浅谈函数的一致连续性的性质

浅谈函数的一致连续性的性质

张亚男,数学计算机科学学院

摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质

进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。其次给出了一致连续函数的有界性质。再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。

关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;

Discusses the properties of the uniform continuity function

Name：zhang ya nan Number：0707216

College：College of Mathematics and Computer Science

Abstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.

Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;

一引言

函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.

二基本概念

定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.

定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得0x X ∀∈,只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.

定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ∀>∃>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若

0120,,(1,2...)n n x x X n ε∃>∃∈=,使得虽有120n n n x x →∞

-−−−→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.

定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.

例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.

证明:由于[),1,x x '''∀∈+∞,2x x '''-=≤,于是0ε∀>,取

2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.

例2:用定义证明1()sin f x x

=

在()0,1内非一致连续,但0c ∀>,其在(),1c 内一致连续.

证明对012ε=

,取()120111,,,,1,2 (2222)

k k x x k k k επππ====+则()1

2,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++→+∞→+∞−−−→−−−→,有120k k k x x →+∞-−−−→但1201()()12

k k f x f x ε-=>=.所以1()sin f x x =在()0,1内非一致连续.0,0c ε∀>∀>,只要取()2120,,0,1c x x δε=>∀∈,当12x x δ-<时,就有

1212122121211()()sin sin x x x x f x f x x x x x c ε---=

-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.

说明:当0x +→时,1sin x

连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}1

2,k k x x ,使120,0k k x x ++→→, (故有120k k k x x →+∞

-−−−→),而120()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ∀>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可以看出,1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,

而且与0c >有关.特别是0

(,)0c c δε++→−−−→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在()0,1内非一致连续的原因.

三函数一直连续性的有界性

定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：

1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.

证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ∀>∃>,当(),,x x a b '''∈，x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''∀∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x a

f x +→存在（有限），同理可证lim ()x b f x -→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a x b

f a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.