πα=时，OA OB ⋅取最小值43. 【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，以及椭圆方程的求法以及垂直弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =--+，若()f x 的最大值为k . （1）求k 的值；（2）设函数()g x x k =-，若2b <，且()b g ab a g a ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭，求证：1a >. 【答案】（1）2k =（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）将函数转化为()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，再利用分段函数的性质求解.（2）根据（1）得到()2g x x =-，将()b g ab a g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭化22ab b a -<-，两边平方利用一元二次不等式解法求解.【详解】（1）∵()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，∴当1x =-时，()max 2f x =， ∴2k =.（2）()2g x x =-，∴()b g ab a g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为22b ab a a -<-，即22ab b a -<-，两边平方后得，2222440a b b a -+-<，即()()22140a b --<，由2b <得24b <， ∴21a >， ∴1a >.【点睛】本题主要考查绝对值函数求最值以及一元二次不等式解法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学(理)试题

河南省天一大联考2020-2021学年高二下学期线上联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（）
A． B． C． D．
2．（）
A． B． C． D．
3．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（）
2．B
【分析】
利用数形结合求定积分得解.
【详解】
所以，
表示为以原点为圆心，以2为半径的在第一象限的个圆，
由于个圆的面积为，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查利用数形结合求定积分，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．D
【分析】
直接给n取1即得解.
【详解】
的初始值应为1，而 .
A． B．
C．1024是三角形数D．
10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，，，则阴影部分的面积为（）
A． B． C．1D．2
11．在中，，是的平分线交于，，，则（）
A．2B． C． D．
12．已知方程的两实根为，，若函数在与处的切线相互垂直，满足条件的的个数为（）
A． B．
C． D．
4．已知数列是等差数列，且，，则公差（）
A． B． C．1D．2
5．已知函数的图像开口向下，，则（）
A． B． C．2D．-2
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有的果子收成，则此圭田中的收成约为（）

天一大联考2021届高中毕业班考前定位联合考试理科数学

天一大联考2021届高中毕业班考前定位联合考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){}22,2B x y xy =+=，则A∩B 中的元素个数为A ．1B ．2C ．4D ．82．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则在直线CD 1，BA 1，DB 1，AC 1中，与MN 异面且垂直的直线的条数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4sin cos sin a B A b A =+，则A = A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π34．已知复数z 满足（1＋i ）z=1+2i ，则)i z b b +≤∈R 的一个充分不必要条件是 A ．b ∈（–1，0） B ．b ∈[–1，0]C ．b ∈（0，1）D ．b ∈[–1，2]5．基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数（换算表如下表所示）．假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为5万元，10万元，30万元，55万元，则这4人的年收入的基尼系数为中位数占比—基尼系数换算表A ．0.595B ．0.525C ．0.450D ．0.3636．2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1×年扶贫资金（元）+4.3×年自投资金元）+900×自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为（1.15≈1.6） A ．48100元 B ．57900元 C ．58100元 D ．64800元 7．若曲线3213y x x =-在点x=a 处的切线的斜率与直线（1-b ）x-y+2=0的斜率相等，则b 的最大值为A ．-1B ．1C ．2D ．3 8．已知过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．将函数()5π4sin 2112f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度后，所得图象对应的函数g （x ）在π,8m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[-1，3]，则m 的取值范围是A ．3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知球被平面所截得的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底，垂直于截面的球的直径被截得的一段叫做球缺的高．如果球的半径是R ，球缺的高是h ，那么球缺的体积()21πh 33V R h =-．若一个儿童储糖罐可以看成是一个球被一个正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）与一个圆柱组合而成的几何体，其三视图如图所示，则该储糖罐的体积为A ．443π3B ．157π3C ．476π3D ．485π311．已知双曲线2y x=绕原点顺时针转动45°，就会得到双曲线x 2-y 2=4，类比可知，以双曲线221x y x +=-的对称中心为圆心，焦距为直径的圆的标准方程为 A ．（x-1）2+（y-2）2=16 B ．（x-1）2+（y+2）2=8 C ．（x-1）2+（y-2）2=8 D ．（x+1）2+（y-2）2=16 12．已知函数()()()1213ln e 1ln e 122x f x x -=+-+-+．若()()4,,,x x g x f x x λλ-≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的零点恰有2个，则λ的取值范围是 A ．(]()1,34,+∞ B ．(][)1,24,+∞C ．(]()1,34,-+∞D ．(]()1,14,-+∞二、填空题：13．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点C （2，t ）被阴影遮住，22BC =则AB BC ⋅=________．14．()711x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中x 3的系数为________．15()0a a >，则1tan 2=________．（用含a 的式子表示）．16．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线C 的方程为222333x y a +=，周长为6a ．有如下结论：①曲线D ：|x|+|y|=a 的周长大于星形线的周长； ②曲线C 上任意两点距离的最大值为2a ；③曲线C 与圆2224a x y +=有且仅有4个公共点；④从曲线C 上任一点作x ，y 轴的垂线，垂线与x ，y 轴所围成图形的面积最大值为24a ．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（―）必考题：17．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，a 2=4，6a 1=a 2+a 3，数列{}n b 的前n 项和()12n n n S +=．（Ⅰ）求{}n a 及{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数n 恒有()1112233n n n n m a a b a b a b a b ++≥+++⋅⋅⋅+成立，求m 的最小值．18．如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1在圆柱中，等腰直角三角形A 1B 1C 1，ABC 分别为上、下底面的内接三角形，点D ，E 分别在棱BB 1和AC 上，AB=BC=AA 1，AC=3AE ，BE ∥平面A 1CD ．（Ⅰ）求11B DBB 的值；（Ⅱ）求平面B 1BE 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．19．小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为23，卖乙品牌的概率为13；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为14，卖乙品牌的概率为34．已知第一年该店卖甲品牌，且第x 年卖甲品牌有6.5+0.5x 万元利润，卖乙品牌有9.5+0.5x 万元利润．（Ⅰ）求前3年的利润之和超过25万元的概率；（Ⅱ）求该服装店第四年的利润的数学期望．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴端点为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程．（Ⅱ）试问：在椭圆C 的长轴上是否存在定点P ，使得过P 的动直线交椭圆C 于M ，N两点，且恒满足NP =⋅？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，其中e e 2x x shx --=，e e 2x xchx -+=分别称为双曲正弦、余弦函数．（Ⅰ）若λx 2+lnchx≤0对任意x ∈R 恒成立，求实数λ的取值范围．（Ⅱ）（i ）类比同角三角函数的平方关系，试写出chx 与shx 的一个关系式（无需证明）；（ⅱ）若a>0，存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得2chx 1<a （–ch 2x 2+4shx 2-1）成立，试比较a-1与（e-1）lna 的大小，并证明你的结论．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2,x m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），曲线C 1的参数方程是24cos 4sin cos x y α,αα⎧=⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的极坐标方程为ρsinθ-kρcosθ+2k=0，设l 1与l 2的交点为P ．（Ⅰ）当k 变化时，求P 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设射线π6θ=与曲线C 1与C 2的交点分别为A （非原点），B ，求|AB|． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f （x ）=|x-1|+2|x|．（Ⅰ）解不等式f （x ）≥2；（Ⅱ）设f （x ）的图象与直线y=2围成的图形的面积为S ，若a+b+c=S （a>0，b>0，c>0），求证：bc ＋4ac+9ab≥54abc ．。

2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．6．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（）A ．34- B ．34C ．43-D ．437．若，则（）A ．B ．C ．D ．8．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（）A ．B ．C ．D ．10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(四)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（四）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A. {}13x x ≤≤ B. {}03x x ≤≤C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A. 4 B. 2C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】【分析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==，1288a a a a ∴+++=，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】【分析】设2017年参加“选择考”总人数为a ，分别求出2017,2019年获得A ，B ，C ，E 等级的人数，进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ，则2019年参加“选择考”总人数为2a ；则2017年获得A 等级有0.25a 人，2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠，排除A ； 2017年获得B 等级有0.35a 人，2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯，排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人，2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>，排除C ； 2017年获得E 等级有0.04a 人，2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=，人数不变，故选:D.【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 5.函数()cos xxy e ex -=-的部分图象大致是( )A .B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x e e y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e-=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0xxy e e x -=->，排除D .故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( )A.3B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即1=，结合双曲线中222+=a b c ，进而可求出离心率的大小.【详解】解：由题意知，圆心为()2,0在x 轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切，则圆心到渐近线by x a =的距离为半径1r =1=，即223b a =，又222+=a b c ，则()2223c a a-=，解得c e a ==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的性质，考查了直线和圆相切问题，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由相切得到223b a =.一般求圆锥曲线的离心率时，常根据题意列出,,a b c 的关系式进行变形求ca的值.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,a c 的关系. 7.在ABC 中，5AC AD =，E 是直线BD 上一点，且2BE BD =，若AE mAB nAC =+则m n +=( )A.25B. 25-C.35D.35【答案】D 【解析】【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC 为基底，表示出25AE AB AC =-+，进而求出m n +的值. 【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+，35m n ∴+=-.故选:D.【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出,m n 的具体值.8.若函数()cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则函数()sin x x g x =-在区间[],a b 上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】【分析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，由题意可知，不妨取2,33a b ππ=-=，令3t x π=-，结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像，可选出正确选项.【详解】解：()1cos 2cos 2sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1sin 2sin 2sin 23g x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈，即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈，不妨取2,33a b ππ=-=，设3t x π=-，则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-，则图像为所以，()3sin x x g x -在[],a b 先增后减，可取到最大值为2. 故选:C.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本题的关键是由单调性和最值，确定,a b 的值.9.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [),e +∞【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，由题意知()000ln 1x a ex b e x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，从而可得2ea b +=，根据 “1”的代换，可求出11122b ea ea b ea b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：()ln y x a =+，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1x a ex be x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2ea b ∴+=，()111111222b ea ea b ea b ea b ea b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0a b e > ∴ 原式12222b ea ea b ⎛≥+⨯= ⎝，当且仅当b ea ea b =，即1,1a b e==时等号成立，即112ea b+≥. 故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.10.在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -的体积为36，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】【分析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，由题意可知，AO BO R ==，由1336P ABC PBCV S AO -=⋅=，可列出关于R 的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =，因为4APC π∠=，PA AC ⊥，所以PA AC =，则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，即133P ABC PBCV S AO -=⋅=，所以33366R =，1R ∴=，∴球的表面积为244R ππ=.故选:A.【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 11.已知函数()223f x x x=-+，()()g x f x b =+，若函数()()y f g x =有6个零点，则实数b 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,-+∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】A 【解析】【分析】结合导数，求出()223f x x x=-+的单调性，由120f f ，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，()()f g x 有6个零点等价于()1f x b =--和()2f x b =-都分别有3个实数根，结合图像可得关于b 的不等式，进而可求出b 的取值范围.【详解】解：因为()223f x x x =-+，所以()()3222122x f x x x x+'=--=-，故当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<和0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；又120ff ，∴函数有两个零点分别为1-，2.则函数的简图为函数()()f g x 有6个零点，()1g x ∴=-与()2g x =的根共有6个，()1f x b ∴=--和()2f x b =-都分别有3个实数根，则10b --<且20b -<，即2b >.故选:A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，考查了运用导数求函数的单调性，考查了数形结合.本题的难点是对()()y f g x =有6个零点这一条件的理解.一般地，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等于()(),y g x y h x ==的图像交点个数.12.已知抛物线()2:20C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点,A B （其中A 在x 轴上方），,A B 两点在抛物线的准线上的投影分别为,M N ，若23MF =，2NF =，则AFBF=( ) A. 3 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】【分析】由题意可知2MFN π∠=，由22216MNNF MF =+=，可求出4MN =，由MNFS可求出3p =，由1cos 2p MFO MF ∠==可知3MFO π∠=，从而可知23AF MF ==， 231cos p BF θ==+，进而可求AF BF 的值. 【详解】解：由题意知，AF AM =，BF BN =，则,AMF AFM BFN BNF ∠=∠∠=∠, 由////BN AM x 轴，可知22AFM BFN π∠+∠=，则2MFN π∠=，22216MN NF MF ∴=+=，4MN ∴=，112322MNFp MN NF S MF =⋅=⋅=， 3p ∴=，则1cos 2p MFO MF ∠== ，3MFO π∴∠=，AF AM =，AMF ∴△为等边三角形，∴直线AB 的倾斜角3πθ=，且23AF MF ==,又因为cos cos BN BF BF BF p θθ+=+=，则231cos 3p BF θ==+.3AF BF ∴=.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系.本题的关键是p 的求解.对于抛物线的问题，一般结合抛物线的定义，可减少运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6x⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240 【解析】【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=________.【答案】【解析】【分析】化简出P 的坐标，从而可求出cos α=()cos πα+的值.【详解】解：由题意知，221sin ,cos 3322P P ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到原点的距离为1，cos 2α∴=，()cos cos 2παα+=-=-. 故答案为: . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P 点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】5 【解析】【分析】由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110f f ==，进而可求出()9114f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数，所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1110f f == ()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.【答案】3 【解析】【分析】由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减可得()2122n n n a S S n -=++≥，结合1,2n n n a S S n -=-≥，可求出()113n n a a n --=≥，又21321a a -=-=，从而可求出{}n a 的通项公式1n a n =+，用错位相减法可求出332n n n T +=-，进而可求使得n T m <成立的最小的m 的值.【详解】解：由333321232n n n a a a a S S ++++=+，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+，两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S S a S S a n ---=+--=++≥，整理得，()2122n n n a S S n -=++≥，()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减得()22113n n n n a a a a n ---=+≥.数列{}n a 的各项为正数，()113n n a a n -∴-=≥，当1n = 时，321112a a a =+，即()211120a a a --=，解得12a =或1-（舍）或0（舍），又22212224a S S a =++=++，解得：23a =或22a =-（舍），则21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，12n n n b +∴=，12323412222nnn T +=++++，则23411111122222n n n T ++=++++，相减得1234111111111111111221222222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++++-=+--，3332n n n T +∴=-<，∴满足不等式的m 的最小正整数为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查了通项公式的求解，考查了错位相减法求和.本题的难点是由已知,n n S a 递推关系式的整理.一般地，已知,n n S a 递推关系时，常结合11,2,,1n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩进行求解. 本题的易错点是由错位相减法求n T 时，计算量大，容易算错.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）1027+. 【解析】【分析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得1cos 2A =，进而可求出A ；（2）由1sin 632ABCSbc A ==，可知24bc =，结合余弦定理可求出10b c +=，从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<，1cos 2A ∴=，则3A π=. （2）1632sin ABCbc SA ==，24bc ∴=.由余弦定理知， 2222cos 28=+-=a b c bc A ，即()222283b c bc b c bc =+-=+-，()2283100b c bc +=+=∴，解得10b c +=，ABC ∴的周长为1027+.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.一般地，若题目已知式子中既有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角和定理进行消角化简.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2178【解析】【分析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--，平面PCD 的法向量()0,4,3n =，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：PA AB =，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D . 所以()2,0,2AE =,()4,1,0AF =，()4,3,4PC =-，()0,3,4PD =-，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =，192cos ,,m n m n m n⋅∴==-，2178sin 1cos ,,m m n n ∴=-=，即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明. 19.2019新型冠状病毒（2019―nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表：戴口罩未戴口罩总计未感染301040（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）有把握；（2）分布列见解析，95. 【解析】【分析】（1）由表求出245043841..K ≈>，即可判断；（2）由题意知X 的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，()225030641045043841341640.10.K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则X 的取值可能为0，1，2，3.()343101030C P X C ===；()21463103110C C P X C ===；()1246210122C C P X C ===；()36310136C P X C ===，则X 的分布列为()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解.在第一问求2K 时，由于数据较大，应注意计算.一般对于求分布列的问题，写出分布列后，可结合概率之和为1这一性质，进行检验.20.已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-. 【解析】【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出23PF =13PF =，则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+12y y +=，12213y y t =-+，从而可用t 表示出11212223AF BF F AF F BSSSt =+=+，用内切圆半径表示出()11112AF BSAF F B AB r =++⋅=，即可知23r t =+，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知233a =+=a ∴=2221b ac =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+；所以11212121212AF BF F A F F BSS SF F yy =+=-===，又()1111114222AF B S AF F BAB r a r r=++⋅=⋅⋅=⋅=，=，即，21232r t ==≤+；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函数()()()2ln 2f x x a x a R =++∈.（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()122f x f x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，()f x 的最大值为1；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数()2242x x a f x x ++'=+，分为2a ≥，02a <<，0a ≤三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数()f x 存在两个极值点可知2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，从而可知()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，可求出a 的取值范围，结合韦达定理可求出()()12ln 42af x f x a a +=-+，结合令()ln 42x q x x x =-+，在()0,2x ∈上的单调性，可证明()()12ln 422af x f x a a +=-+>.【详解】解：（1）由题意知，()f x 定义域为()2,-+∞，且()2242x x af x x ++'=+，当1680a ∆=-≤时，解得2a ≥，此时()0f x '≥对[]1,1x ∈-成立，则()f x 在[]1,1-上是增函数，此时最大值为()11ln3f a =+，当2a <时，由2240x x a ++=得1x =-，由[]11,1---，取01x =-，则[)01,x x ∈-时，()0f x '≤；[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≥，所以()f x 在[)01,x x ∈-上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，又()11f -= 则当()()11f f >-，即0a >时，此时，()f x 在[]1,1-上的最大值为1ln3a +；当()()11f f ≤-，即0a ≤时，()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f -=，∴综上，当0a >时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1.（2）要使()f x 存在两个极值点，则2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，则对称轴为1x =-，则()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，解得02a <<，由韦达定理知121222x x a x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()()22121122ln 2ln 2f x f x x a x x a x ∴+=+++++()()2121212122ln 24x x x x a x x x x =+-++++⎡⎤⎣⎦()()222ln 22422a a a ⎡⎤=--⋅++⋅-+⎢⎥⎣⎦ln 42a a a =-+.令()ln42x q x x x =-+，()0,2x ∈，()ln 02xq x '∴=<，()q x ∴在()0,2上单调递减， 02x ∴<<时，()()22q x q >=，()()122f x f x ∴+>.【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了韦达定理，考查了运用导数求最值，考查了已知极值点的个数求参数.本题的难点在于第一问中，参数范围的确定；第二问中，如何将极值点个数转化为参数的取值范围.一般地，含参函数求最值时，首先求出定义域，然后求得导数，令导数为零，讨论导数为零有无根；当有根时，再讨论根是否属于定义域，结合单调性，即可求最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离.【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=，220x y x y +--=；（2）75.【解析】【分析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式，可得2cos sin ρρθρθ=+，从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程，可求出12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-=. 【详解】解：（1）消参得，直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，则22x y x y +=+ ，所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ，将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=，得2705t t +=，则12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通直角坐标方程的转化，考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了弦长问题.求第二问的弦长时，可结合直线和圆的图形，由勾股定理求解，但是计算稍麻烦；也可结合参数的几何意义求解.选修4-5：不等式选讲23.已知0a >，0b >，1a b +=. （1（2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】【分析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6+（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出114a b+≥，结合11x m x m +-+≤-，可得14m -≤，从而可求出m 的取值范围. 【详解】解：（1）21111116a b a b a b =+++++++++++=， =12a b ==时取等号，. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即a b =时取等号，11a b∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-，∴ 14m -≤，解得35m -≤≤，即m 的取值范围为[]3,5-.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

2021届全国天一大联考新高考模拟考试数学(理科)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟考试理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|1},{|0}A x x B x x ≤==<，则()RA B ⋃=（）A. {|1}x x ≥B. {|1}x x >C. {|1x x <-或01}x ≤< D . {|1x x ≤-或01}x <≤【答案】B 【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求A 与B 的并集，然后再求补集即可. 【详解】因为2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤，{|0}B x x =<，所以={|1}A B x x ≤，所以(){|1}RA B x x =>.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a =（） A.19B.112C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，369,,a a a 成等比数列，即9623a a a =⋅，所以392636312a a a =÷=÷=.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 3.设复数() ,z x yi x R y =+∈，下列说法正确的是（） A. z 的虚部是yi ; B. 22||z z =；C. 若0x =，则复数z 为纯虚数;D. 若z 满足|1|z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆. 【答案】D 【解析】【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：z 的实部为x ，虚部为y 所以故A 错；2222i z x y xy =++，222||z x y =+，所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|1|z i -=得||1x yi i +-=，|(1)|1x y i ∴+-=，22(1)1x y ∴+-=，所以D 对. 故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（） A. 8种 B. 9种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果. 【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目. 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】227sin 2sin 2cos 212sin 14424899πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C .【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（） A. 0.832 B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案】D 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008，所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，()ln ln 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A. a b c << B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较a 、b 、c 与0和1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】555log 1log 2log 5<<，则01a <<，0.50.5log 0.2log 0.51b =>=，ln1ln 2ln e <<，即0ln 21<<，()ln ln 2ln10c ∴=<=.因此，c a b <<. 故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①αβ⊥；②//αβ；③a β⊥；④//a α.则下列命题为真的是（）A. ①③⇒④B. ①④⇒③C. ③④⇒①D. ②③⇒④【答案】C 【解析】【分析】利用面面垂直的性质可判断A 选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B 选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C 选项的正误；利用面面平行的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由①③可知，//a α或a α⊂，A 错；对于B 选项，由①④可知，a 与β的位置关系不确定，B 错；对于C 选项，过直线a 作平面γ，使得b γα⋂=，//a α，则//a b ，a β⊥，b β∴⊥，b α⊂，αβ∴⊥，C 对；对于D 选项，由②③可知，a α⊥，D 错. 故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9.如图，为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为（）A. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-+- B. ()222cos 11sin si s n s n in i hβααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-++【答案】A 【解析】【分析】设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得AB ，得到答案.【详解】如图所示，设点P 在AB 上的投影为O ，在Rt △POB 中，可得sin hPB β=，由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-，所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅-⋅-=222222sin ()(sin cos cos sin )sin sin sin sin h h αβαβαββαβα--= 222222sin cos cos sin 2sin cos cos sin =sin sin h αβαβαβαββα+- 2222cos cos 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ+-22221sin 1sin 2cos cos =sin sin sin sin h αββααβαβ--+-22112cos cos 2sin sin sin sin h βααβαβ=+--22112sin sin 2cos cos sin sin sin sin h αβαβαβαβ+=+- 22112cos()sin sin sin sin h αβαβαβ-=+-故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（） A.43B.34C. 4D.54【答案】A 【解析】【分析】画出图像,分别作,A B 关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可.【详解】如图,作分别作,A B 关于准线的垂线,垂足分别为,D E ,直线AB 交准线于C .过A 作BE 的垂线交BE 于G ,准线与y 轴交于H .则根据抛物线的定义有,AF AD BF BE ==.设AF AD t ==,3BF BE t ==,故2BG t =,4AB t =,故1cos 2BG ABG AB ∠==. 故26BC BE t ==,故FH 是CBE △边BE 的中位线,故113244OF FH BE t ===.故4334AFt t OF==.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11.函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M 、N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（）①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称;②函数()f x 11,26--⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】分析】先求出函数()y f x =的解析式，验证403f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆C 的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆对称性，正弦函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()y f x =的一个对称中心，所以周期112136T ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，22T πωπ∴==，又函数()y f x =的图象过点1,06⎛⎫-⎪⎝⎭，则1sin 063f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =在16x =-附近单调递增，所以，()23k k Z πϕπ-=∈，可取3πϕ=.所以，()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 084s =33in 3f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对；当1126x -<<-时，22033x πππ-<+<，所以，函数()y f x =在区间11,26--⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为⎛ ⎝⎭，所以圆的半径为MC ==，则圆的面积为3136π，所以③对. 故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ，0)y 一定满足（） A. 00x = B. 0x m = C. 00y = D. 0y m =【答案】A 【解析】【分析】根据函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-，所以()2mx mxf x me mex m -'=-+-，所以()11112-'=-+-mx mx f x me me x m ()11112-'-=---mx mx f x me me x m所以()()112111R -=++∈-mx mx f x ee x mx m ，()()112111+R --=++∈mx mxf x e e x mx m又因为在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线方程分别为：()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+，联立消去y 得：()()1111211112+---+--++-mx mx mx mx me me x m x x e e x mx ，()()111121111+2--=--++-++mx mx mx mx me me x m x x e e x mx .解得0x =. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案】y x =± 【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的,,a b c 的关系进行求解【详解】由题知：2222⎧==⎪⇒=⎨⎪=+⎩c e a b ac a b，双曲线的渐近线方程为y x =± 故答案为y x =±【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质 14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是____________.【答案】[0,1] 【解析】【分析】分别在[)1,1t ∈-和[]1,3t ∈两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当[)1,1t ∈-时，1t s e -=，1t s e -=在[)1,1-上单调递增，)2,1s e -⎡∴∈⎣；当[]1,3t ∈时，3log s t =，3log s t =在[]1,3上单调递增，[]0,1s ∴∈；综上所述：输出的[]0,1s ∈. 故答案为：[]0,1.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为____________.【答案】2【解析】【分析】根据()0,1=AB ，1AB BC ⋅=，可得||cos 1-=BC B ，再由||7=AC ，利用余弦定理可解得||BC ，cos B ，进而得到sin B ，然后代入1sin 2=ABCS BA BC B 求解. 【详解】因为()0,1=AB ，所以||1=AB ，又因为||||cos()1π⋅=⋅-=AB BC AB BC B ，所以||cos 1-=BC B ，由余弦定理得222||||||2||||cos =+-⋅⋅AC AB BC AB BC B ，所以||2BC =，则1cos 2B =-，因为 0180<<︒B ，所以120B =︒，sin B =，所以面积为1133sin 122222==⨯⨯⨯=ABCSBA BC B . 故答案为：32【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，则二面角C AM N --的余弦值为_________；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是_________.【答案】 (1). 23 (2). 32[,5] 【解析】【分析】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算可得结果；取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连结1A O ，推导出平面//AMN 平面1A EF ，从而点P 的轨迹是线段EF ，由此能求出1PA 的长度范围．【详解】延长AM 交DC 于点Q ，过C 作AM 垂线CG ，垂足为G ，连接NG ，则∠NGC 为二面角C AM N --的平面角，计算得25CG =，22535()155NG =+=，所以25352cos 553NGC ∠=÷= 取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，取EF 中点O ，连接1A O ，点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点， 1//AM A E ∴，//MN EF ， AMM N M =，1A EEF E =，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，2211215A E A F ==+22112=+=EF ，1AO EF ∴⊥， ∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值221232(5)()2A O =-=，当P 与E （或)F 重合时，1PA 的长度取最大值为115A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为325]．故答案为：23；325] 【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =.（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）若12a =，32432a a a =+，求数列211log n n b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1n nS n =+ 【解析】【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得12log n n b b q +=-，由此证得结论；（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得q ，进而整理得到211log n n b a +，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列{}n b 满足2n b n a =，则2log n n b a =，1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++∴-=-==， ∴数列{}n b 为等差数列.（2）由12a =，32432a a a =+可得：23642q q q =+，解得：2q或1q =（舍），2n n a ∴=，则2log n n b a n ==，()211111log 11n n b a n n n n +==-++∴，11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90B AB C AD D ︒∠=，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =.（1）求证：EF //平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277【解析】【分析】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，找到平面PBF 的一个法向量n ，求出直线PA 向量n 所成夹角的余弦值，即可求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取PA 的中点M ，连结DM 、EM ，因为点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，所以//EM AB 且112EM AB ==，因为13DF FC =，所以411==DF DC ，所以1==EM DF ，又因为//AB DC ，所以//EM DF ，所以四边形EMDF 为平行四边形，所以//EF DM ，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ；（2）取AD 中点N ，BC 中点H ，连结PN 、NH ，因为PA PD =，所以PNAD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PN平面ABCD ，又//,90B AB C AD D ︒∠=，所以AD NH ⊥，以N 为原点，NA 方向为x 轴，NH 方向为y 轴，NP 方向为z 轴，建立空间坐标系，所以()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,1,0F -，在平面PBF 中()1,2,1=--BP ，()2,1,0=--BF ，()=1,0,1PA -,设在平面PBF 的法向量为(),,n x y z =，所以00BP n BF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，2020x y z x y --+=⎧⎨--=⎩，令1x =，则法向量()1,2,3n =--，又()1,0,1PA =-，设直线PA 与平面PBF 所成角为α，所以||27sin |cos ,|||||214α⋅=<>===⋅⋅PA n PA n PA n ，即直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为27.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19.已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、D 两点.（1）求过A 、B 、D 三点的圆E 的方程；（2）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（1）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P 、Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.【答案】（1）22948x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）24. 【解析】【分析】（1）求出A 、B 、D 三点的坐标，求得圆心E 的坐标，进而求出圆E 的半径，由此可求得圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由0∆=可得2212m k =+，由直线l 与圆E相切可得出22889k m =-+，进而可得出2221241k m =-=，求出直线OP 与直线EQ 的斜率，进而可求得结果. 【详解】（1）由题意可得)A、()0,1B -、()0,1D ，则圆心E 在x 轴上，设点(),0E m ，由BE AE =，可得)221m m +=，解得m =，圆E的半径为AE =. 因此，圆E的方程为2298x y ⎛+= ⎝⎭；（2）由题意：可设l 的方程为y kx m =+（k 存在且0k ≠），与椭圆C 联立消去y 可得()222124220kxkmx m +++-=，由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为()00,P x y ，由()()222216421120k m m k∆=-⨯-+=，可得2212m k =+，解得02k x m =-，01y m=，由圆E 与直线l4=，可得22889k m =-+.因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，可得2221241k m =-=，直线OP 的斜率为12OP k k =-，直线EQ 的斜率1EQ k k=-，综上：22421OP EQ k k k =⋅=. 【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20.武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000n N ∈份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案】（1）分布列见解析；（2）2k =，总次数为690次；3k =，总次数为604次；4k =，次数总为594次；减少406次【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，可得1q p =-，再由相互独立事件的概率求法可得k 个人呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1k q -，随机变量1,1X k k=+即可得出分布列. （2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令2,3,4k =求出期望即可求解. 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -，依题意可知1,1X k k=+，所以X 的分布列为：1111k kX k k Pq q +- （2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()210.910.692E X =-+=，此时1000人需要化验的总次数为690次，3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()410.910.59394E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少. 而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①, 当4k =时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()2ln 2,xe f x a x e R a =-∈ （1）若函数()f x 在2ex =处有最大值，求a 的值；（2）当a e ≤时，判断()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）a e =；（2）当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点. 【解析】【分析】（1）根据函数最值点可确定02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，从而求得a ；代入a 的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令()()ln 0tg t a a t e t =+->，将问题转化为()g t 零点个数的求解问题；分别在0a =、0a <和0a e <≤三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()22xe af x e x e'=-，()f x 在2e x =处取得最大值，2202e af e⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得：a e =. 当a e =时，()2ln 2xef x e x e =-，()22xe ef x e x e'=-，()22240xe ef x e x e''∴=--<，()f x '∴在()0,∞+上单调递减，又02e f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则0,2e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x ∴在0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 2e f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，满足题意；综上所述：a e =. （2）令2x t e=，()()ln 0tg t a a t e t =+->，则()g t 与()f x 的零点个数相等， ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<，∴函数()f x 的零点个数为0；②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<，()g t ∴在()0,∞+上为减函数，即函数()g t 至多有一个零点，即()f x 至多有一个零点.当10e a t e-<<时，1ln ln 1ea e a a t a a e a a e a -⎛⎫⎛⎫+>+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln t a a t e +∴>，即()0g t >，又()01g a e =-<，∴函数()g t 有且只有一个零点，即函数()f x 有且只有一个零点；③当0a e <≤时，令()0g t '=，即t a te =，令()()0th t te t =>，则()()10ttth t e te t e '=+=+>()t h t te ∴=在()0,∞+上为增函数，又()1h e =，故存在(]00,1t ∈，使得()00g t '=，即00t ae t =. 由以上可知：当00t t <<时，()0g t '>，()g t 为增函数；当0t t >时，()0g t '<，()g t 为减函数；()()0000max 0ln ln t ag t g t a a t e a a t t ∴==+-=+-，(]00,1t ∈，令()ln aF t a a t t=+-，(]0,1t ∈，则()20a aF t t t'=+>，()F t ∴在(]0,1上为增函数，则()()10F t F ∴≤=，即()()max0g t ≤，当且仅当1t =，a e =时等号成立，由以上可知：当a e =时，()g t 有且只有一个零点，即()f x 有且只有一个零点；当0a e <<时，()g t 无零点，即()f x 无零点；综上所述：当0a e ≤<时，函数()f x 无零点；当0a <或a e =时，函数()f x 只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：cos 4ρθ=；（2）2. 【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线1C 的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线1C 的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）由2OM =,求得OBM OAM ABM S S S ∆∆∆=-，求得ABM ∆面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，消去参数，可得普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又由cos ,sin x y ρθρθ==，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点B 的极坐标为(,)ρθ，点A 点的极坐标为00(,)ρθ，则0000,,2cos ,OB OA ρρρθθθ====，因为||||8OA OB ⋅=，所以08ρρ⋅=，即82cos θρ=，即cos 4ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（2）由题意，可得2OM =, 则2211||||242cos 42cos 22ABM B OBM O M A A S S S OM x x θθ∆∆∆=⋅-=⋅⋅=-=--，即242cos ABM S θ∆=-，当2cos 1θ=，可得ABM S ∆的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23.已知函数()|23||23|.f x x x =-++（1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）{|22}x x -≤；（2）6【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,a b c a b c ++++++= 当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线214y x =的准线方程是（） A. 1x =- B. 2x =- C. 1y =- D. 2y =-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，抛物线可化为24x y =，则2p =，所以准线方程为1y =-，故选C ．考点：抛物线的几何性质．4.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （）A.B.2C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ，使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64【答案】B 【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=-故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2x y -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==，根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=，故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0，故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =，则双曲线的离心率为（） A. 3B.5 C. 2 D.3【答案】B 【解析】【分析】计算得到2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据2FN FM =得到222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程解得答案.【详解】易知直线NF ：()a y x c b =-，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 2FN FM =，故222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2222222241a c c a b a c b⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，化简整理得到：22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得e =故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==，当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+；当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____.【答案】21nn + 【解析】【分析】计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF 的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ，由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+，所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--，所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z ++≥++∴-≤++≤，所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=，所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). (2).94．【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分)17.在锐角△ABC 中，a =________，（1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围．注：在①(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(6+ 【解析】【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案.（2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c A B C ===，故6ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b c A B C===，故24sin 4sin 4sin 4sin 3ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 6ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(6ABC l ∴∈+△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cosb A a Cc A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③11()cos (cos )24f x x x x =-＝21cos 2x sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋2×sin 22x －14111=(cos 22)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5μ=，14σ=，计算得到答案.（2）获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵14σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3893218316132∴39131165()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =，又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面（2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ，假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=，所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 20.已知函数21()(1)ln(1)()2f x x x ax x a R =++--∈ （1）设()'()h x f x =，试讨论()h x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围【答案】（1）在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）01a << 【解析】【分析】（1）计算()()()ln 1h x f x x ax '==+-，()11h x a x '=-+，讨论0a ≤，0a >两种情况，计算得到答案. （2）讨论0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况，求导得到函数单调区间，110h a ⎛⎫->⎪⎝⎭，由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，计算最值得到答案.【详解】（1）()()ln 1f x x ax '=+-，令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+；当0a ≤时，()0h x '>，()'fx ∴在()1,-+∞上递增，无减区间；当0a >时，令()0h x '>，则111x a -<<-，令()0h x '<，则11x a>-，所以()'fx 在11,1a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,∞+上递增，()()''00f x f ∴>=，()f x ∴在()0,∞+上递增，无最大值，不合题意；当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，()'f x 在()0,∞+上递减，故()()''00f x f <=，()f x ∴在()0,∞+上递减，无最大值，不合题意；当01a <<时，110a ->，由（1）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=；令()0g x '<，则01x <<；令()0g x '>，则1x >，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-，由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a>-，且()20h t <-=，又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00h x =；. 当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，故函数在()0,∞+上有最大值()0f x ．综上，01a <<.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ．（ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值；（ⅱ）求21S S 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值．【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=，即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十）数学试题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+，故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-，其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 4.251(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为（） A. 5 B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】【分析】利用乘法分配律和二项式展开式通项公式，求得3x 的系数. 【详解】依题意，展开式中3x 的项为()12243355151015x C x C x x x x⋅+⋅=+=，所以3x 的系数为15. 故选：C【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查乘法分配律，属于基础题.5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =，则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=；则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =；则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率3c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7.东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4⨯ 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（） A. 144种 B. 8种 C. 24种 D. 12种【答案】B 【解析】【分析】由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理，可求出答案.【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法；若甲承担自由泳，则乙运动员有122C =种安排方法，其他两名运动员有222A =种安排方法，共计224⨯=种方法.所以中国队参赛共有448+=种不同的安排方法. 故选：B .【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =，因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =，所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，12ω∴=. 又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+，故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . 选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数，则()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为π3； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥⑤PQ 与1DD 5. 其中正确个数为（） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】结合空间中线线、线面、面面间的位置关系及正方体的性质，对题中5个说法逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①，当Q 为11B C 的中点时，因为1//C Q PD 且1C Q PD =，所以四边形1C QPD 是平行四边形，所以1//PQ C D ，又因为PQ ⊄平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，所以//PQ 平面11CDD C ，故①正确；对于②，当Q 为11B C 的中点时， 1//PQ C D ，又111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，此时PQ 与BC 所成的角为π2，故②错误；对于③，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，且1111C DB C C =，可得1CD ⊥平面11ADC B ，又PQ ⊂平面11ADC B ，故1CD PQ ⊥，故③正确；对于④，当Q 为11B C 的中点时，线段PQ 的长为两平行线11,AD B C 之间的距离，且12PQ C D AB ==，故2PQ AB ≥，即④正确；对于⑤，如图，点E 为11A D 中点，连结,PE QE ，因为1//PE DD ，所以PQ 与1DD 所成角的正切值即为PQ 与PE 所成角的正切值，为EQPE，点Q 为11B C 上移动，PEQ 始终为直角三角形，当Q 与1B 或1C 重合时，EQ 取得最大值，此时PQ 与PE 所成角的正切值最大，且PQ 与PE 所成的角也最大，设正方体边长为2，则2PE =，221215EC =+=，所以所成最大角的正切值为5，故⑤正确. 所以正确的个数为4. 故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及其应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.2【答案】D 【解析】【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e x y '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x -'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==，当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=，则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ 的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【解析】【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()aa b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-，所以向量a 在()a b -上的投影为()262125a ab a b⋅-==+-. 故答案为：262. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.已知A ，B 是抛物线22y x =上的两个动点，O 为坐标原点且满足0OA OB ⋅=，直线AB 与x 轴交于点M ，当2AM BM =时，直线AB 斜率为__________.【答案】【解析】【分析】设直线AB 的方程为x my t =+，与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由0OA OB ⋅=，可得12120x x y y +=，结合韦达定理，可求出124y y =-，由2AM BM =，可得122y y =-，进而可求出,m t 的值，由1AB k m=，可求出直线AB 的斜率. 【详解】由题意，设直线AB 的方程为x my t =+，联立22y x x my t⎧=⎨=+⎩，得2220y my t --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121222y y my y t +=⎧⎨=-⎩，因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即22121204y y y y +=，即1212041y y y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为120y y ≠，所以124y y =-，所以2t =，由2AM BM =，可得122y y =-，所以22222422y m y y +=⎧⎨-=--⎩，解得222y =，212m =，所以2m =±，即1AB k m ==故答案：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查韦达定理的应用，及平面向量数量积的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1-【解析】【分析】易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=，若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】【分析】（1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ；（2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==， a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯， 201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”.“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率，（例如：若需求量[)80,90x ∈，则取85x =，且85x =的概率等于需求量落入[)80,90的频率），求小王的网店下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩；（2）0.7；（3）见解析，期望为70900元【解析】【分析】（1）分别写出[)70,100x ∈和[]100,120x ∈时，利润y 的表达式，进而利用分段函数可得到所求函数；（2）结合（1），令67000y ≥，分[)70,100x ∈和[]100,120x ∈两种情况，分布求出对应x 的范围，结合频率分布直方图，可求出所求概率；（3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115，结合（1）可得利润y 的所有取值，进而求出对应概率，可求得下一个月销售利润y 的分布列和数学期望.【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润，当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=.所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤<⎩. （2）由题意令67000y ≥，当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 当[]100,120x ∈时，8000067000y =>.综上可知，若利润不少于67000元，则[]90,120x ∈.由频率分布直方图可知，需求量[]90,120x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以小王的网店下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7. （3）由频率分布直方图知，需求量x 可取75，85，95，105，115. 当75x =时，1300755000047500y =⨯-=；当85x =时，1300855000060500y =⨯-=；当95x =时，1300955000073500y =⨯-=；当105x =时，80000y =；当115x =时，80000y =.所以()475000.010100.1P y ==⨯=，()605000.020100.2P y ==⨯=，()735000.030100.3P y ==⨯=，()()800000.0250.015100.4P y ==+⨯=.故小王的网店下一个月内销售利润y 的分布列为：y （元） 4750060500 73500 80000 p0.10.20.30.4()475000.1605000.2735000.3800000.470900E y =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.所以小王的网店下一个月内销售利润y 的期望为70900元.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分段函数的应用，考查分布列及数学期望的求法，考查概率的计算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66N 点位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点. 【解析】【分析】（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面PBC ，得到答案.（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EBED E =，∴PE ⊥平面EBCD .又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ，由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ，又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ，易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理），即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，BN ENRQ EQ= 即222x x RQ +=，得222RQ x =+，∴24tan MQ x MRQ RQ +∠==，依题意知6cos 6MRQ ∠=，即24tan 5x MRQ x+∠==，解得1(0,2)x =∈，此时N 为BC 的中点.综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点.【点睛】本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2P ⎫⎪⎪⎭.（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x yb b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=，由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=，解得65m =或2m =，因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==，设211044t t k ⎛⎫=<≤⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t =时，1625ABCS ==，所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数()()21ln 22f x m x x x m =+-∈R . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()120f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）()f x 的定义域为0,，对()f x 求导，分0m ≤、01m <<和1m ≥三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=有两个不等正根，可求得212x x =-，()112m x x =-，及101x <<，212x <<，由()120f x ax -≥恒成立，可得111112ln 122a x x x x ≤+---恒成立，构造函数()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-，求导并判断单调性可知()()1g x g >，令()1a g ≤即可.【详解】（1）()f x 的定义域为0,，求导得()222m x x m f x x x x -+'=+-=，令0f x ，得2x 2x m 0-+=，()4441m m ∆=-=-，若1m ≥时，0∆≤，0f x 在0,上恒成立，()f x 单调递增；若1m <时，>0∆，方程2x 2x m 0-+=的两根为11x =21x =当0m ≤时，10x <，20x >，则()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()2,x +∞单调递增；当01m <<时，120x x <<，则()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，0f x ，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增.综上，当0m ≤时，()f x的单调递增区间为()1++∞；当01m <<时，()f x的单调递增区间为(0,1，()1+∞；当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为0,.（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根 ()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<，此时不等式()120f x ax -≥恒成立，等价于()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立，可化为()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----恒成立，令()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-，则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x -'=+--=+-=+---， ()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在0,1恒成立，()g x ∴在0,1上单调递减，()()12310112212g x g >=+-⨯-=--∴， 32a ∴≤-. 故实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线112:12x t C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案.（2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=，其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0，又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤，所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-，所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(十四)理科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数14z i =-，24z i =+，则12z z i等于（） A. 15i B. 15i -C. 17iD. 17i -【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法和除法运算法则可求得结果.【详解】()()12441717i i z z i i i i-+===- 故选：D【点睛】本题考查复数的乘法和除法混合运算，属于基础题. 2.设集合A ={5，ba，a -b }，B ={b ，a +b ，-1}，若A ∩B ={2，-1}，则A ∪B =（） A. {}2,3B. {1,-2，5}C. {2,3，5}D. {1,-2，3，5}【答案】D 【解析】【分析】根据A∩B＝{2，－1}，得21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，求得a b 、代入集合B 中检验，即可求得结果. 【详解】A∩B＝{2，－1}，{}5,2,1A ∴=-，21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12b a a b ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩（1）当12a b ==，时，{}2,3,1B =-满足题意，{}1,2,3,5A B ⋃=- （2）当11a b ==-，时，{}1,0,1B =--不满足集合元素的特征，舍去综上{}1,2,3,5A B ⋃=- 故选D.【点睛】本题考查集合中元素的特征，根据题意由其中一个集合条件解出未知数，代入另一个集合检验是常用的解题思路，考查了分类讨论思想，属于基础题.3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：因为直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，若αβ⊥，根据面面垂直的性质定理，,b α⊥一定有b a ⊥；反之，当b a ⊥，若a l 时，αβ⊥不一定成立，所以“a b ⊥”是“αβ⊥”的必要不充分条件，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、面面垂直的判定与性质. 4.若110a b<<，则下列四个不等式恒成立的是（） A. ||||a b >B. a b <C. 33a b <D.a b ab +<【答案】D 【解析】【分析】由不等式可得0b a <<，依次验证各个选项可得结果. 【详解】110a b<< 0b a ∴<< a b ∴<，a b <，33b a <，可知,,A B C 错误；0ab >，0a b +< a b ab ∴+<，D 正确.故选：D【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.5.过抛物线22y x =的焦点作一条直线与抛物线交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于1，则这样的直线（） A. 有且仅有零条 B. 有且仅有一条C. 有且仅有两条D. 有且仅有四条【答案】B 【解析】【分析】根据AB 与抛物线的通径长相等可确定这样的直线有且仅有一条.【详解】由抛物线方程知其通径长为：22p =由抛物线焦点弦公式可知：12112AB x x p =++=+=，与通径长相等∴这样的直线有且仅有一条故选：B【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的相关问题，涉及到抛物线焦点弦长的求解，需明确焦点弦中最短的为通径.6.如图，在三棱锥O ABC -中，1OA OB OC ===，90AOB ︒∠=，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 中点，则OD 与平面OBC 所成的角为（）A.4π B.3π C.2π D.34π 【答案】A 【解析】【分析】取OB 中点E ，由线面垂直性质可得DE OC ⊥，由三角形中位线性质可得DE OB ⊥，从而根据线面垂直判定定理证得DE ⊥平面OBC ，由线面角定义可知DOE ∠为所求角；利用等腰三角形性质可求得结果.【详解】取OB 中点E ，连接DEOC ⊥平面OAB ，DF ⊂平面OAB DE OC ∴⊥,D E 分别为,AB OB 中点 //DE OA ∴，又AOB 90∠= DE OB ∴⊥,OB OC ⊂平面OBC ，OB OC O = DE ∴⊥平面OBCDOE ∴∠即为OD 与平面OBC 所成角OA OB =，D 为AB 中点 1452DOE AOB ∴∠=∠=，即4π OD ∴与平面OBC 所成角为4π故选：A【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解问题，关键是能够结合线面垂直性质与判定定理、三角形中位线的性质，在图形中找到垂直关系，从而确定直线与平面所成角. 7.函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.8.若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( )A. [-1，+∞]B. （-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-1）【答案】C 【解析】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．9.已知,αβ为锐角，11sin(2),cos 53αββ+==，则sin()αβ+的值为（）【答案】D 【解析】【分析】根据cos cos3πβ<可得到32ππβ<<，从而确定23232ππαβ<+<，由同角三角函数可求解出sin β和()cos 2αβ+，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】11cos cos 323πβ=<=且β锐角 32ππβ∴<<sin β∴=又02πα<<23232ππαβ∴<+<，又()1sin 25αβ+= ()cos 2αβ∴+=()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin αβαββαββαββ∴+=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111535315⎛⎫+=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能将所求角利用已知角配凑出来，进而利用公式进行求解；易错点是在求解同角三角函数值时，未将角的范围确定准确，造成三角函数值的符号求解错误.10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，22(3)cos a b C CA CB -=⋅，则角C =（）A.6π B.3π C.2π或6π D.3π或2π 【答案】D 【解析】分析：由正弦定理得12b c =，即2c b =，又由22(3)cos a b C CA CB -=⋅，得22(3)cos cos a b C ab C -=，所以cos 0C =或223a b ab -=，分类讨论即可求解C 角的大小. 详解：因为sin 1sin 2B C =，由正弦定理得12b c =，即2c b =，由22(3)cos a b C CA CB -=⋅，得22(3)cos cos a b C ab C -=，所以cos 0C =或223a b ab -=，当cos 0C =时，2C π=；当223a b ab -=时，由余弦定理得222222222222(2)31cos 22(3)2(3)2a b c a b b a b C ab a b a b +-+--====--，所以3C π=，综上所述：2C π=或3C π=.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.11.如图所示，已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，3,2,60EA EB AD AEB ︒===∠=，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为（）A.163πB. 8πC. 16πD. 64π【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点F ，由等腰三角形三线合一和面面垂直的性质可确定EF ⊥平面ABCD ，取,AC BD 交点G ，可知球心O 与G 的连线OG ⊥平面ABCD ；作//OM FG ，假设OG MF x ==，分别在Rt EOM ∆和Rt OGB ∆中利用勾股定理可构造关于x 和球的半径R的方程组，解方程组求得R ，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】取AB 中点F ，连接EF ；连接,AC BD ，交于点G ，连接FG ；设O 为E ABCD -外接球球心，连接OG ，过O 作//OM FG ，交EF 于点M四边形ABCD 为矩形 G ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心由球的性质可知：OG ⊥平面ABCDEA EB =，F AB 中点 EF AB ∴⊥平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB = EF ∴⊥平面ABCD//OG EF ∴，又//OM FG ∴四边形OMFG 为平行四边形 112OM FG AD ∴===，OG MF = 60AEB ∠=，EA EB = EAB ∴∆为等边三角形 3AB ∴=又933942EF =-=，11139422BG BD ==+= 设OG MF x ==，E ABCD -外接球半径为R则2222221x R x R ⎧⎫⎪-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，解得：24R = ∴多面体E ABCD -的外接球的表面积2416S R ππ==故选：C【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据垂直关系以及球的性质确定球心的位置，通过直角三角形勾股定理来构造出关于球的半径的方程，解方程求得球的半径，进而求得结果.12.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（） A. 20192020-B. 20202019-C. 20202021-D. 20212020-【答案】C 【解析】【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果. 【详解】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=，因0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1，所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()()2121111112(1)1nn n n n n a n c s n n n n ++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，满分20分）13.己知函数23()21x xa f x ⋅+=-在定义域内为奇函数，则实数a=_______．【答案】3 【解析】【分析】由题得f(-x)+f(x)=0,由此化简求出a 的值.【详解】由题得f(-x)+f(x)=0,所以323232320,0,121212112xxx x x x x x a a a a --+⋅+⋅+⋅++=∴+=---- 322332230,0122121x x x x x x xa a a a +⋅⋅+--⋅+⋅+∴+=∴=---， 32230,2(3)(3)0,x x x a a a a ∴--⋅+⋅+=∴---= (21)(3)0,3x a a ∴--=∴=.故答案为3【点睛】本题主要考查奇偶性的性质和指数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918S =-，1352S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，则15b 的值为___________.【答案】64-. 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式，利用1a 和d 表示出913,S S ，解方程组可求得1a 和d ，由等差数列通项公式求得57,a a ，即57,b b ，进而求得等比数列的2q ，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d则91113119899361821312131378522S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=-⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=-⎪⎩，解得：121a d =⎧⎨=-⎩5514242b a a d ∴==+=-=-，77164b a a d ==+=-设等比数列{}n b 公比为q ，则2752b q b == 841574264b b q ∴==-⨯=- 故答案为：64-【点睛】本题考查等差和等比数列的综合应用问题，涉及到等差数列和等比数列的通项公式、等差数列前n 项和公式的应用，属于基础公式的应用问题.15.已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =__________．【答案】2 【解析】设切线为0x ay m ++=，因为过()2,2P ，故22m a =--，所以切线为220x ay a +--=，又圆心到它的距离为d r ===2a =，故填2．16.若关于x 的方程2||2x kx x =+恰有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(1,)+∞. 【解析】【分析】将所给方程有四个不同的实根转化为函数1y k =的图象和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩的图象有3个交点，通过数形结合的方式来确定1k的范围，进而求得结果. 【详解】关于x 的方程22x kx x =+有四个不同的实根，且0x =是此方程的一个根∴关于x 的方程12k x x =+有3个不同的非零的实数解 ∴方程()()2,012,0x x x x x x k ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩有3个不同的非零的实数解，即函数1y k =的图象和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩的图象有3个交点画出函数()g x 图象，如图所示：∴当101k <<，即1k >时，函数1y k =和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩有3个交点即当()1,k ∈+∞时，方程22x kx x =+恰有四个不同的实根故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为两函数的交点个数的问题，通过数形结合的方式，结合函数图象可确定参数的取值范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.若向量()3sin ,sin a x x ωω=，()cos ,sin b x x ωω=，其中0>ω，记函数()12f x a b =⋅-，若函数()f x . （I ）求()f x 的表达式；（II ）设ABC ∆三内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若3a b +=，c =，()1f C =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【解析】【分析】（I ）利用平面向量数量积运算、二倍角和辅助角公式将函数化为()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两相邻极值点之间距离可构造方程求得函数的最小正周期，由此可求得ω，进而得到函数解析式；（II ）根据C 的范围和()1f C =可求得3C π=，利用余弦定理可构造方程求得ab ，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（I ）()211cos sin 2cos 2sin 2226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭()f x ，即2=T π∴=，即22ππω=，解得：1ω= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（II ）由()1f C =得：sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 0C π<< 112666C πππ∴-<-< 262C ππ∴-=，解得：3C π=3a b +=，c =2222cos3c a b ab π=+-()233a b ab +-=∴，即：2ab =ABC∆∴的面积13sin2S ab C==【点睛】本题考查三角函数和解三角形的综合应用问题，涉及到平面向量数量积运算、利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数周期性的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图，在三棱锥P ABC-中，平面PAB⊥平面ABC，AP BP⊥，AC BC⊥，60PAB∠=，45ABC∠=，D是AB中点，,E F分别为,PD PC的中点.（Ⅰ）求二面角B PA C--的余弦值；（Ⅱ）在棱PB上是否存在点M ，使得//CM平面AEF？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）217；（Ⅱ）存在，23.【解析】【分析】（Ⅰ）取AD中点O，连接PO，根据直角三角形性质和等腰三角形三线合一可证得PO AB⊥，由面面垂直性质知PO⊥平面ABC；作//OG CD，由等腰三角形三线合一和平行关系可知OG AB⊥，从而可得到,,PO OG AB两两互相垂直，可建立起空间直角坐标系；利用二面角的向量求法可求得结果；（Ⅱ）设PM PBλ=，可表示出M坐标；根据线面垂直的判定定理可证得PD⊥平面AEF，进而得到平面AEF的法向量PD，若线面平行关系成立，则0CM PD⋅=，由此构造方程可求得λ，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）在PAB∆中，取AD中点O，连接POAP BP⊥，D为AB中点PD AD∴=又60PAB∠=PAD∴∆为等边三角形PO AB∴⊥在平面ABC中，过O作CD的平行线，交AC于GAC BC⊥，45ABC∠=AC BC∴=，又D为AB中点CD AB∴⊥又//OG CD OG AB∴⊥平面PAB⊥平面ABC，平面PAB⋂平面ABC AB=，PO⊂平面PABPO∴⊥平面ABC，又OG⊂平面ABC PO OG∴⊥,,OG OB OP两两垂直，如图可建立空间直角坐标系O xyz-设4AB a=，则()0,,0A a-，()0,3,0B a，()2,,0C a a，()3P a，()0,,0D a，30,,22aE a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，3,,22aF a a⎛⎫⎪⎪⎝⎭则()2,2,0AC a a=，()0,,3PA a a=--设平面PAC的法向量(),,n x y z=则n ACn PA⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30x yy z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z=，则3y=3x()3,3,1n∴=-又平面PAB的一个法向量为()2,0,0DC a=2321cos,72n DC an DCan DC⋅∴===⨯⋅二面角B PA C--为锐二面角∴二面角B PA C--的余弦值为217（Ⅱ）设M是棱PB上一点，则存在[]0,1λ∈使得：PM PBλ=∴点()()0,31M a λλ-，则()()()2,311CM a a λλ=---由（Ⅰ）知：CD ⊥平面PAB CD PD ∴⊥ //EF CD EF PD ∴⊥又PAD ∆为等边三角形，E 为PD 中点 AE PD ∴⊥,EF AE ⊂平面AEF ，EF AE E = PD ∴⊥平面AEF∴平面AEF的一个法向量为()0,,PD a =CM ⊄平面AEF //CM ∴平面AEF 当且仅当0CM PD ⋅=时成立即()()()()()()222,3110,,31310a a a a a λλλλ---⋅-=---=解得：23λ=∴在棱PB 上存在点M ，使得//CM 平面AEF ，此时23PM PB λ== 【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用问题，涉及到二面角的求解、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过共线向量将未知数减少为一个，进而根据线面平行关系可确定所证向量与平面法向量垂直，由此构造方程求得结果.19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20.已知椭圆2222C :1(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F 过点1F 与y 轴垂直的直线交椭C 于,M N 两点，2MNF ∆C 的离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆交于,A B 两个不同的点，若存在m 使得34OA OB OP +=，求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214y x +=；（Ⅱ）()()2,11,2--⋃.【解析】【分析】（Ⅰ）令y c =可求得MN ，进而表示出2MNF ∆的面积，与离心率和椭圆,,a b c 关系一起可构成方程组求得22,a b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由向量线性运算可知3AP PB =，从而得到,A B 横坐标之间关系为123x x =-；将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用123x x =-，即()21212340x x x x ++=可求得22241m k m -=-，根据联立后的二次方程>0∆可构造出关于m 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距2c当y c =时，2122bMN x x a=-=2MNF ∴∆的面积为212122b cMN F F c MN a⨯⨯===又2c e a ==，222a b c =+，解得：21b =，24a = ∴椭圆C 的标准方程为：2214y x +=（Ⅱ）由34OA OB OP +=得：1344OP OA OB =+ 3AP PB ∴= 设()11,A x y ，()22,B x y由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得：()2224240k x mkx m +++-= 则()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>12224x km x k -∴+=+，212244m x x k -=+由3AP PB =得：123x x =- ()21212340x x x x ∴++=()()2222224412044m k m k k-∴+=++ 222240m k m k ∴+--=显然21m =不成立 22241m k m -∴=-2240k m -+> 2224401m m m -∴-+>-，即()222401m m m ->- 解得：21m -<<-或12m <<m ∴的取值范围为()()2,11,2--⋃【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到平面向量在椭圆中的应用；解题关键是能够根据平面向量的线性运算得到比例关系，从而得到横坐标之间的关系，利用韦达定理和判别式来构造方程和不等式求得结果.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21xg x x e ax =-+，a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程；（2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；（3）证明()()f x g x ≤. 【答案】（1）65y x =-（2）0,（3）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数'()f x ，计算'(2)f 得切线斜率，由点斜式写出直线方程，整理成一般式即可；（2）函数()g x 有两个零点，首先用导数来研究函数的性质：单调性、极值，然后由零点存在定理进行判断，求出'()(2)xg x x e a =+，按a 分类讨论，0a =时，()(1)xg x x e =-只有一个零点；0a >时，20x e a +>，这样易判断'()g x 的正负，从而得()g x 的单调区间和极值，由零点存在定理可判断符合题意；在0a <时，'()0g x =有两个解10x =和2ln(2)x a =-，又要按12,x x 的大小分类研究'()g x 的正负得()g x 的单调性，从而确定零点个数，最后综合可得；（3）证明函数不等式()()f x g x ≤，可证()()0f x g x -≤，设()()()h x f x g x =-，利用导数)'(h x 求出()h x 的最大值，只要最大值小于等于0，即证．试题解析：（1）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a +'==，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-.即65y x =-.（2）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1xg x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x ex x ->-，所以()21g x ax x >+- 取01142a x a--+=，显然00x <且()00g x > 所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a =+='，得0x =，或()2x ln a =-. )i 当12a <-，则()20ln a ->. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g=-，所以函数()g x至多有一个零点，不符合题意.)ii当12a=-，则()20ln a-=，()g x在(),-∞+∞单调递增，函数()g x至多有一个零点，不符合题意.若12a>-，则()20ln a-≤.当x变化时，()g x'，()g x变化情况如下表：注意到当0x<，0a<时，()()210xg x x e ax=-+<，()01g=-，所以函数()g x至多有一个零点，不符合题意.综上，a的取值范围是()0,+∞.（3）证明：()()()()111xg x f x x e ln x x-=-----.设()()()111xh x x e ln x x=-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x≥即可.因为();111x xxh x xe x ex x⎛⎫=-=-⎪--⎝⎭，取311x e-=+，则()()131xh x x e e=-<'，且()20h'>.又因为()()()21101xh x x ex=++-'>'，所以函数()h x'在()1,+∞上单增.所以()0h x'=有唯一的实根()1,2x∈，且011xex=-.当01x x<<时，()0th x<；当x x>时，()0h x'>.所以函数()h x的最小值为()0h x.所以()()()()000000111110xh x h x x e ln x x x x≥=-----=+--=.所以()()f xg x≤.点睛：利用导数证明不等式的技巧：（1）树立服务意识．利用给定函数的某些性质岧函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式．（2）强化变形技巧．对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明．例如采用两边取对数（指数），移项通分等等，要注意变形的方向，因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边出现需要的函数关系式．（3）巧妙构造函数，．根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行解决，在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验．（4）证明操作过程：①构造函数()x ϕ，转化为证明()0x ϕ>或()0x ϕ<；②利用导数求函数()x ϕ的单调区间；③利用定义域内()x ϕ与0的大小关系，证明不等式．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，常数0r >），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）若曲线1C 与2C 有公共点，求r 的取值范围；（2）若1r =，过曲线1C 上任意一点P 作曲线2C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最大值.【答案】（1）35r ≤≤（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数同角三角函数关系消元得曲线1C 的普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，最后根据两圆位置关系列不等式，解得r 的取值范围；（2）先根据切线长公式得2PQ ，再根据三角函数有界性得最大值.【详解】解：（1）曲线1C 的普通方程为222(0)x y r r +=>，曲线2C 的普通方程为()2241x y +-= 若1C 与2C 有公共点，则()()22100401r r -≤-+-≤+，所以35r ≤≤. （2）设()cos ,sin P αα，由22222221PQ PC C Q PC =-=- ，得()222cos sin 41PQ αα=+-- 168sin 18824α=-≤+=.当且仅当sin 1α=-时取最大值，故PQ 的最大值为26.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及两圆位置关系、切线长公式等，考查基本分析求解能力，属基本题.23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）10a -<<. 【解析】【详解】（1）0a =时，1,1,()1{21,10,1,0.x f x x x x x x -<-=+-=+-≤<≥∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意；当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得102x -≤<；当0x ≥时，()1f x =0>符合题意．综上，()0f x ≥的解集为1[,)2-+∞．（2）设()1u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图，易知()y u x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(十四)理科数学

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（十四）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（） A ．34i --B ．34i -+C ．34i +D ．34i -2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（）A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（） A ．cos c CB ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x +-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞7．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数，将组成a 的2个数字按从小到大排成的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（）A ．30B ．35C ．40D ．458．已知2211()11x x f x x --=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-9．sin cos()6πx x -+=（）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+ D ．13sin(22π)3x +-10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A．160359B．289359C．1191077D．958107711．在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，E为侧棱1DD上一点，1AB=，12AA=，且异面直线DB与1C E所成角的余弦值为2613，则DE=（）A．12B．23C．1D．3212．设F是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH△的内切圆与x轴切于点B，且2BF OB=，则C的离心率为（）A．3174+B．4174+C．33178+D．33174+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3yx-的展开式中5x y的系数为．14．已知函数()sinf x x=，若()()f a x f a x+=-，0πa<<，则a=．15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数22(()log)f x x a x=+-是R上的奇函数，函数()|2 |g x m x a=--，若()()f xg x≤对3[,2]4x∈-恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设nS为数列{}na的前n项和，已知37a=，1(2)n na a d n-=+≥，其中d是不为0的常数，且1a，2a，6a成等比数列．（1）求{}na的通项公式；（2）若55mS m=，求m．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率；19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω．（1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，2AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<．（1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)A B =．3．【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，解得1a =-． 4．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量． 5．【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92，故9[0,]2z ∈．7．【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =． 8．【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=，∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =． 9．【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (cos sin )6π6π2x x x x x x x -+=-=+ 3111sin 2(1cos 2)sin(2)42π464x x x =+-=-+． 10．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =，设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--，从而1,||s co DB C E 〉==〈 ∵02t <≤，∴12t =． 12．【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴||OH a ==，则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==，即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴e =第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2-【解析】6()3yx -的展开式中5x y 的系数为161C ()23-=-．14．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =．15．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =，因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-．（2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．【答案】（1）2214x y +=；（2）6k =±．【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即2214x y +=，此即为Ω的方程．（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意；当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214ky y k +=-+，2122314k y y k =-+，∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k +=-=-+，22123214k y k -=-+，∵10y ≠，∴2512k =，∴k =．20．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，因为2AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当443x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减，故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，30cos ,656〈〉==-⨯m n ，由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为306． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->，当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<，()f x 在(20,)2a +上单调递增；由()0f x '<，得22a x +>，()f x 在2,)2(a ++∞上单调递减．（2）易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥，由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，当2a >时，()f x 在(20,)2a +上单调递增，在(2,)2a a +上单调递减，则22m x 22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，故224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>，设224()(2)ln (2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >， ∵2314(34)(2)22a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <+-，只需证2234ln 242a a a +--+<，即证256ln 024a a +--<，设256()ln (2)24x x h x x +-=->，则15()024h x x '=-<+，则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256ln024a a +--<，则23()42p a a a <+-，从而234ln 2()42p a a a <<+-．22．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即22(2)4x y -+=， ∴曲线D 的直角坐标方程为22(2)4x y ++=．（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =，从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，122sin 342cos 7)π(4d d ααα+=++-=+-，故12d d +的最小值为7-23．【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析．【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得12k x +>-，因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以132k +-=-，解得5k =，当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =，经检验5k =，2a =满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+，同理()|21|f n n ≥+，因为5m n k +==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．。