系统建模与仿真-第4次课--第2章

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由式（2.146）可得 N
N
0 u(i) y(i) / u2 (i)
i 1
i 1
设
x0 T0 0 1 1/ N u2 (i) i 1
（2.148） （2.149）
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若系统阶次为n时已经求出 xn Tn n 1 ，则系统阶次
, i 1, 2,3,
则{ξi}是伪随机数序列，循环周期可达2k。
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2
正常输入
X(t)
Rxy ( )
0
g( )Rx (
)d

kg( )
线性系统
g(τ)
y(t)+yw(t)
白噪声
Xw (t)
延迟τ
乘法器
Xw (t-τ)
K g(τ)
积分器
具有正常输入时的系统辨识模拟方块图
0.6
2.1
1.5

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该矩阵的转置为
0.3 0.5 0.2 0.6 ΦT 2.7 0.8 1.5 2.1
2.1 2.7 0.8 1.5
两者之积为
0.74
ΦTΦ


1.97
0.02
1.97 14.59 9.78
0.02 9.78 14.59
可以推出矩阵 T 为正定的必要条件是：u(k) 为
持续激励信号。（推导过程略）
随机序列或伪随机二位式序列都可以作为测试信 号 u(k)。
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二电平M序列的产生
由于M序列对时间是离散的，而输入需要对时间连续，所 以在实际应用中，总是把状态为“0”和 “1”的M序列变换成幅 度为+a和-a的二电平序列，其中“0”对应高电平+a，“1”对应 低电平-a。这种对时间连续的序列称为二电平M序列
辨识结果，矩阵 T 的阶数常常取得相当 大。这样，
在用式（2.146）计算系统参数的估计值 时，矩阵求
逆的计算量很大。本节介绍一种算法来代替矩阵求
逆，在不降低辨识精度的前提下，可以使辨识速度有 较大提高。具体算法如下。
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首先设系统的阶次为0，则有
u(1)
Φ0

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u(3) 0.8
y(3) 0.2
10
[解]
令最优参数估计为 θˆ
yˆ(2)

aˆ1
bˆ0

，
令输出

bˆ1

Y

y(2)

y(3)

y(4)

y (5)
的最优估计为 Yˆ


yˆ (3)
。
yˆ(4)
(T )1T y
（2.98）
J为极小值的充分条件是
2J T 0
2
（2.99）
即矩阵 2015-6-28
T 为正定矩阵，或者说矩阵
T 是非奇异的8 。
[例2.1]已知某一单输入单输出线性系统的差分方程形 式为
y(k) a1y(k 1) b0u(k) b1u(k 1) (k)
数为n+1时有
式中
' n1

n
2n1
（2.150）
2n1 y(1 n) y(2 n) y(N n)T （2.151）
' n1
T
' n1

2TTnn
1

n
2n1 2TnTn1nn
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ΦTΦ 的特征值为1 0.2417，2 5.2244，3 24.4538。
由于它的特征值均为正数，所以ΦTΦ 为正定矩阵， 满足残差二次型 J eTe 取最小的充分条件，其中
e Y Yˆ 。
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根据残差二次型 J eTe 取最小的必要条件

u(2)

u(N )
y(1)
y


y(2)


y(N
)
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则 T0 0 和

T 0
y
均为常数，即
T0T0y 0 iN1iNu1(ui)2(yi()i)
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（2.147）
' n
1
2n2
式中
2n2 u (1 n) u(2 n) u(N n)T
这时，仿照上述方法容易求出
xn1
T n1
1 n1
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M序列的产生及性质
M序列是伪随机二位式序列的一种形式，它具有白噪声 的性质，不仅可以保证有较好的辨识效果，而且工程上又易 于实现。
输出
X1
X2
X3
X4
移位脉冲
XOR
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M序列的性质
111100010011010
（1）由n级移位寄存器产生的M序列的最大周期为N=2n-1。
bˆ1 0.4569
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2.5.1.3 最小二乘辨识中的输入信号问题
当矩阵(T )1的逆阵存在时，式（2.98）才有解。一 般地，如果 u(k) 是随机序列或伪随机二位式序列，则矩 阵 T 是非奇异的，即 T 存在，式（2.98）有解。现 在从矩阵 T 必须是正定的这一要求出发，来讨论对u(k) 的要求。在这里为了方便起见，假定 u(k) 是均值为0的随 机过程。
(1) 乘同余法
首先，用递推同余式产生正整数序列{xi}，即
xi A xi1 (m o d M ) , i 1, 2, 3
M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数； A≡3或A≡5（mod8），且A不能太小；
初值x0取正奇数。
再令
i

xi M
, i 1, 2,3,
则{ξi}是伪随机数序列，循环周期可达2k-2。
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最小二乘法：
a1
2n+1维 参数向量
N维输出向量
y

y(n 1)

y(n


2)


,

y(n

N
)




an

,

b0

bn

(n 1)
(n

2)



(n N )
N维噪声向量
N×(2n+1)维
测量矩阵
y(n) y(1) u(n 1) u(1)




y(n 1)

y(2)
u(n 2)
u(2)




y(n N 1) y(N ) u(n N ) u(N )
则式（2.87）可写为
0.0253
0.9783 0.1126 0.1110
1.1189 0.5259 0.4058
1.2578
0.1701

0.2151
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最后求得
1.4862
θˆ


0.3456

0.4569
即最优参数估计为
aˆ1 1.4862 bˆ0 0.3456

yˆ (5)
测量矩阵为
y(1) u(2) u(1) 0.3 2.7 2.1
Φ y(2) u(3) u(2) 0.5 0.8 2.7 y(3) u(4) u(3) 0.2 1.5 0.8
y(4) u(5)
u(4)
y
（2.88）
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7
e

y

y

y



（2.94）
最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指
标函数


J eT e ( y )T ( y ) （2.95）
为最小来确定估值 。求J对 的偏导数并令其等于0
可得 的最小二乘估计
（2）M序列中，状态“0”或“1”连续出现的段称为游程。游程中“0”或
“1”的个数称为游程长度。
由n级移位寄存器产生的M序列的游程总数2n-1，“0”“1”各一半;
并且长度为1的游程占总数的1/2，有2n-2个; 并且长度为2的游程占总数的1/4，有2n-3个; 以此类推，长度为i（1≤i≤n-2）的游程占总数的1/2i，有2n-i-1个; 长度为n-1的游程只有1个，为“0”的游程;
T (k) u(k) y(k 1) u(k 1) y(k n) u(k n)
（2.143）
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则式（2.141）可以写为
y(k) T (k) (k), k 1, 2,, N
（2.144）
取
y(1) (1)
y


小二乘参数估计值服从正态分布。
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2.5.2 一种不需矩阵求逆的最小二乘法
设系统的微分方程模型为
y(k) a1 y(k 1) an y(k n)
b0u(k) b1u(k 1) bnu(k n) (k) （2.141）
令
θ b0 a1 b1 a2 bn1 an bn T （2.142）
但机其序参列数。经a1过，辨b0识，试b1验为，未测知得数5组，输且入(k输)为出不数相据关为的随
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u(1) 2.1 u(4) 1.5 y(1) 0.3
y(4) 0.6
u(2) 2.7 u(5) 2.1 y(2) 0.5 y(5) 0.83
试求出其最优参数估计。
111100010011010
+a
0
2△
6△
-a
16△
t
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2.5.1.4 最小二乘估计的概率性质
如果ξ(k)是不相关随机数序列，且均值为0。
1） 无偏性
辅助变量法、广义最小二乘法
2）一致性
当N 时，θˆ以概率1趋近于。
3） 渐进正态性
如果ξ是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最
y(N n)
u(1 n)
u(2

n)


u(N n)
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则有
y
系统的最小二乘辨识结果为
（2.145）


T
1 T y
（2.146）
上式中矩阵 T的阶数越大，所包含的信息量就 越多，系统参数估计的精度就越高。为了获得满意的
y(2)

,


(2)



y(N
)
(N )



T 1
T 2




u(1) u(2)



T N

u(N )
y(0) y(1)
y(N 1)
u(0) u(1)
u(N 1)
y(1 n) y(2 n)
T n 2n1
T 2n1 2n1

N
式中：Tn
为列向量；
2 n 1
T
2 n 1
2 n 1

y2 (i n)为一标量。
i 1
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由分块矩阵求逆公式可得
式中


' n1
T
ห้องสมุดไป่ตู้
' n1

1

B11

B21
J θˆ

0
可得最优参数估计为
θˆ (ΦTΦ)1ΦTY
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矩阵ΦTΦ 的逆为
于是
3.7954 (ΦTΦ)1 0.9243
0.6144
0.9243 0.3496 0.2331
0.6144
0.2331

0.2239
0.0668 (ΦTΦ)1ΦT 0.1771
B12
B22

（2.152）
B22
1/
x T 2n1 2n1
T
T
2n1 n n n 2n1
B12 B2T1 xnTn B 2n1 22
B11

xn

B12
x T
T
2n1 n n
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则
n 1


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回顾
1
(2) 混合同余法
首先，用递推同余式产生正整数序列{xi}，即
xi A xi1 C (m o d M ) , i 1, 2, 3
M为2的方幂，即M=2k，k为大于2的整数；
A=2n+1， 其中2≤n≤34； 初值x0非负整数，C为正整数。
再令
i

xi M
长度为n的游程只有1个，为“1”的游程;
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（3）所有M序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价 的相异M序列，按位模2相加所得到的序列仍为M序列，并 与原M序列等价。
1111000100110101111000 1001101011110001001101
0110101111000100110101