浅谈函数的一致连续性的性质
函数一致连续性的判定及性质
函数一致连续性的判定及性质摘要: 在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。
本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。
关键词: 一致连续性连续函数非一致连续极限可导The Judgemental Theorems and Properties of UniformContinuity for FunctionsAbstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics . Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis. Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function ,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function. The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function, at the same time,it analysizes the determination, properties and application of uniformly continuous function in depth.Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable1 引言一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。
函数的一致收敛性与一致连续性
函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
论函数的一致连续
论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。
关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某∈I，ε＞0，δ＞0，当某∈I且某-某＜δ时，有f（某）-f （某）＜ε.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y＜δ，就有f（某）-f（y）＜ε.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到某′，某″∈I，满足|某′-某″|＜δ，但|f（某′）-f（某″）|≥ε.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与某无关，即对于不同的某，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某′）-f（某″）|≤L|某′-某″|，某′，某″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G•康托定理）若函数f（某）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（某）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到δ＞0，使|某-c|＜δ（某∈［a，b］）时，|f（某）-f（c）|＜ε/2.注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点某，都有|某-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|≤|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|＜+=ε.这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令某=δ，某=2δ，则|某-某|=δ，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列{某}、{y}，必有［f（某）-f（y）］=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌ε＞0，埚δ＞0，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|＜ε，即任两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，则必有|f（某）-f（y）|→0.充分性.用反证法，若两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，|f（某）-f（y）|→0而f（某）在I上不一致连续，那么一定埚ε＞0，对坌δ＞0，存在某，y，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{某}、{y}，当n→∞时，某-y→0，但|f（某）-f（y）|≥ε，这与假设［f（某）-f（y）］=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某′|=＜δ，但是|f（某）-f（某′）|=1＞ε，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{某}I，{f（某）}R′也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对某′，某″∈I，只要|某′-某″|＜δ，就有|f（某′）-f（某″）|＜ε.设{某}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（某）-f（某）|＜ε，即{f（某）}是Cauchy列.充分性.若不然，必ε＞0，某′，某″∈I，虽然某′-某″＜，但是|f（某′）-f（某″）|≥ε，由{某′}有界知，存在收剑子列{某′}，从而{某″}也收剑于同一点，显然某″，某″，某″，…，是Cauchy列，但是f（某″），f（某″），f（某″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某∈（a，b）），f（b-0）（某=b），则F（某）∈C［a，b］，因此F（某）在［a，b］上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当某′，某″∈（a，b）且|某′-某″|＜δ时，|f（某′）-f （某″）|＜ε成立.对端点a，当某′，某″满足0＜某′-a＜，0＜某″-a＜时，就有|某′-某″|≤|某′-a|+|某″-a|＜δ，于是|f（某′）-f（某″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，Φ（某）=in某，某∈（-∞，+∞）及g（某）=，某∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0＜某＜π）;（ii）f（某）=eco（0＜某＜1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，π）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）∈C（a，b），则f（某）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及某，y∈I，总正数N，使|f（某）-f（y）|＞N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f （y）|＜ε（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌ε＞0，埚δ＞0，使得对于坌某，y∈I，如果|f（某）-f（y）|≥ε（3），就有|某-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对某，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|≤N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|≥|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当某，y∈I，且满足（3）时，就有|某-y|≥δ成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当某，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|某-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设某＜y，将［某，y］分成k+1等分，记某-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=||＜δ，故|f（某）-f（某）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（某）-f（某）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设Φ（某）与ψ（某）在区间I上一致连续，则αΦ（某）+βψ（某）在I上一致连续（α，β为任意常数）.命题2：设Φ（某），ψ（某）在有限区间I上一致连续，那么ψ（某）ψ（某）在I上也一致连续.命题3：设Φ（某），ψ（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（某）ψ（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（某）•f（某）=某在（-∞，+∞）上不一致连续.命题4设Φ（某）在区间I上一致连续且infF（某）＞0，那么在I 上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.。
数学分析考研函数一致连续性问题总结
下面证明 lim f (x) 存在:
x→a+
对于上面给定的 ∀ε > 0 存在对应的 δ > 0, 当任意的 x1, x2 ∈ U˚(a, δ) 时, 即当 |x1 − x2| < δ 时, 都有 |f (x1) − f (x2)| < ε(华东师范第四版数分上册 56 页柯西准则), 所以 lim f (x) 存在,
定理 1.1.1. 一致连续性定义: 设 f (x) 为定义在区间 I 上的函数, 若对 ∀ε > 0, 存在对应的 δ = δ(ε) > 0, 使得对 ∀x1, x2 ∈ I, 只要 |x1 − x2| < δ, 就有 |f (x1) − f (x2)| < ε
例 1.1.1. 设 f (x) 在有限开区间 (a,b) 上连续, 则 f (x) 在有限开区间 (a, b) 上一致连续
2. f 在开区间 (a, b) 可导
则在
(a, b)
上至少存在一点
ξ
使得
f ′(ξ)
=
f (b)−f (a) b−a
现在将这个等式转换一下:f (b) − f (a) = f ′(ξ)(b − a). 这个等式的好处就是两个函数值的 差可以跟对应的自变量的差建立联系, 这一点在一致连续性问题上利用很多, 一定要认真对待.
x→0+
在零这一点单侧极限不存在, 故假设不成立, 所以函数在此区间上不一致连续.
浅谈函数的一致连续性.doc
浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。
本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。
首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。
其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。
再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。
最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。
使人们能够对它们有个全面的了解。
关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。
Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。
浅析数学分析一致连续性
一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。
数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。
弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。
数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。
但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。
一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。
在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。
数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。
函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。
为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性是指初等函数的头尾之间的连续性。
一致
连续性主要指的是函数的变化不突然，是连续的，也就是变化之间相
互交织。
在数学上，它可以定义如下：
1. 函数的连续性：函数的连续性指的是在取值之间无缝衔接的能力，
当一个函数在每个交点衔接一条完整的曲线，不存在突然变化的情况时，它就是连续的。
函数的连续性可以判断一个函数是否连续。
2. 函数的一致性：函数的一致性指的是函数在整个域上的变化行为，
它表明函数在整个域内是持续增减或单调递增/减，没有任何折点或跳动。
3. 基本初等函数的一致连续性：它指的是初等函数的头尾之间的连续性。
只有按照连续性的要求，函数的值能够按照某种唯一的预定的方
式缓慢变化，函数才能被称为一致连续的。
4. 一致连续性有助于确定基本初等函数的有限个实际值导致函数值变化：用唯一方式按照连续性标准缓慢变化，并且维持该函数的稳定性。
5. 一致连续性有助于理解一些抽象的函数的性质：萃取出特定的特征，满足一定的数学规律，用符号进行描述或表示，让抽象的函数变得更
加容易掌握。
6. 一致性的重要性：一致性对于函数的连续性是至关重要的，它定义了基本初等函数的变化和行为，它决定了函数是否有可能到达期望的极限，从而使极限理论变得有意义，从抽象函数获取有用的信息。
另外，一致性也是几何概念的基础，可以说它是数学在极限理论中的一种传播工具，一致性决定了数学操作的有效性。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是指在定义域内的每一个点上，函数值的变化都可以通过自变量的微小变化来控制，即函数在整个定义域上的变化都是连续的。
一致连续性是连续性的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都保持连续性，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
在数学分析中，一致连续性是一个重要的性质，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
一、函数的连续性在介绍函数的一致连续性之前，首先需要了解函数的连续性。
函数的连续性是指函数在某一点或某一区间上没有间断或跳跃，即函数在这些点上的极限存在且与函数在该点的取值相等。
如果函数在定义域内的每一个点上都是连续的，那么我们称这个函数在整个定义域上是连续的。
二、一致连续性的定义函数的一致连续性是指对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当函数的自变量之间的距离小于δ时，函数值之间的距离小于ε。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε对于所有的x,y∈D都成立。
这就是函数的一致连续性的定义。
三、一致连续性与局部连续性的区别函数的一致连续性与局部连续性是两个不同的概念。
局部连续性是指函数在某一点附近连续，而一致连续性要求函数在整个定义域上都连续。
局部连续性只要求函数在某一点附近连续，对于不同的点可以有不同的δ，而一致连续性要求对于整个定义域上的任意ε，都存在一个δ，使得函数在整个定义域上都满足ε-δ的条件。
四、一致连续性的性质1. 一致连续性是连续性的更强的性质，具有更好的连续性和稳定性。
2. 一致连续性可以保证函数在整个定义域上的变化都是连续的，而不仅仅是在某个点或某个区间上连续。
3. 一致连续性可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，对于分析函数的性质和性质具有重要的作用。
五、一致连续性的应用1. 在实际问题中，一致连续性可以帮助我们更好地分析函数的性质和行为，从而更好地解决实际问题。
数学分析函数的一致连续性探讨
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５数学分析函数的一致连续性探讨数学分析函数的一致连续性探讨Һ许奕喆㊀（湖南科技大学，湖南㊀湘潭㊀４１１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ以函数的一致连续性分析为研究切入点，结合实例将函数连续㊁一致连续二者区别所在，分析函数一致连续性的几何意义，包括有限区间㊁无限区间的一致连续性函数判定，通过讨论得出一致连续函数判定的方法，可以为更多同学能够快速对一致连续函数概念知识点的理解提供参考．ʌ关键词ɔ数学分析函数；一致连续性；实例数学分析作为一门需要学习中抽象理解的学科，具有较强的逻辑思维性与严密性，通过运用简单明了的数学语言，对用冗长的文学语言也无法定量描述的事物发展过程进行准确表达．所以了解几何意义，作为数学分析课程的入门引导，能够帮助我们理解抽象的数学概念，也可以帮助我们在数学学习中发散思维．本文将结合自身所学，对函数的一致连续性相关问题展开探讨．一㊁连续概念引出一致连续一致连续是基于函数连续概念派生所获，主要指的是对于微小变化界限中，假若函数定义域内部的任何两点间距离都不会超出该界限，那么两点之间的对应函数值产生的差值，就可以达到任意小点．函数一致连续性作为函数具备的重要基本特征，表示了一个连续函数变化速度是否发生 突变 ．在数学问题中针对函数一致连续性来讲，不仅要求对于每一个区间函数都能够保持连续一点，还要求所属区间点临近大体呈均匀变化．用数学语言表达就是说针对一个任意给出的正数ε，要求存在ｘ个无关的正数δ，只要ｘ和δ二者之间距离条件满足ｘᶄ－ｘᵡ＜δ，相对应函数值ｆ（ｘᶄ）－ｆᶄ（ｘᵡ）＜ε．显而易见，一致连续要强于连续条件，目前数学学科教材中，仅仅给出一致连续概念和运用定义证明ｆ（ｘ）函数所处某区间的一致连续的方法，呈现了完美的函数一致性逻辑结果，所以我们很难理解到定义中的δ，需要教师将概念内的隐含知识点逐一解释，才能够让我们更加快速地对这一概念成功掌握．二㊁一致连续函数等价条件定理１㊀函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上一致连续的充要条件：对于区间Ｉ上任何两数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝０．证㊀显而易见必要性，现证明充分性．假设函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上非一致连续，那么∃ε０＞０，∀δ＞０，ｘ，ｙɪＩ：｜ｘ－ｙ｜＜δ，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）ȡε０．（１）根据以上对于δ取值为１的情况下，存在ｘ１，ｙ１ɪＩ：ｘ１－ｙ１＜１，有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｙ１）ȡε０．（２）根据以上对于δ取值为１２的情况下，存在ｘ２，ｙ２ɪＩ：ｘ２－ｙ２＜１２，有ｆ（ｘ２）－ｆ（ｙ２）ȡε０．（３）根据以上对于δ取值为１ｎ的情况下，存在ｘｎ，ｙｎɪＩ：ｘｎ－ｙｎ＜１ｎ，有ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）ȡε０．所以在区间Ｉ上也就成功构造了｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝这两个数列，显而易见ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０，但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０，与已知条件自相矛盾，所以ｆ（ｘ）函数在区间Ｉ上一致连续．推出结论：函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上不一致连续，充要条件是区间Ｉ上存在两个数列｛ｘｎ｝和｛ｙｎ｝，在ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０条件下，ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］ʂ０．例１㊀函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．证㊀假设ｘｎ＝２ｎπ＋π２，ｙｎ＝ｓｉｎ２ｎπ，那么ｌｉｍｎңɕ（ｘｎ－ｙｎ）＝０．但是ｌｉｍｎңɕ［ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｙｎ）］＝ｌｉｍｎңɕ[ｓｉｎ２ｎπ＋π２()－ｓｉｎ２πｎ]＝１ʂ０．推出结论：ｓｉｎｘ２在Ｒ上不一致连续．三㊁有限区间上判定一致连续函数定理２㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在［ａ，ｂ］上连续．定理３㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续的充要条件：ｆ（ｘ）函数在（ａ，ｂ）上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．证（１）必要性：由于函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续，∃ε＞０，∀δ＞０，ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，ｂ）：｜ｘ１－ｘ２｜＜δ，有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜＜ε．在ｘ１，ｘ２ɪ（ａ，. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２５ａ＋δ）情况下，当然存在ｘ１－ｘ２＜δ，也就有ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜ε．以柯西收敛准则为依据，证实存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），同理证实存在ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．（２）充分性：由于均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），各自设为Ａ，Ｂ，建立函数公式如下：Ｆ（ｘ）＝Ａ㊀ｘ＝ａｆ（ｘ）㊀ｘɪ（ａ，ｂ）Ｂ㊀ｘ＝ｂ{．显然发现［ａ，ｂ］上函数Ｆ（ｘ）连续，根据定理２能够获得Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上一致连续，进而推断得出函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上一致连续．推导结论①㊀函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上一致性连续的充要条件：函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ］（［ａ，ｂ））上连续并且均存在ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ），ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ）．推导结论②㊀假若在有限区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续，单调，有界，那么区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．四㊁无限区间判定一致连续函数定理４㊀假若函数ｆ（ｘ）在［ａ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（ａ，＋ɕ）上一致连续．推导结论①㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，ｂ］上一致连续．推导结论②㊀假若函数ｆ（ｘ）在（－ɕ，＋ɕ）上连续，并且ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）存在且有限，那么ｆ（ｘ）函数在（－ɕ，＋ɕ）上一致连续．推导结论③㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）存在垂直渐近线，那么区间Ｉ中不一致连续存在函数ｆ（ｘ）．定理５㊀假若函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ定义，均存在∀ｘɪＩ，ｌｉｍｘң－ɕｆ（ｘ），ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ），并且有限个角点，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）一致连续．证㊀可以假设Ｉ＝（－ɕ，＋ɕ），由于函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上任何一点都存在左右导数，那么在区间Ｉ上函数ｆ（ｘ）连续存在，只有有限个角点，分别设为ｘ１，ｘ２， ｘｋ，ｋɪＮ．记为ｍ＝ｍｉｎｘɪ１，２， ，ｋ（ｘｉ），ｎ＝ｍｉｎｘɪ１，２，３ ，ｋ（ｘｉ），根据（－ɕ，＋ɕ）＝（－ɕ，ｍ－１］ɣ［ｍ－２，ｎ＋２］ɣ［ｎ＋１，＋ɕ］，那么在［ｍ－２，ｎ＋２］上连续存在函数ｆ（ｘ），必然一致连续．在［ｎ＋１，＋ɕ）上可导函数ｆ（ｘ），有界，得∃Ｍ＞０，ｘɪ［ｎ＋１，＋ɕ），ｆ（ｘ）ɤＭ，∀ｘ１，ｘ２ɪ［ｎ＋１，＋ɕ）．据此可以假设ｘ１＜ｘ２能够在［ｘ１，ｘ２］上可导，根据拉格朗日中值定理可得∃ζɪ（ｘ１，ｘ２），ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ζ）（ｘ２－ｘ１）．所以ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ɤＭｘ２－ｘ１，∀ε＞０，∃δ＝εＭ，ｘ２－ｘ１＜δ，ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜ε，那么在［ｎ＋１，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．根据以上推论过程，同理在（－ɕ，ｍ－１］上函数ｆ（ｘ）一致连续，根据一致连续性质能够知道（－ɕ，＋ɕ）上函数ｆ（ｘ）一致连续．五㊁总㊀结根据几何形象层面可以粗略表示，假若函数是连续的，那么就形成了连绵不断的连续曲线图像，那所得一致连续函数图像又如何？根据本次分析，笔者认为可以这样描述：一条一致连续的曲线，可以采用一系列长㊁宽各为２ε，δ并且平行于ｘ轴的小矩形覆盖（δ与ε是随之变化而变化的关系）．这样在对函数的一致连续性的学习中，加深了对该理论知识点的理解，如同在一个函数区间刻画了全局性的一致连续函数图像．六㊁结㊀论综上所述，在本次研究中探讨了数学分析中函数的一致连续性知识点，这是数学分析中的热点问题，函数又作为数学学科知识中的重要组成，所以有必要进一步展开本次讨论．只有对函数基本性质充分了解，才能够在不断的解题计算中逐渐理解并熟练掌握，加深探索可以将其具象地呈现出来，更好地帮助我们理解数学知识点，有效地转化新问题为旧问题，简化复杂问题，掌握函数一致连续性，熟悉解题思路和数学思想，真正做到举一反三地解决数学问题．ʌ参考文献ɔ［１］李一帆．函数一致连续性证明方法探究及推广［Ｊ］．知识文库，２０１８（１４）：１８１－１８２．［２］钟满田．山区高职院校函数一致连续性教学研究［Ｊ］．新教育时代电子杂志（教师版），２０１９（１８）：１９７．［３］段炼，方贤文．例析函数连续及一致连续的判别［Ｊ］．科技风，２０１８（３１）：２２．［４］李书馨．证明函数在无界区间一致连续的一种方法［Ｊ］．赢未来，２０１８（１５）：１８．［５］费时龙，洪佳音，朱少娟．多元函数列的一致收敛性及相关极限性质的研究［Ｊ］．廊坊师范学院学报：自然科学版，２０２０（２）：８－１０．［６］王海权，付英．一个修正的周期Ｃａｍａｓｓａ⁃Ｈｏｌｍ系统解对初值的不一致连续依赖性［Ｊ］．聊城大学学报：自然科学版，２０２０（２）：１－６．［７］米合甫孜㊃胡达拜地．函数的连续和一致连续的差别和关系［Ｊ］．考试与评价，２０１８（１）：６５－６６．［８］舒天军，莫智文．结构元线性生成的模糊值函数的连续性［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２０１８（３）：５１－５７．. All Rights Reserved.。
函数的一致连续性
函数的一致连续性函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它反映了函数在定义域内的整体的性质和变化情况。
本文将从一致连续性的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、一致连续性的定义一致连续性是一种特殊的连续性，它描述了在任意给定的公差范围内，函数值与自变量之间的变化情况。
具体来说，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<ε，则称函数f在区间I上是一致连续的。
二、一致连续性的性质1.一致连续函数的一致连续区间如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数ε和负数ε，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有丨f(x₂)-f(x₁)丨<max{ε, -ε}。
因此，一致连续函数的定义域内存在一个一致连续区间。
2.一致连续函数的性质一致连续函数具有以下性质：(1) 如果函数f在区间I上是一致连续的，则f在I上也是连续的。
这是因为当x从左侧逼近于某个点x₀时，一致连续性保证了f(x)与f(x₀)之间的差的绝对值小于任意给定的正数ε。
(2) 如果两个函数f和g在区间I上是一致连续的，那么它们的和、差、积也在这个区间上是一致连续的。
这个性质可以由绝对值不等式的性质得到。
(3) 如果函数f在区间I上是一致连续的，那么对于任意给定的正数M和负数m，都存在一个正数δ，使得当丨x₂-x₁丨<δ时，有max{f(x₁), f(x₂)}<M和min{f(x₁), f(x₂)}>m。
这个性质说明了函数值的变化范围可以被任意给定的上下界所限制。
三、一致连续性的应用1.微分方程的解的性质一致连续性在微分方程的求解中有着重要的应用。
例如，如果微分方程描述的是一个物理系统在一组时间段上的状态变化，那么解的一致连续性就保证了系统状态的平滑变化，避免了突变和跳跃。
2.函数的逼近和级数求和一致连续性也是函数逼近和级数求和中的一个重要概念。
浅谈函数的一致连续性问题
浅谈函数的一致连续性问题摘要：本文指出数学分析中判别函数的一致连续性，可直接应用的理论是定义、康托定理、归结原则等。
在具体解题时，通常利用某些命题的结论作为解题的指导思想，帮助判知结论，迅速找到正确的解题方法，再利用可直接应用的理论对其加以佐证。
关键词：数学分析；一致连续；可直接应用的理论；解题的指导思想函数在区间上的一致连续性问题是数学分析中的典型问题之一。
函数在区间上一致连续是函数在区间上逐点连续的加强，二者之间有着密切的联系，同时又有着本质上的区别。
函数类型纷繁复杂，如何准确的判别函数在所给区间上的一致连续性，很多人都觉得无从下手，尤其是初学者，更是觉得解决问题的思路不清晰。
现将解这一类型题的理论进行简单归纳。
一、函数在区间上逐点连续与一致连续的本质及其关系(一)数学语言的刻画(二)几何直观体现与通俗理解函数在区间上逐点连续，指的是函数在所定义区间上处处连续，其函数图像连绵无间断；函数在区间上一致连续，指的是其函数图像在定义的区间上连绵不断且函数值变化缓慢，与区间上连续的非一致连续函数的图像形成鲜明的对比，非一致连续函数的图像在所定义的区间上，特别是在一致连续性“破坏点”附近是“陡峭”的。
(三)二者的关系由函数在区间上连续和一致连续的定义可推知，逐点连(二)康托定理及其推广由康托定理知，函数在闭区间上连续。
在闭区间上一致连续。
这个定理简单好用，但仅限于在有限闭区间上可直接用，而对于有限开区间或无限区间上不能直接应用。
因此，不妨将如下命题看作康托定理的推广。
命题2.1f(x)在有限开区间(a，b)上连续f(x)在(a，b)上一致连续当且仅当f(a+0)与f(b-0)都存在(有限值)。
命题2.2f(x)在有限开区间(a，b)上连续，若f(a+0)与f(b-0)至少有一者不存在，则f(x)在(a,b)上非一致连续。
连续函数与一致连续性的研究分析
连续函数与一致连续性的研究分析在数学领域中，连续函数是一种重要的概念，它在分析学、微积分和实变函数等学科中都有广泛的应用。
连续函数的研究对于理解数学的发展和应用具有重要的意义。
而一致连续性是连续函数的一个重要性质，它在实际问题的建模和解决中也起到了关键的作用。
首先，我们来探讨连续函数的定义和性质。
在数学中，连续函数是指在定义域上的任意一点，函数值都能无限接近于其函数极限。
具体来说，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，总有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。
连续函数具有一些重要的性质。
首先，连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
其次，连续函数的复合函数也是连续函数。
这些性质使得连续函数在数学分析中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，我们需要对函数进行求导和积分，而连续函数的这些性质保证了这些运算的合法性。
然而，仅仅满足上述定义的连续函数并不能满足一些特殊情况下的需求。
例如，考虑函数f(x) = 1/x，它在定义域上是连续函数。
但是，当x趋近于0时，f(x)的变化速度变得非常快，这导致了在一些问题中的数值计算的不稳定性。
为了解决这个问题，我们引入了一致连续性的概念。
一致连续性是连续函数的一种更强的性质。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，对于区间[a, b]上的任意两个点x和y，总有|f(x)-f(y)|<ε成立，那么我们称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。
一致连续性的引入解决了连续函数在局部变化剧烈的情况下的数值计算问题。
它保证了函数在整个定义域上的变化是平缓的，从而提高了数值计算的稳定性。
例如，在数学建模中，我们经常需要对连续函数进行数值逼近，而一致连续性保证了逼近的精度和稳定性。
函数一致连续性的定义与性质文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学函数一致连续性的定义与性质一、前言部分函数一致连续是从函数连续的概念派生出来的，函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。
对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。
是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小.连续与一致连续是建立在函数极限概念的基础之上，用以刻划函数的变化情况和研究函数性质的两个基本的数学分析概念.通常人们说的连续是指不间断，其对立面就是间断.而数学上函数连续与间断的概念，也正是函数在变化过程中渐变与突变的一种反映.因此从几何直观来看，连续函数的特点就在于它的图象是一条连续不斯的曲线；而从分析的角度来看，函数()f x 在一点0x 处连续，包含着以下三层意思：（1）()f x 在0x 处有定义，即()0f x 是一个确定的常数；（2）()f x 在0x 处有极限，即()0lim x x f x →存在； （3）()f x 在0x 处的函数值与极限值相等，即()()00lim x x f x f x →=. 如果以上任何一个条件被破坏，()f x 在点0x 处就不连续了，这时0x 叫做()f x 的间断点.这就是说：如果函数()f x 在点0x 及其附近有定义，而且()()00lim x x f x f x →=，就说()f x 在点0x 处连续.其实函数在变化过程中，并没有仅仅在一点连续的情形，较常见的是函数在区间上连续的概念.定义1 若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数（见文献[1][2][3]）.根据定义1可知，如果函数()f x 在区间I 上连续，则对于事先任意给定的正数ε，就I上的每一点0x 来说，都可以分别找到相应的正数δ，使得对于I 上的点，只要0x x δ-p ，就有()()0f x f x ε-p .其中δ的大小不仅与给定的ε有关,而且与点0x 的位置有关.对于同一个ε，当0x 在I 上变动时，一般来说δ的大小也将随着改变，即δ是依赖于0x 的.如果δ的大小只与给定的ε有关，而与点0x 在I 上的位置无关，也即是说，对于给定的正数ε，存在这样一个正数δ，它适用于区间I 上所有的点0x ，那么这时()f x 就在I 上一致连续.定义2 函数()f x 定义在区间I 上，如果对于事先任意给定的正数ε，总可以找到这样一个正数δ，对I 上任意两点1x ，2x ，只要12x x δ-p ，就有()()12f x f x ε-p ，那么就说函数()f x 在区间I 上一致连续（见文献[2][3][4]）.一致连续的特点在于，只要I 上的两点接近到同一个程度，就可以使这两点对应的函数值达到所需要的接近程度.因此，它从整体上反映出()f x 在I 上各点“连续”程度是否步调“一致”这样一个重要性质.历史上关于函数一致连续性的研究从未间断，中外大多学者在一元函数一致连续性的判定方面都取得了喜人的理论成果，本篇文献综述将对前人在函数一致连续性定义、性质、判定理论方面的研究作总结性陈述. 二、主题部分关于函数一致连续性的研究已经取得了较为丰富的结果，现将已有文献的理论成果综述如下：文献[5-6]研究函数一致连续的判别方法.其中文献[5]中，作者讨论了一致连续函数的判别及分布.作者指出，关于一致连续函数在平面上的分布，可归纳为以下情况：a 、对于有限区间上的一致连续函数，由于有界性，所以它必包含在一个矩形之内，矩形的边平行坐标轴；b 、对于无限区间来说，凡有垂直渐近线的连续函数都不是一致连续函数，因此，它的“无限部分”应限制在个角形之内，而角形的边不与坐标轴垂直；对于无渐近线的有界或无界的连续函数，如果当x 趋于无穷大时，其切线斜率趋于有限数，则其必为一致连续函数，因此，它应限制在某个角形之内.总之，一致连续函数是分布在平面上的一个“槽形”区域之内，当x 趋于无穷大时，其切线斜率为有界的一类连续函数.文献[6]中，作者给出了用导数判别函数在一般区间上一致连续的方法.并举例说明不可以建立关于一致连续的比较判别法. 文献[6]的主要结论可总结如下：定理1 若函数()f x 在区间I （I 可开、半开、有限或无限.下同）可导，且()f x '在I 有界.则函数()f x 在I 一致连续.定理2 若函数()f x 在区闻[,)a +∞（或(,]b -∞）可导.且()lim x f x →+∞'=∞（或 ()lim x f x →-∞'=∞），则()f x 在[,)a +∞（或(,]b -∞）非一致连续.定理3 若函数()f x 与()g x 在区间I 可导，且()()0f x g x ''≥f ，则（1） 当()f x 在I 一致连续时，()g x 在I 一致连续；（2） 当()g x 在I 非一致连续时，()f x 在I 非一致连续.上面这个定理指出可以根据两个导数间的关系判断函数的一致连续性，进一步的是否能直接利用两个函数（绝对值）的大小关系建立一致连续的“比较判别法”，作者举出了一个例子对这个问题予以否定回答.文献[7]讨论函数一致连续的条件，作者讨论了定义在区间和有界实数集上函数一致连续的充要条件，主要结论总结如下：定理4（Cantor 定理)函数()f x 在区间[],a b 一致连续当且仅当()f x 在区间[],a b 连续.（充分性也可参考文献[8]）定理5 在有界实数集E 上定义的函数()f x 在E 上一致连续的充要条件是E 内任意 的收敛数列{}n x 其对应的函数值数列()n f x 也是收敛的.定理6 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对任给的正数ε，及x '，x I ''∈， 总存在正整数N ，使得当()()f x f x N x x '''-'''-f 时，有()()f x f x ε'''-p . 定理7 函数()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是区间I 上满足()lim 0n n n x y →∞-=的任意两数列{}n x ,{}n y 总有()()()lim 0n n n f x f y →∞-=. 文献[9]中，作者给出了一元函数在区间上一致连续的一个等价条件，并运用它证明了一些函数的一致连续性.定理8 设f 是区间I 上的函数，那么f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：存在0r f 及定义在[]0,r 上满足()0lim 0h g h →+=的函数g ，使得对任意的[]0,h r ∈和x I ∈，只要x h I +∈，就有()()()f x h f x g h +-≤.由上面定理的证明，作者得出了一个推论，结论是：f 是区间I 上的函数，若()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠，则f 在区间I 上不一致连续.事实上，同样容易证明：如果f 在区间I 上不一致连续，则()()0,lim sup 0h x x h I f x h f x →++∈+-≠.这个推论是证明函数非一致连续的一种有效方法.文献[10]中，作者给出了函数()f x 在某集上不一致连续的一种规范证明方法. 证明1 ()2f x x =在()r -∞∞p p 上不一致连续. 证明2 ()1f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明3 ()21f x x=在()0,∞上不一致连续. 证明4 ()1sin f x x =在2(0,]π上不一致连续. 文献[11]中，作者研究了函数的一致连续性问题，提出判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法判定定理：定理9 函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，若满足()()()lim x f x Ag x B →+∞-=成立（其中A 为非零定值，B 为定值）.则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.文章给出证明，随后作者又给出了四个相关的命题定理，并对这些定理一一证明其正确性.定理10 设函数()f x ，()()g x C I ∈，[,)I a =+∞，()f x ，()g x 满足：（1）()()lim lim x x f x g x →+∞→+∞==∞， （2）()f x ，()g x 在I 上可导，且()0g x '≠，（3）()()lim x f x g x →∞''存在，若()()lim x f x A g x →∞=，（A 为非零定值），则()f x ，()g x 有相同的一致连续性.在这个定理的引申下，文章再次给出了五个相关的结论，都为判定函数一致连续提供了理论依据，更方便的函数一致连续的判定.对于函数的一致连续性问题，作者提出并证明了判定函数一致连续的比较判别法和比值判别法，从而大大简化并拓宽了函数一致连续性的可判别范围.文献[12]中，作者研究得到了函数一致连续的几个充分条件. 文献[12]的主要结论可总结如下：定理11 若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在、有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.在此基础上作者给出两个推论，一个是：若函数()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则函数()f x 在开区间I 上一致连续.另一个是：若函数()f x 在区间I （有限或无穷）上，满足一定的条件，就可以得到函数是一致连续的.文章对得出的定理给出了详细证明.文献[13]中，作者给出函数在无限区间上一致连续的三个判别条件，并对文献[14]的两个判别定理进行了改进. 文献[13]的主要结论可总结如下：定理12 若函数()f x 是可微函数，且()f x '在区间I （I 可开、半开、有限或无限）上有界，则()f x 在I 上一致连续.定理13 若函数()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x φ在[,)a +∞上连续，且()()lim 0x f x x φ→+∞-=⎡⎤⎣⎦则函数()x φ在[,)a +∞上一致连续（以上两个定理的证明参考文献[15]）.定理14 实函数()f x 在[0,)+∞上连续，在[0,)+∞内处处可导，且()lim x f x A →+∞'=存在，则当且仅当A +∞p 时，()f x 在[0,)+∞上一致连续.定理15 设存在0L f ，使对任意x '，x I ''∈，都有：()()()()f x f x L g x g x ''''''-≤-成立，而()g x 在区间I 上一致连续，则()f x 在I 上一致连续.定理16 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且x →+∞时，()f x 有渐近线y ax b =+.则()f x 在[,)a +∞上一致连续.定理17 设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()lim 0x bx f x →+∞-=⎡⎤⎣⎦，其中b 是非零常数，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产和学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．函数一致连续性近几年在自然界和生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于函数一致连续性的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对函数一致连续性做了深入的研究，并且已经取得很多重要的有益的结论，并且这些结论在函数一致连续性的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对函数一致连续性的性质、定义以及定理、应用进行了研究，然而以上有关函数一致连续性的定义与性质的文献总结都是在一元函数的框架下，而二元函数的研究显得很微弱，所以将一元函数的相关定理推广到二元函数中是很有必要的.这就是说函数一致连续性还尚存在很多不明确的问题，多元函数一致连续性还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信多元函数一致连续性的研究应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] 华东师范大学数学系·数学分析(上册第三版)[M]·北京：高等教育出版社，2001[2] T.M ·Apostol.Mathematical Analysis[M]·Addison-Welsey Publishing Compony,inc.,1974[3] 菲赫金哥尔茨·微积分学教程[M]·北京：人民教育出版社，1959[4] 王孚和·连续与一致连续[J]·江西教育学院，教学参考资料：41─43[5] 袁南桥·一致连续的判别及分布[J]·四川文理学院学报，2007，17(2)：6─7[6] 鞠正云·用导数判别函数的一致连续性[J]·工科数学，1999, 15(1):127─129[7] 赵向会·函数一致连续性的几个充要条件[J]·张家口职业技术学院学报，2007, 20(4):75─77[8] 裴礼文·数学分析中的典型问题与方法[M] 北京：高等教育出版社，1993[9] 成波，李延兴·函数一致连续的一种新证法[J]·安康师专学报，2006，18(4)：71─72f x在某集上的一致连续性[J]·内江师范高等专科学校学[10] 黄崇智·关于()报，2000，15(2)：14─17[11] 杨小远·关于函数一致连续的判别方法研究[J]·北京航空航天大学[12] 邱德华，李水田·函数一致连续的几个充分条件[J]·大学数学，2006，22(3)：136─138[13] 陈惠汝，何春羚·再探函数在无穷远处的一致连续性[J]·宜春学院学报，2006，28(2) ：45 ─46[14] 杨中南·函数在无穷远处的一致连续性[J]·集美大学报，1997，2(1)：70─75[15] 陈慧汝·函数一致连续判别法的再研究[J]·数学教学研究，2005，(1)：57─58。
函数的一致连续性
函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。
本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。
一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。
设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。
如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。
这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。
这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。
一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。
即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。
这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。
性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。
这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。
性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。
一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。
一致连续函数
一致连续函数
一致连续函数是数学中重要的函数类型，在很多领域的应用中具有重要的作用。
本文将主要讨论什么是一致连续函数，其定义、性质及应用。
一致连续函数是指在其定义域上且无限可微的函数，由定义可知，这类函数具有若干特点，其中最主要的特点就是连续性，也就是说，当变量在函数的定义域内连续变化时，函数值也要连续变化，没有不连续或间断现象，这是其它函数无法比拟的。
此外，一致连续函数在定义域内一定要具有无限可微性，这意味着，它的导数在任意的点上都存在，而且导数的值在任意的点上都是连续的，这是其它函数所不具有的性质。
从这里可以看出，一致连续函数在很多方面都有着独特性，例如拉格朗日抛物，雅可比函数等都是一致连续函数的典型例子。
一致连续函数的应用非常广泛，特别是在数学建模过程中，一致连续函数可以有效地描述实际问题中间接复杂的函数依赖关系，帮助更好地理解和分析实际问题。
例如，在空间几何中，一致连续函数可以用来求解形状难以测量的曲面。
而在混合数据条件下，一致连续函数也能有效预测数据变化趋势，帮助对于模型的拟合和优化。
此外，一致连续函数也常用于求解微积分中的最大最小值问题，以及求解微分方程，这一应用也广泛用于数学分析和力学研究中。
综上，一致连续函数在数学上占有重要地位，它具有无限可微性、连续性、可以有效描述实际问题等优点，因此被广泛应用于各个领域。
随着算法计算技术的不断发展，一致连续函数的研究也会有更多的发展，应用场景也将会变得更为广泛。
函数项级数的一致连续-概述说明以及解释
函数项级数的一致连续-概述说明以及解释1.引言1.1 概述函数项级数是数学分析中的重要概念，它是一种由函数构成的级数。
函数项级数的研究旨在探究级数中函数项的性质及其收敛性质。
在函数项级数的研究中，一致连续性是一个关键概念，它描述了函数项级数在整个定义域上的连续性特征。
本文的目的是探讨函数项级数的一致连续性及其重要性。
我们将首先介绍函数项级数的定义和性质，包括级数的收敛性质以及一致收敛性的概念。
接下来，我们将详细讨论一致连续性的概念和重要性，解释为什么一致连续性在函数项级数中起着重要的作用。
在函数项级数的研究中，一致连续性是确保级数在整个定义域上具有良好性质的重要条件。
一致连续性保证了函数项级数的逐项积分的可交换性，从而使得级数能够逐项积分或逐项微分。
此外，一致连续性还可以保证级数在定义域上的连续性，从而方便我们进行各种函数运算和推导。
函数项级数的一致连续性在数学分析及其应用领域中有着广泛的应用。
例如，它在微分方程的求解、傅里叶级数的收敛性分析以及函数逼近等问题中发挥着重要作用。
因此，深入理解函数项级数的一致连续性对于数学分析领域的研究和应用具有重要意义。
总结起来，本文将介绍函数项级数的一致连续性的定义和性质，并探讨该概念在函数项级数研究中的重要性和应用。
通过对函数项级数的一致连续性进行深入研究，我们可以更好地理解和应用函数项级数，为解决相关问题提供有力的数学工具和方法。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分首先概述了函数项级数的一致连续性问题，引发了对该问题的思考和研究的动机。
然后介绍了文章的整体结构和各部分的内容安排，使读者对全文有一个整体的了解。
正文部分包括两个小节：函数项级数的定义和性质以及一致连续性的概念和重要性。
在函数项级数的定义和性质小节中，我们将介绍函数项级数的基本概念和一些重要的性质，为后续关于一致连续性的讨论做铺垫。
在一致连续性的概念和重要性小节中，我们将详细讨论一致连续性的概念，并探讨一致连续性在函数项级数中的重要性和应用。
对函数一致连续性的讨论
对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。
浅谈函数的一致连续性的性质
浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。
其次给出了一致连续函数的有界性质。
再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。
最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。
在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。
关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;Discusses the properties of the uniform continuity functionName：zhang ya nan Number：0707216College：College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;一引言函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.二基本概念定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得0x X ∀∈,只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ∀>∃>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若0120,,(1,2...)n n x x X n ε∃>∃∈=,使得虽有120n n n x x →∞-−−−→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.证明:由于[),1,x x '''∀∈+∞,2x x '''-=≤,于是0ε∀>,取2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.例2:用定义证明1()sin f x x=在()0,1内非一致连续,但0c ∀>,其在(),1c 内一致连续.证明对012ε=,取()120111,,,,1,2 (2222)k k x x k k k επππ====+则()12,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++→+∞→+∞−−−→−−−→,有120k k k x x →+∞-−−−→但1201()()12k k f x f x ε-=>=.所以1()sin f x x =在()0,1内非一致连续.0,0c ε∀>∀>,只要取()2120,,0,1c x x δε=>∀∈,当12x x δ-<时,就有1212122121211()()sin sin x x x x f x f x x x x x c ε---=-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.说明:当0x +→时,1sin x连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}12,k k x x ,使120,0k k x x ++→→, (故有120k k k x x →+∞-−−−→),而120()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ∀>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可以看出,1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,而且与0c >有关.特别是0(,)0c c δε++→−−−→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在()0,1内非一致连续的原因.三函数一直连续性的有界性定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ∀>∃>,当(),,x x a b '''∈，x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''∀∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x af x +→存在（有限），同理可证lim ()x b f x -→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a x bf a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.证法2:因为函数()f x 在(),a b 上一致连续,所以对10>,存在00δ>,当(),,x x a b '''∈且0x x δ'''-<时,()()1f x f x '''-<.取定N 充分大将(),a b N 等分,使每个小区间长度小于0δ.令1231(),(),()...()N M f f f f N N N N ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭,由前面讨论可知,对任意(),x a b ∈,存在,11i i N ≤≤-,满足0i x Nδ-<,此时一定有()()()()1i i f x f x f f M N N≤-+<+,这就证明了()f x 在(),a b 上是有界的. 2当(),a b 为无限限区间时,不能推出()f x 在(),a b 上有界.反例：()f x x =在区间()0,+∞上是一致连续的,但是无界的.证明：0,εδε∀>∃=当(),0,,x x x x δ''''''∈+∞-<,就有()()f x f x x x δε''''''-=-<=,从而()f x 在()0,+∞上一致连续，但显然()f x 在()0,+∞上是无界的.例:证明无界函数()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证明:由于()()()(sin sin )sin sin f x f x x x x x x x x x '''''''''''''''-=-+-≤-+-2cos sin 222x x x x x x x x ''''''+-''''''≤-+≤-,于是0ε∀>,取2εδ=,当(),,x x '''∀∈-∞+∞且x x δ'''-<时,皆有()()f x f x ε'''-<,由,x x '''的任意性,知()f x 在(),-∞+∞上一致连续.说明：这是由于当(),a b 为无限区间时,不妨设为()0,+∞,则当柯西收敛准则条件为：,A ε∀∃当,x x A '''>时()()f x f x ε'''-<,而题中()f x 在()0,+∞上一直连续只能保证对一定的间距δ,当x x δ'''-<时,才有()()f x f x ε'''-<,不能保证柯西收敛准则成立.四函数一致连续的四则运算性质我们探讨当函数(),()f x g x 均在区间I 上一致连续()()f x g x +,()()f x g x - ,()()f x g x ⋅ ,()()f x g x （()g x 在I 上不为零）,在I 上是否也一致连续.1加法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x +在I 上是否也一致连续.证明：由()f x 在I 上一致连续,可知10,0εδ∀>∃>,当1x x δ'''-<时,有()()2f x f x ε'''-<,又由()g x 也在I 上一致连续知，对上述的ε存在2δ,当2x x δ'''-<时()()2g x g x ε'''-<,取{}12min ,δδδ=则当x x δ'''-<时,有()()()()()()()()()22f x g x f x g x f x f x g x g x εεε''''''''''''+-+≤-+-=+=.从而()()f x g x +在I 上一致连续. 2.减法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x -在I 上是否也一致连续.说明：函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.3.乘法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x ⋅在I 上的一致连续性. a.当区间I 为有限区间（无论开闭）时,有()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的. 证明：由(),()f x g x 在区间I 上是一致连续的,则(),()f x g x 在I 上都是有界的（I 为开区间时即为本文的第二部分结论,I 为闭区间是显然成立）.从而存在0,0M L >>使得(),(),f x L g x M x I ≤≤∈,且有10,εδ∀>∃,当1,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2f x f x M ε'''-<,对上述ε,存在2δ,当2,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2g x g x L ε'''-<,取{}12min ,δδδ=,于是当,,x x I x x δ''''''∈-<时()()()()f x g x f x g x ''''''⋅-⋅=()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x ''''''''''''⋅-⋅+⋅-⋅()()()()()()22f x f x g x g x g x f x M L M L εεε'''''''''<-⋅+-⋅<⋅+⋅=所以()()f x g x ⋅在有限区间I 上是一致连续的.b.当I 为无限区间,不能推出()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的.反例1取()(),(),,f x x g x x I ===-∞+∞,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅取两个点列：1,,()n n x n x n n N n+'''=+=∈则有1n n x x n δ'''-=<,这只需1Nδ=,当n N >就可办到,给定01ε=有220211()()()2h x h x n n n nε'''-=+-=+>,可见()()()h x f x g x =⋅在(),-∞+∞上不一致连续.反例2.取,()(),()sin ,0,f x x g x x I ===+∞ ,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅考虑两点列：12,2()n n x n x n n N nππ+'''=+=∈,虽有1n n x x nδ'''-=<,但是11111()()(2)sin 02sin sin n n h x h x n n n n n n n ππ'''-=+⋅-=⋅+⋅ 2102ππ→⋅+=, ()1,02n n π→+∞<<,现取021,0N επ=-∃>,不论0δ>多么小(可取11N δ=+),当n N >时,虽有1111n n x x n N N δ'''-=<<=+,但是0()()21nn h x h x πε'''->-=,所以()()()h x f x g x =⋅在I 上不是一致连续的. 4.除法：当函数(),()f x g x 均在区间I(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x （()g x 在I 上不为零）在I 上的一致连续性.a.当I 为有限闭区间是,有()()f x g x 在I 上的一致连续性.证明：由()g x 在闭区间I 上是一致连续的且()g x 在I 上不为零,则()g x 在I 上有最小值，即存在10M >使1()g x M >,又有0,0εδ∀>∃>，当,x x I '''∈,且x x δ'''-<时有21()()g x g x M ε'''-<⋅.从而21()()()()11()()()()g x g x g x g x g x g x g x g x M ε''''''---=<<''''''⋅,故1()g x 在I 上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知()()f x g x 在有限闭区间I 上是一致连续的.b.当I 不为有限闭区间时，不能推出()()f x g x 在I 上是一致连续的.反例:取()()12()1,(),0,1,0,f x g x x X X ====+∞,()1()f x g x x = ,在区间12,X X 上不是一致连续的.证明：取01ε=,对无论多么小的正整数1()2δδ<,只要取,2x x δδ'''==,则虽有2x x δδ'''-=<但1111x x δ-=>''',所以()1()f x g x x=在()0,1内不一致连续. 同理可证()1()f x g x x=在()0,+∞也不一致连续 五同一函数在区间上的一致连续性我们探讨当函数()f x 分别在区间12,X X 上一致连续,且区间1X 的右端点为1c X ∈,区间2X 的左端点也为2c X ∈（12,X X 可分别为有限或无限区间）,()f x 在区间12X X X =上的一致连续性.结论：当函数()f x 分别在区间12,X X ,上一致连续,则()f x 在区间12X X X =上是一致连续的.证明:任给0ε>,由()f x 在1X 和2X 上的一致连续性,分别存在正数,1δ和2δ,使得对任何1,x x X '''∈,只要1x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<;又对任何2,x x X '''∈,只要2x x δ'''-<,也有()()f x f x ε'''-<成立.点c 作为1X 的右端点,()f x 在点c 为左连续,作为2X 的左端点,()f x 在点c 为右连续.故对上述的0ε>存在30δ>,当3x c δ-<时有()()2f x f c ε-<.令{}123min ,,δδδδ=,对任何,x x X '''∈,x x δ'''-< ,分别讨论以下两种情形:（i ）,x x '''同时属于1X 或同时属于2X ,则()()f x f x ε'''-<成立.（ii ）,x x '''分别属于1X 与2X ,设12,x X x X '''∈∈则x c c x x x '''''-=-<-3δδ<< 故由()()2f x f c ε-<得()()2f x f c ε'-<.同理得()()2f x f c ε''-<.从而也有()()f x f x ε'''-<成立.这就证明了()f x 在区间12X X X =上是一致连续的. 例:证明函数sin ()x f x x=在每个区间()()121,0,0,1X X =-=,内一致连续.但在()()121,00,1X X X ==-非一致连续.证明:先证()f x 在()11,0X =-内一致连续,由于()sin sin (),1,0x x f x x x x ==-∈-所以()f x 在()1,0-内连续.构造新函数,令()1,0()(),1,0sin1,1x F x f x x x -=⎧⎪=∈-⎨⎪-=-⎩,则()F x 在[]1,0-上连续,即证()f x 在()1,0-内一致连续.类似可证()f x 在()0,1内一致连续.,只需构造()1,0()(),0,1sin1,1x G x f x x x =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩.最后证明()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.由于()()sin ,1,0()sin ,0,1x x x f x x x x⎧-∈-⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩再由于0sin lim 1x x x →=，由函数极限的性质知存在1,εδ=∀,都存在()1120,2x X X δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使11sin 0.5x x >.令11,x x x x '==-,那么12,x x X X '∈,且x x δ'-<而()111111sin sin sin ()()21x x x f x f x x x x -'-=-=>-故()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.六 参考文献[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编 高等教育出版社[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M] 裴礼文 高等教育出版社 2010,3[3]《数学分析题解精粹》[M] 钱吉林 崇文书局 2010.4[4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M] 黄光谷黄川蔡晓英李杨华中科技大学出版社[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M] 李惜文西安交通大学出版社。
一致连续函数
一致连续函数一致连续函数是数学中重要的概念，也是有限变量函数的基本概念之一。
它被广泛应用于数学计算和分析，是有限变量函数研究的重要组成部分。
一致连续函数的定义：若某函数在一点附近的每个点上都是连续函数，则称此函数为一致连续函数。
一致连续函数的特性：1. 一致连续函数可划分为连续段，其中每个连续段可以用一定的连续函数表示。
2. 一致连续函数的图像以及局部的图形，都是由连续的线段和曲线构成的。
3. 一致连续函数具有极限性质：比如在某些点之上的极限或者从某些点的极限，只要他们存在，就必须满足一定的性质。
4. 一致连续函数可以通过求导，有时可以求出一致连续函数的局部极值和极大值，以及函数在一定区间上的最大值和最小值。
5. 一致连续函数可以用来分析不同参数和变量之间的关系，从而获得更明确的描述。
为了更好地理解一致连续函数，我们可以探究诸如抛物线，指数函数，对数函数等常见的一致连续函数的特性。
抛物线是很常见的一种一致连续函数，它的关系式如下：y=ax^2+bx+c其中a，b，c是任意实数，它具有以下特性：1.物线的凹凸取决于a的正负。
当a>0时，抛物线是凸起来的；当a<0时，抛物线是凹下去的。
2.a=0时，抛物线就成为一条直线。
3.a≠0时，抛物线的极值点（顶点和底点）可以通过以下公式求得：x=-b/2a;y=(4ac-b^2)/4a抛物线的一阶导数可以求得：dy/dx=2ax+b此外，抛物线的最大值和最小值可以用极值点的方法求得：当a>0时，抛物线的最小值为y=(4ac-b^2)/4a；当a<0时，抛物线的最大值为y=(4ac-b^2)/4a。
指数函数也是一种常见的一致连续函数，它的关系式如下：y=a^b其中a，b为任意实数，它具有以下特性：1.数函数的图像曲线朝右无限延伸，曲线的斜率值不断变大，且最终会无穷大，曲线呈现出“尖头”的形状。
2.数函数的导数可以用以下公式求得：dy/dx=ab^a-13.数函数的极值可以通过积分求得：极大值：y=+∞；极小值：y=0。
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浅谈函数的一致连续性的性质张亚男,数学计算机科学学院摘要: 本文探讨了具有一致连续性函数的基本性质,对函数一致连续性的性质进行深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一直连续性.首先介绍了一致连续的概念，并给出了非一致连续的定义。
其次给出了一致连续函数的有界性质。
再次给出了两个一致连续函数和商积差，具有一致连续性的条件。
最后探讨了同一函数在两个区间上一致连续性的叠加。
在每个性质后面都附有例题，使读者可也更好的理解所给出的性质。
关键词：函数；一致连续；非一致连续；有限区间; 有界;Discusses the properties of the uniform continuity functionName：zhang ya nan Number：0707216College：College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: In this paper, we discuss the properties of function of uniform continuity. We analyze the properties of uniform continuity of functions deeply, aiming to readers can better control uniform continuity of function. Firstly, we introduce the function uniform continuity concept and give the definition of non- uniform continuity of function. Then, we give the bound of uniform continuity of functions. Once again, we give the condictions, to be uniform continuity of function,of function four fundamental operations. Finally discusses the same function in the two identical continuity on the interval of superposition. In each propertyes we give examples, behind that readers can better understanding of the nature of given.Key Word: function; uniform continuity; non- uniform continuity; limited interval; bounded;一引言函数的一致连续性是学习数学分析的一个重点,更是一个难点.之前在学习函数的一致连续性时就觉得比较抽象难以理解,借此机会我探讨了函数一致连续性的若干性质，希望对后来者学习函数的一致连续性时有所帮助.二基本概念定义1（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得12,x x X ∀∈,只要12x x δ-<,就有12()()f x f x ε-<,则称()f x 在X 上一致连续.定义2（一致连续）设()f x 在区间X 有定义,若0,0εδ∀>∃>,使得0x X ∀∈,只要0x x δ-<，就有0()()f x f x ε-<,.则称()f x 在X 上一致连续.定义3（非一致连续）设()f x 在区间X 有连续,若00,0εδ∀>∃>,总存在,x x X '''∈,使得虽有x x δ'''-<,但0()()f x f x ε'''-≥,,则称()f x 在X 上非一致连续. 定义4（（非一致连续））设在区间X 上,有()f x 连续,若0120,,(1,2...)n n x x X n ε∃>∃∈=,使得虽有120n n n x x →∞-−−−→,但120()()n n f x f x ε-≥则称()f x 在X 上非一致连续.定理（Cantor 定理）有界闭区间[],a b 上的连续函数()f x 必在[],a b 上一致连续.例1:用定义证明()f x =[)1,+∞上是一致连续的.证明:由于[),1,x x '''∀∈+∞,2x x '''-=≤,于是0ε∀>,取2δε=,当[),1,x x '''∈+∞且x x δ'''-<时,ε<,所以()f x =[)1,+∞上是一致连续的.例2:用定义证明1()sin f x x=在()0,1内非一致连续,但0c ∀>,其在(),1c 内一致连续.证明对012ε=,取()120111,,,,1,2 (2222)k k x x k k k επππ====+则()12,0,1k k x x ∈,且120,0k k k k x x ++→+∞→+∞−−−→−−−→,有120k k k x x →+∞-−−−→但1201()()12k k f x f x ε-=>=.所以1()sin f x x =在()0,1内非一致连续.0,0c ε∀>∀>,只要取()2120,,0,1c x x δε=>∀∈,当12x x δ-<时,就有1212122121211()()sin sin x x x x f x f x x x x x c ε---=-≤≤<故1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.说明:当0x +→时,1sin x连续的无限振荡于[]1,1-上,故存在00ε>与点列对{}{}12,k k x x ,使120,0k k x x ++→→, (故有120k k k x x →+∞-−−−→),而120()()0k k f x f x ε-≥>;但0c ∀>,在(),1c 内考虑时,上述性质不存在,在证明中可以看出,1()sin f x x =在(),1c 内一致连续.,对给定的0ε>,所求得的(,)0c δδε=>,即0δ>不仅与ε有关,而且与0c >有关.特别是0(,)0c c δε++→−−−→.正因为这样,给定的0ε>,不可能找到对()0,1公用的0δ>.这就是该函数在()0,1内非一致连续的原因.三函数一直连续性的有界性定理1（有界性定理）若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,则()f x 在[],a b 上有界. 下面讨论当()f x 在开区间(),a b 上一致连续时,是否有()f x 在(),a b 上有界. 分两种情况讨论：1当(),a b 为有限区间时,有()f x 在(),a b 上有界.证法1：由()f x 在(),a b 上一直连续,可知0,0εδ∀>∃>,当(),,x x a b '''∈，x x δ'''-<时,有()()f x f x ε'''-<,故(),,x x a b '''∀∈,,a x a a x a δδ'''<<+<<+时,有()()f x f x ε'''-<,从而由柯西收敛准则知lim ()x af x +→存在（有限），同理可证lim ()x b f x -→存在（有限）,进而可补充定义令()lim (),()lim ()x a x bf a f x f b f x +-→→==,则()f x 在[],a b 上连续,由定理1知()f x 在[],a b 上有界,进而()f x 在(),a b 上有界.证法2:因为函数()f x 在(),a b 上一致连续,所以对10>,存在00δ>,当(),,x x a b '''∈且0x x δ'''-<时,()()1f x f x '''-<.取定N 充分大将(),a b N 等分,使每个小区间长度小于0δ.令1231(),(),()...()N M f f f f N N N N ⎧-⎫=⎨⎬⎩⎭,由前面讨论可知,对任意(),x a b ∈,存在,11i i N ≤≤-,满足0i x Nδ-<,此时一定有()()()()1i i f x f x f f M N N≤-+<+,这就证明了()f x 在(),a b 上是有界的. 2当(),a b 为无限限区间时,不能推出()f x 在(),a b 上有界.反例：()f x x =在区间()0,+∞上是一致连续的,但是无界的.证明：0,εδε∀>∃=当(),0,,x x x x δ''''''∈+∞-<,就有()()f x f x x x δε''''''-=-<=,从而()f x 在()0,+∞上一致连续，但显然()f x 在()0,+∞上是无界的.例:证明无界函数()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证明:由于()()()(sin sin )sin sin f x f x x x x x x x x x '''''''''''''''-=-+-≤-+-2cos sin 222x x x x x x x x ''''''+-''''''≤-+≤-,于是0ε∀>,取2εδ=,当(),,x x '''∀∈-∞+∞且x x δ'''-<时,皆有()()f x f x ε'''-<,由,x x '''的任意性,知()f x 在(),-∞+∞上一致连续.说明：这是由于当(),a b 为无限区间时,不妨设为()0,+∞,则当柯西收敛准则条件为：,A ε∀∃当,x x A '''>时()()f x f x ε'''-<,而题中()f x 在()0,+∞上一直连续只能保证对一定的间距δ,当x x δ'''-<时,才有()()f x f x ε'''-<,不能保证柯西收敛准则成立.四函数一致连续的四则运算性质我们探讨当函数(),()f x g x 均在区间I 上一致连续()()f x g x +,()()f x g x - ,()()f x g x ⋅ ,()()f x g x （()g x 在I 上不为零）,在I 上是否也一致连续.1加法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x +在I 上是否也一致连续.证明：由()f x 在I 上一致连续,可知10,0εδ∀>∃>,当1x x δ'''-<时,有()()2f x f x ε'''-<,又由()g x 也在I 上一致连续知，对上述的ε存在2δ,当2x x δ'''-<时()()2g x g x ε'''-<,取{}12min ,δδδ=则当x x δ'''-<时,有()()()()()()()()()22f x g x f x g x f x f x g x g x εεε''''''''''''+-+≤-+-=+=.从而()()f x g x +在I 上一致连续. 2.减法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,有()()f x g x -在I 上是否也一致连续.说明：函数一致连续性的减法与加法的证明方法完全相同.3.乘法：当函数(),()f x g x 均在区间I (不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x ⋅在I 上的一致连续性. a.当区间I 为有限区间（无论开闭）时,有()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的. 证明：由(),()f x g x 在区间I 上是一致连续的,则(),()f x g x 在I 上都是有界的（I 为开区间时即为本文的第二部分结论,I 为闭区间是显然成立）.从而存在0,0M L >>使得(),(),f x L g x M x I ≤≤∈,且有10,εδ∀>∃,当1,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2f x f x M ε'''-<,对上述ε,存在2δ,当2,,x x I x x δ''''''∈-<时有()()2g x g x L ε'''-<,取{}12min ,δδδ=,于是当,,x x I x x δ''''''∈-<时()()()()f x g x f x g x ''''''⋅-⋅=()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x ''''''''''''⋅-⋅+⋅-⋅()()()()()()22f x f x g x g x g x f x M L M L εεε'''''''''<-⋅+-⋅<⋅+⋅=所以()()f x g x ⋅在有限区间I 上是一致连续的.b.当I 为无限区间,不能推出()()f x g x ⋅在I 上是一致连续的.反例1取()(),(),,f x x g x x I ===-∞+∞,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅取两个点列：1,,()n n x n x n n N n+'''=+=∈则有1n n x x n δ'''-=<,这只需1Nδ=,当n N >就可办到,给定01ε=有220211()()()2h x h x n n n nε'''-=+-=+>,可见()()()h x f x g x =⋅在(),-∞+∞上不一致连续.反例2.取,()(),()sin ,0,f x x g x x I ===+∞ ,则()()f x g x ⋅在I 上不是一致连续的.证明：.不妨令()()()h x f x g x =⋅考虑两点列：12,2()n n x n x n n N nππ+'''=+=∈,虽有1n n x x nδ'''-=<,但是11111()()(2)sin 02sin sin n n h x h x n n n n n n n ππ'''-=+⋅-=⋅+⋅ 2102ππ→⋅+=, ()1,02n n π→+∞<<,现取021,0N επ=-∃>,不论0δ>多么小(可取11N δ=+),当n N >时,虽有1111n n x x n N N δ'''-=<<=+,但是0()()21nn h x h x πε'''->-=,所以()()()h x f x g x =⋅在I 上不是一致连续的. 4.除法：当函数(),()f x g x 均在区间I(不论是有限区间，无限区间，开区间，闭区间)上一致连续时,我们分两种情况讨论()()f x g x （()g x 在I 上不为零）在I 上的一致连续性.a.当I 为有限闭区间是,有()()f x g x 在I 上的一致连续性.证明：由()g x 在闭区间I 上是一致连续的且()g x 在I 上不为零,则()g x 在I 上有最小值，即存在10M >使1()g x M >,又有0,0εδ∀>∃>，当,x x I '''∈,且x x δ'''-<时有21()()g x g x M ε'''-<⋅.从而21()()()()11()()()()g x g x g x g x g x g x g x g x M ε''''''---=<<''''''⋅,故1()g x 在I 上是一致连续的,进而由函数一致连续性的乘法性质知()()f x g x 在有限闭区间I 上是一致连续的.b.当I 不为有限闭区间时，不能推出()()f x g x 在I 上是一致连续的.反例:取()()12()1,(),0,1,0,f x g x x X X ====+∞,()1()f x g x x = ,在区间12,X X 上不是一致连续的.证明：取01ε=,对无论多么小的正整数1()2δδ<,只要取,2x x δδ'''==,则虽有2x x δδ'''-=<但1111x x δ-=>''',所以()1()f x g x x=在()0,1内不一致连续. 同理可证()1()f x g x x=在()0,+∞也不一致连续 五同一函数在区间上的一致连续性我们探讨当函数()f x 分别在区间12,X X 上一致连续,且区间1X 的右端点为1c X ∈,区间2X 的左端点也为2c X ∈（12,X X 可分别为有限或无限区间）,()f x 在区间12X X X =上的一致连续性.结论：当函数()f x 分别在区间12,X X ,上一致连续,则()f x 在区间12X X X =上是一致连续的.证明:任给0ε>,由()f x 在1X 和2X 上的一致连续性,分别存在正数,1δ和2δ,使得对任何1,x x X '''∈,只要1x x δ'''-<,就有()()f x f x ε'''-<;又对任何2,x x X '''∈,只要2x x δ'''-<,也有()()f x f x ε'''-<成立.点c 作为1X 的右端点,()f x 在点c 为左连续,作为2X 的左端点,()f x 在点c 为右连续.故对上述的0ε>存在30δ>,当3x c δ-<时有()()2f x f c ε-<.令{}123min ,,δδδδ=,对任何,x x X '''∈,x x δ'''-< ,分别讨论以下两种情形:（i ）,x x '''同时属于1X 或同时属于2X ,则()()f x f x ε'''-<成立.（ii ）,x x '''分别属于1X 与2X ,设12,x X x X '''∈∈则x c c x x x '''''-=-<-3δδ<< 故由()()2f x f c ε-<得()()2f x f c ε'-<.同理得()()2f x f c ε''-<.从而也有()()f x f x ε'''-<成立.这就证明了()f x 在区间12X X X =上是一致连续的. 例:证明函数sin ()x f x x=在每个区间()()121,0,0,1X X =-=,内一致连续.但在()()121,00,1X X X ==-非一致连续.证明:先证()f x 在()11,0X =-内一致连续,由于()sin sin (),1,0x x f x x x x ==-∈-所以()f x 在()1,0-内连续.构造新函数,令()1,0()(),1,0sin1,1x F x f x x x -=⎧⎪=∈-⎨⎪-=-⎩,则()F x 在[]1,0-上连续,即证()f x 在()1,0-内一致连续.类似可证()f x 在()0,1内一致连续.,只需构造()1,0()(),0,1sin1,1x G x f x x x =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩.最后证明()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.由于()()sin ,1,0()sin ,0,1x x x f x x x x⎧-∈-⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩再由于0sin lim 1x x x →=，由函数极限的性质知存在1,εδ=∀,都存在()1120,2x X X δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使11sin 0.5x x >.令11,x x x x '==-,那么12,x x X X '∈,且x x δ'-<而()111111sin sin sin ()()21x x x f x f x x x x -'-=-=>-故()f x 在()()121,00,1X X X ==-内非一致连续.六 参考文献[1]《数学分析》（下册）[M]华东师范大学数学系编 高等教育出版社[2]《数学分析中的典型问题和方法》[M] 裴礼文 高等教育出版社 2010,3[3]《数学分析题解精粹》[M] 钱吉林 崇文书局 2010.4[4]《吉米多维奇数学分析习题集选集》（上）[M] 黄光谷黄川蔡晓英李杨华中科技大学出版社[5]《数学分析例题解析及难点注释》（一元函数部分）[M] 李惜文西安交通大学出版社。