第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)

第5章定性和稳定性理论简介
在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时)
一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳
定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零
解的稳定和渐近稳定性。

二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分
方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。

三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。

四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。

五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组
(,)dx
f t x dt
= （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈⊆和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。

设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =。

现在的问题是：当01x x -很小是，差0001(,,)(,,)
x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小？本章向量12(,,,)T n x x x x =的范数取12
21
n
i i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑。

如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。

现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。

定义 5.1 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>,使得只要01x x δ-<，就有0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕε-< 对一切0t t ≥成立，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ϕ=是稳定的。

否则是不稳定的。

定义5.2 假定01(,,)x t t x ϕ=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要011x x δ-< ，就有 0001lim((,,)(,,))0t x t t x t t x ϕ→∞-= ，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ϕ=是渐近稳定的。

为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ϕ=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)x t x t t x =01()(,,)t t t x ϕϕ=作如下变量代换. 作如下变量代换.
令 ()()y x t t ϕ=- (5.2) 则
()()(,())(,())dy dx t d t f t x t f t t dt dt dt
ϕϕ=-=- (,())(,())f t t y f t t ϕϕ=+-(,)F t y =于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成
(,)dy
F t y dt
= (5.3) 其中(,)(,())(,())F t y f t t y f t t ϕϕ=+-。

这样关于(5.1)的解()x t ϕ=的稳定性问题就化为(5.3)的零解y =0的稳定性问题了。

因此，我们可以在下文中只考虑(5.1)的零解0x =的稳定性，即假设(,0)0f t ≡，并有如下定义： 定义5.3 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)0t δδε=>，使当0x δ<时有 00(,,)x t t x ε< (5.4) 对所有的0t t ≥成立，则称(5.1)的零解是稳定的，反之是不稳定的。

定义5.4 若(5.1)的零解是稳定的，且存在
10( 5.1)δδδδ<<为定义中的，使当01x δ<时有
00lim (,,)0t x t t x →∞
= 则称(5.1)的零解是渐近稳定的。

例1 考察系统 dx
y dt
dx x dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
的零解的稳定性。

解 不妨取初始时刻00t =，对于一切0t ≥，方程组满足初始条件
22
0000(0),(0)(0)x x y y x y ==+≠的解为
0000()cos sin ()sin cos x t x t y t
y t x t y t
=+⎧⎨
=-+⎩
对 任一0ε>，取δε=，则当12220
()x y δ+<时，有
1
12
2
2
2
2
20000()()(cos sin )(sin cos )x t y t x t y t x t y t ⎡⎤⎡⎤+=++-+⎣⎦⎣⎦
12220
()x y δε
=+<=
故该系统的零解是稳定的。

然而，由于
112
2
2
222
lim ()()()0t x t y t x y →∞⎡⎤+=+≠⎣
⎦ 所以该系统的零解不是渐近稳定的。

例2 考察系统
dx
x dt
dx y dt
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
的零解的稳定性.
解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：
00()()t
t
x t x e y t y e
--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠
对任一0ε>，取 δε=，则当12220
()x y δ+<时，有
1
12
2
222222
()()()t
t x t y t x e y e --⎡⎤+=+⎣⎦12220
()x y δε≤+<=(0)t ≥故该系的零解是稳定的. 又因为
1
12
2
222222
lim ()()()0t
t t x t y t x e y e --→∞⎡⎤+=+=⎣
⎦ 可见该系统的零解是渐近稳定的. 例3 考察系统
dx
x dt
dx y dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
的零解的稳定性.
解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为
00()()t
t
x t x e y t y e
⎧=⎨=-⎩ (0)t ≥ 其中 22000x y +≠
1
11
2
2
222222222
()()()()t t t
x t y t x e y e x y e ⎡⎤+=+=+⎣⎦
由于函数t e 随t 的递增而无限地增大. 因此，对于任意0ε>，不
管12220
()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证
1
2
2
2
()()x t y t ⎡⎤+⎣⎦小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.
例4 考虑常系数线性微分方程组
dx
Ax dt
= (5.5) 其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明：若A 的所有特征根都具严格负实部，则(5.5)的零解是渐近稳定的.
证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t)是(5.5)的标准基
本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成 0()()x t t x =Φ (5.6) 由A 的所有特征根都具负实部知
lim
()0t t →∞
Φ= (5.7)于是知存在10t >，使1t t >时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当
00x δ<时，由(5.6)有
001()(),x t t x x t t ε≤Φ≤<≥
当[]10,t t ∈时，由解对初值的连续相依性，对上述0ε>，存在10δ>，当01x δ<时
()0x t ε-<
取{}01min ,δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有 (),x t ε< []0,t ∈+∞ 即0x =是稳定的.
由(5.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →+∞
Φ=，故0x =是渐近稳定的。